3.4 Validation
Au début de cette étape on dispose de plusieurs
modèles, dont on a estimé les paramètres, que l'on doit
valider. Pour ce faire, il existe plusieurs type de tests que l'on peut les
regrouper comme suit :
a) Tests numériques : ces tests concernent la
procédure numérique d'optimisation utilisée pour
l'estimation des paramètres. En général la fonction
critère (maximum de vraisemblance, moindres carrés,
critère Bayesien...) sur laquelle se fonde l'estimation est très
complexe pour pouvoir l'optimiser à travers une méthode
analytique. Donc l'emploi des routines d'optimisation numériques est
nécessaire. Cependant ces méthodes peuvent ne pas converger et
même si elles convergent, elles atteignent des optimums locaux seulement.
Les tests numériques permettent justement de répondre à ce
genre de questions.
b) tests sur le modèle
Le premier test qu'on peut effectuer est le test de
l'hypothèse nulle p' = p - 1 et q' = q, i.e.,
qu'on cherche à savoir si on peut diminuer l'ordre du processus
autoregréssif d'une unité. Autrement dit, on test
l'hypothèse nulle du processus ARMA(p - 1, q) (i.e.ç p = 0)
contre l'hypothèse alternative de processus ARMA(p, q) (i.e.ç
p =6 0). Ce test est très simple puisqu'il s'agit de tester
la significativité du coefficient çbp.
p
Pour cela, on calcul la statistique de Student de q : t p = , et
la règle du test est la
b~p
suivante :
|
~~
--Si ~
~~
--Si ~
|
~~
t p ~ <t1_ 2 , on accepte l'hypothèse nulle de
processus ARMA(p - 1, q).
~~
t p ~ ~ t1_ 2 , on rejette l'hypothèse nulle et retient un
processus ARMA(p, q).
|
( 1 - ~ ~
Où t1_ 2 est le quantile d'ordre de la loi de Student
à (T - h) degrés de liberté. h
2
étant le nombre de paramètres estimés.
Remarque
Il est aussi possible de tester l'hypothèse nulle
p' = p et q' = q - 1, ou encore l'hypothèse
' '
p= p + 1 et q= q, ou l'hypothèse p' =p et
q' =q+1.
c) tests sur les résidus
Ces tests aident à vérifier si les résidus
estimés forment un bruit blanc. Parmi ces tests on cite les tests
suivants :
-- test "portmanteau" (Box-Pierce 1970)
Ce test est fondé sur la statistique Q = T XH
bP2 h (be). où bPh (be) est le coefficient
d'autocorré-
h=1
lation d'ordre h des résidus estimés, et H est le
nombre maximal de retard.
Les hypothèses de ce test sont les suivantes :
J
H0 : P1 = ::
·Ph = 0, non significativement
différent de zéro H1 : j tq P7 =6 0, significativement
différent de zéro
Les règles du test sont :
--Si Q <x2 (1_a) (H - p - q) on accepte H0
--Si Q > x2 (1_a) (H - p - q) on refuse H
Avec x2 (1_a) (H - p - q) est le quantile d'ordre (1 - a) de la
loi x2 à (H - p - q) degrès de liberté.
-- test de Durbin-Watson
Le test de Durbin-Watson permet de détecter une
autocorrélation des résidus d'ordre 1, sous la forme
bet = Pbet_1+71t
où t r' N(0, o-2 ~) et bet = yt -
byt est le résidu de l'estimation du modèle, avec byt est la
prévision de yt faite à t - 1. Les hypothèses du test
s'écrivent comme :
J
H0: P=0 H1 P=60 Pour tester l'hypothèse H0, la
statistique de Durbin-Watson utilisée est :
PT (- et - - et_1)2
DW=
t=2
PT be2 t
t=1
Cette statistique est comprise entre 0 et 4 et vaut 2 lorsque
P = 0. Durbin et Watson ont tabulé les valeurs critiques de DW au seuil
5% en fonction de la taille de la série et du nombre de variables
explicatives.
d) Test de normalité des résidus (Test de
Jaques-Béra (1984)) :ce test plus récent, ne
figurent pas dans
la méthodologie proposée par Box et Jenkins (1970). Il est
basé sur la
notion d'applatissement et de symétrie (Kurtosis
et skewness). Soit jUk le moment d'ordre
|
k de la distribution postulée. On appelle skewness, le
coefficient S = 3
2/3
2
coefficient K = 4 . Alors sous l'hypothese de normalité on
a:
2
2
r ) r )
S ~ N 0; T6 24T
et K ~ N 3;
Le test de Jarque-Bera repose sur la statistique
|
et Kurtosis le
|
|
T
JB=
6
|
S2+ 24 (K_3)2
T
|
pour tester les hypothèses suivantes :
H0 : La distribution des résidus suit une loi Normale au
seuil a
H1 : La distribution des résidus ne suit pas une loi
normale au seuil a
Ainis les règles du test sont les suivantes : Si JB <X2
(1_a) alors on accepte H0 Si JB ~~2 (1_) alors on accepte
H0
| 
