INTRODUCTION :
N
ous avons présenté dans le premier chapitre, la
notion de la stationnarité, mais les chroniques économiques sont
rarement des réalisations de processus aléatoires stationnaires,
c'est pour cela, nous étudierons dans ce chapitre les processus
aléatoires non stationnaires qui peuvent être observés
graphiquement soit à partir de la série d'origine( existence
d'une tendance, variabilité croissante au cour de temps), soit à
partir de la fonction d'autocorrélation et décroissante lente
.
La difficulté réside dans le fait qu'il existe
différentes sources de non stationnarité et qu'à chaque
origine du non stationnarité est associée une méthode
propre de stationnarisation. Nous commencerons donc par présenter deux
classe de processus non stationnaire, selon la terminologie de Nelson et
Plosser(1982):les processus TS (Trend Stationnary) et les processus DS
(Differency Stationnary); puis nous présenterons les méthodes de
stationnarisation pour chacune de classe de processus; ensuite, nous verrons
apparaitre les testes de racine unitaire de Dickey-Fuller, test de Phillips et
Perron et test de KPSS.
Enfin, il ne reste plus qu'introduire une sous classe de
processus «ARMA»;c'est la classe des processus "ARIMA"(Integrate
AutoRegressive Moving Average).
SECTION1 :
Les processus TS
1 -Définition :
Commençons par définir ce qu'est un processus
TS pour »Trend Stationnary», selon la terminologie proposée
par Nelson et Plosser(1982).
-(, t Z) est un processus TS s'il peut s'écrire sous la
forme suivante: avec f(t) est une fonction de temps et est
un BB (0,)
Le cas le plus fréquent rencontré dans les
séries économiques apparait lorsqu'on modélise f(t) par
polynôme d'ordre un soit :
Avec
On dit également que ce processus présente une
non stationnarité de type déterministe car seul le moment d'ordre
un dépend de temps.
· E ()=E ( ) = car E (t
· V ()= E t
· COV(,) =E-E()) (-E ( =E ()=0 ;
t
2- La stationnarité du processus
TS:
Le processus « TS » traduit l'existante de
fluctuations stationnaires représentées par sa variance autour
d'une tendance déterministe qui est sa moyenne. Afin de rendre ce
processus "stationnaire", il s'agit d'enlever la tendance du processus
après avoir estimé les coefficients de l'ordonnée à
l'origine et de la pente par LA MÉTHODE DE MOINDRE CARRÉE
ORDINAIRE(MCO).
= =
Le processus résultant « » est bien
stationnaire puisqu'il a les même propriétés que le terme
d'erreur « ».
SECTION2 :
Les processus DS
1 - Définition:
Comme nous l'avons précédemment
mentionné, il existe une autre forme de non stationnarité,
provenant non pas de la présence d'une composante déterministe
tendancielle, mais d'une source stochastique. C'est pourquoi nous allons
à présent introduire la définition de processus DS pour
Differency Stationnary.
- Un processus non stationnaire ( , t Z) est un processus DS
(Differency Stationnary) d'ordre « d » qui désigne
l'ordre de l'intégration, si le processus filtré défini
par :
; Avec L est l'opérateur retard, d
est l'ordre d'intégration et B est une constante encore appelée
dérive.
On dit également que ce processus présente une
non stationnarité de type stochastique car tendance aussi que la
variance sont variables dans le temps. Le cas le plus fréquemment
rencontré lors de l'étude des séries d'observation est
celui avec « d =1» : On parle de marché au
hasard avec dérive ;
Cas : Si B=0
Le processus donc comme suit :
(1-L)=C'est un processus AR(1) avec =1, on
appelle aussi DS sans dérive, marché au hasard qui a cette
représentation :
· E ()=E (+)=
· V ()=V (
· COV (
Le processus s'écrit donc comme suit:
(1-L) processus AR(1) avec dérive avec =1, on
appelle DS avec dérive, marche aléatoire qui a une
représentation équivalente :
· E () = E (+Bt
· V (
· COV (
2- La stationnarité de processus
DS:
Le processus DS de peut être rendre stationnaire
EN APPLIQUANT LE FILTRE AU DIFFÉRENCE
PREMIÈRE
SECTION3 :
Les tests de racine unitaire
- Il est important de pouvoir distinguer avant toute tentative
de modélisation «ARMA» si le processus
générateur d'une série d'observation appartient à
la classe TS ou DS. La littérature a sur ce sujet été
prolixe ces dernières années suite aux travaux pinières de
Dickey(1976) et Fuller(1976). On s'accorde néomoins pour reconnaitre
à trois tests particuliers, précisément ceux de Dickey et
Fuller(1979,1981), Phillips et Perron(1988) et Kwiatkowski et al(1989), la
capacité de donner de bonnes indications quant à la nature du non
stationnarité observée.
1-Test de Dickey-Fuller:
Le test de Dickey Fuller simple(1979) est un test de racine
unitaire (ou de non stationnarité) dont l'hypothèse nulle est la
non stationnarité d'un autorégressif d'ordre un.
Considérons un processus ( , t Z) satisfaisant la
représentation AR(1) suivante :
Avec
Le principe général du test de Dickey Fuller
consiste à tester l'hypothèse nulle de la présence d'une
racine unitaire.
Le test de Dickey Fuller se base à des 3 modèles
qui sont :
Donc le statistique de test est donnée par :
=Avec
Ø Règle de décision :
- Si ; alors on ne rejette pas le processus est non
stationnaire
- Si alors on rejettele processus est stationnaire
- Dickey et Fuller ont testé aussi la valeur de ( alors
on trouve ces trois modèles :
Donc
On aura les mêmes étapes de test
2- Test de Dickey Fuller Augmenté
(ADF):
C'est test est applicable dans le cas d'autocorrélation
des erreurs d'ou les articles de Dickey-Fuller(1981) étendent les
résultats des tests que l'erreur suit un processus AR(p) et ils sont
fondés sur l'estimation par MCO de trois modèles suivant.
Avec
Pour les trois modèles, on chercher à tester la
racine unitaire sous contre une racine en dehors du cercle unité.
Ceci revient à poser la stratégie
suivante :
La stratégie de test « ADF »
consiste en première étape à déterminer le nombre
de retard "p" nécessaire pour blanchir les résidus. Dans la
seconde étape, il suffit d'appliquer la stratégie
séquentielle du test de Dickey- Fuller simple.
Pour déterminer la valeur de "p", il suffit de
minimiser les critères d'information qui sont des critères
fondé sur le pouvoir prédictif du modèle
considéré et qui tiennent du nombre de paramètre à
estimer. Ces critères s'applique de façon générale
à tout type de modèle et pas uniquement aux modèles des
testes « ADF ».Nous retiendrons ; le critère
d'Akaike(1973) et le critère de Schwarz (1978).Pour un modèle,
incluant "p" paramètres, estimé sur "T" périodes et
dans la réalisation de l'estimateur de la variance des résidus
est :
- Le critère d'Akaike, ou AIC est :
AIC (p) =T Log () +2p
- Le critère de Schwartz(1978) est défini
par:
SIC(p)= T log () +p Log T
3- Test de Phillips et Perron:
Le test de Phillips et Perron(1988) est construit sur une
correction non paramétrique de la statistique de Dickey- Fuller pour
prendre en compte des erreurs hétéroscédastique et/ou
autocorrelées. Il se déroule en 4 étapes:
- Estimation par MCO des trois modèles de bases des
tests de Dickey- Fuller et calcule des statistiques associées, soit le
résidu estimé.
- Estimation de la variance dite de cour terme des
résidus :
- Estimation d'un facteur correctif «
»établit à partir de la structure des covariances des
résidus des modèles précédemment estimés de
telle sorte que les transformations réalisées conduisent à
des distributions identiques à celle de Dickey -Fuller
standard :
Calcule de la statistique de test :
=+ Avec K
=
4- Le test de KPSS:
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, et Shmin(1992) proposent un
test fondé sur l'hypothèse nulle de stationnarité.
Après l'estimation de modèles ; on calcule
la somme partielle des résidus : et on estime la
variance de long terme () comme pour le test de Phillips et Perron. La
statistique est alors :
LM=
- Si LM : on ne rejette pas l'hypothèse nul et on
conclu que la série est stationnaire.
- Si LM: on rejette l'hypothèse nul et on conclu que la
série n'est pas stationnaire.
SECTION 4 :
Les processus ARIMA
On a si le processus est de type
« DS » ; alors on emploie les filtres aux
différences pour le stationnariser. Le recours à ces filtres
permet de définir les processus ARMA intégrés notés
"ARIMA".
- Un processus (t Z) ARIMA (p, d, q) est un processus
stationnaire dont la différenciation est d'ordre
« d » :
Est un processus ARMA (p, q) stationnaire et
inversible
- Un modèle "ARIMA" est étiqueté comme
modèle ARIMA (p, d, q) dans le quel :
- L'estimation des modèles "ARIMA" suppose que l'on
travaille sur une série stationnaire. Ceci signifie que la moyenne de la
série est constante dans le temps, ainsi que la variance. La meilleur
méthode pour éliminer toute tendance est de différencier,
c'est-à-dire de remplacer la série originale par la série
des différences adjacentes. Une série temporelle qui a besoin
d'être différenciée pour atteindre la stationnarité
est considéré comme une version intégrée d'une
série stationnaire (d'où le terme Integrated).
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