2.5.2 Non existence de solutions
régulières.
Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser
à l'utilité des invariants de Riemann, nous établirons un
critère de non existence de solutions
régulières.
Théorème 2.6. (Invariants de Riemann). On suppose
:
* u0 régulière à support
compact.
* la condition de non linéarité :
(2.40) 0Ài >0
(i=6j).
0wj
Alors le problème avec valeur initiale (2.29) ne peut
avoir de solution régulière u pour tout t
= 0 si :
y1 x <0 ou y2 x <0
quelque part sur {t = 0} x R.
Preuve.
1- Supposons que pour tout t, u est
solution régulière de (2.29). Posons :
{
a:=y1 x; ,
b:=y2 x où y =
w(u); y =
(y1,y2) est solution de l'E.D.P (2.34).
En différentiant la première
équation de (2.34) par rapport à
x, on obtient :
(2.41) at + À2ax +
0À2 a2 +
0À2ab=0 où
0À2
0x
|
0À2
|
0w1+ 0x
|
0À2
|
|
0w2
|
=
|
0À2a+
0w1
|
|
|
|
0x
|
|
0À2 b (car wi, yi
constants le long de la courbe
0w1 0w2
0w2
(s, x (s))). Utilisant (2.41) pour
réécrire la deuxième équation de (2.34),
on a : y2 t +À2y2 x =
(À2-À1)b car
(y2 t
+À1y2 x)=0.Ona:
[ 1 )]
(2.42) at + À2ax +
0À2 0À2 (y2
a2 + t +
À2y2 a = 0
x
0w1 À2 - À1
0w2
2- Intégrer (2.42), fixer x0 E
R et poser :
|
(2.43) î (t) := exp
|
( Z t )
1 0À2 (y2 t +
À2y2 ) (s, x1 (s)) ds
où
x
À2 - À1 0w2
0
|
|
{ ÿx1 (s) = À2 (u
(s, x1 (s))) (s = 0)
(2.44) x1 (0) = x0
|
.
|
Ce qui suit est une conséquence
importante de (2.36) (qui dit que y1 est
constant le
long de la courbe (s,x1 (s)) ).
Ecrire y1 (s,x1 (s)) = y1 0 =
y1 (0,x0) (s = 0). Ainsi, on
voit que l'expression 1 0A2
considérée comme une fonction de v = w
(u), dépend
A2 - A1 0w2
seulement de v2. Posant
f u l 1 0 A2 \
Y (u) .1 0 A2 - A1
0w2) (v01, v) dv.
Alors (2.43) et (2.44) impliquent :
t
(2.45) (t) = exp {/0 dds [Y
(v2 (s, x1 (s)))] ds}
= exp {Y (v2 (t, x1
(t))) - Y (v2 (0, x0)) }
0A2
3- En transformant (2.45), on a :
dt( (t) á
(t))2 dt
--1 d
A2
[( (t) á
(t))-1] = ( (t) á
(t)) = 0w 1 -1 car
dt 0 A2 1 2
d (t) 1
A2 -- = A1 0w2
(vt + A2v x)
(t) á (t) = 1 (at
+ A2ax + , 0 á2)
(t)
ow1
d'après (2.42),
=d d 0 A2
á (t) dt (t)
dtá (t) 0w1 á2
(t)
=d d 0A2 d 0A2
á (t) (t) +
(t) dtá (t)
=-0w1á2 (t)=dt(
(t)á(t))
=-0w1á2 (t)
D'où
t
(t) á
(t))-1 = (á
(0))-1 + f
-1(s)ds.
Ce qui entraine :
u(2.46) á (t) = á
(0) -1 (t) 1 + á (0) t
0A21(s) ds) .
0 0w1
4-Au vu de (2.34), v est bornée. Nous
déduisons de (2.45) que 0 < è ?
(t) = e pour tout t > 0, pour des
constantes appropriées è et e. Cependant, il
découle de (2.40) et (2.46) que á est
bornée pour t > 0, si et seulement si
á (0) > 0, ce qui entraine :
v1 x(0, x0) =
0.
En remplaçant v1 par
v2 dans les calculs ci-dessus, on obtient
v2x (0, x0) = 0. Nous
concluons que si v1
x< 0 ouv2
x< 0 quelque part sur {t
= 0} x IR, alors il n'existe pas de solution
régulière de (2.29) pour tout t =
0.
Exemple 2.2.
Soient les équations
générales d'Euler suivantes (quand
l'énergie interne e est constante) :
J ñt + (ñv)x
= 0 (conservation de la masse)
(2.47)(ñv) t +
(ñv2 +p)x = 0
(conservation du moment)
où nous supposons
(2.48) p=p(ñ),
pour toute fonction régulière p
: R ? R, (2.48) est appelée
"équation d'état". Nous avons la condition
d'hyperbolicité stricte
pÿ >0.
Posant u = (u1,
u2) = (ñ, ñv) , le
système d'équations (2.47) peut
s'écrire ut + f (u) x = 0 pour
!
f = (f 1, f2) =
u2, (u2)2
u1 + p u1cents
,
à condition que u1 >
0. Alors :
? ?
0 1
)2
A = Df = ? (u2
j
+ pÿ (u1) 2u2
- u1 u1
Par conséquent le polynôme
caractéristique de A est donné par :
(u2 )2
PA (À) =
À2 - 2u2 - pÿ
(u1)
u1 À + u1
Les valeurs propres de A sont donc :
|
u2
À1 = u1
En notation physique, on a :
|
p p
p ÿ (u1) et À2
= u2
- u1 + p ÿ (u1)
|
À1=v?ó;
À2=v+ó
pour la vitesse de son :
p
ó := pÿ
(ñ).
Utilisant (2.35), considérons les
équations différentielles.
(2.49) ÿx1 (t) = v (t,
x1 (t)) + ó (t, x1 (t))
(2.50) ÿx2 (t) = v (t,
x2 (t)) ? ó (t, x2 (t))
où
p
ó (t, x) = pÿ
(ñ(t,x)), t = 0.
Nous déduisons de (2.36) que l'invariant de
Riemann y1 = w1 (u) est
constant le long des trajectoires de (2.49) et
y2 = w2 (u) est constant le
long des trajectoires de (2.50). A présent,
déterminons directement w1 et
w2. Premièrement, transformons (2.47) sous la forme
de non divergence.
(2.51)
ñt+ñyx+ñxy
= 0
(2.52) ñty +ñyt +
ñxy2 + 2ñyyx
+px = 0.
Multipliant (2.51) par ó2 =
pÿ(ñ) et se rappelant de (2.48), on a :
(2.53)
pt+ypx+ó2ñyx
=0
(2.51) dans (2.52) donne :
(2.54) ñyt +ñyyx
+px = 0.
A présent, nous allons manipuler (2.53) , (2.54) de
sorte à faire apparaître explicitement les
directionsë1, ë2 = y #177; ó. Pour
y arriver, multiplions (2.54) par ó et alors,
l'additionant où le rétranchant à (2.53), on a :
½ pt + (y + ó)
px + ñó (yt + (y +
ó) yx) = 0
(2.55)pt+(y ? ó)px ?
ñó(yt+(y?ó)yx)=0
De (2.55), on déduit que :
|
?
????
????
|
dt [p (t,X1 (t))]
+ñ(t,X1 (t))ó(t,X1
(t)) d
d dt [y(t,X1 (t))] =
0
dt [p (t,X2 (t))] ?
ñ(t,X2(t))ó(t,X2(t))
d
d dt [y(t,X2 (t))] = 0
|
dp
dt
Comme
= ó2 dñ dt ,
on voit que :
ñ
ó dñ #177; dy = 0
dt dt
(2.56)
le long des trajectoires de (2.49), (2.50) à
condition que ñ > 0. Penser à
present aux invariants de Riemann comme fonction de ñ et
y; alors y1 = w1
(ñ, y) étant constant le long de la courbe
déterminée par X1 (.) , nous avons :
d [w1 (ñ (t, X1
(t)) ; y (t, X1 (t)))] 0 = dt
Cw1
d Cw1d
=
dt [ñ (t, X1 (t))] +
dt [y (t, X1 (t))]
Cñ Cy
|
Ceci coïncide avec (2.56) si :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0w1
|
|
=
|
ó (P)
P
|
|
0w1
|
=1.
|
|
0P
|
|
,
|
0v
|
|
Similairement, nous déduisons que :
|
|
|
|
|
|
|
0w2
|
=
|
ó (P)
P
|
|
0w2
|
=--1.
|
|
0P
|
,
|
0v
|
Intégrant, nous obtenons les invariants de
Riemann suivants :
Z ñ Z ñ
ó (s) ó
(s)
w1 = s ds + v, w2 = s d
s -- v.
1 1
Vérifions à présent que
w1 et w2 sont effectivement les
invariants de Riemann; i.e que
:
Dwi (u) .di (u) = 0 pour
i = 1, 2
En effet, on a :
d1(u) =
(1,v--ó); d2(u) =
(1,v+ó) et
uó -- v uó +
v
Dw1 (u) = P , 1 ;
Dw2 (u) = P , --1
D'où
et
P P
uó -- v
Dw1 (u) .d1 (u) =
P , 1 . (1, v -- ó)
P
uó+v )
Dw2 (u) .d2 (u) =
P , --1 . (1, v +
ó)
P
=0.
ó+v
=
P
v+ó
P
Par conséquent, w1et
w2 sont bien des invariants de Riemann.
| 
