3.1 Équations différentielles
stochastiques
Définition 3.1.1. Soit 0 < a <
b. On appelle équation di~érentiable stochastique (EDS) sur
[a,b], avec donné initiale æa,tout relation de la forme
:
|
(EDS)
|
{ dX(t) = ó(X(t),t)dB(t) + u(X(t),t)dt X(a) =
æa,
|
où X : est un processus d'Itô sur [a,b] c'est
l'inconnue de EDS,
æa une variable aléatoire
donné, Fa-mesurable
ó(x,t) et u(x,t) sont deux fonctions
donnée,mesurables définies sur IR x [a,b] et à
valeurs
réelles
Résoudre l'EDS c'est trouver un processus d'Itô
X sur l'intervalle [a,b] tel que
a
X(t) = æa + ftó(X(s)
s)dB(s) + ft(X(s),s)ds Vt E [a,b]
Remarque 10. Comme pour les
équations di~érentielles, une EDS n'a pas forcément une
solution. Même si une solution existe, on ne pourra pas, en
général, l'exprimer simplement à l'aide du mouvement
brownien (B(t)). On va néanmoins donner un résultat d'existence
et d'unicité dans un cas intéressant qui ressemble en tout point
au théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations
di~érentielles ordinaires.
Un théorème d'existence et d'unicité
pour les EDS
Théorème 3.3. On suppose que
les fonction t ó(0,t) et t u(0,t) sont bornées sur
[a,b] et qu'il existe une constante C > 0 telle que pour
tout x,y E 1R et tout t E [a,b],on ait
|ó(x,t)-ó(y,t)| < C|x-y|, u(x,t)-u(y,t)|
< C|x-y|
i.e les fonctions ó et u sont lipschitziennes par
rapport à la variable x, uniformément en t E [a,b]. On suppose
aussi que la donnée initiale æa a un moment d'ordre
deux.
Alors il existe une solution X = (X(t))tE[a,b]
de l'EDS.
T.Souali CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LE CALCUL STOCHASTIQUE
D'ITÔ
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Exponentielle stochastique
Corollaire 3.1. L'EDS sur tout intervalle de
temps [0,T]
?
?
?
a une solution unique
dX(t) = X(t)dB(t) X(0) = 1
( )
B(t) - 1
X(t) = exp 2t
Démonstration. On suppose que la solution
X(t) est de la forme X(t) = eY (t),
pour
un certain processus d'Itô Y (t). Si tel
était le cas, en supposant que dY (t) = 1a(t)dt +
u(t)dB(t), la formule d'Itô montre que
X(t)dB(t) = d(eY (t))
= eY(t)dY(t) + 1
2eY(t)u2(t)dt
= X(t)dY (t) +
2X(t)u2(t)dt
1
D'où il résulte que dY(t) = dB(t) - 1
2u2(t)dt. Donc dY(t) = dB(t) -
1 2dt d'où Y(t) =
B(t)- 1 2t
On vérifions en suite que X(t) = exp(B(t) - 1
2t) est bien la solution unique de l'EDS.
Définition 3.1.2. On appelle
exponentielle stochastique du mouvement brownien un pro-
cessus de la forme
( )
B(t) - 1
ã(B(t)) = exp 2t .
Plus généralement on peut définir
l'exponentielle stochastique d'un processus d'Itô.
Théorème 3.4. Étant
donné un processus d'Itô Z de di~érentielle stochastique
dZ(t) = a(t)dt + b(t)dB(t), l'EDS
?
?
?
dX(t) = X(t)dZ(t) = a(t)dt+b(t)dB(t) (t E [0,T])
X(0) = 1
a une solution unique de la forme
)
Z t
ã(Z(t)) = exp(Z(t) - 1 0
b2(s)ds(t E [0,T])
2
On l'appelle exponentielle stochastique de Z.
Corollaire 3.2.
('y(Z(t)))tE[0,T] est une martingale si et
seulement si pour tout t,
E('y(Z(t))) = 1
.
On l'appelle la martingale exponentielle de Z.
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