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Notion de système formel. Prolégomènes à  une logique cognitiviste à  partir de Donald Davidson

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par Tamis Muamba Ngueshe
Université de Kinshasa - Licence 2010
  

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I.2.2. Approche algébrique et sémantique

L'approche algébrique est directement inspirée de Boole avec sa logique des classes. Sa contribution fondamentale à la logique est double : d'une part, cette discipline se trouve avec lui intimement associée aux mathématiques dans la lignée de l'idéal leibnizien d'une caractéristique universelle et, d'autre part, elle se trouve associée aux structures algébriques avec le courant de l'algèbre de boole et du calcul des classes qui allait se développer dans la seconde moitié du XIXème siècle avec Venn, Jevons, L. Caroll, Peirce et schröder. « A bien des égards, ce courant de calcul des classes qui repose sur la notion de vérité, de validité et d'interprétation d'une proposition dans un univers possible, représente une approche sémantique de la logique distincte de l'approche syntaxique et axiomatique... »(41(*)).

1. Approche algébrique ou logique des classes

Il y a essentiellement deux classes chez Boole, à savoir : la classe universelle ou l'univers du discours des objets concevables symbolisés par 1 et la classe nulle représenté par 0. Ces deux classes sont des constantes.

Outre ces deux classes, il y a des symboles littéraux tels que x, y, z (...) qui représentent les choses visées par les concepts et qui sont des classes quelconques, mieux des sous classes de la classe universelle, à la seule différence que les symboles littéraux sont des variables.

Quant à la classe complémentaire, elle est obtenue par la soustraction de la classe universelle par une sous classe et sa formule s'énonce comme suit : (1-x) ou (1-y), etc.

Enfin, il y a quatre opérateurs de base (+,.,-,=) qui représentent respectivement la somme logique, le produit logique , l'exception de certaines éléments dans une classe et l'identé extensionnelle, laquelle correspond à la copule Est de la forme de la proposition classique : S est P.

Un cinquième opérateur « v » est le quantificateur particulier. Une variable précédé de « v » est particulière alors que celle qui n'en est pas précédée est universelle.

· Les lois fondamentales de la logique des classes :

- La commutativité : x.y = y.x

x+y = y+x

- L'associativité : x. (y.z) = (x.y).z

x+(y+z) = (x+y)+z

- La distributivité : x. (y+z) = (x.y) + (x .z)

x. (y-z) = (x.y) - (x .z)

- L'idempotence ou la loi des indices : x.x = x2=x

- La loi de la complémentarité : 1-x

· Interprétation de la logique des classes

La logique des classes peut être interprétée de diverses manières. C'est justement cette diversité dans l'interprétation qui a été à la base du courant de l'algèbre de Boole, mieux des algèbres de Boole, car ces algèbres booléennes sont différentes les unes des autres du fait qu'elles n'interprètent pas toutes de la même manière les opérateurs de base (+, ., -, =).

Toutefois, Boole distinguait deux types des propositions, à savoir : les propositions primaires et les propositions secondaires (42(*)).

Les propositions primaires sont dépourvues des valeurs de vérité, c'est-à-dire qu'elles ne sont ni vraies ni fausses ni disponibles à l'être. Soit la proposition suivante :

Tout y est x

En logique des classes, nous pouvons la formaliser de la manière suivante : y = x

La proposition pourra se lire : «  tout y est x », car le signe de l'identité extensionnelle (=) correspond à la copule Est.

Boole, on le sait, a été influencé par la théorie de la quantification élaborée par W. Hamilton et améliorée par De Morgan. Aussi, notre proposition peut s'écrire de la manière suivante : y = vx.

Et se lira : tous les y sont quelques x, car v est le quantificateur particulier.

Maintenant, nous pouvons formaliser les propositions de W. Hamilton à l'aide de la logique des classes.

Termes mnémotechniques

Les propositions d'Hamilton

Leurs équivalents chez De Morgan

1

U

Tous les y sont tous les x

y = x

2

I

Certains y sont certains x

vy = vx

3

A

Tous les y sont certains x

y = vx

4

Y

Certains y sont tous les x

vy = x

5

E

Aucuns y n'est aucun x

y= (1-x)

6

W

Certains y ne sont pas certains x

vy = v(1-x)

7

 

Aucuns y ne sont certains x

y = v (1-x)

8

O

Certains y ne sont aucuns x

vy = (1-x)

Quant aux propositions secondaires, nous disons qu'elles sont pourvues de valeurs de vérité provisoires, c'est-à-dire qu'elles peuvent être vraies à un moment et fausses à un autre. Néanmoins, c'est par elles que Boole exprime la plupart des opérations propres à la syllogistique traditionnelle (conversions, syllogismes, etc.) et définit la notion générale de fonction logique. Il peut ainsi considérer la syllogistique comme un cas particulier d'une méthode algébrique générale.

Voici, l'exemple d'une proposition secondaire : « les diamants sont des substances quantitativement limitées, échangeables, coûtant chères ou protégeant contre la pauvreté ».

En posant :

a  : les diamants ;

b : substances quantitativement limitées

c : échangeables ;

d : coûtant chères ;

e : protégeant contre la pauvreté.

Nous obtenons l'ebf suivante :

a=b.c [d + (1 - e)]

2. Approche sémantique

A notre humble avis, le courant de calcul des classes issu de l'algèbre de Boole représente une approche sémantique de la logique. Mutombo Matsumakia est d'avis que : «le point de vue sémantique ou de la théorie des modèles comprend la méthode des tables de vérité de post et Wittgenstein, des matrices de Peirce et des tableaux sémantiques de Beth »(43(*)).

Nous nous proposons de parler de Schröder. En effet, à plus d'un égard, il peut être considéré comme une figure importante de l'approche sémantique.

Schröder, comme Boole, s'inscrit dans la lignée Leibnizienne d'une caractéristique universelle. Voyons cependant les différences qu'il y a entre les deux logiciens (44(*)).

- Chez Boole, la négation est définie à partir de la soustraction alors qu'elle est une opération primitive chez Schröder ;

- La somme logique n'est plus interprétée dans une sens exclusif, mais plutôt dans un sens non exclusif ;

- L'identité extensionnelle n'est plus la seule relation, il s'y ajoute l'implication et l'identité au sens de l'équivalence ;

- La logique booléenne n'était pas une véritable logique propositionnelle. Boole n'excluait pas qu'une même proposition puisse avoir des valeurs de vérité distinctes à des moments distincts (cas de propositions secondaires). Pour faire face à cette situation, Schröder ajoutera aux lois fondamentales de la logique propositionnelle l'axiome suivant :

a=(a=1)

Dans cet axiome, 1 symbolise n'importe qu'elle proposition vraie, mieux qui serait vraie à tout moment. Cet axiome, en clair, signifie qu'une proposition est vraie si et seulement si elle est toujours vraie.

- En outre, il a introduit la notion des coefficients de relation.

Tout compte fait, bien qu'elle soit axée surtout sur la logique des classes et qu'elle se situe dans la lignée de Boole et non de Frege et Russell, l'oeuvre de Schröder a exercé une influence non négligeable sur le développement de la logique mathématique dans la première moitié du XXème siècle comme en témoignent les travaux de Löwenheim, Skolem et Zermelo.

Tableau comparatif de l'approche algébrique et de l'approche sémantique

Approche algébrique

Approche sémantique

1

Désignations

Descriptions

symboles

Désignations

Descriptions

symboles

 

Le complément des classes

L'exception des certaines éléments dans une classe

-

La négation

C'est un opérateur unaire ex :~p

~

2

Le produit logique

L'intersection de deux classes

.

La conjonction

C'est un opérateur binaire. Elle met en relation deux propositions ou deux expressions. Elle est vraie lorsque ces deux arguments sont vrais

^

3

La somme logique

La réunion de deux classes

+

La disjonction inclusive

C'est un opérateur binaire. Il est vrai lorsqu'au moins l'un de ces membres est vrai

V

4

L'identité extensionnelle

La copule est

=

L'équivalence ou la bi -implication

Elle est aussi binaire. Elle est vraie si et seulement si ses deux membres ont la même valeur de vérité

?

5

L'inclusion

L'inclusion d'une classe dans une autre

 

L'implication

Elle est également binaire. Elle est fausse si l'antécédent est vrai et le conséquent faux, vraie dans les autres cas

?

6

les symboles littéraux

Les classes quelconques. Ce sont des variables

x, y, z

Les variables propositionnelles

Elles désignent les énoncés du langage ordinaire

p, q, r...

7

La classe universelle

L'univers du discours. C'est une constante

1

Le vrai

Lorsqu'une expression est vraie dans toues les éventualités, on parle de tautologie

pv~p

1101

0110

8

La classe vide

La classe nulle

0

Le faux

Lorsqu'une expression est fausse sur toutes les lignes, on parle de contradiction logique

p^~p

1001

0010

* 41. Jean François MATTEI, op.cit, p.1630.

* 42. Cfr.Idem

* 43. MUTOMBO MATSUMAKIA, «  un petit aperçu sur la logique classique », in revue philosophie de Kinshasa, vol. XIV, n° 25-26, 2000, p.169.

* 44. Cfr. Jean -François MATTEI, op.cit, p.2827.

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