Memoire Online - Le milieu de résolution de situation problème : un lieu de production de techniques variées

RESUME INTRODUCTION 1. LES TECHNIQUES AU CENTRE DE L'APPRENTISSAGE MATHEMATIQUE			3 4 5
1.1 APPROCHE THEORIQUE		5
1.2 QUESTION DE RECHERCHE		12
1.3 HYPOTHESE DE LA RECHERCHE		12
2. METHODOLOGIE			12
2.1 CONTEXTE DE LA RECHERCHE		12
2.2 RECUEIL DES DONNEES : TRANSCRIPTION ET COPIES		13
2.3 LA TRANSCRIPTION : UNE RAISON DES SEANCES FILMEES.		13
2.4 L'ENREGISTREMENT DE LA LEÇON		14
2.5 LA COPIE DE L'ELEVE : UNE TRACE D'OBSERVATION.		14
2.6 ANALYSE A PRIORI		15
2.6.1 Présentation et analyse a priori du savoir		15
2.6.1.1 présentation 2.6.1.2 analyse a priori du savoir 2.6.1.3 analyse a priori des praxéologies de l'instance apprenant 2.6.2 Des résurgences des positions diverses des élèves avec 2.6.3 Marche vers une conjecture 2.6.4 Analyse a priori des problèmes didactiques possibles	15 16 16 17 17 18
2.7 SYNOPSIS DE SEANCES	19
2.8 LE JEU ET SA DEVOLUTION	22
3. ANALYSE DES PRAXEOLOGIES DES ELEVES				23
3.1 LA CORRECTION : UN JEU DE VERBALISATION	26
3.2 ASCENDANCE ET COMPREHENSION DES PRAXEOLOGIES DES ELEVES.	28
3.2.1 Séance 1.b : consolidation ou réajustement ?	28
3.2.2 Séance 1.â prolongée : réaffirmation ou réajustement ?	33
3.3 INTRIGUE DE L'INTRUS DANS LA SEANCE 1	37
3.4 INTRIGUE ET INTRUS DANS LA SEANCE 2	39
3.5 RELANCE DU JEU	39
3.6 EXODE DE COMPORTEMENTS	40
3.7 PERCEPTION D'OBJETS OSTENSIFS ET NON OSTENSIFS	41

Résumé

Le spicilège aborde la question d' « en quoi le milieu de la résolution de problème est un lieu de production de techniques variées ? ». Le cadre théorique est principalement articulé autour des travaux d'Y. Chevallard (1998), (M. Bosch & Y. Chevallard (1999) et Y. et Mathéron & M.-H. Salin (2002) qui révèlent successivement des éléments d'analyse comme les façons de faire, les ostensifs et la mémoire. La méthodologie consiste à utiliser deux caméras (une centrale et une baladeuse) et les copies sur lesquelles les élèves déclinent leur pratique. Cette façon de prélever des données, dans une institution d'apprentissage (école élémentaire de Marseille en France), nous permet de les analyser et de lire la présence ou non de ces éléments dans le milieu de la résolution de résoudre de problème en mathématique. La conclusion tirée de l'analyse est la manipulation par les élèves des opérations mathématiques (addition, soustraction, multiplication et division) aussi bien que les ostensifs et la mémoire. Cependant l'amélioration ou l'acquisition des meilleures techniques se fait en fonction des phases de verbalisation créées par l'enseignant pour laisser entrevoir les constituants des techniques utilisées par les élèves entre la tâche déjà effectuée et une nouvelle tâche à effectuer.

Summary: The scrapbook addresses the question of «how the world of problem solving is a place of production of various techniques? «. The theoretical framework is mainly centered around the work of Y. Chevallard (1998) ( M. Bosch & Y. Chevallard (1999) and M.-H.Salin & Y.Matheron (2002) successively revévèlent elements of analysis as ways to the ostensive and memory. methodology is to use two cameras (one central and wandering ) and copies that students decline their practice. This way of collecting data in an elementary learning institution (school of Marseille in France), we can analyze and read the presence or absence of these elements in the middle of the resolution to solve problems in mathematics. The conclusion of the analysis is the manipulation by the students of mathematical operations (addition, subtraction, multiplication and division) as well as the ostensive and memory. However the improvement or acquisition of the best techniques is based on the phases of verbalization created by the teacher, to show the components of the techniques used by students between the task already performed and a new task. Keywords: technology, environment, problem, ostensive, memory.

Introduction

Les apprentissages réalisés dans toute institution dont la mission est le partage des valeurs scolaires se construisent avec une participation des élèves eux-mêmes. L'intention en général est d'attendre qu'au terme du processus d'enseignement apprentissage les apprenants fassent montre de compréhension ; ce qui explique tout l'intérêt de la visite des travaux de Charlot sur le rapport aux savoirs et ceux de Julio sur la représentation des problèmes et réussite en mathématique. Ainsi l'indice qui rassure l'enseignant est la réponse attendue d'un problème défini.

Dans ce travail nous voulons dépasser le simple regard orienté sur la réponse ou la technique de l'enseignant. En admettant que chaque apprenant ait des ressources personnelles dont il s'en sert devant un problème mathématique que lui présente un enseignant, l'enseignement pourrait ne plus se focaliser exclusivement vers un mouvement logique construit pour n'attendre que la réponse de l'élève. Mais la pensée serait aussi orientée vers les pratiques des élèves. En conséquence nous pouvons nous intéresser aux techniques dont met en oeuvre chacun d'eux. D'où notre question est axée sur « en quoi le milieu de la résolution des situations problèmes est un lieu de production de techniques variées ? ».

La première partie de notre mémoire reste consacrée à la présentation de l'approche théorique qui permet de comprendre les emplois didactiques des concepts clés (ou expression) comme « technique », « technologie » et « type de tâche » définis par Chevallard (1998), ostensifs et non ostensifs par Bosch et Chevallard (1999) et une articulation sur la forme compréhensible du savoir qu'abordent certains auteurs comme Brousseau (1998), Paun (2006) et Mathéron (2011). Cette première partie dévoile aussi la question de recherche telle qu'exposée un peu ci-haut. Une seule hypothèse est conduite en raison de sa complétée.

Dans la deuxième partie, nous définissons une méthodologie centrée sur l'observation des pratiques des élèves qui va nous permettre de répondre à la question posée. Cette observation ne sera possible comme on peut bien voir à travers nos explications que par un dispositif mis en place permettant le recueil des données.

Enfin dans la troisième partie, avec l'intention d'avoir des résultats quelle qu'en soit la nature, nous analysons les données qui sont essentiellement les productions des élèves ponctuées par l'étalage des pratiques en termes de techniques personnelles

utilisées pour attaquer une tâche définie par l'enseignant. Cette analyse porte aussi sur les extraits des transcriptions, au moyen d'un outil audiovisuel, établies à partir des phases de verbalisation des élèves qui pourraient offrir des éléments nécessaires à la confirmation ou à l'infirmation de l'hypothèse déclinée.

1. Les techniques au centre de l'apprentissage mathématique

Les pratiques enseignantes montrent régulièrement un attachement de l'enseignant plus marqué aux résultats de l'élève qu'à ses techniques. Cet attachement reste souvent lié aux techniques d'enseignement qu'aux techniques d'apprentissage. Cette observation nous amène à nous intéresser aux techniques des élèves. Cet intérêt justifie alors la diversité de mon cadre qui est composite : sociologique, psychologique et didactique.

1.1 APPROCHE THEORIQUE

La réussite des élèves dans une leçon est l'attendu non seulement de l'Enseignant qui donne cours, mais aussi le leur. Les facteurs pour y parvenir sont multiples : ce qui nous conduit à nous intéresser aux travaux de Charlot (1999) sur le rapport au savoir en sociologie et Julio (1995) en psychologie cognitive sur la représentation des problèmes et réussite en mathématiques. L'intérêt complémentaire des travaux de chacun de ces auteurs pour notre recherche se construit simultanément :

Selon Charlot (1999) la réussite d'un élève dépend du rapport de soi au savoir. Il situe le problème au niveau des activités d'apprentissage qui sont sources de réussite en indiquant que pour qu'il y ait" activité", il faut que l'élève "se mobilise", pour qu'il se mobilise il faut que la situation présente pour lui du "sens". Par ailleurs, Il explique que se mobiliser c'est mettre des ressources en mouvement à travers de bons mobiles. Pour cela, il faut que le but visé soit mobilisateur d'actions ; car " l'enfant se mobilise dans une activité lorsqu'il s'y investit, fait usage de soi comme d'une ressource.

Pour Julio (1995) il ne peut y avoir activité de recherche et de compréhension véritable des mathématiques que si les élèves parviennent à se représenter les problèmes qui leur sont proposés. La représentation du problème est une condition essentielle dans la poursuite du processus de résolution de problème.

Mais avoir de bons mobiles pour mobiliser les ressources ou bien se représenter le problème suppose un certain travail de l'instance enseignante. Ce regard sur l'enseignant nous a conduits à exploiter les travaux de trois auteurs : E. Paun (2006), G. Brousseau (1998) et Y. Mathéron (2011).

Pour chevallard (1985, 1998) et repris par Paun (2006), la science constituée ne peut pas être transmise telle quelle aux élèves. Il conseille le curriculum formel qui est le point final du processus de transformation externe du savoir. Donc il pose un problème de la forme du savoir qui va faire l'objet de l'apprentissage ou qui va susciter un intérêt pour l'apprenant.

Concernant Brousseau(1998) l'agio de ses travaux porte sur le fait que dans le sens de la modélisation l'apprentissage est supposé s'accomplir par une adaptation spontanée de l'apprenant au milieu créé par une situation qu'il y ait ou non intervention d'un enseignant au cours du processus.

Enfin Mathéron (2011) cherchant à comprendre pourquoi deux élèves n'abordent pas un problème de la même façon, examine les raisons pour lesquelles, à travers un épisode critique pour deux élèves dont les voies empruntées dans l'attaque d'un problème dévolué à la classe sont différentes : l'une erronée ne conduit pas à la solution l'autre permettant de la trouver. La réponse apportée à cette question est naturellement une difficulté d'adaptation. Celui comprend le problème et trouve la solution se situe mieux avec la forme présentée. Celui qui ne trouve pas la bonne voie pour enfin trouver la réponse n'est pas éclairé par la forme du savoir.

S'il est vrai que la forme à présenter aux élèves est une condition déterminante dans l'apprentissage, elle ne peut à elle seule suffire pour permettre de réels apprentissages. La théorie des situations didactiques se propose d'offrir ce que Brousseau (1998) appelle la théorie en acte. Il indique que c'est dans l'action que la compréhension de la situation permet d'inférer sur une théorie. Il prend bien l'exemple du jeu sur « qui dira 20 ? » où le choix des nombres de début est laissé libre à chaque joueur. Mais un choix qui nécessite des tactiques personnelles. Nous pouvons construire un lien entre le jeu et les situations d'apprentissage où « qui dira 20 ? » serait substitué à une question conduisant à des choix intelligibles pour trouver la réponse attendue.

Des formes du savoir et l'organisation du jeu se placent donc au coeur de l'enseignement apprentissage. Ainsi il importe de visiter les pratiques mathématiques, qui comme dit Chevallard (1991), donnent des compétences aux individus tels que les enseignants qui les utilisent. Elles leur offrent la possibilité de créer des formes particulières du savoir. On peut y voir un lien entre le savoir et l'individu qu'il convient bien de croire qu'il y a une personnalisation du savoir. Les formes parfois complexes sont modélisées pour faire passer le savoir savant au savoir à enseigner ou au savoir enseigné. Il se construit des efforts de transformation du savoir à tous les niveaux y compris celui de l'apprenant. On peut donc s'exulter d'entendre Chevallard (1991) reprendre Michel Verret (1975, pp146-147) : « une transmission scolaire bureautique

suppose quant au savoir en chacune de ces pratiques, la séparation du savoir et de la personne ; c'est-à-dire la dépersonnalisation du savoir. ». L'élève peut détacher les liens qui unissent les mathématiciens au savoir ; car les mathématiciens ne sont plus les seuls à posséder le savoir qui a donc fait l'objet d'un apprentissage.

La condition minimale qui permet à l'enseignant d'être capable d'opérer le renouvellement didactique c'est la conduite de la ^lchronogénèse grâce au fait qu'il sait avant les autres qu'il sait et qu'il sait « plus ». L'auteur précise que si cette chronogénèse toujours détruite (par l'apprentissage), toujours reconstruite (par l'enseignement c'est-à-dire l'introduction de nouveaux objets transactionnels) se structurerait selon le seul axe temporel d'un temps progressif cumulatif irréversible il y aurait bien en décalage chronologique, une identification du temps de l'enseignement et du temps de l'apprentissage : la fiction d'un temps didactique unique deviendrait réalité. L'auteur indique par ailleurs pour donner une place aux élèves dans leur apprentissage que le pouvoir de l'enseignant dans la classe ça n'est pas d'interdire (plus précisément : d'interdire de manière directe) la réponse 6x² -- 4 = 2(8x² -- 2),mais bien de produire la réponse 16x² -- 4 = (4x + 2)(4x -- 2). Son pouvoir consiste moins à désigner les « mauvaises » réponses qu'à susciter la bonne réponse qui désigne implicitement les autres réponses comme mauvaises. Cette attitude est une position qui considère celle de l'élève ; car l'élève a son rôle à jouer dans ce beau jeu semble dire Chevallard (1985) où la synchronie du système didactique n'est vraie que lorsque l'élève est un actant à part entière. L'enseignant sait en fait jouer sur l'axe topogénique.

Dans cet environnement de pratiques mathématiques où l'enseignant travaille pour l'élève un certain nombre de concepts techniques d'usage est mis en place pour universaliser le discours. Parlant du topos de l'élève Chevallard (1998) indique que dans le cadre des systèmes didactiques scolaires S(X ; y ; P), les types de tâches intégrés dans une praxéologie mathématique sont, traditionnellement, accomplis par un individu seul. L'élève x E X doit apprendre à factoriser, seul, sans l'aide d'autrui certains types d'expressions algébriques ; à calculer, par ses

propres moyens, la somme des fractions ⁴⁷ + ² , etc. En revanche il n'a pas à apprendre seul : officiellement il reçoit pour cela au moins l'aide du professeur y.

Chronogénèse Chevallard (1985) : disposition du savoir sur l'axe du temps. Ensemble des opérations qui organisent le déroulement chronologique (le « défilé ») des objets de savoir et du résultat de ces opérations.

Les tâches didactiques, en effet, sont, dans un certain nombre de contextes, coopératives, en ce sens qu'elles doivent être accomplies de concert par

acteurs doit en ce cas effectuer certains gestes, dont l'ensemble constitue alors

son rôle dans l'accomplissement de la tâche coopérative t, ces gestes étant à la fois différenciés (selon les acteurs) et coordonnés entre eux par la technique t mise en oeuvre collectivement. Certains de ces gestes seront regardés comme des tâches à

part entière t' dans l'accomplissement desquelles agira (momentanément) en
autonomie relative par rapport aux autres acteurs de la tâche. L'ensemble de ces tâches, sous-ensemble du rôle de lorsque t est accomplie selon , est nommé alors le topos de dans t.

éprouve la sensation de jouer, dans l'accomplissement de t « un rôle bien à lui ». Dans le cas d'une classe on parlera ainsi du topos de l'élève et du topos du professeur. Ainsi, lorsqu'une classe de mathématiques « fait un exercice » ce qui est une tâche éminemment coopérative, la sous-tâche consistant à fournir l'énoncé de l'exercice revient généralement au professeur : elle appartient à son topos. La tâche consistant à produire - par exemple par écrit - une solution de l'exercice relève elle du topos de l'élève tandis que la tâche consistant ensuite, à fournir un corrigé ressortit, à nouveau, au topos du professeur. Si, au cours de la résolution de l'exercice un élève pose une question au professeur, il effectue ainsi ce qui est vu ordinairement comme un simple geste, appelant un geste homologue de la part du professeur - geste qui peut consister, quelquefois, à... refuser de répondre

Types de tâches : Il souligne une solidarité à la racine de la notion praxéologie et des notions de tâche, t, et de type de tâches, T. Quand une tâche t relève d'un type de tâches T on écrira parfois : t T. Dans la plupart des cas, une tâche (et le type de tâches parent) s'exprime par un verbe : balayer la pièce développer l'expression littérale donnée, diviser un entier par un autre, saluer un

Techniques : Une manière d'accomplir, de réaliser les tâches t T : à une telle

manière de faire, , on donne ici le nom de technique (du grec tekhnê, savoir-faire). Une praxéologie relative au type de tâches T contient donc, en principe, une technique relative à T. Elle contient ainsi un « bloc » [T/ ] qu'on appelle bloc pratico-technique et qu'on identifiera génériquement à ce qu'on nomme

couramment un savoir-faire : un certain type de tâches, T, et une certaine manière, x, d'accomplir les tâches de ce type.

Technologies. - On entend par technologie, et on note généralement 6, un discours rationnel (logos) sur la technique - la tekhnê - x, discours ayant pour objet premier de justifier « rationnellement » la technique x, en nous assurant qu'elle permet bien d'accomplir les tâches du type T c'est-à-dire de réaliser ce qui est prétendu.

Les pratiques mathématiques semblent exigeantes sur les concepts et les objets d'emploi : ce qui occasionne un intérêt aux travaux de Bosch & Chevallard (1999). Dans leur double questionnement ils explicitent le problème de la « nature » des objets mathématiques et celui de leur « fonction » dans l'activité mathématique. C'est ce qui les a conduit à établir une dichotomie fondamentale en distinguant deux types ²d'objets : les objets ostensifs d'une part et les objets non ostensifs d'autre part, ils précisent que le terme ostensif vient du latin ostendere , « montrer, présenter avec insistance » qui renvoie à une référence à tout objet ayant une nature sensible, une certaine matérialité, et qui, de ce fait, acquiert pour le sujet humain une réalité perceptible.

A côté des travaux de Marianna Bosch & Y Chevallard (1999), nous avons estimé que la mémoire est sollicitée activement par le savoir en construction ; ce qui semble important pour notre outil d'analyse. Aussi nous avons été amenés à visiter les travaux Yves³ Matheron & Marie-Hélène Salin (2002) ensuite ceux de Bertrand & P.-H. Garnier (2005, p.121),

Pour ce qui est de Mathéron & Salin (2002), ils impriment dans la conscience éducative qu'une pratique suppose un dispositif constitué de moyens matériels (feuille, stylo, règle, énoncé, écrit, compas, etc.) et de techniques (essentiellement les savoir-faire mathématiques, institutionnellement mis à la disposition, et attendus pour la réalisation de la tâche). Ce dispositif doit être outillé par des gestes appropriés, afin que la pratique puisse se déployer ; son activation

² Les objets ostensifs sont constitués essentiellement des mots, des phrases, des graphismes, des écritures, des gestes ou tout un long discours pour exprimer les objets non ostensifs comme une « fonction » ou « la primitive d'une fonction. »

Les objets non ostensifs sont formés essentiellement des idées, des intuitions ou des concepts qui existent dans une institution au sens où on leur attribue une existence sans pourtant être vus, dits, entendus, perçus ou montrés par eux-mêmes. Ils ne peuvent qu'être évoqués ou invoqués par la manipulation adéquate de certains objets ostensifs associés comme le mot ou le geste.

nécessite la mobilisation de moyens personnels. Ils indiquent assez bien que pour produire un geste, il faut en posséder une mémoire : celle-ci permet de reproduire la pratique antérieurement apprise : ce qu'ils nomment « mémoire pratique de la personne » qui résulte de l'incorporation de chaînes opératoires (Leroi-Gourhan, 1964) portées par « une communauté mathématique ». L'étude du travail des élèves permet l'accès à certaines couches de leur mémoire pratique ; ce que Mercier(1995) nomme « l'accès à des fragments de leur biographie didactique ». Cette assertion est illustrée par deux réponses en classe de 2^nde à la question « démontez que ABCD est un

rectangle après leur avoir demandé de placer quatre points A(4 ;1),B( ;4),C( ;1) et

D(-2 ;-2) ». Un premier élève répond laconiquement : ABCD est parallélogramme AB//CD. AC coupe BD en leur milieu s'appuyant de ses acquis de la classe de 5^ème.Alors ⁴que le deuxième élève active la mémoire de pratiques spécifiques de la

classe de 2^nde en employant les ostensifs langagiers
(« colinéaires », « déterminants ») ou scripturaux (||) gestes pour l'accomplissement des calculs comme chercher à savoir si les vecteurs CD et AB sont colinéaires.

Concernant A. Bertrand & P.-H. Garnier (2005), ils indiquent que la mémoire implicite correspond en fait au rappel accidentel d'expériences passées.

Comme dans toutes les oeuvres d'enseignement ou d'apprentissage on ne peut se démarquer du système didactique, nous nous sommes intéressés aux ⁵travaux de Assude & Mercier (2007) qui présentent qu'on ne peut vraiment rendre intelligible l'action du professeur sans prendre en compte dans le même temps l'action des élèves et qu'il leur parait tout aussi vrai que l'action de ces derniers dépend

fondamentalement de l'action du professeur. Toute activité d'une instance(le professeur ou les élèves) ne trouve l'intégralité de son sens qu'à travers l'autre instance l'une et l'autre rendues solidaires par le savoir en travail.

Il revient pour ce travail de savoir comme les auteurs du présent ouvrage l'indiquent dans l'hypothèse selon laquelle l'action didactique est une action conjointe qui puise sa forme dans les savoirs et qui s'est faite non pas seulement par les méthodes classiques de l'observation ethnographique ou clinique jugées insuffisantes, mais par des formes de réduction appropriée de ces données particulières que sont les films des séances de classe ou les transcriptions des dialogues produits dans ces séances ; et imaginer des formes de description de l'action qui puissent rendre justice à sa complexité, et surtout, des manières nouvelles de mettre en regard la pluralité des descriptions obtenues : vue synoptique dont l'élaboration à la fois conceptuelle et technique paraissant constituer l'un des enjeux majeurs de la recherche pour les années à venir.

Ils avancent que les « manières de faire » en tant que techniques peuvent être ramenées dans le vocabulaire de la recherche à des tâches. Ils énoncent par ailleurs que la notion de « type de tâches » ne peut permettre à elle seule la description correcte de l'action mais qu'il faut y ajouter les situations et les milieux qui donnent leur forme à ces tâches. Puis ils affirment qu'il faut considérer les techniques non pas comme des manières d'accomplir une tâche mais comme des manières d'accomplir tel type de tâches dans un milieu (dans une situation particulière). Ils Caractérisent les techniques et indiquent que : « avec la technique invisible, l'élève produit une réponse. avec la technique faible, l'élève produit la réponse et met en place un discours associé à la technique et avec la technique forte : l'élève produit la réponse explicite un discours associé à la technique et le valide comme technologie.

Nous nous sommes intéressés aux travaux de G. Sensevy (2011) parce qu'il oriente dans le sens du savoir ; éléments pour une théorie de l'action conjointe en didactique pourquoi décrire les évènements : « Cela suppose tout d'abord dans un premier temps, une suspension des conceptualisations théoriques. On a affaire à une certaine pratique et on cherche à décrire aussi précisément qu'il est possible sans faire usage de termes théoriquement chargés. On tente, autant que faire se peut, de saisir la logique première des événements sans introduire d'autres concepts que finalement comme si l'analyse épuisait le point de vue des agents dans un effort de compréhension de ce qu'ils font. Ils doivent pouvoir s'y retrouver. Ils devraient pouvoir dire quelque chose comme oui c'est bien cela qui se passe de mon point de vue .

ieux ils devraient pouvoir préciser oui c'est bien cela qui est essentiel dans ce qui se passe de mon point de vue . »

1.2 QUESTION DE RECHERCHE

La résolution de problèmes occupe une place considérable dans les pratiques didactiques des mathématiques à l'école élémentaire en France et bien dans d'autres pays. C'est un moyen qui permet à l'apprenant la dévolution aux problèmes, la manifestation des connaissances dans ses interactions avec le milieu (Brousseau, 1998) et occupe un espace non moins important dans les programmes (MEN, 2008) et le socle commun des connaissances et des compétences (décret, 2006) en France. Cette dévolution n'est possible qu'à travers des phases bien déterminées indique

athéron (2011). Les travaux de l'Institut national de recherche pédagogique, équipe de recherche en didactique des mathématiques, menés dans le sens de susciter des apprentissages par la résolution de problèmes, définissent à travers le manuel « apprentissages numériques et résolution de problèmes » les objectifs de chaque contenu et les phases de résolution de problèmes subdivisée en étapes successives.

Dans notre recherche, tout en nous inscrivant dans un champ comparatiste existant de l'agir ensemble (Assude T. & Mercier,A. 2007), nous voulons comprendre en quoi le milieu de résolution de problème est un lieu de production de techniques variées ?

1.3 HYPOTHESE DE LA RECHERCHE

Notre cadre théorique suffisamment édifiant sur les techniques qu'utilise l'homo-sapiens quelle que soit la tâche à laquelle il se confronte, nous amène à penser que les élèves vont utiliser dans la conduite de leur topos des manières de faire en s'appuyant sur les ostensifs , les non ostensifs et la mémoire pour expliquer les opérations.

2. Méthodologie

Ce travail de recherche est certes produit aux fins d'obtention d'un master 2 de recherche mais il s'inscrit précisément dans un champ d'actions dont l'articulation se fait autour du savoir-faire de l'apprenant lors d'une rencontre avec le savoir que lui propose l'enseignant. Un intérêt qui pourrait nous conduire à étendre notre observation au plus grand nombre. Nous avons plutôt choisi de travailler dans une classe d'une école primaire d'AIX-Marseille composée de CM1 et CM2 où les élèves sont supposés avoir accumulés des réflexes de raison. Cette classe, dont les effectifs de CM1 et CM2 étaient de 10 et 13, est un milieu de résolution de situation problème en mathématique et surtout qu'elle a l'habitude de la présence de la caméra et/ou des personnes étrangères.

Deux séances composées de quatre tâches du même type peuvent suffire pour offrir au chercheur la possibilité de collecter des données nécessaires à l'analyse. La première tâche que nous pouvons qualifier de moyen de révélation des techniques empruntes d'originalité ; parce que produite sans référence à une technique d'emploi dans la classe. A partir de la deuxième tâche, il peut avoir des influences langagières qui modifient de façon significative les pratiques des élèves, donc il y a la possibilité de voir un élève utiliser une technique déjà utilisée par un autre élève de la classe. Pour ce faire nous transcrirons l'oral de la leçon afin d'avoir la matière de structuration du synopsis, mais plus le champ de la recherche pratique présentant divers aspects des discours possibles. Nous exploiterons également à côté des transcriptions, les copies des élèves. Nous utilisons la méthode quantitative en raison de son principe qui veut que les hypothèses soient testées lors du travail de collecte de données à travers l'emploi d'instruments ou de documents qui permettent une vérification quantifiable.

Les séances filmées ont la tendance de présenter une diversité de phénomènes non perceptible à une simple observation faite en une fois. Le film a un attribut avéré de reprise du défilé d'actions produites par les acteurs de la scène. Le film nous permet de structurer le synopsis (le déroulement des opérations de l'enseignant et celles des élèves le dosage à travers les phases ou tâches du même type) grâce à un moment fastidieux mais riche de transcription et donc de voir les interventions des élèves dans l'action conjointe du professeur et des élèves afin d'établir une analyse possible. Il peut donc permettre de voir certains écrits des élèves d'enregistrer les justifications orales (logos) de ce que les élèves utilisent comme moyen (technique) pour arriver à la réponse attendue.

Nous avons utilisé deux caméras en affectant à chacune d'elles une mission bien précise :

Une caméra comme présentée dans le schéma ci-avant qui est une caméra posée sur l'axe centrale de la classe. Elle nous permet d'enregistrer toutes les actions produites ensemble dans les communications du groupe classe. Elle nous montre particulièrement comment l'enseignant définit les tâches de travail les dévolue les régule ou les institutionnalise. Elle permet certes de voir les justifications des élèves mais aussi de voir les interactions entre le professeur- élèves et entre les élèves.

Une autre caméra portable gardée dans la main du chercheur permet de filmer toutes actions individuelles de l'apprenant. Il s'agira à ce niveau de prendre ce qu'écrit chaque élève,

Pour observer comment les élèves de ces deux niveaux, mis ensemble, réagissent pour fournir l'attendu de l'enseignant qui les dévolue à quelques tâches définies dans le manuel scolaire « Apprentissages numériques et résolution de problèmes. » dont chacune intègre la question ci pertinente de la recherche de trois nombres qui se suivent dont la somme d'avance fixée. Les copies des élèves sont

toutes aussi importantes que le film, car elles offrent au chercheur le déroulement des opérations qui devra se montrer comme un mouvement continu d'étapes intelligibles ou plutôt comme un mouvement entrecoupé de marques de reprise susceptibles d'amener à la réponse.

Avant de regarder au détail, les productions des élèves à partir d'un problème il nous semble important d'établir une certaine compréhension autour :

? des problèmes didactiques que peut rencontrer l'enseignant dans le cadre du déroulement de ce savoir.

Ce savoir mathématique a été modélisé par l'Equipe de recherche en didactique des mathématiques à l'Institut national de recherche pédagogique et prescrit dans la collection d' Hatier ⁶ERMEL dont le titre est « apprentissage numériques et résolution de problèmes CM1 cycle 3. » (2005, p.62-66).Dans ce manuel l'articulation de l'apprentissage se fait en trois phases découpées en deux étapes chacune.

Le type de tâche est défini tel que le maître doit prendre un exemple au début pour expliquer en quoi consiste le problème. « Les nombres 5,6 et 7 sont trois nombres qui se suivent et leur somme est 18. Je vais vous donner un nombre qui va être la somme de trois nombres qui se suivent et vous, vous allez chercher ces trois nombres. » :

1ère étape : recherche pour s=96. Consigne : « vous allez chercher trois nombres qui se suivent dont la somme est 96. Ecrivez tous les calculs que vous faites, il faudra ensuite expliquer comment vous avez trouvé. ».

6 ERMEL : Equipe de Recherche sur les athématiques dans l'Enseignement Elémentaire.

1ère étape : recherche individuelle avec s=25 et s=45.l'objectif est de faire découvrir qu'il n'est pas toujours possible de trouver trois nombres qui se suivent correspondant à une somme donnée.

2ème étape : attendre des élèves une formulation des propositions apportant la preuve que c'est impossible avec s=25

Il s'agissait d'un cas de problème pouvant être assimilé aux équations du premier degré à une inconnue de la forme de : trouver x s'il existe tel que ( x -- 1) + x + (x + 1) = n (avec n E N) ou x + (x + 1) + (x + 2) = n (avec n E N) ; car si l'on considère x + (x + 1) + (x + 2) = n, on a : n = 3x + 3 = 3(x + 1) . Dans cette forme,

on sait que n est multiple de 3. Donc après la division de ^a , (x + 1) est considéré

comme deuxième terme successif. Le premier naturellement étant x si on introduit -1 à (x + 1) et le troisième en ajoutant + 1 sur (x + 1). L'idée de trois nombres qui se suivent est bien du domaine d'une suite de raison r = 1 ; ce qui peut bien sûr faire l'objet d'un apprentissage ou qui apporte le problème aux apprenants des niveaux de CM1 et CM2. La raison r est la condition de résolution à un degré superieur que demander simplement de trouver trois nombres identiques dont la somme se trouve être n multiple de 3 ou n= 3. x . Il y a un réel besoin de communication qui peut se produire entre l'arithmétique et l'algèbre. Chacun prenant appui sur l'autre pour expliquer le schéma de la résolution.

Nous savons que les tâches ou les types de tâches provoquent généralement chez l'homo-sapiens, des manières de faire qui sont parfois les mêmes. Le début du jeu est un moment nous semble-t-il tout indiqué pour voir à quoi l'élève va-t-il s'en tenir. Ainsi nous imaginons des techniques possibles(T) que pourraient dérouler les élèves de la classe choisie devant le problème présenté sous la façon suivante : trouvez trois nombres qui se suivent dont la somme (n) est donnée.

1 : multiplication d'un nombre x E N (pris au hasard) par 3 et voir si le produit donne . Puis considérer qu'ils sont trois nombres identiques et faire -- 1 pour le plus petit et x + 1 pour le plus grand.

T2 : décomposition du chiffre des dizaines et celui des unités pour trouver les trois nombres dont le nombre somme est 96. On a : 9 = 3+3+3 et 6= 3+2+1 pour le résultat suivant 31-32-33 ou décomposition des dizaines et essai d'unités. On a 96= 90+6 et on

écrit 90 = 30+30+30 ensuite à chaque 30, on y met un chiffre à la place de 0 et on voit si les trois chiffres constituent la suite dont le total est 6.

T3 : division du nombre somme ( n) par 3 pour trouver le deuxième nombre dans cette suite. Et successivement, on retranche 1sur le deuxième pour trouver le premier et on ajouter 1 au deuxième pour obtenir le troisième.

T4 : Technique intuitive. Elle relève des opérations mentales ne donnant pas l'occasion à l'enseignant de voir quelle est la procédure de résolution utilisée. Sur la feuille, on voit juste les trois nombres qui se suivent dont la somme est effectivement celle que l'enseignant a donnée. Cette technique peut être rangée parmi les techniques invisibles si l'élève ne l'explicite pas pour qu'une trace écrite nous situe.

T5 : tirage d'une suite quelconque au sein des entiers naturels et vérification de la proximité de leur somme à la somme donnée : il s'agit d'opérer dans un intervalle possible. 96 est la somme de trois nombres qui se suivent de deux chiffres et non un ou trois chiffres.

T6 : retrait du surplus des deux plus grands nombres du nombre somme, ensuite division par 3 pour obtenir le plus petit et ajouter successivement + 1 et +2 au plus petit_. On a 96-3=93, puis 93/3=31 et 31+1=32 ; 31+2=33.

Certains élèves qui pensent que ça marche avec tous les nombres, vont prendre du recul en se posant la question s»il n'y a pas des cas pour lesquels ça marche bien et d'autres pour lesquels ça ne marche pas.

Des élèves qui pensent que ça marche toujours pour vue qu'on accepte les nombres décimaux

Des élèves qui trouvent des nombres très proches dont la somme n ne vérifie pas le nombre donné. Exemple 25, ils peuvent trouver 7-8-9 avec n= 24 et 8-9-10 avec n= 27. Mais pour n =25, la solution n'existe pas !

La condition d'existence indiquée ci-haut de x qui existe tel que (x -- 1) + x + (x + 1) = n (avec n E N) est « n doit être multiple de 3 ». C'est pourquoi, il importe d'introduire deux cas de figure pour provoquer des interrogations à vocation ascendante dans leurs manières de faire :

n multiple de 3 ; c'est-à-dire n = 3(x + 1) et savoir s'il existe une solution car x existe. Exemple n =12 ; on sait que 12=3x4 ou 12= 3x (3+1). On peut utiliser les tables de multiplication ou la calculatrice pour vérifier 3x4 = ?

n non multiple de 3 ; c'est-à-dire n # 3(x + 1) et savoir s'il y a une solution car x n'existe pas. Exemple n =13 ; on sait que 13? 3 x un nombre entier. On peut utiliser les tables de multiplication et/ou la calculatrice pour vérifier qu'il n'existe aucun entier naturel qui soit multiplié par 3 pour obtenir 13.

Organiser le jeu pour mettre en action l'élève est ce qui explique la présence du professeur à l'école. Nous savons que les deux acteurs ont une histoire construite en classe autour des premiers savoirs donnés qui servent de point d'appui à la construction d'une nouvelle histoire. La modélisation réalisée sur le problème par l'équipe de recherche en mathématique a certes donné une forme accessible au savoir mais il reste à l'enseignant le pouvoir de réalisation. Dans le contrat didactique le professeur attend une réponse produite par l'usage d'une technique qui produit un intérêt à notre recherche. Si l'enseignant parvient à établir la compréhension suffisante du problème de recherche aux élèves nous pouvons penser qu'il s'appuiera sur les prés requis ou les acquis des élèves qui sont divers ; par exemple sur la maîtrise de la division euclidienne la multiplication les caractères de divisibilité d'un nombre par 3 ou les caractères de nombre multiple de 3.

Bien que l'enseignant sache compter sur les élèves mais il ignore les représentations réelles de ces derniers vis-à-vis du problème présenté. C'est pourquoi il peut s'agir de voir l'enseignant définir réguler et dévoluer la première tâche : ce que lui impose l'action didactique conjointe du professeur-élève.

10mn 22mn02s	Elèves : 34	avec tableau à 4 entrées et lignes pour explications. · Travail individuel des élèves.	maintenant sa technique ou en utilisant une technique présentée par un autre élèves · Les élèves qui travaillent sur 724 indiquent un reste de 1 ou le nombre moyen est décimal


		· Travail individuel et
32mn12		Ramassage des feuilles ; pas de correction au tableau
00mn		· Rappel du caractère de	t4 :	Réactions positives
		nombre divisible	· trouver trois nombres	:	Séance 2
4mn11 s		par 3 et des techniques utilisées	qui se suivent pour sept sommes connues (141 ;	impossib ilité ;
		lors de la séance 1.a	309 ; 251 ; 624 ; 563 ;	reste 1 et
		prolongée en 1.b et	701 et 414)	ne sont
		prolongée en 1.b et	701 et 414)	ne sont
17mn12s	Prof : 101	approfondissement	· Deux nouvelles sommes pour les élèves qui ont fini	pas divisible
		Distribution de	(525 et 421)
19mn05s	Elèves : 73	feuilles récupérées à la fin · Régulation	· Extension avec cinq nombres dont la somme est 525, quatre nombres dont la somme est	s par 3
			324 et sept nombres dont la somme est
			1267
33mn45s- 51mn30		· Travail individuel des élèves.	Résolution de problèmes et discussion pour 324
33mn45s- 51mn30	récréation	· Travail individuel des élèves.	Résolution de problèmes et discussion pour 324
			Correction.
			Correction.
	0mn-4mn45

Le recueil de données qui s'est fait en dates du 28mars et du 02 avril 2013 et qui portait sur le travail des élèves à travers les tâches (t1- t2- t 3- t4) susmentionnées dans le tableau synoptique ci-dessus, présente quelques aspects y résumés. Au début de la tâche (t1) l'enseignant dans l'esprit de la présentation du savoir tel qu'indiqué dans la ressource exploitée, définit le type de tâche (T) en prenant un exemple avec le petit nombre somme 18. Le professeur (y) effectue la somme de 5 ; 6 et 7 pour montrer deux choses :

Cet exemple choisi est un moyen de dévolution des élèves au problème et d'adaptation que le professeur (y) met en action dans son topos pour faire comprendre la règle du jeu qui est de trouver trois nombres qui se suivent dont la somme (multiple ou non multiple de 3) est donnée. Des comportements de recherche de compréhension se manifestent par des questions pertinentes des élèves. L'enseignant qui compte sur les ressources individuelles des élèves leur donne l'occasion de travailler seul. Cette façon permet à chaque apprenant de générer des éléments de technique personnelle. C'est un travail qui se fait entre d'importants moments des séances. Pour la tâche (t1) on observe 27mn 30s d'activité accordées aux élèves dont l'attendu de l'enseignant est la réponse au problème posé. Pour la tâche (t2), on a 6mn45s ; la tâche (t3), 12mn02s et la tâche (t4) ,17mn45s. On voit bien que les élèves ont pris assez de temps lors de leur premier contact avec le savoir.

S'il est vrai que le travail individuel pour le chercheur permet de voir ce qu'utilise chaque acteur ( i) comme technique dans ce jeu, il est aussi vrai que la mise au net ou correction lui permet de voir les causes des changements des techniques par certains élèves ( 1 ... 23) lors d'une autre tâche.

3. Analyse des praxéologies des élèves

Le jeu, défini comme indiqué dans le synopsis à la séance 1 et à la partie ( a), amène chaque élève à une rencontre de soi et du savoir. Cette rencontre est interactive entre le savoir et l'apprenant. Autrement dit elle provoque dans tous les cas un regard personnel, une compréhension plus approfondie de la de la question de recherche. La compréhension pour ce problème impose à chaque élève de consulter dans son répertoire cognitif, des problèmes déjà rencontrés pour induire des représentations favorables à la résolution du nouveau problème.

Au cours de cette partie, 4 élèves (Andréa, Alexandre, Lucie et Illian) sur 20, ont utilisé la technique x1 prenant appui sur la multiplication. Parmi eux, trois élèves ont fait simplement 30x3 =90 et ensuite ils ont associé à chaque 30 ; les chiffres 3-2-1 pour avoir 96. Sauf Lucie qui s'est servie de la multiplication pour vérifier qu'elle est proche de la somme. Elle fait 3 fois 30 ça donne 90 ; après elle écrit 30+31+32 = 93 pas assez ; 32+33+34=99 trop et écrit 31+32+33 = 96 bonne réponse.

3 élèves (Pacôme, Erwan et Valéria) sur 20, ont utilisé la technique x2 dite de décomposition. Deux d'entre eux en exploitent la même stratégie : dans 96, on a : 9 c'est 3+3+3 et 6 c'est 3+2+1 et donc un chiffre de dizaine associé à un chiffre des unités, on obtient 33-32-31. Le troisième exploite la multiplication comme stratégie. Dans 96, Valeria voit 9 dizaines qui peuvent être réparties pour les trois nombres recherchés et associer 1 ; 2 et 3 qui composent 6 pour obtenir effectivement les trois nombres qui se suivent.

Yves, le seul élève sur 20, a utilisé la technique ₃ sans faire de division. Mais 32 est un nombre moyen que l'on obtient bien par un calcul de division euclidienne.

4 élèves (Léon, Garance, Rayan et Mayeul) sur 20, ont utilisé la technique ₄ dite magique lors de la verbalisation en fonction de ses opérations uniquement mentales et non transcrites sur la feuille de recherche. L'un d'entre eux, pour cette technique, utilise certainement une bonne logique qui peut conduire à un résultat satisfaisant, mais il n'explicite pas à l'écrit ces opérations mentales. Il déclare : « j'ai cherché le nombre rond ; puis combien plus combien faisait 90 ; puis je me suis rapproché du nombre et j'ai trouvé le résultat. »

8 élèves sur 20, à travers les feuilles employées pour la recherche de la solution du problème, ont utilisé la technique ₅ dont le sens est établi à l'analyse à priori des techniques aux précédentes lignes du présent mémoire. Si le fait d'utiliser le principe est le même c'est-à-dire poser une addition des nombres qui se suivent et changer les nombres en raison de la proximité de leur total à la somme indiquée, il demeure cependant des justificatifs au choix de ces nombres qui singularisent les pratiques de ces élèves.

Sara présente trois opérations barrées de trois nombres qui se suivent, 24+25+26 =75 ; 30+31+32 = 93 et 33+34+35= 102 et une opération jugée bonne 31+32+33 =96. Elle écrit à la suite de ces opérations : « J'ai calculé dans les vingt et ça m'a fait un nombre trop petit et après j'ai calculé dans les trente et ça a marché. La réponse pour un total de 96 est 31-32-33. ».

Zoé du CM2 écrit : « 96/3 =32 » et pose quatre opérations de trois nombres qui se suivent en intégrant 32 d'abord au début à la fin ensuite au milieu pour trois opérations et une opération qui ne contient pas 32 ; c'est 34+35+36. Puis elle mentionne pour le nombre 96, les trois nombres sont : 31 ; 32 ; 33.

Lefèvre, élève de CM1, prend dans les vingt mais évolue progressivement en changeant différents nombres pour atteindre 96 comme somme.

Romain, Telma et Steeve savent que les trois nombres commencent par 3 et changent de nombre en fonction de la somme obtenue qui est soit grande, soit petite. Chacun fait des choix personnels en fonction de ses estimations d'atteinte de la somme 96. Ils ont écrit simultanément :

- Romain : « pour un total de 96, les trois nombres sont 31 ; 32 ; 33. J'ai additionné 31+32+33 et j'ai trouvé 96. J'ai essayé ces nombres car ils commencent tous par trois. ».

- Steeve : « j'ai fait 30-31-32 ça faisait 93 et j'ai essayé 31-32-33 et j'ai trouvé 96 ».

- Telma : « 34 35 36 =105 ; 33 34 37=102 ; 35 36 37 ; 30-31-32= 93 ; 29-3031=90 ; 31-32-33=96 »

Sheryne n'a pas fait long. Elle dit : « on fait 31+32+33 ; ça fait 96 et au début, j'ai fait 30+31+32 donc j'ai fait après comme c'était proche ».

Inès applique l'essai erreur avec les nombre commençant par 3. Elle pose successivement des suites qu'elle supprime après parce que n'aboutissant pas à la réponse. 30 31 32 ; 34 35 36 ; 32 33 34 et 31-32-33 =96

Un moment important dans la séance 1.a est réservé aux explications des élèves de leur procédure de résolution du problème rencontré. Il faut pour cela accepter que certains élèves n'aient pas vraiment expliqué réellement ce qu'ils ont fait parce que l'enseignant prenait un ou deux par groupe d'élèves mis ensemble en raison de l'approche utilisée ou simplement de l'hésitation dont ont fait montre certains d'entre eux .

En leur donnant l'occasion d'expliciter les procédures utilisées on voit plus clairement le non-dit sur les feuilles de recherche.

Par exemple Sara du CM1 qui a écrit : « j'ai calculé dans les vingt et ça m'a fait un nombre trop petit et après j'ai calculé dans les trente et ça a marché ! »,déclare : « j'ai d'abord pris dans les vingt 24+25+26=75 ; après j'ai pris dans les trente c'est trop petit après j'ai fait 30+31+32 = 93 ensuite j'ai fait 33+34+35 =102 ; j'ai vu que c'était trop alors j'ai pris 31+32+33 =96 j'ai vu que c'était la bonne réponse. ».Le discours nous présente un détail bien qu'il soit le même car ici en plus de l'idée de faire les calculs progressifs d'addition on voit la raison de suppression de deux opérations exprimées en « trop petit ». Elle fait bien allusion au total trouvé qui est inférieur à la somme donné. Mais on ne voit pas celle qui permet de supprimer 33+34+35 =102. C'est dans le discours de l'élève que l'expression « trop »nous édifie.

L'élève du CM2, Zoé, qui place 32 au début (32 ; 33 ; 34), à la fin (30 ; 31 ; 32) et au milieu (31 ; 32 ; 33), indique : « j'ai divisé 96 par 3 pour voir de quel nombre ça allait se rapprocher j'ai essayé 30 ; 31 ; 32 et ça faisait 93 ce n'était pas assez après j'ai essayé 31 ; 32 ; 33 et ça faisait 96 ». Son écrit n'explique pas pourquoi elle abandonne la division qu'elle a effectuée. ais nous comprenons qu'elle s'en sert juste pour être proche des nombres recherchés.

Après lecture par le professeur de l'écrit de Valéria « les nombres qui se suivent et qui donnent un résultat de 96 sont 31 ; 32 ; 33. J'ai pensé que 3 fois 3 c'est 9. J'ai tout de suite pensé à 1 ; 2 ; 3 et puis j'ai trouvé le résultat en les additionnant ».

L'élève du CM2, Léon, qui a écrit : « j'ai trouvé car j'ai réfléchi. Les trois nombres qui se suivent sont 31 ; 32 ; 33 » explique : « je disais dans les unités ça doit faire 6 ; donc 1 ; 2 ; 3 et ça fait 6 et dans les dizaines ça doit faire 9 j'ai pensé à 3 ; 3 ; 3 ça fait 9. Donc total 96. On voit ici clairement que cet élève change complètement le discours ; il passe d'un état très mentaliste à un état opératoire. alheureusement, Garance du C 2 qui écrit « quand on m'a dit le résultat les nombres sont venus tout seul. » ne prend pas un tour de parole. Cette phase de verbalisation nous montre qu'elle est un moment d'interaction et d'appropriation du savoir à travers l'écoute de l'autre (professeur ou condisciple).

L'unique élève (CM2), Yves, qui a écrit : « j'ai fait 32+32+32 =96 ; on compense le 32+1=33 pour compenser le 1 », explique : « en fait j'ai décomposé j'ai presque décomposé j'ai cherché combien trois nombres pour faire 96 32+32+32 ; j'ai trouvé 3 fois 32 ; je me suis dit comme ça fait 3 fois de suite, il faut faire quelque chose, après j'ai compensé j'ai... » et à la demande du professeur, il développe que compenser : « c'est par exemple un jour on avait hein ... comme si on avait une méthode où on prend 1 chiffre et on donne à côté, on ne met pas en dessus , alors que nous on prend en dessous et on n'est pas obligé de donner au-dessus bon là c'est 32 on enlève le 1 du premier 32 et on le donne au dernier 32, et ça fait 31 ;32 ;33. ». La copie sur laquelle il a produit son résultat, ne permet pas de saisir explicitement sa pratique ! Mais prendre 1 chiffre et donner à côté ou enlever le 1 du premier 32 et donner au dernier c'est bien l'idée ingénieuse de (x - 1) et (x + 1) que l'on saisit grâce à la verbalisation.

Romain qui a écrit : « J'ai additionné 31-32 et 33 j'ai trouvé 96 ; j'ai essayé ces trois nombres car ils commencent tous par trois ».déclare : « en fait j'ai essayé d'additionner entre 31 ; j'ai pris 6 d'abord donc ça faisait 1+2+3 =6 et j'ai pris 9 ça faisait 3+3+3 = 9 et j'ai vu que 3 et 1 ça faisait 31 ; 3et 2 ça fait 32 puis 3 et 3 ça fait 33.

Andréa du CM1 qui a écrit : « j'ai trouvé en multipliant 3x30 = 90 ; puis j'ai additionné trois nombres qui se suivent et qui font 6 ; 3+2+1, déclare après le professeur qui voulait savoir pourquoi il s'est arrêté ? «Parce qu'au début j'ai trouvé trois nombres, mais égaux ! » . Cette verbalisation offre dans tous les cas un éventail des manières de faire. Ceux qui ne terminent pas ou qui se bloquent dans leur procédure se retrouvent dans une situation de compréhension des techniques utilisées par les uns et les autres.

Alexandre, élève du CM2 et qui écrit : « j'ai fait 30 x 3 ça fait 90 donc j'ai pris 90 et 6 ça me fait 96 » en déclarant : « j'ai fait pareil que Romain, mais ma feuille est ici ! » ne fait pas exception à la règle. Dans cette réaction du rangement de la copie mise

ailleurs qu'à côté de celle de Romain nous y voyons une identification à une technique bien que faible ; mais une manière de faire établie pour résoudre le problème.

Il nous vient que critiquer ou analyser un phénomène passe avant tout par la connaissance de celui-ci ; c'est pourquoi nous présentons les productions des élèves sous leur forme originale afin de mieux comprendre leurs pratiques. Les élèves qui ont commencé avec une quelconque peuvent changer en fonction de la pertinence d'efficacité d'une autre . Il peut aussi s'agir du maintien d'une technique qui a permis d'obtenir les résultats ; ou simplement de poursuivre avec la même technique étant donné qu'une explication peut apporter à un élève, un détail nécessaire pour la suite.

Le jeu redéfini à la partie 1.b donne une occasion aux élèves de se réaffirmer ou d'utiliser des ressources capitalisées à la partie dite 1.a ; car on sait que l'esprit humain infère ou induit du sens à partir de différents éléments du contexte et de la culture. Nous pensons qu'à cette première partie de la séance 1, s'il n'y a pas eu fixation sur une façon de faire, cependant des idées peuvent se restructurer pour réaliser cette nouvelle tâche qui exige une utilisation efficace d'une technique.

Andréa du CM1 devant la nouvelle tâche avec 354 établit que 100+100+100 = 300. Il essaie la division 54/3 = 1 et l'abandonne après avoir posé pour le reste de la division (54 - 24= ? ) ; il essaie cette fois par multiplication 15x 3= 45 ; 17 x3 =511 ; 19 x3 =57 et 18 x 3 = 54 ; puis il pose 18-18-18. Il retire 1 du premier 18 ; il reste 17 et le donne au dernier 18 pour obtenir 19, alors il forme 117 +118+119 =354. Il écrit

ensuite : « j'ai fait la méthode de compensation. Pour un total étant de 354, les trois nombres sont 117 ; 118 ; 119 ». Le professeur, qui a regroupé les productions des élèves en fonction des approches utilisées explique qu'Andréa s'est servi de toutes les techniques : la division pour chercher à trouver le nombre moyen, mais il abandonne en raison de la non maîtrise de la technique opératoire. Il utilise la technique essai-erreur ( ) mais avec la multiplication jusqu'à ce qu'il trouve la bonne réponse 18 x3 = 54, il utilise la compensation à partir de 18 (17-18-19). Il a au départ appliqué la décomposition 100+100+100 = 300. Finalement par addition, il obtient 100+17 = 117 ; 100+18 =118 et 100+19 =119. Rappelons qu'à la partie 1.a de cette séance Andréa avait multiplié 3x30 = 90 ; puis additionné trois nombres qui se suivent dont le total est 6 ; 3+2+1 pour avoir les différents nombres par addition 30+3 ; 30+2 ; 30+ 1. On comprend que la correction de la tache donnée à 1.a : plus précisément les justificatifs des collèges ont impacté sur la manière de faire d'Andréa à cette partie 1.b de la séance 1. Car la division qu'elle a tentée d'effectuer le montre très clairement. Il est resté aussi lui-même par endroit avec l'utilisation de la multiplication pour obtenir 54.

Zoé du CM2, qui à la partie 1.a après la division, sachant que le nombre moyen faisait partie des nombres qu'elle trouvait par essai-erreur (tirage d'une suite contenant le nombre moyen), obtient directement les trois nombres après la division. Cette fois elle trouve directement le premier nombre plus petit que le nombre moyen obtenu de la division ; et par ricochet le plus grand. Il apparait un réel exercice de mémoire implicite du fait du rappel accidentel d'expériences passées qui se construit dans l'agir de cette élève ; car elle sait désormais la place attendue du nombre moyen. On peut aussi constater qu'elle a choisi une technique qui permettra désormais d'attaquer ce type de tâche. Cette manière de faire ne s'éloigne pas totalement de ce qu'Yves a fait en parlant de compensation. Car trouver le petit nombre pour Zoé c'est

Yves utilise, à cette partie 1.b, des emprunts pour obtenir de façon technique le nombre moyen contrairement à ce qu'il a fait à la partie 1.a de la présente séance. Il fait une décomposition multiplicative de 354 c'est 3 x 100 et 3 x18 mais il vérifie par division si 3x18 donnent 54. Puis il trouve le nombre moyen en additionnant simplement 100 +18 = 118. On observe qu'Yves se sert bien de la multiplication comme Alexandre et Andréa qui ont présenté comment ils ont procédé à la correction de la partie 1.a de la présente séance ; car pour trouver 96, ils ont fait 3 x30 ou 30 x3 pour avoir 90 et additionner à chaque 30 , 1 ;2 et 3. Bien sûr que ce qui différencie ces deux élèves à Yves c'est le fait que dans cette nouvelle démarche d'Yves il s'agit

plutôt de trouver 2 comme nombre moyen d'unités à partir de la division 6/3 = 2 ; donc on prendrait 32 comme nombre moyen. Nous voyons très bien qu'Yves a été impacté par la verbalisation du milieu ; puisque autant cet élève agit sur le milieu que ce même milieu agit sur lui.

Inès utilise la décomposition additive et multiplicative. 354 c'est 300+50+4 et 3x100 ; 5x10 et 4x1. ais 100+10+1 = 111 qui malheureusement n'est pas un nombre exploitable ! Cette décomposition qu'elle utilise pour attaquer le même type de tâche semble encore lui échapper. On voit qu'elle veut procéder comme Yves qui s'est servi de la technique adoptée par Alexandre et Andréa. La verbalisation, une fois de plus, semble faire avancer les schèmes pour donner du sens à ce qu'elle fait. L'essai-erreur qui demande plus de temps et qu'elle continue d'utiliser par défaut de bonne exploitation de la technique, ne lui a pas permis de trouver la bonne réponse !

Erwan s'emploie lui à utiliser la technique de décomposition à en juger par sa première ligne où il écrit 300-50-4. ais il considère qu'avec 300 le nombre moyen est 100 et on peut avoir comme grand nombre 101 et 99 comme petit nombre. Malheureusement il n'exploite pas 50 et 4. Il pose la combinaison 118-117119 alors qu'il n'a que 99-100-101. Bien que des difficultés subsistent encore, cette nouvelle manière de faire est emprunte d'influence extérieure ; car il est passé d'une décomposition du chiffre des dizaines puis à celui des unités (dans 96 9 c'est 3+3+3 et 6 c'est 3+2+1) pour obtenir la combinaison correcte à un autre type de décomposition (96 c'est 90+6) qui permet d'avoir des nombres proches.

Dans cette même partie 1.b de la séance 1, il y a un conglomérat de 15 élèves sur 20 qui se rechignent à utiliser la technique de l'essai-erreur( 5). On est donc passé de 8 à 15 ; ce qui est un exode important et qui nous montre que ces élèves ont été influencés par la phase de correction qui est un moment réel de verbalisation explicative des élèves et de validation des procédures comme l'enseignant le conseille ci bien aux élèves qui éprouvent des difficultés à utiliser une technique :

Professeur (16mn47s) : oui on a déjà fait sur des opérations méthode essai avec un s et erreur avec un s (essais-erreurs) mais j'aimerais qu'il y en a le moins possible ; merci. Quand on est bloqué par contre hein, tu ne sais pas ; méthode essai-erreur ; tu essaies quelque chose, tu regardes si ça va ! , si c'est plus petit ou plus grand tu essaies si ça te convient très bien ! Si ça ne te convient pas tu réajustes : ça c'est une méthode quelques soient les situations les jeux etc... on peut utiliser cette méthode d'essai-erreur, il ne faut pas hésiter !

entrainé par la technique d'essai-erreur('r5) très en usage par un groupe important de la classe (8élèves), essaie directement avec une combinaison de trois nombres dont la somme est plus élevée 151+152+1523 =456. Il diminue les nombres et obtient la bonne réponse. Lui qui avait utilisé un discours de justification pour 96, quand il posait 6 ; c'est 1+2+3 et 9 ; c'est 3+3+3 tente trouver un nouveau discours ; mais il n'explique que la technique opératoire : « on sait que 7+8+9 ça fait 24 et que 1+1+1 plus 2 de retenue ça fait 5 et que 1+1+1 ça fait 3. Donc le résultat est 354.

Telma, dans cette démarche conseillée aux élèves qui éprouvent des difficultés à utiliser une autre technique, reste rattachée à ses représentations de départ. Elle utilise une succession d'additions pour avancer vers la bonne réponse qu'une division contraignante. Les additions choisies sont aussi loin de lui offrir des tendresses car par endroits on voit des erreurs liées au rangement des nombres composés de deux chiffres et ceux composés de trois chiffres dans une addition. Elle s'en sort mieux quand les nombres ont le même nombre de chiffres.

Sheryne pratique, dans l'ensemble des taches données par le professeur, l'essai-erreur ('r 5). Elle n'a donc pas tenu compte de ce qu'elle a vu lors de la correction.

Sur la copie de Léon, à cette même partie 1.b de la séance 1, il cherche par essai-erreur la bonne combinaison, déroule 15 opérations additives et ne trouve la bonne réponse qu'à la seizième opération. Ce qui est contraire à ce qu'il avait fait lors de la partie 1.a. Cette variation de pratiques à son niveau prouve qu'il a été influencé par les interventions des autres élèves et par la validation de cette pratique par le professeur.

Valeria utilise l'essai-erreur('r5) à 1.b alors qu'elle avait utilisé la décomposition ('r2). Elle commence très rapidement avec les nombres proches dont la somme est inférieure à 354 ; notamment avec 114+ 115+ 116.

ayeuil s'inscrit lui aussi dans la même pratique en commençant directement par 116 + 117 + 118 = 351 et augmente chaque nombre de 1 et obtient 117 +118 + 119 =354. On observe bien qu'il y a également une variation de pratiques à son niveau. Dans ces explications on y perçoit clairement l'emploi de la technique essai-erreur ('r5), mais pas le choix des nombres proches de ceux qui sont attendus.

Lucie utilise la multiplication comme à 1.a pour se rapprocher de la somme et se situer par rapport au choix des nombres à prendre. Elle pose 100 x3 =300 et prend les

nombres qui composent cette première addition 130 + 131 +132 = 393 ; puis elle se retrouve avec un intervalle de nombres à essayer après avoir conclu « trop » pour 120 +121 + 122 = 363 et « pas assez » pour 115 +116+ 117 = 348.

Sara, quant à elle, a repris simplement ce qu'elle a fait à la partie 1.a en choisissant les nombres dont le premier chiffre des centaines est 1 les essayer jusqu'à ce qu'elle trouve 117 ; 118 et 119 qui vérifient la somme de 354.

Steven qui voulait utiliser la division, revient comme à 1.a à l'essai-erreur avec plusieurs additions commençant par 120 +121+ 122 =363.

Rayan lui aussi se déploie à utilise l'essai-erreur alors qu'il avait utilisé le parachutage de la réponse. Il passe ainsi de la technique dite magique dont les opérations sont effectuées dans le mental de l'élève. Il pose 114 +115+ 116 = 345 ; puis augmente jusqu'à obtention du résultat.

Ilian lui commence avec 111 +112+ 113 = 336 et écrit c'est trop petit. Il pose ensuite 120 +121 +122 =363 et constate que c'est « trop grand » ; il finit par régler son intervalle de choix. Il y a pour lui une variation de pratiques à cette partie 1.b de la séance1, car il avait fait 30 x3 90 et 3 +2 +1 = 6 pour construire les nombres 31 ; 32 ; et 33. Cette variation intervient après la correction de 1.a.

Alexandre qui faisait partie des quatre élèves qui avaient utilisé la décomposition de 96 en 30 x3 = 90 et 6 en 1 + 2 + 3, trouve nécessaire de pratiquer La technique ('r5). Ce changement serait lié aux éléments intervenus lors de la correction.

Romain qui avait essayé trois nombres qui se suivent était convaincu qu'ils commençaient tous par 3. Ici, il fait la même chose ; il commence avec 127 parce qu'il sait que 1 est le premier chiffre en vérifiant par multiplication la proximité du produit à la somme 354. Ainsi 127 x3 = 381 ; il varie pour diminuer avec 125 x3 = 375 jusqu'à obtention de 118 x3 = 354 et il pose 117 +118+119 = 354.

Lefèvre poursuit dans le même sens qu'à la première tâche définie pour commencer le jeu didactique. Il fait un sursaut sur les nombres de trois chiffres commençant par 1 avec 125 +126 127 et obtient 388 et il les diminue de 10 ; de 4 ; de 7 ; puis de 8 et obtient 117 +118 119 = 354. Il s'agit donc d'une diminution dans la pratique de l'essai-erreur ('r5). Ce qui montre que cet élève n'a pas connu l'influence d'éléments développés lors de la verbalisation.

Garance qui a voulu utiliser la multiplication en posant 30 x10 = 300 s'est rapidement orientée vers une technique plus accessible pour le plus grand groupe ; car elle ne peut utiliser sa technique avec des nombres davantage plus grands qu'avec 96 où elle exprimait la spontanéité de la réponse. Elle pose 111 + 111 + 111 = 333 ; puis

elle augmente à 120 +121 +122 = 363 ; opération qui l'amène à faire une régression nécessaire.

Il est de tradition que si une personne attaque un type de tâche avec beaucoup d'aisance elle laisse penser qu'elle a développé une forte compétence pour réaliser ce type de tâche. Le professeur veut marquer cette fin de séance 1 par deux lots de sept sommes chacun (grands et petits nombres) comme clairement indiquées sur les feuilles de résultat des élèves. Il s'agit toujours de trouver trois nombres qui se suivent dont la somme est connue.

Romain qui a presque tout trouvé, n'explique pas malheureusement comment il a fait pour trouver toutes les réponses correctes. On observe cependant sur sa feuille de recherche qu'il pratique parfois la division-compensation ('r3) le cas de 552 et 489, parfois la multiplication ('r1) le cas de 144-273-915-645 et aussi l'addition ('r5) à pieds joints c'est le cas 324. Il montre par sa pratique plurielle pour lui qui au départ n'avait pas utilisé de division, que les multiples communications intérieures à la séance 1, modifient ses schèmes de façon significative.

Andréa fait preuve de mutation intérieure, car il avait au départ utilisé la multiplication pour vérifier 54 = (18 x3) dans 354 . Puis additionner après la compensation du nombre 18 chacun des nombres 17-18-19 à chaque 100 obtenu par décomposition. Ici, il utilise la division sur sa feuille de recherche. Mais il inscrit aussi par endroit la décomposition car avec 915, en plus de la division de 15/3, il pose 300 +300 +300 = 900, puis il additionne 300 +5 = 305 qui est le nombre moyen et il vérifie 304 + 305 + 306 = 915.

Mayeul change de pratiques, car à la partie précédente de la séance 1, il avait plutôt préféré l'essai-erreur en plaçant 1 comme étant le premier chiffre qui commence ces nombres pour la somme de 354. Ce changement se caractérise sur le fait de voir apparaitre sur sa feuille de recherche des divisions pour les sommes 552 ; 489 ; 273 ; et 144. On note en outre l'emploi du parachutage du nombre moyen pour 645 ; 324 et 915. On peut s'imaginer à l'évidence qu'il s'agirait toujours de la division qui semble être le moyen rapide.

Bien que steven n'explique pas comment il a fait pour trouver toutes ses réponses correctes, il déroule sur la feuille de recherche un ensemble d'additions successives qui caractérisent l'emploi de la technique dite essai-erreur ('r5) comme il l'avait utilisée

à la partie précédente de la séance1. Cependant on observe la présence de trois divisions qui donnent lieu à une simple approximation au nombre moyen pour 489 ; 645 et 552. Ensuite il y a un retour à l'emploi de l'essai-erreur.

Rayan est un élève du CM1 qui a totalement changé sa pratique. Il avait commencé par le parachutage des réponses. Puis il avait avancé en exploitant l'essai-erreur ; et là il pratique la division pour trouver chaque suite.

Sheryne, élève du CM2, chemine dans la pratique absolue de l'essai-erreur à travers l'ensemble de toutes les parties de la séance 1 quelle que soit la tâche définie pour ce type de tâche. Elle a tenté d'effectuer la division 915 par 3. Pour elle, le début de la réponse était 9 ; malheureusement elle manque d'assurance et de confiance en soi : ce qui la ramène à un repli de technique.

Lucie qui à la tâche précédente s'était servie de la multiplication pour se rapprocher des nombres à prendre comme réponse a trouvé la nécessité de s'aider de la division pour chaque somme. Elle utilise la multiplication à cette tâche juste pour vérifier si le nombre moyen trouvé est le bon.

Ilian n'utilise que des divisions pour trouver le nombre moyen quelle que soit la somme. L'addition ( ex :107+108+109 = 324 ?) lui sert à compenser et à vérifier si la somme est obtenue à travers les nombres qu'il opérationnalise. Précisions qu'il se servait de l'essai-erreur ; ensuite de la multiplication pour trouver le nombre moyen. Cette nouvelle pratique qu'il met en place, vient après le jeu de la correction de la tâche précédente. D'où nous comprenons qu'il y a eu des facteurs importants de la correction l'entrainant ainsi à changer de façon de faire.

Erwan qui a choisi de travailler avec le lot de petits nombres semble désormais inspiré par la compensation qu'il représente assez bien par une flèche. On voit comment il trouve le nombre moyen par la division et la flèche qui reste le signe de sa compréhension de la compensation pour 45 et 15. On observe une flexibilité à changer de façon de faire pour terminer plus rapidement et plus facilement les tâches définies par le professeur.

Yanis bien qu'absente aux deux premières parties de la séance1, en bénéficiant de l'assistance de l'enseignant , s'incline vers l'essai-erreur alors qu'elle avait commencé par poser une division pour attaquer l'avant dernière somme de la liste. On comprend qu'elle n'a pas encore intégré une ressource suffisante (compensation) pour agir lorsqu'elle se retrouve devant un cas comme 33 + 33 + 33 = 99. Ici on voit qu'elle a abandonné la suite et le tableau reste vide.

Yves qui sait utiliser la compensation dès le premier jeu didactique défini, se rapproche entre ('r2) et ( 'r3). Il décompose par exemple 645 en 600 et 45. Il pose 600 = 3x200 ; il divise 45/3=15. Et il regroupe 200+15 = 215 qu'il considère comme nombre moyen. Puis il pratique simplement la compensation. Cette technique malheureusement ne fonctionne qu'avec les nombres dont le chiffre de centaine est un multiple de 3 et les deux derniers chiffres constituent un nombre multiple aussi de 3. Ce qui n'est pas le cas pour 144 et 489. Il aborde la division pour 144 ; 273 ; 489 et 552. On peut comprendre qu'il s'oriente vers la pleine division par nécessité d'affronter cette catégorie de nombres dont le chiffre de centaine n'est pas un multiple de 3 encore moins les deux derniers chiffres ne forment pas un multiple de 3. Bien qu'étant mal à l'aise avec ces nombres, il a cependant utilisé 'r3 .

Garance fait montre de flexibilité par le fait qu'elle utilisait comme techniques la multiplication et l'essai-erreur ; maintenant elle utilise la division pour loger le nombre du centre pour remplir facilement le tableau à quatre entrées comme cela apparait bien dans les cas présentés ci-dessus. Et elle fixe les autres nombres selon que les vides sont exigeant des critères clairement précisés (nombre précédent et nombre suivant). Cette étape de l'écriture du nombre précédent et/ou du nombre suivant n'est pas présentée sur la feuille de recherche ; sinon directement sur la feuille des résultats.

Inès adopte la division comme opération pour trouver les trois nombres qui se suivent. Elle vérifie la fiabilité des résultats par addition après une compensation faite mentalement. Son passage de la décomposition qu'elle se servait aux tâches précédentes à la division pour finir avec la compensation, est la preuve du changement de technique d'attaque pour ce type de tâche. Cette nouvelle approche lui a permis de terminer avec le lot de petits nombres et de commencer le lot des grands nombres dans la limite du temps de travail donné pour la production des résultats.

Pacôme qui utilise l'essai-erreur à la troisième tâche après utilisation de la décomposition à la première tâche a finalement recourt à la division bien que l'essai-erreur est intervenu pour la première somme qui semble facile (107 +108+109 = 324). Toutes les autres sommes (645 ; 915 ; 144 ; 273 ; 489 et 552), ont un traitement établi du point de vue de la division euclidienne. On voit une nouvelle adoption de technique

après l'intervention du professeur qui définit la troisième tâche en reprenant l'exemple de 96 comme somme vue à la première tâche.

Telma fidèle à l'essai-erreur, ne termine malheureusement pas la tâche. Elle traite cinq sommes sur sept. On voit sur sa feuille de recherche une tentative de résolution par division mais qu'elle barre rapidement parce qu'elle est convaincue des erreurs possibles y contenues ; car elle trouve 144/3 = 40 et 489/3 =38. Cependant, on peut comprendre par cet essai que l'intervention de l'enseignant a un impact sur sa manière de faire.

Sara utilise comme aux tâches précédentes l'essai-erreur avec moins d'essais pour chaque somme. Dans cette pratique malheureusement, elle ne termine pas la tâche. Mais ce regard qui amène rapidement à une combinaison qui serait la réponse attendue tend vers une division. On voit qu'elle situe les nombres dans un intervalle d'espoir ; car pour 144 par exemple elle prend 50 +51 + 52 = 153 et descend jusqu'à obtenir la réponse ; ou pour 915, elle pose 306 +307 +308 = 924 et elle diminue un peu jusqu'à obtention de la réponse souhaitée.

Léon recherche les réponses autant qu'à la partie précédente par l'essai-erreur et la maîtrise de l'addition semble pour lui une forte compétence qui lui permet de trouver toutes les réponses dans la limite du temps de travail accordé à l'ensemble des élèves. Cette confiance de soi à travers la maîtrise de l'addition ne fait entrevoir en aucun endroit le besoin de recourir à la division.

Paul Alexandre et Valeria choisissent chacun pour ce qui le concerne l'essai-erreur comme technique d'attaque de cette troisième tâche. Seul Alexandre termine la tâche donnée alors que les deux autres n'obtiennent pas le temps nécessaire pour traiter le dernier cas centré sur le nombre 552.

La recherche des nombres qui se suivent dont la somme est d'avance fixée est un jeu qui semble désormais entrainer tous les élèves de la classe quelle que soit la manière dont ils s'y accrochent. ais l'imprévisible condition qui s'impose au nombre somme est la source du rébus. Pour être donc un bon joueur, il faut connaître la caractéristique centrale du nombre somme.

Le professeur vers la fin de la séance 1 s'intéresse aux élèves qui ont terminé la tâche composée des nombres contenus dans le tableau rempli par chaque élève. Il

leur demande de travailler avec le nombre 724 en précisant : « ça ; c'est pour ceux qui ont fini ! »

Des difficultés commencent alors à se pointer avec ce nombre comme le montre une partie de la transcription de la fin de la première séance.

Professeur (19mn29s) : 1 ; 2 ; 3 ; ceux qui n'ont pas fini vous essayez d'expliciter la méthode ! Pour ceux qui ont fini vous explicitez aussi la méthode, sinon vous faites ça regardez ! Il écrit la somme vaut 724. Ça c'est pour ceux qui ont terminé !

Professeur (20mn19) : régule, il revient chez Paul qui ne décolle toujours pas ! Il essaie de l'amener à la division !

Professeur (21mn54) régule : il s'arrête chez un élève qui était absent à la première séance, il dit en 24 il y a combien de fois 3, il y a 8 fois.

Professeur (28mn00s) : non, on cherche des entiers hein ! Qui sont ceux qui font avec 724 ? Vous n'arrivez pas ?

Professeur (28mn42s) : pourquoi vous n'arrivez pas ? Zoé, Garance ? Léon ? Pourquoi vous n'arrivez pas ?

Un élève (30mn02) : moi, j'ai trouvé un entier ... mais j'ai divisé par 4 ce n'était pas par 3

Une élève (31mn33s) : lève le doigt, on garde la partie entière et on enlève les nombres après la virgule ;

Professeur (32mn) : bon, vous allez me vérifier vos deux noms, ça va être deux feuilles, votre nom et votre prénom, sur les feuilles que vous avez fait et vous allez me poser ça ici ! La feuille de recherche aussi

lèves Pour les (32mn12s) : élèves oui dont la pratique à la fin de la séance 1 est focalisée sur la division et la compensation qui est la technique qui permet d'aller vite il y a un ressenti de

difficultés présentées par le nombre choisi sur le fait du reste et d'autres sur le fait d'avoir un nombre décimal. On voit d'ailleurs un élève qui change de diviseur pour tenter de rendre son opération possible.

Comme dans tous les jeux l'excellente connaissance des règles comme ressources qui organisent un jeu permet au joueur de se servir régulièrement de celles-ci afin d'échapper aux multiples occasions de rebut dont l'ultime dessein est l'apprentissage. Celui qui consiste à trouver trois nombres dont la somme est connue ne peut donc déroger à ce principe. L'enseignant introduit dans une liste des nombres déstabilisants 141 ;309 ;251 ;624 ;563 ;701 et 414 pour amener les élèves à découvrir qu'il n'est toujours pas possible de trouver trois nombres qui se suivent dont un nombre

Le professeur récapitule les approches techniques et redéfinit le type de tâche pour attendre des réactions sur la base desquelles la conjecture pourrait se structurer autour des nombres qui se suivent connaissant le nombre identifié comme somme de ces trois.

Voici comment le professeur conduit l'interaction pour obtenir l'implication des élèves dans cette tâche :

Professeur (3mn25s) : alors pour résumer, on avait effectivement cherché trois nombres qui se suivent et avait dit qu'il y avait plusieurs façons d'y parvenir donc plusieurs méthodes : certains avaient fait des additions pour trouver un total, on faisait des essais et on recommence etc. ou multiplication par 3, là aussi on faisait des essai-erreurs, puis il y avait la méthode divisive qui permet de trouver quoi ? Inès ?

Professeur (4mn23s) : oui après il faut compenser. C'est bon pour tout le monde ? On essaye ? Vous pensez à un détail ? Bon vous faites sur ces feuilles ! (et il distribue les feuilles) mettez vos noms sur les deux feuilles s'il vous plait ! Vous mettez les nombres que je donne ici et vous faites votre recherche, puis vous mettez vos résultats ! Je vous donne juste la liste des sommes dont les nombres se suivent : 141 ; 309 ; 251 ; 624 ; 563 ; 701 ; 414 (et il intègre les différents nombres dans un tableau à quatre entrées dont la première porte les différents nombres sommes.)

^classement

^CM1

^Andréa

^CM1

^Inès

^CM1

^âge

^niveau

^CM2

^élève

^S1.á

^S1.â

^S1.â.p

^S.2

^sexe

¹⁰

^CM2

^Sara

⁵

¹⁰

^CM2

^Romain

⁵

¹⁰

^CM2

⁴

¹¹

^CM2

^Mayeul

⁴

⁵

¹⁰

^CM2

⁵

⁶

¹⁰

^CM1

^CM2

^Lefev

⁵

⁷

¹¹

^CM2

^Valéria

⁵

⁸

¹⁰

^CM2

^Rayan

⁴

⁵

⁹

¹⁰

^CM2

^Yanis

^abs

⁵

¹⁰

¹¹

^CM2

^Océane

^abs

^CM2

¹¹

^CM2

^Ugo

^abs

¹¹

¹⁰

¹¹

Techniques utilisées

^Alexandre

⁵

^Sheryne

⁵

Séance 1

⁵

Séance 2

total

^{Steven Yves Telma}1 . a

1. f.?

⁵

1. f.? prolongée

⁵

¹¹

T 1

^Lucie

^Erwan

⁵

¹⁰

¹¹

T 2

^Ilian

^Léon

⁵

⁴

⁵

¹¹

T 3

^Zoé

^Garance

⁵

⁴

⁵

T 4

T 5

T 6

^{observations même technique tendance
au chang tendance au chang tendance au chang tendance au chang même
technique tendance au chang tendance au chang même technique
rien}

^{tendance au chang tendance au chang tendance au chang
tendance au chang même technique tendance au chang tendance au chang
tendance au chang tendance au chang même technique tendance au chang
tendance au chang}

Les tableaux ci-dessus laissent entrevoir que la majorité d'élèves avaient recours à la technique essai-erreur ( 'r5) 36 fois contre 25fois pour la technique ('r3) durant les deux séances qui ont constitué l'essentiel de notre milieu d'étude en tâches de même type. Cependant, il y a des élèves flexibles qui abandonnent leurs techniques ( 'r2 et 4) se montrant surement difficiles d'emploi et intègrent d'autres pratiques mises en évidence à travers les moments comme nous l'avions déjà dit de verbalisation des élèves et de validation du professeur.

Mais il est aussi visible que la séance 2 offre aux élèves (16/20) une possibilité de réemploi de ce qui semble efficace comme technique appropriée pour résoudre les problèmes de la même famille ou les tâches du même type en parlant bien sûr de la compensation qui suit automatiquement la division. On voit bien qu'il y a eu plus de sollicitation de 'r5 que de 'r3 ; car à la seule tâche de la séance 2, pour 20 élèves, 16 ont utilisé 'r3 pour résoudre le problème devant 4 élèves qui ont plutôt réussi avec 'r5.

Nous identifions des embryons de techniques utilisées par les élèves à travers les tâches de la première séance certes, mais nous pouvons aussi y percevoir ou voir une création par les élèves d'objets auxiliaires à l'apprentissage : des mots, des phrases, des idéogrammes ou écrits pour mieux étayer la technique choisie.

Yves, qui produit le mot « compenser » après avoir trouvé trois fois 32 alors qu'il ne s'agit pas d'avoir trois fois un nombre (32+32+32 = 96), pour atteindre la réponse attendue, se déploie à faire émerger quelque chose de personnel comme le montre bien l'extrait de texte suivant :

Erwan, qui a désormais bien dévisagé les pratiques de ses condisciples qui se reposent essentiellement en manipulant -1 et +1 sur le nombre moyen pour obtenir la combinaison recherchée, fait rentrer lui par contre les flèches comme matériel contrôlable ou matériel d'opérationnalisation des nombres pour parvenir à la réponse. C'est semble-t-il un moyen qui va lui permettre de construire sa mémoire à traiter ce type de tâche.

Comme une maxime dirait « la faim justifie les moyens » : il est évident qu'un chercheur ou un enseignant manque suffisamment d'outils pour bien cerner au cours d'une séance de mathématique tout ce sur quoi peut s'appuyer un élève pour résoudre un problème. Cependant nous pouvons observer à travers les productions des élèves présentées ci-haut que certains n'ont de problème qu'à avoir le nombre moyen. ais dès qu'ils se sont rassurés que le nombre moyen trouvé est le bon intuitivement ou instinctivement, ils produisent les deux autres (celui qui vient avant et celui qui vient après).

Toujours en passant notre observation sur les praxéologies des élèves au rythme des tâches données par le professeur, il se montre que certains élèves reprennent les techniques qui les ont conduits à la bonne réponse. De même les

élèves qui ont participé à l'activité de mathématique s'approprient les techniques qui ont amené leurs collègues à la résolution des problèmes de la même famille. Nous pouvons retenir quelques exemples comme pour les élèves qui commencent par la division, ils savent que pour attaquer ce type de tache, il faut effectuer la division par 3 pour avoir le nombre moyen.

Cet effort d'appel à la mémoire pratique s'appuie aussi sur les pratiques antérieures personnelles ou collectives pour construire des nouvelles pratiques ; car on voit bien que les chemins choisis tiennent compte des ressources dont dispose chaque élève.

Plusieurs opérations professionnelles sont déroules de façon successive pour faire avancer l'apprentissage par l'enseignant dans le temps certes mais leur activation intervient à des moments bien précis. Il faut naturellement une action, en perspective d'un résultat bien établie de l'élève pour que l'enseignant change d'opération. On dira simplement que la réaction de l'élève conditionne l'avancée temporelle des opérations de l'enseignant.

A la définition du type de tâche (séance1.a) l'enseignant déclare aux élèves à 2mn36s : « Eh alors il s'agit d'un petit d'une petite situation problème d'un petit problème que vous allez devoir vous allez d'abord chercher j'espère que vous allez trouver c'est entre la situation problème voir même un petit jeu , hein un petit jeu mathématique , on va travailler donc en mathématique sur des nombres en numération ; pas d'opérations pas d'additions pas de soustractions de multiplications comme on vient de faire sur les décimaux en fin d'année. Ici on vous demande de ... allez je vous le dis en une phrase ; de trouver trois nombres qui se suivent, trois nombres qui se suivent, et dont je vous donne le total ; exemple, petit exemple : le total doit être égal à 12, vous devez trouver les trois nombres qui permettent de faire un total de 12. 5 6 et 7 ; car 5+6=11 et 11+7 =18. Oh pourquoi je vous dis 12 ? C'est 18 excusez-moi ! 5+6=11 et 11+7=18. Vous avez compris le système ? ». Mais la réaction des élèves lui rassure de leur compréhension de ce qu'il attend d'eux. Comme Illian qui dit à 5mn17s: « ils peuvent se suivre à l'envers ? » ; « par exemple 9-87 ? » ; à 5mn48s « hein ! Ils peuvent être pareils ? Hé non c'est bon... ». Alors on voit l'enseignant après ce moment donner la première tâche à 6mn07s : «alors il faut trois nombres qui se suivent pour un total de 96. Allez c'est parti vous pouvez chercher vous notez sur la feuille ! Tout ce que vous pensez vous essayez de me l'écrire c'est parti ! ».

Après 15mn de travail l'enseignant décide de faire verbaliser les élèves pour découvrir la technologie avancée par les élèves. On voit bien que le travail ou la production raisonnée des élèves conditionne la compréhension par l'enseignant des techniques utilisées par ces derniers. Il désigne ainsi Sara qui doit dire comment elle a fait pour avoir la réponse et Sara répond à 16mn09s: « j'ai d'abord pris dans les vingt 24+25+26 = 75 ; après j'ai pris dans les trente c'était trop petit après j'ai fait 30+31+32 = 93 ensuite j'ai fait 33+34+35 =102 ; j'ai vu que c'était trop alors j'ai pris 31+32+33 = 96, j'ai vu que c'était la bonne réponse. ».

L'enseignant va du petit nombre au plus grand nombre lorsqu'il constate que les élèves s'en sortent aisément ! il donne 354(1.b) après 96(1.a), ensuite une liste de nombres (324-645-915-144-273-489-552)(1.b prolongée). Il introduit également à 4mn23s de la séance 2 des nombres qui sont des cas d'impossibilité (141 ; 251 ; 563 ; 414) dans une liste hétérogène après les sommes possibles pour ensuite y faire déduire par les élèves une règle des nombres susceptibles d'être les sommes de trois nombres successifs. Cette tâche, on voit bien, est placée à la suite de la liste homogène des nombres sommes. La raison pratique d'impossibilité ou de possibilité est développée dans la séance 2 à travers la manipulation des nombres donnés.

Nous pouvons rappeler que dans les divers niveaux de co-détermination didactique, il y a ceux qui sont constitués essentiellement des opérations qui organisent les différents « lieux » qu'occupent les acteurs de la relation didactique et le résultat inhérent à ces opérations dont l'ensemble est appelé topogénèse. Dans ce jeu tout indiqué nous voyons comment l'enseignant manipule son lieu en changeant les tâches : de la plus simple aux tâches plus complexes (grands nombres et nombres impossibles), en régulant quand cela est nécessaire, faire une mise au net (instituer) avec les élèves en introduisant des éléments qui font exception à la règle pour apporter les cas d'impossibilité. ais nous voyons par ailleurs les élèves et ce qui nous intéresse le plus, manipuler également leur lieu ; ils suivent l'enseignant qui définit la tâche à effectuer, ils posent des questions de compréhension pour bien être dans le jeu comme Alexandre qui demande : « on peut les additionner ? » qui est une question dont l'allure d'action est la vérification de l'exactitude des nombres trouvés par une certaine pratique. Ce qui se montre comme un refus du hors sujet, ils utilisent leur savoir-faire devant les tâches que leur donne l'enseignant ils font appel à leur connaissances d'appui pour attaquer le type de tâche proposée. Ils s'engagent réellement dans le jeu au moyen de leurs pratiques pour y découvrir le résultat attendu. Exemple à 1.b, un élève chuchote pour trouver la suite qui donne 54 après avoir posé 100+100+100 =300 « non c'est trop il faut diminuer un peu !». Cette communication avec soi où l'élève met son potentiel culturel ou ses ressources intérieures en mouvement relève d'une pratique ou technique en construction. C'est également un lieu d'utilisation des concepts nouveaux « compensation », « nombre du milieu ou moyen », « avant » ou « après ».

Rappelons que la compensation s'emploie lorsqu'on obtient trois fois le nombre du milieu ou moyen par l'usage de la division. Appliquer -1 sur l'un des trois nombres permet d'avoir le nombre avant et +1 sur l'un des autres permet de trouver le nombre après. C'est également le lieu de la comparaison libre et individuelle des techniques utilisées. Exemple d'Illian : « j'ai fait essai-erreur ; j'ai fait comme Sara mais j'ai fait 30 x3 = 90 ; 3+2+1 ça fait 6 et j'ai fait 3+30 =33 ; 2+30 =32 ; 30+1 =31 ».

Dans ce jeu de recherche des nombres qui se suivent connaissant une somme multiple ou non de 3, les clés (techniques) utilisées par le professeur semblent ne plus être la seule propriété de celui qui sait avant les élèves, mais une propriété désormais

bien partagée ; telle est le principe de la mésogénèse. Ainsi au niveau des mots actions du discours l'enseignant s'en sert pour les besoins de communication.

A l'entendement de la classe trois moments fixent la technique ₃ vers laquelle l'enseignant et la majorité des élèves y vont :

Notre prospection aux voisinages des praxeologies des élèves est une action qui impose un esprit assez souvent méticuleux pour regarder au détail les éléments constitutifs de chaque pratique. Nous estimons l'avoir eu tout au long de celle-ci. L'analyse établie à la séance 1 sur le travail individuel à travers la feuille de recherche et les moments de mise au net sinon lors de la verbalisation, laisse entrevoir toujours une manière de faire soutenue par une technologie émergente comme l'a indiqué Y. Chevallard (1998). La mise au net a souvent été un moment au cours duquel les éléments constitutifs d'une technologie en construction permettaient aux autres élèves soit de changer complètement leur pratique soit d'offrir un élément suffisant pour parachever une pratique dont les élans étaient bien amorces, ou simplement de confirmer la voie choisie. Une pratique qui consiste à trouver un nombre moyen et réaliser une compensation de -1 pris sur l'un des trois nombres identique et ajouter +1 sur l'autre la technique qui se rapproche le plus de ₃ définie a priori : « division du nombre somme ( ) par 3 pour trouver le deuxieme nombre dans cette suite. Et successivement, on retranche 1sur le deuxième pour trouver le premier et on ajouter 1 au deuxième pour obtenir le troisième ».

ais dans ces différentes manières de faire l'appui a été la mémoire ; car certains élèves et nous l'avons déjà dit soit changent de façon de faire parce qu'une phase de mise au net leur a permis de retenir comment faire ou de maintenir la pratique qui a justifié la voie de la réponse ce que mettent en évidence Mathéron & Salin (2002). L'appui c'est également l'usage des ostensifs comme l'emploi des flèches pour expliquer la transaction de la compensation que certains élèves utilisent soit à l'écrit soit mentalement pour les deux autres nombres à partir du nombre moyen trouvé par division comme l'indiquent Bosch et Chevallard (1999). Si l'ostensif ?

flèche » est bien ce qui donne du sens à une action mais l'idée de compenser est une opération qui trouve une place importante dans le siège mental et qui justifie des réponses données après la division.

A partir de ces trois phénomènes (façon de faire, ostensifs et mémoire), nous affirmons que l'hypothèse est confirmée. Cependant nous indiquons qu'il est possible que des évènements nous aient échappés en raison de notre dispositif qui ne pouvait permettre au même temps T d'enregistrer les pratiques de tous les élèves ! Nous imaginons qu'après notre passage avec la camera baladée il se construisait d'importants éléments que nous aurions pu examiner également !

Conclusion

Nous avons vu que les pratiques mathématiques exigent une utilisation des techniques de résolution de problèmes mathématiques pour agir sur les tâches de même type comme pour le problème qui a bien porté sur la recherche de trois nombres dont la somme est donnée au départ. Nous avons fait une analyse a priori pour voir les emplois possibles.

Savoir « en quoi le milieu de résolution de problème en mathématique est un lieu de production de techniques variées ? » est plus que le souci de voir dans les pratiques des élèves les éléments qui leur permettent de mettre en place une façon de faire avec des ostensifs personnels aidant à résoudre la situation problème présentée par l'Enseignant et la mémoire.

Nous avons défini une méthodologie centrée sur l'observation de la leçon au moyen des transcriptions (vidéo) de l'interaction dans l'action conjointe du professeur et des élèves et des copies des élèves.

Cette observation nous a présenté les éléments constitutifs des techniques utilisées dans ce milieu de résolution de problème pour le savoir mathématique choisi. Ils oscillent non seulement autour des opérations traditionnelles (division, multiplication, addition et soustraction) mais aussi autour des ostensifs et de la mémoire pour attaquer les tâches de même type. Bien que les manières de faire étaient différentes au début de la première séance, mais les mouvements de communication ou de validation créés par l'enseignant ont offert des occasions de regroupement des élèves autour des mêmes pratiques :

de la classe attaquent la deuxième séance avec la technique ₃ (16élèves) de la classe utilise lui, la technique 5.

Nous pouvons à travers ces différentes raisons affirmer la confirmation de notre hypothèse.

Des lectures exploratoires nous ont fourni d'importants éléments pour construire le cadre théorique qui nous a permis certes d'y retirer la substance nécessaire à l'analyse des données, mais peut-on penser que la caractérisation des techniques des élèves dans un processus de résolution de situation problème ne se limite qu'à ces aspects visibles ?

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