b. Tester la robustesse par dichotomie
L'exploitation du surclassement par les algorithmes
d'Electre III et Tri aboutit à un préordre partiel, combinaison
de deux préordres complets : l'un est construit en commençant par
l'affectation des meilleures actions en descendant vers les moins performantes,
et l'autre procède par l'affectation des actions qui sont au bas de
l'échelle en remontant vers les plus performantes. C'est le même
raisonnement que l'on retrouve aussi bien dans Electre III, à travers
les distillations descendante et ascendante, que dans Electre Tri, à
travers les affectations pessimiste et optimiste.
Si ces deux préordres intermédiaires
convergent, alors le préordre médian qui en résulte est
complet. En revanche, si leur divergence est importante, alors le nombre
d'actions incomparables est trop élevé, auquel cas une analyse
plus poussée doit être envisagée. De ce fait, le
regroupement des deux préordres permet d'estimer la stabilité du
modèle : c'est dans une certaine mesure une sorte de test de robustesse.
Il est essentiel de déterminer les paramètres susceptibles de
provoquer une telle divergence. Il suffit que la valeur d'un poids ou d'un
seuil franchisse une certaine limite pour que l'un des préordres partiel
ou médian bascule.
Il faut donc tester la robustesse des
résultats, c'est-à-dire identifier les intervalles à
l'intérieur desquels ðj,
qj et pj peuvent varier sans que l'action ai change
de position. En parallèle, il faut tester la stabilité du
modèle, à savoir déterminer les intervalles de
validité des niveaux de coupe (pour Electre Tri) et des seuils de
discrimination (pour Electre III).
A première vue, cette démarche semble
fastidieuse étant donné le nombre de paramètres à
faire varier. C'est pourquoi nous avons mis en place un algorithme
itératif permettant d'automatiser la recherche de ces différents
intervalles (il s'agit de l'un des principaux apports de l'outil
proposé). Une fonction a été créée dans le
menu « Electre » de la barre d'outil d'Excel. Elle propose, au niveau
de chaque paramètre, un domaine de variation au sein duquel les
résultats du benchmarking ou du rating restent stables. La recherche de
ces intervalles procède par dichotomie et s'inspire de l'étude
« Une solution informatisée à l'analyse de
sensibilité d'Electre III » (Ben Mena [2001]).
Pour chaque paramètre, l'algorithme commence
par rechercher une valeur critique maximale en dessous de laquelle le
résultat final ne subit aucun changement et audessus de laquelle il
devient sensible à la variation du paramètre testé. A cet
effet, une variable d'incrémentation est définie. La plus grande
valeur qu'elle puisse raisonnablement prendre lui est attribuée et
additionnée à la valeur initiale du paramètre auquel elle
se rapporte.
Les algorithmes d'Electre sont alors lancés et
aboutissent à un préordre partiel ou médian qui est
immédiatement comparé, action par action, aux préordres
initiaux. Si la moindre différence venait à se glisser dans ce
nouveau classement, la variable d'incrémentation est divisée par
2 puis soustraite à la dernière valeur du paramètre
testé. Autrement, il faut diviser la variable d'incrémentation
par 2 et l'additionner à la dernière valeur du paramètre
testé, en veillant à ce qu'elle ne dépasse pas la valeur
définie comme borne supérieure au préalable.
La procédure Electre est relancée pour
une nouvelle comparaison et ainsi de suite, jusqu'à ce que la variable
d'incrémentation soit inférieure au millième de la valeur
initiale du paramètre. Dans ce cas, la dernière valeur du
paramètre est enregistrée comme valeur maximale critique (cf.
encadré 45, côté droit).
Il s'agit ensuite de procéder par analogie,
à la recherche de la valeur critique minimale, au-dessus de laquelle le
résultat final ne subit aucun changement et en dessous de laquelle il
devient sensible à la variation du paramètre testé. La
seule différence est que l'on commence par soustraire la variable
d'incrémentation à la valeur initiale du
paramètre.
Après l'exécution des algorithmes
d'Electre, si la moindre différence apparaît entre les
préordres initiaux et en cours, la variable d'incrémentation est
divisée par 2 et additionnée à la dernière valeur
du paramètre testé. Autrement, elle est divisée par 2 et
soustraite à la dernière valeur du paramètre, tout en
vérifiant qu'elle ne passe pas en dessous de la borne inférieure
définie au préalable (cf. encadré 45,
côté gauche).
Encadré 45 : Recherche par dichotomie des
domaines de stabilité du modèle
Recherche de la valeur critique maximale.
Recherche
de la valeur critique minimale.
Dans le cadre de notre application empirique, la
robustesse des résultats issus du benchmarking sera testée sur
l'intervalle [0 ; 2ðj] pour les
poids, [0 ; h
p j ] pour les seuils
d'indifférence, et [
h
qj ; Max{|eij -
bhj|}] pour les seuils de préférence. La
stabilité du modèle sera testée sur l'intervalle [0 ; 1]
pour le niveau de coupe (rappelons que par définition 0 =
ë = 1).
De même, la robustesse du rating sera
testée sur l'intervalle [0 ;
2ðj] pour les poids, [0 ;
pj] pour les seuils d'indifférence, et [qj ;
Max{|eij - ekj|}] pour les seuils de
préférence. La stabilité du modèle sera
testée sur l'intervalle [-â ; 0] pour
á et [-á ; 0]
pour â qui sont les deux composantes du seuil
de discrimination (rappelons que
s(ë) =
á ë + â,
avec -1 < á < 0, 0 <
â < 1 et |á
| < |â | ).
|
Méthode
|
Test
|
Paramètre testé
|
Domaine de variation
|
|
Benchmarking
(Electre Tri)
|
Robustesse des
résultats
|
ðj
|
[0 ;
2ðj]
|
|
h
qj
|
[0 ; h
pj ]
|
|
h
p j
|
[ h
qj ; Max{|eij -
bhj|}]
|
|
Stabilité du
modèle
|
ë
|
[0 ; 1]
|
|
Rating
(Electre III)
|
Robustesse des
résultats
|
ðj
|
[0 ;
2ðj]
|
|
qj
|
[0 ; pj]
|
|
pj
|
[qj ; Max{|eij -
ekj|}]
|
|
Stabilité du
modèle
|
á
|
[-â ; 0]
|
|
â
|
[-á ; 0]
|
| 
