Memoire Online - Introduction aux valuations

Université Chouaib Doukkali
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
et d'Informatique
El Jadida

Présenté par : Abdelhak BELKHADIR
Pour l'obtention du diplôme de Master
Option : Mathématiques Fondamentales

- Prof. Mostafa ALAOUI ABDALLAOUI ; - Prof. Abdelfattah HAÏLY ; - Prof. Jaafar LAHRACHE .

Remerciements

Je tiens à exprimer mes remerciements et ma profonde gratitude à mon professeur encadrant, Mr. Ahmed Serhir, qui n'a épargné aucun effort pour que ce travail prenne forme. Je le remercie pour l'attention particulière qu'il a portée à ce travail et de la confiance qu'il m'a accordée tout au long de ce parcours.

Une partie de ma formation Mathématique doit aux Professeurs M. Abdallaoui Alaoui, A. Haïly et J. Lahrache. Etant honoré par leur intérêt à ce mémoire et leur participation à son jury; je saisis l'occasion pour leur adresser mes vifs remerciements.

Mes remerciements vont, également, au corps enseignant des mathématiques à la faculté des sciences d'El Jadida auprès duquel je n'ai jamais cessé d'apprendre. Enfin, je remercie mes collègues d'études, et mes collègues de travail pour leur soutien, et tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à la réalisation de ce travail.

Table des matières

Introduction 1 Les nombres p-adiques			1 4
	1.1	L'anneau des entiers p-adiques	4
	1.2	La valuation p-adique	6
	1.3	Réduction mod p	7
	1.4	Le corps Q_p des nombres p-adiques	9
2	Valuations sur les corps		12
	2.1	Anneaux de valuations	12
	2.2	Valuation	16
	2.3	Hauteur d'une valuation	20
	2.4	Prolongement d'une valuation	24
	2.5	Complété d'un corps pour une valuation	26
		2.5.1 Corps normés	26
		2.5.2 Normes ultramétriques et valuations	30
		2.5.3 Extensions de corps valués complets	32
3	Valuations sur les anneaux non commutatifs		34
	3.1	Anneau de valuation d'un anneau à division	34
	3.2	Valuation discrète (non commutative)	42
	3.3	Valuations sur les algèbres à division de dimensions finies	45
	3.4	Valuations sur les algèbres à involution	48
		3.4.1 Normes et jauges sur les espaces vectoriels	49
		3.4.2 Jauges spéciales	52
		3.4.3 Jauges sur les produits tensoriels	55

Introduction

La notion de place d'un corps K , notion qui est équivalente à la notion de valuation de K , a été introduite par Dedekind et Weber en 1882. Pour étudier les courbes algébriques planes et trouver une version algébrique des constructions de Riemann qui évite en particulier toute considération topologique, ils définissent les places de K.

A la suite des travaux de Dedekind et Weber, Hensel développe la théorie des nombres p-adiques qui permet d'associer à tout élément de K une «série p-adique». En 1913 Kürschak définit la notion de valeur absolue, et en particulier de valeur absolue ultramétrique, généralisant ainsi la valeur absolue p-adique. Et c'est Krull qui définit et étudie la notion générale de valuation en 1931.

Les premiers travaux sur les places, et par conséquent sur les valuations se trouvent ainsi dans le domaine de l'arithmétique (Ostrowski, Deuring).

Les valuations ont aussi joué un rôle très important en géométrie algébrique, en particulier avec les travaux de Zariski, puis d'Abhyankar. Leur étude était motivée par le problème de la résolution des singularités.

Il existe aussi un côté non commutatif du sujet, dans l'étude des valuations et des anneaux de valuations sur les algèbres à division. Cet aspect ne s'est épanouie que dans les vingt dernières années. Et il n'est pas aussi bien connu que sa contrepartie commutative. La première utilisation des valuations dans les anneaux à division non commutatifs était par Hasse en 1931. Dans les années 40 et 50 il y avait un peu plus de travail avec les valuations sur les algèbres à division sur des corps complets pour des valuations discrètes . Il y avait aussi des discussions sur les valuations dans les algèbres à division dans les travaux de Schilling, observant surtout, que quelques résultats sur les valuations restent valables sans supposer que l'anneau à

division soit commutatif. On peut dire qu'il y avait peu de souci aux valuations sur les algèbres à division, il n'a pas été clair ce qu'il falait prendre comme définition pour une valuation sur un anneau à division, puisque les notions de valuation et d'anneau de valuation ne sont pas équivalentes dans le cas non commutatif.

Il a fallu attendre la fin des années 1970 et les années 1980 que la théorie des valuations sur les algèbres à division commença à se développer considérablement. Cela était dû en grande partie à la prise de conscience que certaines constructions principales de contre-exemples pourrait être mieux comprise en utilisant la théorie des valuations. On a commencé à reconnaitre que , tant que les valuations sur les algèbres à division pourraient être relativement rares, quand une valuation est présente, elle peut être souvent utilisée pour obtenir des informations arithmétiques plus détaillées sur un anneau à division que par d'autres moyens.

L'objectif de ce mémoire est de faire une synthèse des travaux sur les valuations en général, dans les limites imposées que ce soit par la durée consacrée à la préparation du travail ou par la rareté des références qui traitent le sujet.

Dans le premier chapitre nous avons présenté les nombres p-adiques qui étaient l'un des objets qui ont déclenché le développement de la théorie des valuations. Le deuxième chapitre est consacré aux valuations sur les corps commutatifs. Alors que dans le troisième chapitre, nous avons a essayé de présenter une des généralisations de la notion d'anneaux de valuation au cas non commutatif à savoir : les anneaux de valuation invariants, dans le sens qu'ils possèdent des propriétés analogues au cas commutatif. Certes, les valuations jouent un rôle primordial dans le développement des anneaux à divisions non commutatifs. Cependant, elles ne sont définies que sur les algèbres à division et non pas sur les algèbres simples centrales avec des diviseurs de zéro. Il a falu introduire un nouvel outil plus flexible appelé jauge [9, Intr.]. Les jauges sont des pseudo-valuations définies sur des algèbres semi-simples de dimensions finies sur un corps valué.