Estimation non-paramétrique par noyaux associés et données de panel en marketing

Chapitre 5

Regression multiple a noyaux

associes mixtes

Nous rappelons _que si nous avons un couple de variables aléatoires réelles telles _que Y soit inté_grable (E(Y ) < oo) alors la fonction

r(x) = E(Y |X = x)

est appelée fonction de ré_gression de Y sur X on nous n'avons aucune spécification sur r(x), avec x E R. Supposons _que nous disposons de n-échantillon (X1,Y1) , . . . , (X_n,Y_n) de variables aléatoires de même loi _que (X,Y ), de densité (fonction de masse) de probabilité inconne. Nous nous proposons ainsi de construire un estimateur br_n de la fonction densité (de masse) inconnue. En effet dans létude de la ré_gression non-paramétri_que, nousdistin_guonsdeuxmodelesprincipauxlaré_gressionnon-paramétri_que effetsaléatoires et la ré_gression non-paramétri_que a effets fixes. Dans le premier cas, les observations Xi sont aléatoires, alors _que dans le cas deffets fixes les Xi sont i.i.d., fixé dans R (Xi = i/n) et déterministes.

Soit ainsi le modele _général

Yi = r(Xi) + ei pour i = 1, . . . ,n, (5.1)

on les ei sont i.i.d., non corrélés avec Xi, de mo_yenne nulle et de variance ó².

5.1 Estimateur de Nadara_ya-Watson

Ilexisteplusieurst_ypesd'estimateursano_yaupourlaré_gressiondontleplusfameux est celui de Nadara_ya-Watson. Dans le cas univarié lestimateur de Nadara_y-Watson de la fonction ré_gression r est défini par

Eⁿi=1 YiKx,h (Xi)

(5.2)

brn(x) = Eⁿi=1 Kx,h (Xi) ,

CHAPITRE 5. REGRESSION MULTIPLE A NOYAUX ASSOCIRS 88 MIXTES

contrario,l'estimateur br(x)estnul.NouspouvonsrepresenterlestimateurdeNadara_yaWatson comme une somme ponderee des Yi:

brn(x) =

Xn i=1

wx,h(Xi)Yi pour x E fit, (5.3)

oU

Kx,h (Xi) (5.4)

wx,h (Xi) = En i=1

Kx,h (Xi)

est la fonction poid telle que Eⁿi=1 wx,h (Xi) = 1, par convention 0/0=0. La fonction Kx,h estlafonctionno_yauassociepresenteedansleschapitresprecedents,definisur R_x,h. Nous pouvons melan_ger plusieurs t_ypes de no_yau associe savoir lesles no_yaux associes continus s_ymetri_ques ou as_ymetri_ques avec les no_yaux discrets standards. La fenêtre h = h(n,K) determine le niveau de lissa_ge de l'estimation

En se referant au _quatrième chapitre de la thèse (en preparation) de Sen_ga Kiesse (2008), il est convenable de donner l'estimateur de Nadara_ya-Watson sous une forme plus souple. Pour cela, soit

N_n(x; h)

rnx D_n(x; h) (5.5)

avec		1 Nn(x; h) = n		Xn i=1		YiKx,h (Xi) ,
et	1 Dn(x; h) = n		Xn i=1		Kx,h (Xi) =^bfn(x).

Nous _generalisons la definition (5.2) de cet estimateur au cas multidimensionnel En effet, en utilisant (3.18) et (4.27), l'estimateur de Ndara_ya-Watson devient

br_n(x) =

^{En Y} {11p Kj

Y j=1 xi ,hi (Xij) }

(5.6)

En (_Trp _Kj i=1 11j=1 xi,hi on x =^t (x1i,. . . ,xpi) E ,Kjxi,hi

estle_jèmeno_yauassocieet Xij estlaièmeobservation

de la _jème composante.

??