Evaluation des fonctions usuelles sur des variables complexes: algorithmisation des calculs et programmation

I. 2. Définition de C

I. 2. 1. Définition : On munit l'ensemble IR2 des deux lois suivantes :

Proposition

Muni de ces deux lois, IR² possède une structure de Corps. Plus précisément :

Le neutre pour la loi + est

L'opposé de est

Le neutre pour la loi (le produit) est

Pour tout non nul, l'inverse de z est

Définition : On note C l'ensemble IR² muni des deux lois précédentes. Ses éléments sont appelés nombres complexes.

Proposition :

L'ensemble est un sous - corps de C. L'application est un isomorphisme de corps IR sur IK.

Conséquence

De cette manière apparaît comme un sous - corps de. Cet isomorphisme permet d'identifier le complexe avec le réel.

I. 2. 2. Notation cartésienne

Dans le corps, on note i =. Pour tout de C, on constate que. Avec l'identification de IR avec un Sous - Corps de C, on peut écrire . On a ainsi obtenu la notation cartésienne (ou algébrique) des nombres complexes.

Définitions : Pour tout z de C, il existe un couple unique de IR² tel que. Le réel x est appelé partie réelle de z et est noté Re(z), le réel y est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z).

Un nombre complexe est dit réel si Im(z) = 0, z est dit imaginaire pur si Re(z) = 0, c'est-à-dire si z = i y, avec y réel.

Remarques

· Soient et deux nombres complexes, avec. Les lois de C s'écrivent maintenant :

· (On identifie les parties réelles et les parties imaginaires)

En particulier : (attention à vérifier que x et y sont réels)

Puissance du nombre i

On constate que i²= -1. Donc. En fait, . Plus généralement i³= - i et i⁴= 1. Le Sous - Groupe engendré par i est cyclique d'ordre 4 :

Remarque

Si est un complexe non réel, alors on peut encore effectuer l'identification suivante :

I. 2. 3. Conjugaison

Définition : Soit (x et y réels) un nombre complexe quelconque. Le nombre complexe est appelé le conjugué de z. On nomme conjugaison l'application de C dans C définie par.

Proposition : La conjugaison est un automorphisme involutif du corps (C,+,?). Cela signifie que :

·

· Propriétés

· Pour tous complexes ,

· Pour tout z complexe :

· z est réel

· z est imaginaire pur

I. 2. 4. Module

Définition : Soit un nombre complexe quelconque. On appelle module de z la quantité notée égale à .

Remarques :

On constate que (utile pour se « débarrasser » du module).

En particulier, si z est non nul, l'inverse de z est.

Si z est réel, le module de z est égal à sa valeur absolue. Les notations (valeur absolue ou module) sont donc compatibles.

Propriétés :

L'application « module » vérifie les propriétés suivantes :

Pour tous de C² :

· . Si z est non nul,

· . Il y a égalité

· . Si

Conséquence : (C,) est un espace normé.

· · Généralisation :

Pour tous complexes

En particulier,

On a les z_k sont produits de l'un d'entre eux par des réels positifs.

Proposition

L'ensemble U des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de Pour tout z de U,

Proposition (Distance dans C)

Soit d l'application C x C vers IR, définie par :

d est une distance sur C, ce qui signifie qu'elle vérifie les propriétés suivantes :

Pour tous nombres complexes u, v et w :

· · · (Inégalité triangulaire)