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Modélisation spatiale hiérarchique bayésienne de l'apparentement génétique et de l'héritabilité en milieu naturel à  l'aide de marqueurs moléculaires


par Ciré Elimane SALL
Université Montpellier II - Doctorat 2009
  

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3.2 Algorithmes d'estimation des paramètres

3.2.1 Version bayésienne du modèle de Milligan

La version bayésienne du modèle de Milligan a été présentée dans la définition 4 et la figure 3.1 présente le graphe orienté acyclique du modèle. Dans la version bayésienne du modèle, les paramètres d'intérêt sont, les probabilités d'IBD, Ä et le vecteur latent des modes d'IBD, IBD. D'un point de vue bayésien, l'objectif est de pouvoir simuler selon la loi a posteriori

ðÄ,IBD|IBS(Ä, IBD|IBS)

Cela est possible en utilisant un algorithme de Gibbs. En effet, la loi a posteriori du vecteur des probabilités d'identité par états est

ðÄ|IBD,IBS(Ä|IBD, IBS) ? ðIBS|IBD(IBS|IBD)ðIBD|Ä(IBD|Ä)ðÄ(Ä)

Comme, la loi du mode d'IBS conditionnellement au mode d'IBD est indépendante de Ä,

ðÄ|IBD,IBS(Ä|IBD, IBS) ? ðIBD|Ä(IBD|Ä)ðÄ(Ä)

La loi du mode d'identité par états, IBD est

ðIBD|Ä(IBD|Ä) = 11L ðIBDl|Ä(IBDl|Ä)

l=1

oil ðIBDl|Ä(IBDl|Ä) est une loi multinomiale de paramètres Ä1, . . . , Ä9. De plus, nous avons supposé que la loi a priori de Ä était une loi de Dirichlet. Comme la loi de Dirichlet est la conjuguée naturelle de la loi multinomiale (Robert, 1992), la loi a posteriori ðÄ|IBD(Ä|IBD) est donc une loi de Dirichlet

D(#IBD1 + á, #IBD2 + á, . . . , #IBD9 + á).

oil #IBDi = ELl=1 1lIBDl=IBDl idésigne le nombre total de locus sur l'ensemble des différents loci de type IBDi,i = 1, . . . , 9.

La loi a posteriori de IBD sachant IBS et Ä est une loi discrète qui est entièrement définie par les probabilités a posteriori. Pour un locus l,

pli = P(IBDli|Ä,IBS) j

P(IBSlj|IBDli)Äi

= Ei9 1 P(IBSlj|IBDli)Äi ? {1,

pour i = 1, . . . , 9 et donc

ðIBDl|Ä,IBSl(IBDl|Ä, IBSl) = M(1, pl 1,pl 2,. . . ,pl9).

Ainsi, la loi a posteriori ðÄ,IBD|IBS(Ä,IBD|IBS) peut être simulée avec l'algorithme d'échantillonnage de Gibbs (Algorithme 3)

Algorithme 3 Algorithme de Gibbs pour l'apparentement

générer Ä0 ~ D(1,1,1) à l'étape t, générer

IBDl,t+1 ~ M(1, Äl,t 1 ,Äl2 ,t , . . . , Äl,t

9 ), l = 1, . . . , L

Ät+1 ~ D(#IBDt1 +1 + á, #IBDt+1

2 + á, . . . , #IBDt+1

9 + á)

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