4.2.2 Noyau associé binomial
Nous rappelons qu'une loi binomiale de
paramètres N et p, B(N,p) est une loi discréte définie sur
l'ensemble {0, . . . ,N}, avec N est un entier fixé dans N, de fonction
de masse de probabilité gB(N,p) telle que
N_x
.
N!
x!(N - x)!
Pr(X = x) = px(1 - p)
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi
binomiale alors lespérance et la variance sont respectivement
E(X) = Np et V ar(x) = Np(1 - p).
La figure 4.5 présente l'allure de la
densité d'une loi binomiale quand nous fixons la
fenêtre h et nous faisons varier x. Par ailleurs, la figure
4.6 donne la variation de cette densité quand nous varions h
et nous gardons x fixé en 7.
FIG. 4.5 Illustration du noyau associ binomial pour
h = 0.1 et x varié.
x=0 x=1
2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
x=2 x=4
0 2 4 6 8 10
x=5
0 2 4 6 8 10
x=7
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
y
Probab(y)
0.0 0.4 0.8
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
0.0 0.2 0.4
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
Probab(y)
0.0 0.2 0.4
?
?
?
? ? ? ? ? ? ?
0.0 02 0.4
? ?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
Probab(y)
0.0 0.2 0.4
? ? ?
?
?
? ? ? ?
0.0 0.2 0.4
?
? ? ? ?
?
?
? ?
Le noyau KB(x+1,(x+h)/(x+1)) est le
noyau discret associé a la variable aléatoire
KB(x+1,(x+h)/(x+1)) de loi binomiale défini sur le support ?x,h =
{0,1,.. . ,x + 1} tel que
,
fx + h ~y f1 - h ~x+1_y
KB(x+1,(x+h)/(x+1))(y) = (x + 1)!
y!(x + 1 - y)! x + 1 x + 1
FIG. 4.6 -- Illustration du noyau associe binomial
pour x == y7 et h varie.
0.0 0.2 0.4
h=0.1
?
?
?
?
? ? ? ?
? ?
0 2 4 6 8 10
h=0.4
Probab(y)
0.0 0.2 0.4
h=0.2
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ?
0 2 4 6 8 10
h=0.6
0.0 0.2 0.4 0.6
0.0 0.2 0.4
Probab(y)
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
0 2 4 6 8 10
h=0.7
?
0 2 4 6 8 10
h=0.9
0.0 0.4 0.8
Probab(y)
0.0 0.4
?
?
?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
0 2 4 6 8 10
y
0 2 4 6 8 10
y
on x est dans N et h est dans [0,1]. Nous verifions a ce
niveau que KB(x+1,(x+h)/(x+1)) est un noyau
associe. En effet nous avons
i. ?x,h n ? = {0,1,...,x + 1} n N = {0,1, ,x + 1} =6 Ø.
ii.?x?N {0,1, . . . ,x + 1} = N.
E(KB(x+1,(x+h)/(x+1))) = (x + 1)(x + h)/(x +1) =x+ h ~ x
quand h ? 0. iv. V ar(KB(x+1,(x+h)/(x+1))) = (x + h)
(x--+11) < co.
v.h ? 0 V ar(KB(x+1,(x+h)/(x+1))) = x
x+1 < 1.
Pour le meme echantillon de variables aleatoires considers nous
donnons lestimateur
b
fn de f a noyau associe binomial defini sur
?x,h = {0,1, . . . ,x + 1} comme etant
|
bfn(x) = 1
n
|
i=1
|
KB(x+1,(x+h)/(x+1))(Xi)
|
1
n
Xn
i=1
((x + 1)! x + h Xi 1 - h x+1--Xi
,
Xi!(x + 1 - Xi)! x + 1 x + 1
avec x ? N et h ?]0,1]. D'apres (4.8), le biais est
B iais { in(x)} = h f (1) (x) +
2 (x + h) (x 1 f (2) (x) + o(h).
|
fn(x) = 1
n
|
i=1
|
KBN(x+1,(x+1)/(2x+1+h))(Xi)
|
|
1
n
|
i=1
|
+ Xi)! Xi!x!
|
~x + h yX% x + 1 2x + 1 + h) 2x + 1
+ h)
|
4.2. NOYAU ASSOCIR DISCRET POUR DES DONNRES DE COMPTAGE 77
Pareillement, d'après (4.9), la variance est
|
V ar {1n(x)} =
|
1 - h ~x + h ~
n x + 1
|
x
|
f(x).
|
Enfin, le MISE est obtenue en sommant les deux
quantités calculées précédemment. Nous
trouvons
~x + h ~x
X
1 - h
MISE(n,h,f) = f(x)
n x + 1
xEN
2
.
+ {hf(1)(x) + 2 1(x +
(x + 1) f (2) (x) + o(h)}
1 - h
x?N
| 
