Chapitre 2
Processus stochastiques et séries
chronologiques
2.1 Introduction
Un processus stochastique est une famille de variables
aléatoires indexées par le temps dont l'objectif principal est la
représentation des phénomènes aléatoires qui
évoluent dans le temps. A à titre d'exemple, l'évolution
des prix (Spot ou à Terme) du Gaz naturel ou d'autres biens sur leurs
marchés appropriés peut être représentée par
un processus stochastique. Une trajectoire (ou une réalisation) prise
par un processus aléatoire représentant certain
phénomène (physique, économique, écologique,
biologique,...), constitue une série chronologique dont l'analyse a pour
but la description des principales propriétés du processus
générateur de cette dernière. Analyser une série
chronologique revient à trouver un modèle mathématique
adéquat décrivant le mécanisme ayant donné lieu
à cette série temporelle. Le modèle adéquat obtenu
sera par la suite utilisé selon les objectifs désirés,
tels que la prévision ou le contrôle.
On constate ainsi que le concept des processus stochastiques
joue un rôle primordial dans
la modélisation des séries chronologiques. Pour
cela, allons présenter, dans un premier temps, les notions de base et
les propriétés essentielles des processus aléatoires, en
particulier celles de la famille des processus dits faiblement stationnaires ou
encore de ceux qui peuvent être ramenés au cas stationnaire par le
biais d'une transformation adéquate (ajustement d'une tendance
déterministe, différence ordinaire, différence
saisonnière, ...).
2.2 Processus stochastiques
Dans la suite (e, A, P) désigne un espace de
probabilité et (E, .7) un espace probabilisable.
Définition 2.2.1
Un processus aléatoire ou encore stochastique noté
{Xt, t E T} est une famille de
variables aléatoires, définies sur un même
espace probabilisé (e, A, P) et à valeur dans l'espace (E, .7)
appelé "espace d'états du processus stochastique" .
2.2.1 Classification des processus stochastiques
Les processus aléatoires sont
généralement classés selon la dimension de leurs espaces
des états, la dénombrabilité de leurs ensembles des
indices T ou la dénombrabilité de leurs espaces des
états
Ainsi, le processus {Xt, t E T} est dit scalaire si E C R et
multivarié si E C Rr,m E N* -- {1}. De même, {Xt, t E
T} est dit processus à temps discret si T est dénombrable et
à temps continu si T est non dénombrable.
Remarques
1. Notons qu'une trajectoire du processus {Xt, t E T} est une
suite de réalisations des variables aléatoires Xt, t E T.
2. Pour t fixé, Xt représente une variable
aléatoire à valeurs dans E.
3. Lorsqu'on fixe l'issue w E e, Xt (w) est une fonction
définie sur T.
4. Dans la suite de notre travail, nous considérons T =
Z. Le processus {Xt, t E Z} est souvent appelé suite
aléatoire.
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