Etude du prix spot du Gaz naturel

5.2 Classe de modèles VARMA (p, q)

Le théorème de Wold reste valable dans le cas multivarié, et donc on admet les réultats déjà énoncés dans le chapitre 2. C'est à dire que tout processus multivarié, du second ordre purement indéterminable, stationnaire peut être représenté par l'une de deux formes équivalentes à savoir, la forme d'un modèle autorégressif d'ordre éventuellement infini et la forme d'un modèle moyenne mobile d'ordre éventuellement infini, données respectivement, par:

"t = Xt - _41Xt-1 - _42Xt-2 - _43Xt-3 +..., t E Z, Modèle autorégresif d'ordre infini

et

Xt = "t- _1"t-1 - _2"t-2 - _83"t-3 +..., t E Z, Modèle moyenne mobile d'ordre infini

Chacune de ces deux représentations nécessite éventuellement l'utilisation d'un nombre infini de paramètres qui sont en pratique inconnus et qu'on a à estimer sur la base d'une série de taille finie. Ceci n'est donc pas possible en pratique. C'est pourquoi on utilise plutôt une approximation des représentations en tronquant les séries infinies, tout en supposant la décroissance géométrique vers zéro des termes à tronquer. Deux représentations particulières et intéressantes de ces deux formes peuvent être évoquées, la première représentation particulière correspond au cas où 4, =6 0 et 4 = 0, Vi ~ p + 1, ce qui donne le modèle suivant

dit modèle autorégressif d'ordre p, noté VAR (p) :

Et = Xt - 1 Xt-1 - ² _Xt-2 - ... - _{p Xt-p,} t E Z,

et la deuxième représentation particulière correspond au 8_p =6 0 et 8j = 0, Vj > q + 1, dans la seconde représentation, ce qui donne le modèle suivant dit modèle moyenne mobile d'ordre q, noté VMA (q) :

Xt = Et - 81 _Et-1 - 82 _Et-2 - ... - 8_{q Et-q,} t E Z,

Le reste de ce chapitre est consacré seulement à l'étude des propriétés et les caractéristiques essentielles des modèles autorégressifs mutivarié purs, d'ordre p (VAR(p)).

5.2.1 Processus autoregréssif multivarié VAR(p)

La définition d'un processus autoregréssif multivarié d'ordre p, noté VAR (p) est la suivante :

Définition 5.2.1

Le processus stationnaire m-varié {Xt, t E Z} est dit admettant une représentation autoregressive vectorielle d'ordre p, noté VAR (p), s'il est solution de l'équation aux différences stochastiques suivante :

Xt - 1 _Xt-1 - (1^,2 _Xt-2 - ... - + _p Xt-p = Et (5.2.1)

où {Et, t E Z} est un bruit blanc vectoriel de matrice de covariance E. En introduisant l'opérateur retard B le modèle précédent peut s'écrire sous la forme symbolique suivante :

ou encore (I - e1B - e2B² -
·
·
· - e_pB^p) Xt = Et,

4' (B) Xt = Et,

où 4' (B) est le polynôme de retard, de degré p, donné par :

(B) = I -

Pp j=1

4j B^j où (j sont des matrices réelles avec ep =6 0,

Un modèle VAR particulier mais très important dans l'étude des propriétés théoriques des
modèles autoregressifs est le modèle VAR d'ordre 1. On montre facilement que tout modèle
VAR d'ordre p peut se mettre sous la forme (appelée souvent forme espace d'état) d'un

modèle VAR(1). En effet, en introduisant le processus m x p-varié {Yt, t Z} défini par

Yt = (X' t_1, X' t_2, ..., X' t_p+1)'

et la matrice mp x mp

₀
B_B@

~ =

_1
ACC

1 2 ~ ~ ~ _p I000 0I00 00I0

alors le modèle VAR(p) (5.2.1) peut se mettre sous la forme VAR(1) suivante

Yt = ⁴'Yt_1 + _t (5.2.2)

où

_t = (e^' _t,0^', 0^', ..., 0^')^'

Ainsi l'étude des propriétés théoriques du modèle VAR(p) (5.2.1) se ramènent à celle du modèle VAR(1) (5.2.2).

La notion de causalité qui caractérise la relation entre le processus (Xt) et le bruit (et) est également liée aux processus multivariés. Bien entendu lorsqu'un processus est causal, c'est à dire qu'il s'exprime comme fonction du présent et du passé d'un processus bruit blanc (qui est stationnaire), il est donc stationnaire. La stationnarité est cependant une propriété qui ne concerne que le processus (Xt) et non sa relation avec un autre processus. Ainsi dans le cas de modèles stationnaires, par abus de langage, on confond souvent entre causalité et stationnarité tout en sachant que les deux notions très complètement différentes.

Définition 5.2.2

Un modèle multivarié de série chronologique (linéaire ou non linéaire) de la forme:

Xt = g (Xt_1, Xt_2, ... _{Xt_p;} ^et, et_1, et_2, ... _{et_q)} ,

où et est un bruit blanc, est dit causal si, et seulement si, on peut exprimer le processus stochastique Xt sous forme combinaison linéaire (finie ou infinie) convergente, en moyenne quadratique, du présent et du passé du bruit blanc vectoriel et.

Le théorème suivant établi une condition nécessaire et suffisante pour q'un modèle autorégressif d'ordre p, soit causal.

Théorème 4.2.3

Le modèle VAR défini par la définition (5.2.2) est causal si et seulement si les racines de l'équation déterminantale suivante

det [I -- B] = 0

ou de manière équivalente

det[I-- 1B-- 2B²--...-- "B"]=0

sont à l'intérieur du cercle unité.

On remarque que la condition précédente est nécessaire et suffisante pour la causalité mais suffisante seulement pour la stationnarité.