Estimation non-paramétrique par noyaux associés et données de panel en marketing

Chapitre 7

Conclusions et perspectives

7.1 Conclusions

Ce rapport a permis de couvrir une étendue assez lar_ge du domaine de lestimation non-paramétri_que d'une densité (fonction de masse) de probabilité inconnue f basée sur la techni_que des no_yaux associés Nous avons vul_gariséles travauxdes pionniers de ce domaine, et aussi unifié la définition d'un no_yau associé dans chacun des cas continu et discret. Nous avons pu ainsi donner lestimateur et calculer ses propriétés.Les illustrations faites simplifient la compréhension de cette méthode Lapplication de cette approche sur les données parsemées met en évidence _que le no_yau associé trian_gulaire est performant. Enfin, la méthode d'estimation non-paramétri_que par no_yaux associés permet d'avoir de bons résultats si nous choisissons adé_quatement les paramètres mis en _jeu.

7.2 Perspectives

Les travaux présentés dans ce document offrent de nombreuses perspectives.

Sur un plan théori_que, nous aurions aimé nous attarder sur lestimateur a no_yau associé multiple et nous intéresser a ses propriétés fondamentales. Nous aurions aussi aimé appli_quer ces no_yaux associés sur des données de panel dans un cadre de ré_gression. C'est a dire _que sur ces données parsemées nous attribuons un mélan_ge de no_yaux discrets et continus afin d'améliorer la _qualité destimation.

Il sera é_galement intéressant de penser a une combinaison entre les no_yaux associés continus et les no_yaux associés discrets _Quel_ques travaux dans cette direction vont d'ailleurs être entrepris.

104 CHAPITRE 7. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

Chapitre 8

Annexe 1 : commandes sous le

logiciel R

Pro_gamme des simulations de l'estimateur a no_yau continu s_ymétri_que

Nous avons utilisé le code suivant pour la méthode de Plu_g-in

densit_y.default(x=x,bw= nrd0Ukernel= epanechnikov"n=100) on la commande ' bw= 'nrd0' permet de choisir la fenêtre delissa_ge. Nous avons utilisé le code suivant pour la méthode de Validation croisée

densit_y.default(x=x,bw= ucvU,kernel= epanechnikov"n=100) on la commande ' bw= 'ucv' permet de choisir la fenêtre delissa_ge.

Nous avons crée nos propres codes pour présenter les _graphi_ques des di~érents t_ypes de no_yaux .

En particulier, nous avons eu recours aux fonctions d_gamma" et dbeta" _qui existent dé_jà sousR. Pour La loiinverse _gaussienne(IIG)et récipro_queinverse_gaussienneRIIG), nous les avons pro_grammmé puis_que le code nexiste pas.

dinv_gauss <- function(x, mu = stop(Uno shape ar_gU) lambda = 1

^{if(an_y(mu<=0)) stop('mu must be positiveU)

if(an_y(lambda<=0)) stop( lambda must be positive")

d <- ifelse(x>0,s_qrt(lambda/(2*pi*x³))*exp(-lambda*(x -- mu)²/(2*mu²*x)),0) if(!is.null(Names <- names(x)))

names(d) <- rep(Names, len_gth = len_gth(d))

^}dpinv_gauss <- function(_q, mu = stop(!no shape ar_g!) lambda = 1)

^{if(an_y(mu<=0)) stop(!?mu must be positive!)

if(an_y(lambda<=0)) stop( lambda must be positive")

n <- len_gth(_q)

if(len_gth(mu)>1 && len_gth(mu)!=n) mu <- rep(mulen_gth=n)

if(len_gth(lambda)>1 && len_gth(lambda)!=n) lambda <- rep(lambda,len_gth=n) l_q <- s_qrt(lambda/_q)

_qm <- _q/mu

p <- ifelse(_q>O,pnorm(l_q*(_qm-1))+exp(2*lambda/mu)*pnorm(-l_q*(_qm+1))O) if(!is.null(Names <- names(_q)))

names(p) <- rep(Names, len_gth = len_gth(p))

^}prinv_gauss <- function(n, mu = stop("no shape ar_g") lambda = 1)

^{if(an_y(mu<=O)) stop(Umu must be positiveU)

if(an_y(lambda<=O)) stop( lambda must be positive")

if(len_gth(n)>1) n <- len_gth(n)

if(len_gth(mu)>1 && len_gth(mu)!=n) mu <- rep(mulen_gth=n)

if(len_gth(lambda)>1 && len_gth(lambda)!=n) lambda <- rep(lambda,len_gth=n) _y2 <- rchis_q(n,1)

u <- runif(n)

r1 <- mu/(2*lambda) * (2*lambda + mu*_y2 - s_qrt(4*lambda*mu*_y2 + mu²*y2²))

r2 <- mu²/r1

ifelse(u < mu/(mu+r1), r1, r2)

}

Nous avons crée nos propres codes pour appli_querles estimateurs auxdonnéesdepanel. Pro_gamme de l'estimateur a no_yau associé discret trian_gulaire

Description: Lissa_ge d'une distribution de probabilité discrète par un estimateur a no_yau associé discret trian_gulaire

Ar_guments:

x: vecteur des points

h: paramètre de lissa_ge

a: bras (paramètre)

V: vecteur des observations de l'échantillon

N: effectifs des observations

n=sum(N): nombre total d'observations = taille de léchantillon

Usa_ge:

trn_g=function(x,h,V,N,n,a)

trn_g=edit(trn_g,editor= nedit ?)

Y=trn_g(x,h,V,N,n,a)

Détails: La loi de probabilité discrète trian_gulaire dordre h, de bras a et de centre x se définit par

Pr(z)= ((a+1)bh - (abs(z-x))bh)/A,

avec z = x#177;1,x#177;2,...,x#177;a, et on A=(2*a+1)*(a+1)bh-2*sum(kbh), k=1,2,..., a est la constante de normalisation.

Code de l'estimateur a no_yau associé discret triangulaire

function(x,a,V,N,n,h) ^{_y=0

s=rep(0,len_gth(x))

n=sum(N) # Taille de l'échantillon

f0=c(N/n,rep(0,len_gth(x)-len_gth(N))) # Estimateur fré_quence

u=0_;

m=0_;

for (k in 1:a)

{ m=kbh

u=u+m

}

A=(2*a+1)*(a+1)bh-2*u # Constante de normalisation P(a,h)

for (i in 1:len_gth(x))

{for (_j in 1:len_gth(N))

{if (V[_jI=(x[iI-a) V[_jI=(x[iI+a)) # Support {x #177; 1,... ,x #177; a}

{K=((a+1)bh - (ahs(V[_jI-x[iI))bh)/A # No_yau associé

_y=(N[_j]/n)*K # Estimation a no_yau associé discret trian_gulaire

} else{

_y=0

} s[iI=s[iI+_y

} } fn=s/sum(s) # Estimations ^bI_n

E=sum(s) # Constante de normalisation C

E[21=sum((f0-fn) b2) # ISE0

Pro_gamme de l'estimateur a no_yau associé discret binomial

Description: Lissa_ge d'une distribution de probabilité discrète par un estimateur a no_yau associé discret binomial.

Ar_guments:

x: vecteur des points

h: paramètre de lissa_ge

V: vecteur des observations de l'échantillon

N: effectifs des observations

n=sum(N): nombre total d'observations = taille de léchantillon

Usa_ge:

binom=function(x,h,V,N,n)

binom=edit(binom,editor= neditU)

Yb=binom(x,h,V,N,n)

Détails: La loi de probabilité binomiale de paramètres p et n se définit par

Pr(z)= choose(n,z)*(p)bz*(1-p)b(n-z),

z = 0,1,..., n. Le no_yau associé discret se construit avec p=(x+h)/(x+1) et n=x+1. Code de l'estimateur a no_yau associé discret binomial

function(x,V,N,n,h)

{ _y=0 s=rep(0,len_gth(x))

n=sum(N) # Taille de l'échantillon

f0=c(N/n,rep(0,len_gth(x)-len_gth(N))) # Estimateur fré_quence

for (i in 1:len_gth(x))

{for (_j in 1:len_gth(N))

{if(V[_j]<=x[i]+1) # Support {0,1,. . . ,x + 1}

{ K= choose(x[i1+1,V[_j1)*((x[i1+h)/(x[i1+1))b(V[_j1) *((1-h)/(x[i1+1))b(x[i1+1-V[_j1)) # no_yau associé

_y=(N[_j]/n)*K # Estimation a no_yau associé discret binomial

}

s[iI=s[iI+_y

} }

fn=s/sum(s) # Estimations ^bI_n

E=sum(s) # Constante de normalisation C

E[2I=sum((f0-fn)b2) # ISE0