Etude du modèle de tarification de prime d?assurance maladie par l'approche stochastique (cas de l'hôpital Saint Joseph de Kinshasa)

3.10. Estimation des taux de transition

3.10.1. Exposition au risque

L'exposition au risque est le temps vécu par un individu entre l'âge x et l'âge x+1

L'exposition au risque dans l'état actif à l'âge x (ou années révolues) vaut :

ER_a(x)=temps total passé en activité par les femmes d'âge x au cours d'une période

ER_a(x)= , ou désigne le nombre des femmes ayant occupé l'état « actif » à l'âge x, et la durée d'activité de la i^ème femme.

L'exposition du risque dans l'état hospitalisé

Elle vaut ER_h(x)=temps total passé à l'hôpital par les femmes d'âge x au cours d'une période

ER_h(x)= , ou désigne le nombre des femmes ayant effectué un séjour à l'hopital à l'âge x, et la durée d'hospitalisation de la I^Vème femme.

L'exposition du risque dans l'état hospitalisé pour un accouchement

Cette exposition vaut

ER_g(x)=temps total passé à l'hôpital pour un accouchement par les femmes d'âge x au cours d'une période

ER_g(x)= , ou désigne le nombre des femmes ayant effectué un séjour à l'hopital suite à une grossesse à l'âge x, et la durée d'hospitalisation de la i^ème femme.

3.10.2. Estimation brut des taux de transition

On dispose pour un grand nombre de femmes leurs observations sur une ou plusieurs années, les temps de séjour dans les différents états (temps écoulé entre transition successives et nombre de transitions de chaque type)

Soit , , , le risque relatifs pour un assuré d'âge x d'être dans un état d'hospitalisation, d'activité ou d'accouchement. La fonction de vraisemblance relatif à cet observation est L( , , , (x)).

Chaque période de durée Ät passé par un assuré d'âge x dans l'état « actif » contribue à hauteur d'un facteur exp(-( + ), la même période passé à l'état hospitalisé à hauteur de exp(- Ät ) et enfin dans l'état accouchement à hauteur de exp(- Ät).

Chaque passage de e0 à e1, de e1 à e2, de e1 à e0 et de e2 à e0 contribue respectivement à la vraisemblance à hauteur d'un facteur , d'un facteur , d'un facteur et enfin d'un facteur .

Il faut mémoriser la durée totale passée par les assurées dans les différents états en répertoriant les expositions et le nombre de transition effectuées par ces assurées.

Notons alors,

: le nombre de transition de l'état actif à celui d'hospitalisé effectué par l'assuré j d'âge x.

: le nombre de transition de l'état hospitalisé à celui d'actif effectué par l'assuré j d'âge x.

: le nombre de transition de l'état actif à celui d'hospitalisé pour une grossesse effectué par l'assuré j d'âge x.

: le nombre de transition de l'état hospitalisé pour une grossesse à l'état actif effectué par l'assuré j d'âge x.

Posons = , = , = , =

Les observations relatives à ces variables sont , , ,

La fonction de vraisemblance associée à un individu d'âge fixe peut s'écrire

L( , , , (x))= exp[-( + ]. exp[-( ].

exp[-( ] (3.9)

En passant à la log de vraisemblance, puis en annulant les dérivées partielles par rapport aux quatre paramètres , , , (x), il vient

; ;  ; sont des estimateurs de maximum de vraisemblance non contraints, ou brut, des taux instantanés de transition entre différents états de figure Fig3.2.