3.3 Unicité de la solution d'une loi de
conservation scalaire.
Soit le problème avec valeur initiale suivant :
(3.30) ut+f(u)x =
0 dans (0,oc) xR
u(0,x) = u0(x) sur
{t=0}xR
Supposons f convexe et concevons une notion
appropriée de solutions faibles. Comme ci-dessus, introduisons la notion
d' entropie.
Définition 3.3. Deux fonctions
régulières et W : R ? R sont comprises comme
paire d'entropie-flux pour la loi de conservation scalaire ut + f
(u) x = 0 si :
* est convexe et
* ÿ (u) fÿ
(u) = W ÿ(u) (u E R)
La condition d'entropie devient alors :
Ö (u)t + W
(u)x = 0 sur (0, oc) x
R Pour toute paire d'entropie-flux (Ö, W). Ceci
entraine :
|
Z 00 Z
0 R
|
{Ö
(u)?t+W(u)?x}dxdt=0 pour
tout? E C00 0((0,oc)xR);
?=0
|
Définition 3.4. Soit u E C ([0, oc);
L1 (R)) n L00 ((0, oc) x
R). u est appelée solution faible entropique de (3.30) si
u satisfait :
Z 00 Z
i) {Ö (u) ?t + W
(u) ?x} dxdt = 0 pour tout ? E C00 0
((0, oc) x R) ; ? = 0
0 R
pour toute paire d'entropie-flux (Ö,
W).
ii) u(t,.) ? u0 dans
L1 quand t? 0
Remarque 3.4. 1-Cette définition remplace la
définition précédente de la solution en-
tropique.
2- D'après la défnition 3.4-(i), prenant Ö
(u) = #177;u, W (u) = #177;f (u),
on déduit :
|
Z 00 Z
0 R
|
{u?t+f(u)?x}dxdt
= 0
|
Pour tout ? E C1 0 ((0, oc) x R),
dès que u (t,.) ? u0 (x)
dans L1. Ainsi,on a montré
qu'une solution entropique est une solution faible.
Dans le paragraphe 3.2, nous avons discuté de
la construction de la solution entropique; à
présent, nous allons établir un résultat
d'unicité.
Théorème 3.3. (Unicité de la solution
entropique pour une loi de conservation scalaire).
pour tout u0 E L00 (R) , il
existe une et une seule solution entropique du problème
(3.30).
Lemme 3.1. (inégalité d'entropie dans le
cas scalaire).
Soient a E R, u une solution faible
entropique de (3.30). Alors
|
Z 00 Z
0 R
(3.31)
|
{|u (t, x) -a| ?t + sgn
(u (t, x) - a) (f (u (t,
x)) - f (a)) ?x} dxdt
Z
+ |u0 (x) - a| ? (0, x)
dx = 0
R
|
Preuve. Pour tout u0, fixé a E R,
prendre :
Ök(u) = /3k(u-a)
(uER) pour k= 1,..., /3k :R?R,
régulière convexe et /3k (u)
? u uniformément
?
?
?
½ 1 si u > 0
ÿ/3k (u) ? sgn
(u) = -1 si u < 0
Ainsi Ök (u) ? u - a
uniformément pour u E R. Le flux correspondant
étant
Z u
Øk (u) = ÿ/3k
(w - a) fÿ (w) dw
á
Pour tout u,
Z u
Øk (u) ? sgn (w - a)
fÿ (w) dw = sgn (u -
a) (f (u) - f (a))
á
uniformement . Méttant Ök et Øk
dans (3.26) et faisant tendre k ? oc, on déduit :
|
Z 00 Z
0 R
|
{ u (t, x) -a ?t + sgn
(u (t, x) - a) (f (u (t,
x)) - f (a)) ?x} dxdt
|
Z
+ u0 (x) - a ? (0, x) dx
= 0
R
Preuve. (théorème 3.3) :
L'idée de la preuve de ce théorème est de
prendre deux conditions initiales bornées u0 et
v0, deux solutions entropiques u et v
correspondantes à u0 et v0 respectivement, et
comparer u- ven terme de u0 - v0.
D'après le lemme précédent, en posant Ök
(u) = u - k et Øk (u) = sgn
(u - k) (f (u) - f (k))
.On a donc pour tout k, et tout ?
régulière positive à support compact
|
Z 00 Z
0 R
|
{ u (t, x) - k ?t + sgn
(u (t, x) - k) (f (u (t,
x)) - f (k)) ?x} dxdt
|
Z
(3.32) + u0 (x) - k ? (0, x)
dx = 0
R
|
et
Z 00 Z
0 R
(3.33)
|
{ v (s, y) - k ?s +
sgn (v (s, y) - k) (f (v
(s, y)) - f (k)) ?y}
dyds
Z
+ v0 (y) - k ? (0, y) dy
= 0
R
|
Admettons un instant qu'on puisse prendre k
= v (s, y) dans (3.32) (ce qui est bien
possible car k doit être constant), on verrait apparaitre la
quantité u(t,x) - v
(t,x) que l'on souhaite estimer.
Puisqu'un tel k ne peut être choisi directement, on
va fixer
les variables (s, y), prendre k = v
(s, y) .Puis intégrer en (s, y) ;
on aura pris le soin de choisir une fonction-test ? qui
dépend aussi de (s, y) et contraint (s, y) à
être proche de (t,x), (on mettra des approximations de
l'unité en t - s et x - y dans la fonction-test).
Ainsi on verra effectivement apparaître la quantité
|u (t, x) - v (t, x)|, modulo des
erreurs dont il nous faudra vérifier qu'elles sont
effectivement négligeables. Cette
technique de dédoublement des variables est dûe
à S.N.KRUZKHOV.
Prenons w E C000 ([0,
00) x [0, 00) x x 118) , w = 0,
w = w (t, s, x, y) . Fixant (s, y)
E (0, 00) x lik,on prend k =
v (s, y) , ? (t, x) = w (t, s, x,
y) dans (3.32), intégrant par partie par rapport
à s, y ; on obtient l'inégalité :
|
fo00fo00LL
|
|u(t, x) --- v (s,
y)|wt (t, s, x, y)+F (u (t,
x) , v (s, y)) wx (t, s, x,
y) dtdsdxdy
|
Z00u0 (x) - v
(s, y)| ? (0, s, x, y) dsdxdy = 0
I
+0R
où F (u, v) = sgn (u -
v) (f (u) - f (v)) est
symétrique. De la même manière, en
partant de (3.33) dans lequel k = u (t,
x) , et ? (s, y) = w (t, s, x,
y), on trouve :
|
fo00f00LL
|
|v(s, y) - u (t,
x)|ws(t,s, x, y)+F (u
(t, x) , v (s, y)) wy (t, s,
x, y) dtdsdxdy
|
00f
+J
v0 (x) - u (t, x)|?
(t,0, x, y) dtdxdy = 0 io En
sommant ces deux équations, on obtient.
|v(s, y) - u (t,
x)|(wt + ws) + F
(u (t, x) , v (s, y))
(wy + wx) dtdsdxdy
00 100
fo fRiR
+
1IR IR 0 |u0 (x) -- v
(s,y)| ? (0, s, x, y) dsdxdy
00
+
R R | v0 (x) -- u (t,
x)|? (t, 0, x, y) dtdxdy = 0
o
Soit è, E C000 (] 0,
í[) , pu E C000 (] -
u, u[) deux approximations de l'unité. Soit
ç E C000 ([0,
00) x IR) positive.
Posons w (t, s, x, y) = è,
(t --- s) pu (x - y) ç
(t, x) ; on a alors
wt (t, s, x, y) + ws
(t, s, x, y) = ÿè, (t -
s) pu (x --- y) ç (t,
x) + è, (t --- s) pu (x -
y) çt (t, x)
-ÿè, (t - s)
pu (x - y) çt (t, x)
= è, (t - s) pu
(x --- y) çt (t, x)
et de même,
wx (t, s, x, y) +
wy (t, s, x, y) = è, (t -
s) pu (x --- y) çx
(t, x)
et puisque Ou = 0 sur ] -
8, 0] , pour tout s = 0, on a w (0, s, x, y) =
0. On trouve donc :
|
10c° foc°
LIR
|
|u(t, x) - v (s, y)|
Ou (t - s) pu (x - y)
çt (t, x)
|
+F (u (t, x) , v (s,
y)) Ou (t - s) pu (x
- y) çx (t, x) dtdsdxdy
|
(3.34) +
|
fc°IR IR
|
|v0 (x) - u (t, x)|
Ou (t) pu (x - y)
ç (t, x) dtdxdy = 0
|
Soit R > 0 tel que le support
de ç soit inclus dans [0, R]x
[-R, R] . Puisque Ou
à support compact dans ]0, í[ et pu
à support compact dans ] - u, u[ et puisque ces deux
fonctions sont d'intégrales 1, on a :
|
fR Zc°
fR
Io0J--R JR
|
|v(t, x) - v (s, y)|
Ou (t - s) pu (x - y)
dtdsdxdy
|
Z(t,
x) -v(t - æ, x -î)|
dtdx) Ou (æ)
p(î)dædî u Iu
(IR IR
--u
0 --R P
sup (RRu
I R
(t, x) -v(t -æx -î)|
dtdx 1. I (æ) p () dæd
0<æ<u,--u<î<u -- --u
|
(3.35)
fR
= sup
0<æ<u,--u<î<u 0 --R
|
|v(t, x) --- v (t - æ, x
--- î)| dtdx
|
(on etend eventuellement v par 0 dans les temps
négatifs).
Puisque v E Lc° (]0,
8[xR) c L1 loc ([0, 8[xR)
, ce dernier terme tend vers 0 quand u et
í tendent vers 0.
Ainsi çt etant bornée,
107: IRIR|v(t x) _v(s,
y)| Ou (t - s)p(x --
y)çt(t, x) dtdsdxdy
foc° Ic° fR fR
|v(t, x) - v (t, x)| Ou
(t - s) pu (x --- y) çt
(t, x) dtdsdxdy + ù1 (u,
í)
=
fc° ) (t, x) -v(t,
x)| Ou (t - s) dsp(x -
y) dy +ù1(u,í)
R 0
R
où ù1 (u, í) ? 0
quand í,u > 0. On a RR
pu (x - y) dy = 1V x E R. De plus
dès que
t > í. RR Ou
(t - s) ds = 1 mais
|
Zu|v (t, x)
-v(t,x)| Ou(t -
s)dsçt(t, x) dtdx R 0
|
Z Z
< v (t, x) - v (t, x)
öt (t, x) dtdx ? 0
0 R
lorsque í > 0. On obtient
donc
Z 00 Z 00 Z Z
v (t, x) - v (s, y)
O (t - s) PL (x - y) öt
(t, x) dtdsdxdy
0 0 R R
Z 00 Z
(3.36) = v (t, x) - v (s,
y) öt (t, x) dtdx + w2 (,u,
í)
0 R
où w2 (,u, í) ? 0
lorsque (,u, í) ? (0, 0).
On a
F (u (t, x) , v (s,
y)) = sgn (u (t, x) - v (s,
y)) (f (u (t, x)) - f (v
(s, y)))
<L u(t,x)
-v(s,y)
où L est une constante de Lipschitz de F
dans un intervalle borné contenant les images de u
et v. Donc
F (u (t, x) , v (s,
y)) O (t - s) PL (x - y)
öx (t, x) dtdsdxdy
Z 00 Z Z
Z 00
<L
u (t, x) - v (s, y)
O (t - s) PL (x - y)
öx (t, x) dtdsdxdy
0 0 R R
Z 00 Z 00 Z Z
0 0 R R
et en utilisant à nouveau (3.34), on trouve :
|
Z 00 Z Z
Z 00
0 0 R R
|
F (u (t, x) , v (s,
y)) O (t - s) PL (x - y)
öx (t, x) dtdsdxdy
|
Z 00 Z Z 00 Z
< L u (t, x) - v (t,
x) O (t - s) ds PL (x - y)
dy öx (t, x) dtdx + w3
(,u, í)
0 R 0 R
Z 00 Z
(3.37) < L u (t, x) - v (t,
x) öx (t, x) dtdx + w3
(,u, í)
0 R
avec limL?0, ?0 w3 (,u,
í) = 0. puisque v0 EL1
loc (R), on a :
Z 00 Z R Z R
v0 (y) - v0 (x)
PL (x - y) dxdy < sup v0 (x ?
î) - v0 (x) dx ? 0
0 -R ?L<î<L ?R
lorsque ,u ? 0.De plus, u
est continue de [0, 8[?L1 loc (R) et
u (0,.) = u0, donc
Z 00 Z R Z
u (t, x) - u0 (x) O
(t) ö (t, x) PL (x -
y) dtdxdy
0 -R R
R
Z
< MöM00 sup u (t, x) -
u0 (x) dx ? 0
0<t< -R
lorsque í > 0.On
déduit de ceci que
v0 (y) - u (t, x)
Oí (t) Pu (x - y)
ç') (t, x) dtdxdy
Z 00 Z Z
0 R R
Z Z 00
= v0 (y) - u0 (x)
Oí (t) ç') (t, x)
dtdx + w4 (ii, í)
R 0
tion de l'unité, le terme f 00
où w4 se comporte comme
précédement. Vu que ç') est
régulière et Oí est une
approxima0Oí (t) ç') (t, x)
dt converge uniformement vers ç') (o,
x), et on trouve donc :
|
Z 00 Z Z
0 R R
|
v0 (y) - u (t, x)
Oí (t) Pu (x - y)
ç') (t, x) dtdxdy
|
Z
(3.38) = v0 (y) - u0 (x)
ç') (o, x) dx + w5 (ii,
í)
R
avec w5 (ii, í) ? 0
quand (ii, í) ? (0,0). En
injectant (3.36), (3.37), (3.50) dans (3.34), puis en faisant (ii,
í) ? (0, 0), on obtient ainsi, pour tout
ç') régulière à support
compact, (3.39)
Z
u (t, x) - v (t, x)
(ç')t (t, x) + L ç')x
(t, x) ) dtdx+ v0 (y) - u0
(x) ç') (o, x) dx = 0
R
Z 00 Z
0 R
Comme voulu lors de l'introduction de la technique de
dédoublement des variables, nous avons combiné les
équations sur u et v pour obtenir une
équation sur u - v .
Lemme 3.2. Inégalités de la
L1-contraction (admis). Soient u et v
deux solutions faibles entropiques de (3.30), alors
(3.40) Mu (t,.) - v (t,.)
ML1(R) < Mu (s,.) - v
(s,.) ML1(R)
pour tout 0 < s <t.
Ce lemme entraine trivialement l'unicité de la solution
entropique car si u0 = v0, alors
l'inégalité (3.40) entraine que u
= v pour tout t > 0, et pour tout x E R.
3.3.1 Quelques propriétés de la solution
entropique.
Soient u0 et v0 bornées; on
note uet v les solutions entropiques de (3.30),
correspondant à u0 et v0, on a les
propriétés ci-après que nous admettons.
Propriétés 3.1. .
(i) MuML8(]0,00[XR) <
Mu0ML8(R) .
(ii) Si u0 E L1 (R) alors u E C
([0, oc[; L1 (R)) et, pour tout t>
0, Mu(t, .)ML1(R) <
Mu0ML1(R) .
(iii) Si u0 - v0 E L1
(R), alors pour tout t > 0, on a :
u (t,.) - v (t,.) E
L1 (R) et Mu (t,.) - v (t,
.)ML1(R) < Mu0 - v0ML1(R).
3.4 Solution explicite d
|
'une loi de conservation sca-
|
laire.
Dans ce paragraphe, on fait le lien entre une
caractérisation de la solution, sous la forme d'une formule explicite,
la formule de Hopf et Lax. La formule de Hopf et Lax étant explicite,
elle assure trivialement l'unicité de la solution ainsi
caractérisée.
3.4.1 La formule de Hopf et Lax.
On considère la classe des solutions u de
l'équation
(3.41)
ut+f(u)x =
0,
satisfaisant la condition initiale
(3.42) ?x E R, u (0, x) = u0
(x)
pour u0 suffisament régulière
à support compact.
Cette hypothèse permet ici de rendre possible
la démarche. On pose :
Z x Z x
v (t, x) = u (t, î)
dî , v0 (x) = u0 (î)
dî
0 0
et la fonction v vérifie
l'équation
(3.43) vt+f(vx) = 0 ,
v(0,x)=v0(x).
En effet, dans (3.41), la fonction f n'est
définie qu' à une constante près. Le choix 0 au
second membre de (3.43) correspond effectivement à un choix particulier
de cette constante. On suppose f E C2 (R), convexe. Le but
de cette section est de montrer que parmi les éléments
de la classe de solutions de (3.41), (3.43), on peut sélectionner une
solution vérifiant la formule de Hopf et Lax,
( (x -- x0 ))
(3.44) v (t, x) = inf v0
(x0) + tf* ;
x0 ER t
où f* est la polaire
conjuguée encore appelée transformée de FENCHEL
de f définie par :
|
f *(p) = sup
vER
|
(vp--f(v))
|
que l'on considérera comme la seule solution
physiquement acceptable.
Soit v une solution de (3.41), (3.42); pour
un paramètre p E R (qui peut dépendre de
x et t), on pose vx = p +
vx -- p, d'où le développement de
Taylor
|
f(vx)
=f(p)+(vx --p)
|
fÿ (p) + ( vx --
p)2f· (q) , p = q = vx 2
|
En ajoutant vt, il vient, sachant (3.43),
|
d'où
|
0 = vt + f (vx) = vt
+
|
fÿ (p)
vx-(pfÿ (p)-f
(p)) + (vx 2 p)2f
(q)
|
|
(3.45) vt +
|
fÿ(p)vx =
pfÿ (p) - f (p) -
(vx -2 p)2 f·
(q)
|
Dans (3.45), on a 21 (vx -
p)2 f· (q) = 0, et
on va rechercher une solution maximale, satisfaisant
|
(3.46) vt +
|
fÿ(p) vx =
pfÿ (p) - f (p)
,
|
et la condition initiale v0.
On peut résoudre (3.46) par la méthodes des
caractéristiques; soit x ER,t>
0, x0 E R, on note = (s) la
caractéristique reliant le point (0, x0) au point
(t, x) , avec 0 < s < t. On a donc :
vÿ(s) = pfÿ
(p) - f (p) (0) = x0
(t) = x
Or fÿ est monotone croissante, on
note g sa fonction inverse : g (fÿ
(p)) = p .
(En particulier g (s)) = p. En
intégrant vÿ (s) le long de
la caractéristique, on obtient :
(t, x) = v (0, x0) + f t
(pfÿ (p) - f (p))
ds
d'où
|
(3.47) v (t, x) = v (0, x0)
+
|
lot
|
((s) g (s)) - f (g
(s)))) ds
|
Etant donné x0 fixé(pour l'instant), on
va chercher à minimiser v dans (3.47) sur l'ensemble des
trajectoires admissibles, allant de (0, x) à (t,
x) . Si la trajectoire minimale est notée *
(s) , toute trajectoire est de la forme (s) = *
(s) + er (s) , où e E
R et r = r (s) est une fonction réalisant
r (0) = 0; r (t) = 0.
On aura
ÿ =
ÿ *+ eÿr, et
(t, x) =v(0, x0)
+ ft (* -- f o g (ÿ *
+ ei-)) ds.
On dérive par rapport à e, et on
écrit que le minimun est réalisé pour
e = 0. Il vient
Z
t (=gÿ(*)
*rÿ+
--fÿogMgÿM rÿ
ds. 0
Après simplifications, il reste
Z0 t
(gî,,«(s)) rÿ
(s) ds = 0,
pour toute fonction r tel que r (0)
= r (t) = 0.On intègre par parties
pour obtenir
t
hg,,«(s)) r (s)]
8=0 0 8 t--i d ds (g
(,,« (s))) r (s) ds =
0,
ceci pour tout r tel que r (0) =
r (t) = 0 , d'où
ds (g,,«(s))) =
En intégrant, on obtient
g (ÿî,,«
(s)) = A , constante , donc
ÿî,,« (s) =
fÿ (A) , constante.
On intégre encore : î,,«
(s) = fÿ (A) s +
B. Or î,,« (0) = x0 ,d'où
B = x0, et î,,« (t) =
x, et on déduit
(3.48) fÿ (A) = x-- x0
t
On insère cette valeur dans la solution optimale,
correspondant à î = î,,«, ce
qui donne
Z
t (v (t, x) = v
(0,x)
+g(,,«)î,,«-- f o
g (ÿî,,«)) ds, 0 où
encore
(t, x) = v (0, x) +
Zt (g (fÿ (A))
fÿ (A) -- f o g
(fÿ (A))) ds,
0
puis
v (t, x) = v (0, x) +
t (Afÿ (A) -- f (A))
= v (0, x) + t f,,«
(fÿ (A))
d'où
-
(t, x) =v(0, x)+t
f,,« (x x0)
t
il reste à minimiser suivant le paramètre
x0 pour obtenir la formule de Hopf et Lax (3.44).
La formule de Hopf et Lax permet de prendre en compte des
solutions discontinues, et se généralise facilement au
cas où la condition initiale n'est plus nécéssairement
à support compact.La section suivante présente un exemple
important de l'exploitation de la formule de Hopf et Lax, dans
l'équation de Burgers.
Exemple 3.3. Soient données deux constantes réelles
notées ug et ud, on considère le
problème
/ u2
ut + = 0,
2 x
avec la condition initiale
{ ug si x < 0
u (0, x) =ud si x>
0
En introduisant une fonction v telle que
u = vx, on aboutit au problème
avec la condition initiale
½ u gx si x < 0
v (0, x) =udx si x >
0
La formule de Hopf et Lax conduit à la solution
|
( ) (
ugy + (x - y)2 udy +
(x - y
v (t, x) = min inf , inf
y<0 2t y>0 2t
|
}))2
|
.
|
Explicitons cette expression; on a :
?
{ ) x2
??
ugy + (x - y)2
2t si x > ugt
inf =
y<0 2t ?? ugx - u2 2 si
x < ugt
gt
si x<udt
et
?
{ J ?? x2
udy + (x - y) 2
inf = 2t
y>0 2t ?? udx - 1
2u2 dt si x
> udt
Pour ug < ud, on recense trois zones : Si
x < ugt, alors :
u
ugx - ug2t
2 , x2 = ugx - ug2t
v (t, x) = min 2 .
2t
Si ugt <x < udt, alors :
x2
v(t,x)= .
2t
Si x > udt, alors :
( )
udx - ud2t
2 , x2 = udx - ud2t
v (t, x) = min 2t 2
Ceci conduit à la solution suivante pour u,
|
u(t,x) =
|
?
?
?
|
ug si x<ugt
x t si ugt<x<udt ud si
x>udt
|
Il s'agit d'une solution
régulière correspondant à une onde de
raréfaction. Pour ug > ud, on recense
quatre zones.
Si x < udt, alors x < ugt, et
donc :
( )
ugx - ug2t
2 , x2 = ugx - u2
gt
v (t, x) = min 2 .
2t
Si udt <x <
2(ud+ug)t, alors:
1
( )
ugx - ug2t
2 , udx - ud2t = ugx -
ug2t
v (t, x) = min 2 2
Si 1
2(ud+ug)t<x<ugt,alors:
.
( )
ugx - ug2t
2 , udx - ud2t = udx -
ud2t
v (t, x) = min 2 2
Si x > ugt, alors :
( )
udx - ud2t
2 , x2 = udx - ud2t
v (t, x) = min 2 .
2t
Il n'y a effectivement que deux valeurs
possibles pour v.
Notons que v est continue, et vaut
1
v (t, x) = v (t) =
2ugudt
1
le long de la droite x = 2 (ud +
ug) t.
x =
Ceci conduit à la solution suivante pour u,
qui est discontinue le long de la droite 1 2
(ud+ug)t,
|
u(t,x) =
|
?
????
????
|
ug si x<
ud si
x>
|
1 2 (ud+ug)t
1 2
(ud+ug)t
|
il s'agit d'une solution de type onde de
choc, et l'interêt de la formule de Hopf-Lax est de nous avoir
précisé la trajectoire du choc. La formule de Hopf-Lax
sélectionne et caractérise une (seule) solution
physiquement acceptable, qui peut comporter
des discontinuités.
En résumé, on peut retenir que la
solution du problème de Riemann est soit une onde de raréfaction
si ug <ud, ou une onde de choc si ug >
ud.
|
|
