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Processus stochastiques et équations aux dérivés partielles

( Télécharger le fichier original )
par Mohamed HANECHE
Université Mohamed BOUGARA Boumerdès -  2008
  

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République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université
M'hamed BOUGARA
Boumerdès

 

Faculté
des Sciences
Boumerdès

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

MEMOIRE DE MAGISTER
SPECIALITE : MATHEMATIQUES
OPTION : MODELES STOCHASTIQUES

Thème
PROCESSUS STOCHASTIQUES ET EQUATIONS AUX
DERIVEES PARTIELLES

Présenté par

HANECHE MOHAMED Soutenu publiquement le :29/06/2009

Devant le jury composé de:

Présidente :

Mme H. GUERBYENNE

Maitre de conférences A

USTHB Alger

Promoteur :

Mr K. KHALDI

Maitre de conférences A

UMBB Boumerdès

Co-promoteur :

Mr A. ABASSOV

Maitre de conférences A

UMBB Boumerdès

Examinateur:

Mr H. OSMANOV

Professeur

UMBB Boumerdès

Examinateur:

Mr S.MAKDECHE

Maître de conférences B

UMBB Boumerdès

Remerciement

J'exprime mes profonds remerciements à mon promoteur le Docteur KHALDI Khaled pour l'aide compétente qu'il m'a apportée, pour sa patience et son encouragement à finir ce travail.

Je tiens à remercier Monsieur ABASSOV Assim mon co-promoteur et Monsieur MAKDECHE Said pour leurs conseils et remarques pertinentes.

Ensuite, je tiens à exprimer mes remerciements aux membres du jury, Mme Hafida GUERBYENNE, Présidente ainsi que Messieurs Hamid OSMANOV et Said MAKDACHE, membres, qui ont accepté d'évaluer mon travail.

Certaines personnes ne peuvent être oubliées, mes professeurs: Monsieur OSMANOV Hamid, Monsieur DOUMAZE, et tous les enseignants du département de mathématiques, sans oublier tous les personnels administratif et de soutien du département de mathématiques

Je remercie enfin toute l'équipe de ma promotion et en particulier mon ami et collègue d'études TAZEROUTI Moussa.

J'ai également une pensée pour tous mes proches, famille et amis, qui ont fait preuve de beaucoup de patience et m'ont toujours encouragé. J'espère maintenant être plus disponible et leur rendre ce que je leur dois. Enfin, je souhaite remercier en particulier mes parents pour leurs efforts, encouragements, pour le temps qu'ils ont consacré pour moi et pour tout.

Abstract

The aim of this work is to show the relation between the partial differential equations of the second order and the stochastic processes of diffusion, and present some results obtained recently on the partial derivative equations by probabilistic methods.

These results provide a probabilistic method that we allow to avoid the complication of numerical methods and written the solution as expectation of functional of diffusion process. This work is presented in five chapters:

The chapter I, present the basic mathematics tools, the Brownian motion and the stochastic process solution of stochastic differential equation (SDE) well-known with noun of diffusion process i.e. that their future is not depending of any other state excepting the present state, is key notion of this study. We introduce a new character of integral, is the stochastic integral says Itô integral that allow to give a sense to the differential of Brownian motion, the important notion upon rest the SDE theories.

In the chapter II, we give the generality of partial differential equations (PDE) of second order and explain the method of finite difference method this method is used in case where the resolution by the analytic method is impossible.

In the chapter III, we exhibit the profound relation existed between the notion of partial differential equations and stochastic differential equations through the certain theory (Feynman-Kac), the generalization of this theory given a probabilistic interpretation of PDEs.

The chapter IV is an application which we help to comprehend the notions of the president chapter, we start by simulating the trajectory of Brownian motion, and next, we simulate the diffusion process and resolve a PDE by the probabilistic method.

The chapter V, it is an application in finance, where we applied the Black and Scholes formula by different methods.

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Sommaire

INTRODUCTION : . 1

CHAPITRE I: Mouvement Brwonien et calcul stochastique

0. Introduction : 3

1. Processus aléatoires : 4

2. Processus gaussien : 5

3. Mouvement brownien : 6

3.1. Construction du mouvement brownien : 6

3.2. Régularité des trajectoires du mouvement brownien : 8

3.3. Mouvement brownien standard : 9

3.4. Transformations du mouvement brownien standard : 10

3.5. Semi-groupe du mouvement brownien : 10

3.6. Mouvement brownien multidimensionnel : 13

4. Martingales et temps d'arrêt : 13

4.1 Martingales : 13

4.2. Comportement d'une martingale à l'infini : 14

4.3 Temps d'arrêt : 16

4.4. Tribu du passé d'un temps d'arrêt : 17

5. Intégrales stochastiques : 19

5.1. Variation quadratique : 19

5.2. Intégrales stochastiques : 21

5.2.1 Propriétés de l'intégrale stochastique : 23

5.2.2. Extension de l'intégrale stochastique : 24

5.3. Formule d'Itô : 25

6. Equations différentielles stochastiques : 28

6.1. Introduction : 28

6.2. Solutions d'une équation différentielle stochastique : 29

CHAPITRE II : Généralité sur les EDPs et la méthode des différences finies

0. Introduction : 34

1. Généralité sur les équations aux dérivées partielles : 35

1.1. Définitions : 35

1.2. Conditions initiales et conditions aux limites : 36

1.3. Classification des EDPs du second ordre : 37

1.4. EDPs du second d'ordre à plusieurs variables indépendantes: 39

1.5. Besoins en termes de conditions initiales et aux limites : 39

2. Méthode des différences finies pour les EDPs paraboliques : 40

2.1. Problèmes du premier ordre en temps: équation de la chaleur : 41

2.2.1. Schémas numériques de discrétisation par différences finies : 42

2.2.2. Erreur de troncature, consistance et ordre d'un schéma : 45

2.2.3. Stabilité des schémas numériques : 46

2.2.4. Convergence des schémas : 50

CHAPITRE III : Interprétation probabiliste des EDPs

0. Introduction : 52

1. Générateur infinitésimal : 53

2. Interprétation probabiliste des EDP: 54

2.1 Equation de la chaleur : 54

2.2. Formule de Feynman-Kac multidimensionnelle: 56

2.3.Problème de Cauchy pour des opérateurs généraux : 57

2.4. Interprétation des EDP de type elliptique : 58

a)Problème elliptique sans frontière : 59

b) Problème elliptique avec condition de Dirichlet : 59

2.5. Interprétation des EDP de type parabolique : 60

a. Problème parabolique sans frontière : 61

b. Problème parabolique avec condition de Dirichlet : 62

3. Discrétisation de problèmes : 63

3.1. Le schéma d'Euler : 63

3.2. La méthode de Monte Carlo : 63

CHAPITRE IV : Application

0. Introduction : 67

1. Discrétisation du mouvement brownien : 68

2. Discrétisation d'un processus de diffusion: 71

2.1. Schéma d'Euler- Maruyama : 71

2.2. Exemple de discrétisation d'un processus de diffusion: 72

3. Application à l'interprétation probabiliste des EDPs : 75

3.1. Problème N°=1 : 75

3.1.1. Illustration numérique du problème par la méthode déterministe(La méthode des différences finies) : 76

3.1.2. Illustration numérique du problème par la méthode probabiliste : 80

3.2. Problème N° 2 : 84

3.2.1. Illustration numérique du problème par la méthode des différences finies : 85

3.2.2. Illustration numérique du problème par la méthode probabiliste : 88

CHAPITRE V : Application en finance

0. Introduction : 91

1. Modèle du prix de l'actif: 91

2. Formule de Black et Scholes : 93

a. La méthode de Monte Carlo : 95

b. La méthode Binomiale : 96

c. EDP de Black et Scholes : 98

i. Mèthode des différences finies pour l'EDP de Black et Scholes : 99

ii. Méthode probabiliste pour l'EDP de Black et Scholes : 100

CONCLUSION : 103

ANNEXE... ..104

BIBLIOGRAPHIE... 111

INTRODUCTION:

Le but de ce travail est de montrer le lien entre les équations aux dérivées partielles du second ordre et les processus stochastiques de diffusion ainsi que de présenter quelques résultats obtenus récemment sur les équations aux dérivées partielles par des méthodes probabilistes.

Ces résultats fournissent une méthode probabiliste qui nous permet d'éviter les complications des méthodes numériques et écrire la solution comme l'espérance d'une fonctionnelle d'un processus de diffusion. Ce travail est présenté en cinq chapitres :

Le chapitre I, présente les outils mathématiques de base ([5], [9], [11], [12], [16], [17], [19], [26], [29], [31], [37], [38], [40], [42], [45], [48], [51]) entre autres le mouvement Brownien et les processus stochastiques solution d'équations différentielles stochastiques (EDS) connu sous le nom de processus de diffusion qui sont markoviens i.e. que leur état futur ne dépend que de leur état présent, notion clé de cette étude. Nous introduisons un nouveau type d'intégrale qui est l'intégrale stochastique dite d'Itô qui permet de donner un sens à la différentielle d'un mouvement brownien, notion importante sur laquelle repose la théorie des EDS.

Dans le chapitre II, on donne des généralités sur les équations aux dérivées partielles (EDP) de second ordre ; ensuite nous présentons une méthode

numérique pour la résolution des EDP: la méthode des différences finies ([3], [4], [10], [18], [23], [32], [54]), méthode utilisée dans les cas où la résolution par les méthodes analytique est impossible. Dans ce cas la solution trouvée est une solution approchée.

Dans le chapitre III, Nous exhibons le lien profond existant entre la notion des équations aux dérivées partielles (EDP) et celle des EDS à travers des théorèmes, en particulier, ceux dit de Feynman-Kac ([6], [9], [15], [16], [23] , [24], [35], [40], [49], [52]). La généralisation des ces théorèmes nous permet de donner une interprétation probabiliste des EDPs, et par conséquent, une solution approchée sous forme d'une espérance d'une fonctionnelle.

Le chapitre IV, est une application des notions introduites dans les chapitres I, II et III. Nous commençons par simuler les trajectoires du mouvement Brownien, ensuite, la simulation de la diffusion par la méthode d'Euler ([2], [4], [28]) et enfin à la plus important dans ce travail, qui est l'interprétation probabiliste des EDPs. Dans cette partie, on choisit une EDP (parabolique) que nous pouvons résoudre analytiquement, pour ensuite la résoudre par la méthode des différences finies, et on compare la solution donnée par les méthodes utilisées ([1], [13], [25], [26], [30], [34], [35], [50]). Dans le chapitre V, nous abordons l'application en finance. On s'intéresse particulièrement à l'évaluation d'options dans le modèle de Black et Scholes ([29], [41], [43], [44], [46], [53]). On illustre les différentes méthodes pour obtenir la valeur de l'option, c'est à dire, la méthode de Monte Carlo, Binomiale et le passage par l'EDP de Black et scholes (parabolique).

CHAPITRE I :

sommaire suivant






La Quadrature du Net