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Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

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par Smail Yousfi
Université Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou, Algérie - Magister 2007
  

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MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI DE TIZI OUZOU

FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

MEMOIRE DE MAGISTER

SPECIALITE: MATHEMATIQUES
OPTION: PROBABILITES ET STATISTIQUES

Présenté par: Yousfi Smail

Sujet:

ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES DE DENSITES DE PROBABILITE ESTIMEES

PAR LA METHODE DU NOYAU

Devant le jury d'examen compose de:

M.Hocine Fellag

Proffesseur

U.M.M.T.O

Président

M.Berkoun Youcef

Chargé de recherche

U.M.M.T.O

Examinateur

M.Boumaza Rachid

Maître de conférences

I.N.H., ANGERS

Rapporteur

M.Ibazizen Mohamed

Maître de conférences

U.M.M.T.O

Examinateur

M.Yousfate Abderrahmane

Maître de conférences

U.D.L.S.B.A

Examinateur

Soutenu le / /

A la mémoire de mes grands parents

Remerciements

Au terme de ce modeste travail, je tiens a exprimer ma sincere gratitude envers M.BOUMAZA Rachid, pour m'avoir accordé l'honneur d'assurer la direction de ce mémoire. Je le remercie pour ces conseils précieux, ses critiques, ses orientations et pour sa grande contribution a l'aboutissement de ce projet.

Je remercie M.FELLAG Hocine, M.IBAZIZEN Mohamed et M.BERKOUN Youcef pour avoir accepté d'être membres de mon jury. Je remercie également M.YOUSFATE Abderrahmane qui ma fait l'honneur de rejoindre la composition du jury.

Parmi les personnes qui mon aidé, je tiens a remercier chaleureusement

M.BOUDIBA Mohand Arezki et M.MORSLI Mohammed qui ont participé a la mise au point de certains passages dans ce mémoire.

Je remercie également mes amis, qui m'ont porté une affection sans faille. Enfin, et surtout, je pense a ma précieuse famille a qui j'ai volé tant de bons moments...

Table des matières

1

Notations

Introduction

ACP fonctionnelle de densités de probabilité

1.1 Introduction

4

5

10

10

 

1.2

Rappel sur l'analyse en composantes principales d'un opérateur

11

 
 

1.2.1

Condition d'existence de l'ACP "pas a pas"

12

 
 

1.2.2

ACP totale d'un opérateur compact

13

 

1.3

ACP de densités de probabilité

14

 
 

1.3.1

Introduction

14

 
 

1.3.2

Affinité L2 entre deux densités de probabilités

14

 
 

1.3.3

Définition de l'ACP de densités

15

 
 

1.3.4

Formule de reconstitution des densités de probabilités

17

 
 

1.3.5

Qualité Globale de l'ACP

17

 
 

1.3.6

Qualité de représentation de ft suivant gj

17

 
 

1.3.7

ACP normée

18

 
 

1.3.8

ACP centrée

18

2

Estimation de l'ACP de densités de probabilité

21

 

2.1

Introduction

21

 

2.2

Rappel sur l'estimation d'une densité par la méthode du noyau

22

 
 

2.2.1

Choix du noyau et de la fenêtre de lissage

24

 
 

2.2.2

Application a l'estimation par noyau de l'affinité L2

31

 
 

2.3

ACP de densités estimées par la méthode du noyau

2.3.1 Cas général

33
33

 
 

2.3.2 Exemples

33

 
 

2.3.3 Approche de Kneip et Utikal

36

 
 

2.3.4 Application de l'approche d'estimation de Kneip and Utikal a une ACP

 
 
 

estimée non centrée et non normée

38

 

2.4

ACP de densités estimées paramétriquement

41

 
 

2.4.1 Cas de données gaussiennes multidimensionnelles

41

 
 

2.4.2 ACP paramétrique de densités de Gumbel unidimensionnel

44

 

2.5

Comparaison entre l'approche paramétrique et non paramétrique

46

3

Influence du noyau sur l'ACP de densités estimées

49

 

3.1

Introduction

49

 

3.2

Cas des fenêtres AMISE

51

 

3.3

Cas d'égalité des AMISE

56

 

3.4

Conclusion

62

4

Influence et choix de la fenêtre de lissage

63

 

4.1

introduction

63

 

4.2

Influence de la fenêtre de lissage

63

 

4.3

Choix de la fenêtre de lissage

72

 

Conclusion

81

 

Bibliographie

84

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