Introduction aux valuations

1.2 La valuation p-adique

XSoit a = aipⁱ un entier p-adique. Si a * 0 alors il existe un plus petit indice

v = v_p(a) = 0 tel que a_v * 0 . Cet indice s'appelle la valuation p-adique de a . On obtient ainsi une application

v_p : Z_p r{0} ? N.

Proposition 1.2.1. -- L'anneau des entiers p-adique Z_p est intègre.
·

Démonstration. -- L'anneau Z_p est commutatif et non-trivial, il faut montrer qu'il

_{X X}

n'existe pas de diviseurs de zéro. Soient a = aipⁱ et b = bipⁱ deux éléments non

nuls de Z_p et soit v = v_p(a), w = v_p(b) . Alors a_v ( resp. b_w) est le plus petit coéfficient non nul de a (resp. b). Comme p ne divise ni a_v ni b_w il ne divisera pas _avbw non plus. Par la définition de la multiplication, le premier coéfficient non nul de ab est le coéfficient _cv+w de p^v+w et ce coéfficient est donné par

0 < cv+w < p, cv+w = avbw mod p.

Ainsi ab * 0 et Z_p est bien un anneau intègre.

Corollaire 1.2.1. -- La valuation p-adique v_p : Z_p r {0} ? N satisfait les propriétés suivantes :

1. v_p(ab) = v_p(a) + v_p(b);

2. v_p(a+b) = min(v_p(a),v_p(b)). si a,b et a +b sont tous non nuls.
·

On étend la valuation p-adique à Z_p tout entier en posant v_p(0) = 8 . Ainsi définie, l'application de valuation v_p : Z_p ? N satisfait les propriétés énoncées au corollaire.

1.3. RÉDUCTION MOD P

1.3 Réduction mod p

Soit F_p = Z/pZ le corps fini à p éléments. L'application

Ea = aipⁱ H a0 mod p

i>_0

définit un homomorphisme d'anneaux e : Z_p - F_p appelé réduction mod p . La réduction est clairement surjective et son noyau est

{ } kere = a E Zp|a0 = 0 =

{ E i>_1

aip^i

? ??? ???

=

{pE j>_0

aj+1p^j

? ???? ? ???

= pZp.

Ainsi on a

Z_p/pZ_p = F_p

Comme Z/pZ = F_p est un corps, pZ_p est un idéal maximal de l'anneau Z_p .

Proposition 1.3.1. -- Le groupe Z_p^x des éléments inversibles de l'anneau Z_p est formé des entiers p-adiques de valuation nulle, autrement dit

Zx p

{ } = a E Zp|vp(a) = 0 =

{ E i>_0

? ?? aip^i|a0 * 0 ? ? ??

.

Démonstration. -- Si un entier p-adique a est inversible alors e(a) doit l'être également

dans Fp , ce qui montre l'inclusion Zx p c

{ E i>_0

? ?? aip^i|a0 * 0 ? ???

. Réciproquement, montrons

7 A.Belkhadir

que tout entier p-adique a de valuation nulle est inversible. Dans ce cas sa réduction e(a) E F_p est non nulle et donc est inversible en tant qu'élément du corps F_p . Choisissons 0 < b0 < p tel que _a0b0 -1 mod p . Alors a0b0 = 1 + kp pour un k donné et en écrivant a = a0 + pá , nous obtenons

a.b0 = 1 + kp + páb0 = 1 + pk

pour un entier p-adique k donné. Il nous suffira donc de montrer que l'entier p-adique 1 + kp est inversible car nous savons que

a.b0(1 +kp)^-1 = 1, a^-1 = b0(1 +kp)^-1.

8 A.Belkhadir

1.3. RÉDUCTION MOD P

Autrement dit il suffit de traiter le cas a0 = 1,a = 1 + kp . Observons alors qu'on peut prendre

(1-kp)^-1 = 1-kp+(kp)²-...

qui est clairement un entier p-adique car en chaque degré il y a un nombre fini de

termes et on peut appliquer les règles usuelles d'addition et de multiplication. ci

Corollaire 1.3.1. -- L'anneau des entiers p-adique Z_p est local d'idéal maximal unique pZ_p = Z_p 'Z< _p , et on a

[ Zp ' {0} = k~0

pkZ< p . ·

Corollaire 1.3.2. -- Tout entier p-adique a € Z_p peut être représenté de manière canonique sous la forme a = p^vu, où v = v_p(a) est la valuation p-adique de a et u € Z< p est une unité p-adique.
·

Les propriétés de divisibilité des nombres entiers p-adiques s'expriment très simplement au moyen de la valuation. En particulier, on obtient facilement, à partir de la proposition précédente:

Corollaire 1.3.3. -- L'entier p-adique a est divisible par b si et seulement si v_p(a) ~ v_p(b). En particulier p est le seul élément premier de l'anneau Z_p ( à multiplication par un élément unité près).
·

Ainsi, l'arithmétique de l'anneauZ_p est très simple. Il y a un seul élément premier (à un élément associé près), c'est le nombre p. Tout élément de Z_p est caractérisé par sa valuation et son unité.

Corollaire 1.3.4. -- Un entier rationnel a € Z est inversible dans Z_p si et seulement s'il

a

n'est pas divisible par p . Un quotient d'entiers b € Q est un entier p-adique si et seulement si b n'est pas divisible par p .
·

Proposition 1.3.2. -- L'anneau Z_p est principal. Ses idéaux sont les idéaux principaux {0} et (p^k) avec k € N.
·

9 A.Belkhadir

1.4. LE CORPS QP DES NOMBRES P-ADIQUES

Démonstration. -- Soit I * {0} un idéal de Z_p et a * 0 un élément de valuation minimale, disons k = v_p(a) < 8 . Ecrivons a = p^ku avec u une unité p-adique. Ainsi pk = u-¹a ? I et (p^k) ? I . Réciproquement, soit b ? I et w = v_p(b) = k par la minimalité

de k . Ecrivons b = p^wu^' = p^k.p^w-^ku^' ? (p^k) , ce qui montre que I ? p^kZ_p .

Remarque 1.3.1. -- On a :

{ }

p^kZ_p = x ? Z_p | v_p(x) = k ;

nZp ? pZ_p ? ... ? p^kZ_p ? p^kZ_p = {0}.

k=0