Etude du modèle de tarification de prime d?assurance maladie par l'approche stochastique (cas de l'hôpital Saint Joseph de Kinshasa)

3.7. Constance des taux instantanés de transition

Hypothèse

Nous supposons les taux instantanés de transition constat à chaque âge, c.à.d. quels que soient l'âge x entier et 0=t=1, les identités suivantes

(3.5)

ì_ah(x+t)= ì_ah(x), ì_ag(x+t)= ì_ag(x),

ì_ha(x+t)= ì_ha(x), ì_ga(x+t)= ì_ga(x),

sont vérifiées.

3.7.1. Probabilité de transition annuelle

Commençons par estimer t en fonction des taux. Partons de l'expression suivante :

t+Ät =Pr[ + =e0], étant donné que e0,e1,e2 forment un système complet d'évenement et que pour un evenement ek avec k°{0,1,2}, un autre événement ej={0,1,2} ne peut se produire qu'en combinaison avec l'un de ek du système complet. On applique le théorème de probabilité totale.

e0=

ce qui donne:

Pr[ =e0| =e0]= Pr[ =e0| =e0]. Pr[ =e0| =e0]+ Pr[ =e1| =e0] Pr[ =e0| =e1]+

[ =e2| =e0]. Pr[ =e0| =e2],

En se référant à (3.2),

Pr[ =e0| =e0]=t Ät. + t Ät. + t Ät.

Considérons à présent un âge x entier, un instant 0<t<1 et un accroissement Ät tel que t+ Ät<1. Nous pouvons alors écrire en se référant à (3.4)

t+Ät = t (1-( ì_ah(x)+ ì_ag(x)) Ät)+ t ì_ha(x) Ät+ t ì_ga(x) Ät+o(Ät)

avec o(Ät) :notation de Landau, une fonction arbitraire de Ät tel que =0 , ou Ät est un infiniment petit d'ordre supérieur à Ät.

Ceci donne, t+Ät = t -(( ì_ah(x)+ ì_ag(x)) + t ì_ha(x) + t ì_ga(x) )Ät+o(Ät)

?

=-( ì_ah(x)+ ì_ag(x)) + t ì_ha(x) + t ì_ga(x) +

Par passage à la limite pour , on obtient l'équation suivant

-( ì_ah(x)+ ì_ag(x)) + t ì_ha(x) + t ì_ga(x) (3.6)

En procèdent de la même manière on obtient les équations différentielles suivantes pour les autres probabilités de transition.

(3 .7)

Il est simple de résoudre le système intégro-différentiel de l'ensemble des probabilités de transition en utilisant une écriture matricielle. En effet introduisant la matrice Mx reprenant les taux de transition entre paires d'états hors de la diagonale principale, et l'opposé de la somme des éléments de la ligne correspondante sur la diagonale

Mx=

En notant Px(t)=

Il vient alors que le système (3.7) peut s'écrire

P_x(t)=P_x(t) M_x (3.8),

où la dérivée d'une matrice peut se comprendre comme la matrice de dérivées. La solution de cette équation est donnée par la série

En calculant 3.8 par la méthode de Cox et Miller, en supposant que M_x possède 3 valeurs propres distinctes , et comme Mx est de rang inférieur ou égal à deux, l'une des valeurs propres est nécessairement nulle. Le vecteur propre associé à cette valeur propre est colinéaire au vecteur (1, 1, 1) ^T.

Supposons par exemple que =0, on peut ensuite décomposer M_x comme,

M_x=A_xdiag ( , et ) représente une matrice diagonale 3*3.

Dès lors

P_x(t)=A_{x +} diag ( , et ) + diag ( , , ) _+...

= diag ( , , )

= diag (exp ), exp ), exp ))