IV.5. SIMULATION NUMERIQUE ET DISCUSSION DES
RESULTATS
IV.5.1. Présentation du logiciel EPANET
EPANET est un logiciel de simulation du comportement
hydraulique et qualitatif de l'eau sur de longues durées dans les
réseaux sous pression.
Ce logiciel, développé par l'U.S.E.P.A (United
States Environnemental Protection Agency), se distribue gratuitement et est
largement utilisé dans le monde entier grâce à :
? Ses algorithmes de calcul les plus avancés
? Son interface graphique conviviale et intuitive (voir
figure n°4.6) ? Aux possibilités de relations avec d'autres
logiciels d'application
EPANET calcule le débit dans chaque tuyau, la pression
à chaque noeud, le niveau de l'eau dans les réservoirs, et la
concentration en substances chimiques dans les différentes parties du
réseau, au cours d'une durée de simulation divisée en
plusieurs étapes. Le logiciel est également capable de calculer
les temps de séjour et de suivre l'origine de l'eau.
Figure n° 4.12 : Présentation de l'interface
EPANET
IV.5.2. Méthode de calcul EPANET
La méthode utilisée par EPANET pour calculer
les équations de perte de charge et de conservation de masse, qui
caractérisent l'état hydraulique du réseau à un
instant donné, peut être décrite par le nom « approche
hybride de noeud-circuit » (en anglais : hybridée node-loop
approach). Todini et Pilati (1987) et plus tard Salgado et al. (1988) l'ont
appelé « la méthode du Gradient » (Gradient Method).
La seule différence entre ces différentes
méthodes est la manière dont les débits à travers
les arcs sont mis à jour après que le logiciel a trouvé
une nouvelle solution pour la charge aux noeuds. Comme l'approche de Todini est
la plus simple, elle a été retenue pour être
appliquée dans EPANET.
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2015-2016
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Supposons que nous ayons un réseau de tuyaux avec N
noeuds de demande et NF noeuds à hauteur fixe (bâches et
réservoirs). La relation entre le débit et la perte de charge
dans un tuyau entre les noeuds i et j est donnée par la formule :
???? - ???? = ?????? = ?????????? + ?????????? (??)
?? est la charge au noeud, h la perte de charge, ?? le
coefficient de résistance, ?? le débit, ?? l'exposant du
débit, et ?? le coefficient de pertes singulières.
Pour les pompes, la perte de charge (valeur négative du
gain de charge) peut être calculée avec une formule de la forme
suivante :
?????? = -????(???? - ??(??????/??)??)
Dans laquelle h est la charge de la pompe à débit
nul, ?? est la vitesse relative à la valeur nominale, et ?? et ?? sont
des coefficients de la courbe caractéristique.
La deuxième série d'équations à
résoudre est celle de la conservation de la masse :
? ?????? ??
|
- ???? = ?? ???????? ?? = ??........ ?? (??)
|
|
Dans laquelle ???? est la demande au noeud ??. Par
convention, le flux qui arrive dans un noeud est positif. Pour une série
de charges piézométriques aux conditions aux limites, il faut
chercher une solution pour toutes les charges ???? et tous les débits
?????? qui répondent aux équations (1) et (2).
La méthode du Gradient commence par une estimation
initiale des débits dans chaque tuyau, qui peut ou non répondre
à l'équation de conservation de la masse. A chaque
itération la méthode, les nouvelles charges aux noeuds sont
obtenues en résolvant l'équation matricielle suivante :
????= ?? (??)
Dans laquelle A est une matrice Jacobienne (NxN), H est un
vecteur (Nx1) représentant les charges inconnues aux noeuds et Fun
vecteur (Nx1) contenant les termes du côté droit.
Les éléments diagonaux de la matrice Jacobienne
sont :
?????? = ? ??????
??
Tandis que les éléments non-nuls, qui ne se
trouvent pas sur la diagonale s'expriment de la manière suivante :
?????? = -??????
Avec ?????? l'inverse de la dérivée de la perte
de charge dans l'arc entre les noeuds ?? et ??, en respectant le débit.
Pour les tuyaux,
??
?????? = ????|??????|??-?? + ????|??????|
Tandis que pour les pompes :
??
?? ???? = ????????(??????/??)??-??
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Tous les termes du côté droit sont dus au
déséquilibre de flux en un noeud et à un facteur de
correction :
????= (??????? - ????) + ? ??????+ ? ??????????
?? ?? ??
Le dernier terme de l'expression s'applique à tous les
arcs qui relient le noeud à un noeud de hauteur fixe f. Le facteur de
correction ?????? s'exprime ainsi :
?????? = ?????? (??|??????|??-?? + ??|?????? |??)
??????(??????)
Pour les tuyaux, avec sgn(x) égal à 1 si x > 0
et sinon à -1, et :
?????? = -?????????? (????+ ??(??????/ ??)??)
Pour les pompes. (??????est toujours positif pour
les pompes.) après avoir trouvé les nouvelles charges en
résolvant les équations (3), les nouveaux débits
s'obtiennent en résolvant l'équation suivante :
?????? = ?????? - (?????? - ??????(???? - ????))
(4)
Si la somme des variations absolues de débits dans
tous les arcs, divisée par la somme de tous les débits dans tous
les arcs est supérieure à la tolérance
préétablie (par exemple, 0,001), les équations (3) et (4)
sont recalculées. La formule (4) trouve toujours un équilibre de
flux après la première itération.
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