2.3.2 Discontinuités de contact - ondes de choc
Nous allons à travers les théorèmes 2.2
et 2.3, étudier la possibilité de résolution du
problème de Riemann en joignant 2 états donnés
u - et u+ par d'autres sortes d'ondes de choc.
Discontinuité de contact :
On suppose que le couple (ëk
(u) , dk(u)) est linéairement
dégénéré et u + E Sk
(u-), d'après cette supposition, nous pouvons
définir la solution de notre système de lois de
conservation comme étant :
{ u - si x < at
u (t, x) = u+ si x > at
pour a = a(u-,
u+) = ëk (u-) = ëk
(u+).
On peut faire le constat suivant; dès
queëk (u-) = ëk
(u+) = a, les projectés de la
caractéristique ont la même valeur de part et d'autre
de la droite de discontinuité.
Définition 2.5. Le trait x = at est
appelé une k-discontinuité de contact.
Remarque 2.1. Physiquement, on
interprète la situation précédente comme suit;
les particules d'un fluide ne peuvent traverser une discontinuité.
Ondes de choc
On suppose à présent que le couple
(Ak (u) , dk (u)) est vraiment
non-linéaire et que les états u+
et u- sont connectés par un
ke--choc i.e u+ E Sk
(u-). Si nous considérons la solution faible
:
{u- si x < at
(2.23) u (t, x) =
u+ si x > at ,
pour a = a (u-,
u+). On voit qu'on a deux éventualités
à savoir :
Ak (u-) > Ak
(u+)
où
Ak (u-) < Ak
(u+) .
Au vu de l'assertion(iii) du théorème 2.2,
nous avons alors :
(i) Ak (u) > a (u-,
u+) > Ak (u+)
où
Ak (u) < a (u,
u+) < Ak (u+) ,
à condition que u- reste très
proche de u+.
Remarque 2.2. dans le cas (i), les chocs sont dits
physiquement acceptables ou des "bons chocs" et
non physiques ou" mauvais chocs" dans (ii).
Définition 2.6. On suppose le couple (Ak
(u) , dk (u)) vraiment non-linéaire en
u-. On dit que le couple
(u-, u+) est admissible au sens de Lax si :
u+ ? Sk(u-) et
Ak (u+) < a (u-,
u+) < Ak (u) .
Remarque 2.3. Si (u , u+)
admissible au sens de Lax, la solution u définie par (2.23) est
appelée une k-onde de choc.
Par analogie avec notre décomposition de
Rk (u0) en R#177;
k(u0), introduisons ceci :
Définition 2.7. Si le couple (ëk
(u) , dk (u)) est vraiment non-linéaire,
on a :
S+ k
(u0)={uESk(u0)/ëk(u0)<á(u,u0)<ëk(u)}
S k
(u0)={uESk(u0)/ëk(u)<á(u,u0)<ëk(u0)}
Alors Sk (u0) = S k (u0)
U {u0} U S+ k (u0)
On note alors que le couple (u
,u+) est admissible au sens de Lax si et seulement si
u+ E S k (u ).
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