2.2.7 Propriétés et estimation empirique de
la fonction d'autocovariance
Rappelons que la fonction d'autocovariance d'un processus
stochastique faiblement stationnaire {Xi, t 2 Z}, notée 'Yh, est
définie par :
'Yh = cov (Xi, Xi_h) = E [(Xi - E (Xi)) (Xi_h - E
(Xi_h))], Vh, t 2 Z,
On remarque que pour h = 0, l'autocovariance se réduit
à la variance du processus Xi notée 'Y0.
Propriétés 2.2.6
a) La fonction d'autocovariance 'Yh satisfait la
propriété suivante
'Y_h = 'Yh, Vh 2 Z, (fonction paire)
Donc, on peut dans la pratique, se restreindre aux
autocovariances aux retards positifs, c'est-à-dire on peut, sans perte
de généralité, prendre h 2 N.
b) On peut facilement, en utilisant l'inégalité de
Cauchy-Shwarz, vérifier la propriété suivante
j'Yhj ~ 'Y0=Var(Xi) Vh,t2Z.
Autocovariance empirique
En pratique, la fonction d'autocovariance n'est pas connue,
cependant elle peut être estimée, sur la base d'un vecteur
aléatoire (X1, ..., XT)', de taille T, par le biais de
l'estimateur convergent ~b (.) dit autocovariance empirique, défini
par:
|
b'Yh =
|
1
T--h
|
T P_h
i=1
|
PT
(Xi -- Xi ) (Xi_h -- Xi ) , avec Xi = 1 Xi
Ti=1
|
|
b'Yh =
|
1
T--h
|
T P_h
i=1
|
1 PT
(Xi - Xi) (Xi_h - Xi), avec Xi = Xi.
T i=1
|
Bien entendu, pour une série temporelle X1, X2, ..., XT,
on a l'estimation empirique b'Yh :
2.2.8 Fonction d'autocorrélation
La fonction d'autocorrélation de retard h, Ph, h 2 Z,
d'un processus, du second ordre, faiblement stationnaire de moyenne E (xi) = ~
et de variance Var (xi) = 'y0, notée Ph est définie par:
|
Ph =
|
Cov (xi, xi-h)
|
'yh
'y0
|
, Vh2Z.
|
|
/V (xi)pV (xi-h)
|
Il est facile de vérifier que la fonction
d'autocorrélation satisfait les deux propriétés suivantes,
qui découlent directement des deux propriétés a) et b) de
la fonction d'autocovariance Propriétés 2.2.7
1) Ph = P-h Vh2Z,
Donc on peut dans la pratique se restreindre aux
autocorrélations pour h ~ 0.
2) P0 = 1, Vh2Z,
jPhj ~ 1, Vh2Z.
Autocorrélation empirique
L'estimateur de la fonction d'autocorrélation, bPh, est
obtenu en remplaçant, dans l'expression de Ph, 'y0 et 'yh par leurs
estimateurs b'y0 et b'yh, respectivement. En effet, on a
b'yh
, Vh2Z
bPh =
b'y0
Ce qui peut s'écrire, en tenant compte de la
définition de l'estimateur empirique de la fonction d'autocovariance,
sous la forme explicite suivante :
(x i - )
xi ) (xi-h - xi
, Vh2Z
T P-h
i=1
T
T--h
(xi - )2
xi
PT
i=1
b'yh
=
b'y0
bPh =
Remarques
1. La représentation graphique de Ph est appelée
"corrélogramme".
2. Si Ph décroît rapidement quand le nombre de
retard augmente, cela signifie que la série est stationnaire, sinon elle
est sans doute non stationnaire ou de mémoire longue.
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