2.4 Prolongement d'une valuation
Soit K un corps et L une extension
de K . Si ii est une valuation de L, la
restriction de ii à K est une valuation v
de K dont le groupe des ordres Fv est un
sous-groupe du groupe des ordres Fii de ii.
De plus l'anneau de valuation V de v est égal à
W n K , où W est l'anneau de valuation de
ii, et W domine V .
Définition 2.4.1. -- Dans la situation
précédente nous disons que la valuation ii
de L prolonge la valuation v de K où que la valuation
ii est un prolongement de v.
·
Si V et W sont deux anneaux de
valuation respectivement de K et de L, où L
est une extension de K , W domine V si et
seulement si V = W n K .
Remarque 2.4.1. -- Pour toute valuation v de K ,
il existe au moins une valuation ii de L qui prolonge
v.
25 A.Belkhadir
2.4. PROLONGEMENT D'UNE VALUATION
Les résultats suivants traitent les extensions
ru et ku
respectivement du groupe des valeurs rv et du
corps résiduel kv d'une valuation v de
K , correspondant à un prolongement u de v
à une extension L de K donnée.
Définition 2.4.2. -- L'indice de ramification
de u par rapport à v est égal à
l'indice du groupe des ordres rv dans
ru :
e(u/v) =
[ru : rv].
Le degré résiduel de u
par rapport à v est égal au degré de
l'extension du corps résiduel kv dans le corps
ku :
f (u/v) =
[ku : kv].
l'indice de ramification
e(u/v) et le degré résiduel
f(u/v) sont des éléments de
N = NU{oo} .
Si L' est une extension de L
et si u' est une valuation de L'
qui prolonge u, alors
'
uprolonge v et nous avons les
égalités :
e(u'/v)
=
e(u'/u)e(u/v)
et f
(u'/v) =
f
(u'/u)f(u/v).
En particulier
e(u'/v),
(resp. f
(u'/v) )
est fini si et seulement si
e(u'/u) et
e(u/v) , (resp.
f(u'/u) et
f(u/v) ) sont finis.
Proposition 2.4.1. -- Si L est une extension finie de
K de degré n nous avons l'inégalité :
e(u/v)
f(u/v) < n.
En particulier l'indice de ramification
e(u/v) et le degré résiduel
f(u/v) sont finis.
·
Démonstration. -- Soient r et
s deux entiers tels que r <
e(u/v) et s < f
(u/v) ; il suffit de montrer que rs < n
. Par hypothèse il existe r éléments
x1,x2,...,xr
de L tels que pour tout i *
j, 1 < i, j <
r , on a u(xi) u(xj)
mod rv . De même il existe s
éléments y1,
y2,..., ys de W
dont les images y1, y2,...,
ys dans ku
sont linéairement indépendants sur kv
. Il suffit de montrer que les rs éléments
xiyk , 1 < i < r et 1 < k < s
, sont indépendants sur K . Supposons que ce n'est pas le
cas et qu'il existe une relation linéaire non triviale entre eux :
(*),ai,kxiyk = 0 , avec
ai,k
E K .
26 A.Belkhadir
2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE
VALUATION
Choisissons un indice
(j,m) tel que pour tout
(i,k) nous avons l'inégalité
u(aj,mxjym) =
u(ai,kxiyk) ; en
particulier aj,m ~ 0. Pour
i ~ j, nous avons l'inégalité
u(aj,mxjym) ~
u(ai,kxiyk) ; en effet, si nous
avions égalité, u(xj)
-u(xi) serait égal à
v(ai,k) -
v(aj,m) car
u(yk) est nul pour tout yk vérifiant
yk ~ 0 et car u prolonge v,
et nous aurions alors u(xj) =
u(xi) mod v , ce qui est
impossible pour i ~ j. En multipliant la
relation (*) ci-dessus par
(aj,mxj)-1
, nous obtenons alors une relation: ,bkyk
+z = 0, avec bk =
aj,k/aj,m
? W nK et z ? max(W) . Nous
obtenons ainsi dans le corps ku =
W/max(W) la relation , bk
yk = 0, avec bm = 1. C'est une
relation non triviale de dépendance li-
néaire sur kv des yk
, ce qui est impossible par hypothèse sur les yk .
D
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