Déviation du taux de change par rapport aux fondamentaux

3.1.2. Définition du processus ARFIMA

Les modèles ARFIMA sont des processus à mémoire longue, et permettent donc d'identifier les phénomènes de persistance. Ces modèles ont été développés par Granger et Joyeux (1980) et Hosking (1981) et constituent une généralisation des processus ARIMA de Box et Jenkins dans lesquels l'exposant de différenciation d était

un entier. Dans le cas des processus ARFIMA, d peut prendre des valeurs réelles. Une série fractionnairement intégrée a pour caractéristique une dépendance entre des observations éloignées comme on peut le voir dans la fonction d'autocovariance ou dans la fonction de densité spectrale.

Un processus à mémoire longue peut toujours être approximé par un processus ARMA (p, q), mais les ordres p et q nécessaires pour obtenir une approximation relativement bonne peuvent être trop grands et rendre l'estimation précise des paramètres très difficile.

L'approche ARFIMA permet en ce sens d'atténuer les contraintes pesant sur les paramètres du modèle qui devaient modéliser le comportement à la fois de court terme

et de long terme de la série. Avec les processus ARFIMA, le comportement de court terme des séries peut être saisi par les paramètres ARMA et le comportement de court terme de long terme par le paramètre d'intégration fractionnaire.

Processus ARFIMA (0, d, 0)

L'analogue en temps discret du mouvement brownien est la marche aléatoire,

ou ARIMA (0, 1, 0) :

(1 - L) Xt = ut (2.38)

où ut est une variable aléatoire iid.

Ainsi, la différence première de {Xt} est le bruit blanc {ut} en temps discret.

Par analogie, on définit le bruit blanc discret fractionnaire de paramètre d :

(1 - L) ^d Xt = ut (2.39)

où est un bruit blanc.

Avec le développement binominal :

^d = (1 - L) ^d

= 1 - dL -

^{d (1 - d )} L² -

^2!

^{d (1 - d )(2 - d )} L³ - ..... =

^3!

j

j ^L

j =0

( j - d )

k - 1 - d

^où j ⁼

( j + 1)(-d )

⁼

0<k j ^k

j= 0,1,...

où correspond à la fonction gamma :

t ^{x -1}e^-t dt

si x > 0

0

t = si x = 0

x^-1 (1 + x) si x < 0

Les fonctions de densité spectrale (f (.)), d'autocovariance ( (.)), d'autocorrélation ( (.)) et d'autocorrélation partielle ( (.)) sont respectivement :

-2 d 2

-2 d

2

f (ë) =

1 - e ^-i

= 2 sin

0<

(h) =

2

(1 - 2d )(h + d )

^{2 2}

(d )(1 - d )(h + 1 - d )

(h) = ( ) ( )

=

h = 1, 2, ...

h + d 1 - d

^{k - 1 - d}

(h) =

^{(h - d + 1)(d )}

d

h - d

^{0< k h k}

h = 1, 2, ...

Le processus ainsi défini est le processus ARFIMA (0, d, 0). Les propriétés de

ce processus sont largement développées dans Hosking (1981), nous n'en reprendrons

ici que les caractéristiques essentielles.

Soit {Xt} un processus ARFIMA (0, d, 0).

· Quand d< 1/2, {Xt} est stationnaire.

· Quand d > 1/2, {Xt} est inversible.

On voit donc que lorsque -1/2 < d <1/2 la série {Xt} est stationnaire et inversible. Les autocorrélations diminuent à un taux hyperbolique, donc nettement plus lentement que les autocorrélations des processus ARMA (qui décroissent à un taux géométrique).

Généralisation : Processus ARFIMA (p, d, q)

Le processus ARFIMA (0, d, 0) est un cas particulier des processus ARFIMA

(p, d, q) où d ]

- ¹ , ¹ [qui peuvent être définis comme suit :

^(L)X t

2 2

^{= (L)} t

(2.40)

t

^où t

= ^{- d} u

^ut ^{: BB (0, 2 )}

(L) et (L) sont des polynômes retard de degré p et q respectivement.

Soit donc :

^Xt ^- 1^Xt-1 ^{- ... -} p ^Xt-p ⁼ t

⁺ 1 t -1

^{+ ... +} q1 t -q

(2.41)

avec

t = ut + dut-1 +

d (d + 1)

2

-2

^ut-2 ⁺

d (d + 1)(d + 2)

6

ut-3 + ...

Bien entendu, comme dans le cas du processus ARFIMA (0, d, 0), les processus

ARFIMA (p, d, q) sont des processus à mémoire longue lorsque d ]

- ¹ , ¹ [et d 0.

2 2

La fonction d'autocorrélation ( (.)), et la densité spectrale (f (.)) de la série

^{Xt^{} satisfont, pour d 0 :}

(h) ~ Ch^2d-1 où C 0 et

f(h) =

(e

^{-ih ) 2}

1 - e

-i

-2 d ²

~

(1)

2

-2 d

quand tend vers zéro .

(e ^-ih ) ²

2 (1) 2