Modélisation spatiale hiérarchique bayésienne de l'apparentement génétique et de l'héritabilité en milieu naturel à l'aide de marqueurs moléculaires

1. modèle des données (phénotype et IBS)

ðY _|u,a,ó2å(Y |u, a, ó²_å) = ₁₁ⁿ N (u + ai, ó²_åId) (2.3)

i=1

ðIBS|0(IBS|Ä) =

11^C c=1

L 9 11 EP(IBS^lj,c|IBD^li,c)Äi,c} (2.4) l=1 i=1

pour j = 1, . . . , 9 et Id la matrice identité. Ce premier niveau exprime le fait d'une part que conditionnellement aux effets génétiques additifs, les phénotypes sont indépendants et d'autre part que les phénotypes et les IBS sont indépendants.

2. modèle du processus

ða|ó^2a,R(a|ó^2a, R) = Nn(0,ó^2aR)			(2.5)	3. modèle des paramètres ð0(Ä) = 11^C ðÄc(Äc) = 11^C D(u1, . . c=1 c=1 ðu(u) = N(0, ó^2u)
. , u9)	(2.6) (2.7)
ðóa(ó^2a) = IG(ma, sa)			(2.8)
ðó^2å(ó^2å) = IG(må, så)			(2.9)

Nous supposons donc a priori que les Ä sont indépendants entre individus et tous tirés selon la même loi de Dirichlet oil les paramètres u sont fixés. De plus, nous supposons que les paramètres Ä, u, ó²_a et ó²_å sont indépendants. Enfin, IG désigne une loi inverse Gamma oil les paramètres m_. et s. sont fixés.

2.4.2 Lois a posteriori des paramètres

La densité de la loi jointe a posteriori des paramètres du modèle est
ða,0,u,óa,cl|y,IBS (a, Ä, u, ó_a, ó_å|y, IBS) ? ðy|u,a,ó1 (y|u, a, ó_å)ðIBS|Ä(IBS|Ä)

2 2

ða|óa,R(a|ó_a, R)ð0 (Ä)ð_u(u)ð_óa(ó_a)ð4 (ó_å).

La densité de la loi conditionnelle complète a posteriori de chacun des paramètres est déduite de la densité de la loi jointe a posteriori en considérant cette dernière comme une fonction du paramètre qui nous intéresse, les données et les autres paramètres étant fixés (Sorensen et Gianola, 2007).

La densité de la loi conditionnelle complète a posteriori du vecteur des effets génétiques est

ða|y,IBS,R,u,óa,4 (a| y, IBS, R, u, ó,!, óå2 \

) ? ðy|u,a,ó1 (y|u, a, óå)ða|óa,R(a|ó_a, R)

~ ~

? ~ó2 _-(y - u - a)⁰ (y - u - a)

~-n/2 exp ×

å 2ó2 å

~ ~

(det(ó²_aR))^-1/2 exp - 12 a'R-1a

2ó_a

? (ó_å²1^n/2 (det (óa2R)) -1/2 × ~

~

_-(y - u - a)⁰ (y - u - a) - 1

exp a⁰R^-1a .

2ó² 2ó²

å a

En développant cette dernière expression, on peut montrer que a|y, IBS, A, u,ó²_a, ó²_å ~ N(ua|y, Óa|y)

avec

ua|y = óå 2Óa|y(y - u)

et

~ 2

óa ) -1

å _R-1

Óa|y = ó_å I + 2

- La densité de la loi conditionnelle complète a posteriori du vecteur A des probabilités d'IBD est

ðA|y,IBS,a,óa(A|y, IBS, a, ó²_a) ? ðIBS|A(IBS|A)ða|óa,R(a|ó²_a, R)ðA(A)

? ðIBS|A(IBS|A)ða|óa,R(a|ó²_a, R)

? ₁₁^C ₁₁^L

c=1 l=1

9

E P(IBS^lj,_c|IBD^li,_c)Äi,c ×

i=7

~

(det(óa2R)) ^1/2 exp- ¹ a'R-1a) 2ó²_a pour j = 1, . . . , 9.

- En faisant le même raisonnement que pour a, la densité de la loi conditionnelle complète a posteriori de la moyenne u est

ó2 ó

ðu|y,a4(u|y, a, ó) = N { (Id + å )

(y ? a), ó (Id + _ó:

u u

La densité de la loi conditionnelle complète a posteriori de la variance génétique additive est

ðó2 _{a|a,R,ma,sa(ó2 a}|a, R, m_a, s_a) ? ða|ó² a,R,ma,sa(a|ó2 _a, R, m_a, s_a)ð_ó2 _a(ó² _a)

~

_sma
a

? (det(óa2R)) ^1/2 exp 2a' R^-1 a) × ó²_a

(ma)(ó2a)-(ma+1) exp(-sa/ó2a)

~

?

~_ó2 ~-n/2 (ó2 _-a⁰R^-1a + 2s_a

a)-(ma+1) exp

a 2ó2

a

? (ó2)-( n+2₂ ma +1) ( a^fR^-1a + 2s_a

exp

2ó_a²

oil est la fonction gamma, Nous reconnaissons, dans cette dernière expression, une loi inverse-gamma de paramètres

ma|y =

n 2 + ma

et

sa|y =

al R-1a

2 + s_a.

- En procédant de la même manière, on obtient la densité de la loi conditionnelle a posteriori complète de ó²_e qui est une inverse-gamma de paramètres

må |y =

n + må 2

et

(P - u - a)'(P - u - a)

så|y = 2 + s_å.