Contribution à l'analyse et la synthèse des systèmes d'ordre fractionnaire par la représentation d'état

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l'Enseignement upérieur etet de l ReScerSce Sienti~fiue

UNIVERSITÉ MOULOUD MAMMERI DE TIZI-OUZOU
FACULTÉ DE GENIE ELECTRIQUE ET DE L' INFORMATIQUE
DÉPARTEMENT D'ÉLECTROTECHNIQUE

Présentée pour obtenir le diplôme de

DOCTORAT

Spécialité : ELECTROTECHNIQUE
Par :

Rachid MANSOURI

THEME

CONTRIBUTION A L'ANALYSE ET LA SYNTHESE
DES SYSTEMES D'ORDRE FRACTIONNAIRE
PAR LA REPRESENTATION D'ETAT

DEVANT LE JURY :

Président Nacerddine BENAMROUCHE Professeur, Université de Tizi-Ouzou

Rapporteur Saïd DJENNOUNE Professeur, Université de Tizi-Ouzou

Examinateurs Ali BELMEHDI Professeur, Université de Bejaïa

Abdelfatah CHAREF Professeur, Université de Constantine

Salah HADDAD Professeur, Université de Tizi-Ouzou

Mohamed TADJINE Professeur, Ecole Nationale Polytechnique d'Allger

Invité Maâmar BETTAYEB Professeur, Université de Sharjah (EAU)

Résumé Cette thèse traite de l'utilisation du concept dedérivation et d'intégration d'ordre non entier en automatique. On sintéresse particulièrement à 'approximation des systèmes non entiers à l'aide de modèles entiers en représentation d'état.Deuxmodèles d'approximation ont ainsi été développés. Le premier utilise 'approximation de l'opérateur de dérivation et le second utilise lapproximationde l'opérateur d'intégration non entière. Pour développer cette deuxième approximation, une nouvelle modélisation des systèmes dynamiques à l'aide d'un modèle d'état utilisant lopérateur d'intégration a été proposée. L'analyse du comportement de ces deux modèles en basses et enhautes fréquences a égaa lement été étudiée. Les systèmes non entiers étant caractérisés parune dimensionnnnie, leur approximation par un modèle entierdans unebande de fréquences imitée, nécessite néanmoins l'utilisation d'un modèle entier de très grande dimension.Cela pouvant être un l'inconvénient principale des deux modèles dapproximation proposés, surtout orsque le modèle non entier à approximer est un contrôeur On a montrédans cette thèse, que l'utilisation des techniques de réduction de modèle peut êtreune solution àa réduction de la dimension des modèles entiers qui approximent les systèmes non entiers.

Abstract This thesis deal with the use of the concept of the non integer di~erentiaa tion and integrationin control theoryWe arenterestedparticularlyo the approximation of the multivariable non integer systems with integer modelsn state space representation. Two approximation models were then developed. The first uses the approximation of the non integer differentiation operator and the seconduses the approximation ofhe non integer integration operatorTo develop this second approximation, a new tatepace model, using integral functionin place ofderivative function sproposed.The analysis of the behavior of these two integer models in low and high frequencieswas also studied. Nevertheless, the non integer systems being characteriied byan nfinite dimension, their approximation by an integer model, requires the use of a arge scalentegermodel.That is a disadvantage of the suggestedtwo integer approximation, especiallywhen the non integer system is a controllerOne showed in this thesis, that the use of themodel reducc tion techniques can be a solution to reduce the dimension of the ntegermodelswhich approximate the non integer systems.

A ma très chère maman

Ce travail a été effectué au Laboratoire de Conception etConduite des ystèmes de Production (L2CSP), de l'université Mouloud Mammeri deTizi-Ouzou.

Je tiens à remercier, en premierlieuMonsieur Saïd Djennoune, directeurde ma thèse, pour m'avoir fait profiter de son enthousiasme, de sa rigueur scientifique, de son expérience et pour m'avoir fait confiance tout au longde ma thèsee

Je témoigne toute ma gratitude à Salah Haddad, co-encadrant de ma thèse, poures nombreux conseils qu'il a su me prodiguerOutre ses qualitésprofessionnelles, 'aipu apprécier aussi sa disponibilité et sasimplicité. Je lui suis très reconnaissant dea confiance qu'il a su me témoigner.

Je témoigne toute ma reconnaissance à Maâmar Bettayeb, Professeur à 'université de Sharjah (Emirats Arabes Unies) pour sacollaboration et pouresnombreuses discussions enrichissantes que j'ai pu avoir avec lui. Jetiens àle remercier pour toute'attention qu'il m'a apporté tout aulong de ma thèse.

Je remercie également Messieurs Nacerddine Benamrouche, Professeur à 'université Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou, Ali Belmehdi, Professeur à l'université Abderahmane MIRA de Bejaia, et Mohamed TadjineProfesseurà l''Ecole NationalePolytechnique d'Alger, d'avoir accepté de participer à ce jury

vi

d'avoir accepté de participer à ce jury

Je témoigne toute ma reconnaissance à Rachid Malti, maîtrede Conférences à 'Unii versité Bordeaux 1, et Alain Oustaloupdu Laboratoired'Automatique, Productique et Signal de Bordeaux, pour m'avoir invité et mavoir faitpartagé eur expérience.

Mes remerciements s'adressent égalementà tous es membres duLaboratoire de Concepp tion et Conduite des Systèmes de Production L2CSP), en particulier son directeurMoo hamed Aidene, Professeur àl'université Mouloud Mammeri de TiiiiOuzou, poureur sympathie et l'excellente ambiance de travail quils ont créée.

La réalisation de cette thèse ne saurait êtrepossible sanse soutiennconditionnel des proches. C'est ainsi, avec grand plaisir et reconnaissance, que e remerciema chère épouse de m'avoir encouragé et davoir été patiente.

I^kf(t) : (k E N), l'intégration répétée k fois de la fonction f(t)

I f(t) : (a E R), l'intégration non entière dordre a de la fonction f(t)

t0D

R t f(t) : dérivée d'ordre a de la fonction f(t) nulle pour t t0 selon la

définition de Riemann

t0D

C t f(t) : dérivée d'ordre a de la fonction f(t) nulle pour t t0 selon la

définition de Caputo

D : opérateur de dérivation dordre non entier a

(À) : (À E R^*\Z_) Fonction Gamma

P (t) : facteur d'oubli

L: symbole de la transformation de Laplace

£_1 : symbole de la transformation de Laplace inverse

s : opérateur de Laplace

(n j ) : (n E N), désigne la combinaison de j élément parmi n

( _j ) : (a E R+), désigne le binôme de Newton généralisé àdes ordres réels

D f(Kh) : désigne la valeur de la dérivée a`eme de f(t) à l'instant Kh

h : période d'échantillonnage

Ä_ne(s) : polynôme d'ordre non entier de variable s

Äf(s) : polynôme d'ordre fractionnaire de variable s

Ä(s) : polynôme d'ordre entier de variable s

s : module du nombre complexe s

arg (s) : argument du nombre complexe s

G(s) : fonction de transfert ou matrice de fonctions de transfert

viii

D^áx : (x E Rⁿ), tous les éléments du vecteur x(t) sont dérivés au même

ordre a

D(á) (x) : (a ERⁿ +, x E Rⁿ), le i`eme élément du vecteur x(t) est dérivé à la

i`eme composante du vecteur a

Ik : matrice identité de dimension k

E_á : fonction Mittag-Leffler

C : matrice de commandabilité

O : matrice d'observabilité

Dgen(s) : fonction de transfert du dérivateur généralisé

Dborn'e(s) : fonction de transfert du dérivateur généralisé borné en fréquences

D_á(s) : fonction de transfert rationnelle qui approxime le dérivateur géné-

ralisé borné en fréquences

=_á(s) : fonction de transfert rationnelle qui approxime 'intéfrateur géné

ralisé borné en fréquences

ä et ç : paramètres de récurrence delapproximation

Gfrac(s) : fonction de transfert non entière

å_á(s) : erreur d'approximation du dérivateur généralisé paredérivateur

généralisé borné en fréquences

Sysfrac : système d'ordre non entier

Sysent 1 : modèle entier qui approximele système non entieren utilisant 'ap-

proximation de l'opérateur de dérivation

Sysent2 : modèle entier qui approximele système non entieren utilisant 'ap-

proximation de l'opérateur dintégration

M f M2 : norme euclidienne

Introduction

L'intérêt de la modélisation àlaide des équations di~érentiellesinéaires à paramètres constants utilisant la dérivation entière usuelleest maintenant bien établi grrce à eur capacité à caractériser et représenter e comportement dynamique d'un bon nombre de phénomènes physiques. Néanmoins, l'utilisation de ces modèles nécessite parfoisde négliger, voir même ignorerquelques caractéristiques du phénomène àmodéliser. Lorsque ces caractéristiques doivent être prises encompte celaconduit à desmodèles entiers de très grande dimension utilisant ainsi un nombre important de paramètres.Ces phénomènes sont rencontrés dans beaucoup de domaines de la science et de atechnologie. Pour leur modélisation adéquate, on doit alors faire appel aux opérations de dérivation et d'intégration d'ordre non entierégalement appelées dérivation etntégrationractionnaires. Celles-ci étant la généralisation à un ordre non entier quelconque des opérations de dérivation et d'intégration entières classiques.

Si la dérivée et l'intégraled'ordre 1 ou 2 par exemple, sont maintenant très familières (la dérivée dy/dx représente l'évolution dela grandeur y(x) par rapport à 'évolution de la grandeur x, ou bien que l'intégrale Rx0 ^xy(ô)dô correspond à l'aire délimitée par y(x) et l'axe des abscisses sur l'intervalle [x0, x]), des questions fondamentales sur la signiification des opérations de dérivation et dintégrationd'ordrenon entier ont étéoulevéesl y a très longtemps. En 1695 déjà, le marquis de L'Hospital, dans une ettre adressée à Leibnitz [371 (l'inventeur de la notation de dérivation dⁿy/dxⁿ) posa la question, "Qu'en est il si n = 1/2?" Question à laquelle Leibnitz répondit"le résultat de d¹/²x sera égal à

/ ._J

x dx : x (qui dans la notation moderne représente d¹/²x/x¹/² = 2 x/ð), un paradoxe duquel des conséquences utiles seront un jour tirées"

x

Le 10 janvier 1696, Bernoulli écrivit dans une lettre adressée ààL'Hospitalpourconclure sur les correspondances avec Leibnitz 2] : "
·
·
·] je me souviens qu'au commencement du temps que je demeurais à Paris vous me demandiez souvent à quoi bon de se servir de la lettre caractéristique d, [
·
·
·]; vous en verrez à cet heure lutilité plus que jamais. Les différentielles qui ont pour exposant des nombres rompus ne sont en effet que des métaphysiques comme dit Mr. Leibnitz ou plutôt imaginaires, qui ne sont pas déterminables où qui n'existent pas, et ainsi ce qui est par exemple .V --aa parmi les quantités algébriques, ou a^\/2 parmi les puissances, la même chose est aussi d¹¹² parmi les différences, sans pourtant que ces choses chimériques fassent tort aux autres qui sont réelles ; ; c'est pourquoi il serait inutile de demander une idée plus nette de cesces sortes de différences, de même qu'on ne peut avoir une autre idée de .V--aa, ou de a^\/2 que celle qu'on a d'une chose qu'on peut démontrer quelle nexiste par in rerum naturâ, quoi qu'on puisse dire des vérités réelles, par exemple que .V--aa est la racine de --aa, que .V--aa est plus petit en son espèce d'être que 3.V--aa ; que aV² est la racine de a2 \/2 [
·
·
· ] ; et ainsi que d¹¹² est l'intégrale de d²¹³ etc."

Dans le même esprit, le 15 janvier 1696, Leibnitz adressa une ettre àà L'Hospital

[
·
·
·] Quant aux différences dont les exposants sont des nombres rompus, j'avoue qu'on ne les saurait comprendre, mais ces sortes de grandeurs quand elles nene seraient qu'imaginaires peuvent servir à trouver des vérités réelles. Et l est toujours vraiqu'ellesont fundamentum in re. "

De ces dialogues, et d'autres qui ont eu lieu à lépoque, commença a ongue histoire du calcul fractionnaire auquel dillustres mathématiciens ont contribué, Euler 1730), Lagrange (1772) Laplace (1812) Fourier (1822) 1822) et 'Heaviside 1893 t 920), pour ne citer que ceux-la. Un exposé historique détaillé est donné en ntroduction dudu ivre 59].

En 1832, Liouville a proposé une interprétation physique de cece concept qualiié de métaphysique par Leibnitz par le biais de lanalyse dimensionnelle en réécrivant a oi de Biot et Savart pour une surface de dimension 2 [36]. En 2002, Podlubny a proposé une autre interprétation géométrique et physique de cece concept enen se basant sur des notions non moins métaphysiques que le temps réel qui ne sécoule pas continuellement, faisant

xi

appel à une autre échelle dans laquelle le temps s'écoule continuellement que Podlubny appelle "le temps cosmique" [68]

Aujourd'hui, l'intérêt de la dérivation non entière necesse de grandir, notamment dans le domaine de l'automatique pour la modélisation, l'identification eta commande des systèmes. Des congrès aussi prestigieux que leCDC ou ''IFAC organisent régulièrement des sessions spéciales surla dérivation non entièreet sesapplications.Apartir de 000 un workshop, qui se déroulent tous les deux ans, spécialement dédiéau calcul fractionnaire et ses applications, a été créé

Cette thèse traite de l'utilisation de ce concept de dérivation non entière en automaa tique et en électrotechnique. On sintéresse tout particulièrement à'approximation des systèmes non entiers à l'aide de modèles entiers dans la représentation d'état.Deux app plications seront également traitées Lidentification des systèmesnon entiers à partir de données fréquentielles, etla commande en vitesse des machines électriquesmachines synchrone à aimants permanents et machine asynchrone) pardes régulateurs non entiers.

La progression de ce mémoire est ponctuée parcinq chapitresdont e contenu est pré senté ici de manière introductive. En dehors du premierchapitre, qui présente esnotions de base, les quatre autres sont indépendants. C'est pourquoi, esnotionsmathématiques spécifiques au thème traité dans chaque chapitre y sont présentéesau début.

Le chapitre 1 est consacré aux notions de base des opérations dedérivation et d'inn tégration non entières. On y présente ladéfinitionde 'équation di~érentielle d'ordre non entier, qui modélise les systèmes non entiers. Plusieurs représentations de ces systèmes, aussi bien dans l'approche transfert quedans lapproche d'étaty sontégalement détaillées. Ce chapitre contient également des définitions nécessaires àacompréhension desnotions présentées dans les autres chapitres. Le passage de a représentation transfert à aepréé sentation d'état des modèles non entiers, dont la littérature est très peu existante, ait l'objet d'une attention particulière. Dans la dernièrepartiede ce chapitre enfin, on préé sente l'approximation du dérivateur non entier par un modèle rationnel de dimension finie présentant les mêmes caractéristiques fréquentielles dans une bande de fréquenceimitée.

xii

Cette approximation est actuellement le moyen nécessairepermettant'analyse, aimuu lation et la réalisation des systèmes non entierss

Le chapitre 2 est consacré à une autre opération de dérivation appelée adérivation implicite puisqu'elle ne concerne pasla fonction à dérivée directement mais son produit par une fonction exponentielle croissante.Les modèlesqui en résultent sont appeléses modèles implicites d'ordre non entierLes mêmes problèmes de simulation et de réalisation sont de ce fait posés pour ces systèmes égalementtC'est ce qui est traité dans ce chapitre tant dans la représentation transfert que dans a représentation d'étattOn propose alors une méthode d'approximationdes systèmes non entiersmplicitescontinus, basée sure développement en fractions continu du modèle. Cette méthode est aussiutilisée pour déé velopper le modèle discret à partir du modèle transfert continuu Dansa deuxièmepartie de ce chapitre, on montre comment lapproximation de structuresnon entièresimples par un modèle entier de grande dimension peut être avantageusement exploitéee En eff fet, on développe des méthodes dapproximationdes modèles entiersde grande dimension utilisant un nombre trèsimportant de paramètres pardesmodèlesnon entiers, utilisant un nombre réduit de paramètresOn appelle cette nouvelle application a compression du nombre de paramètres des modèles entiers.

Le chapitre 3 Contient les contributions principales de cette thèse.On développe dans la première partie un modèle détat dordreentier qui approxime un modèle d'état non entier multivariable non nécessairement commensurablee Dans adeuxième partie de ce chapitre, on développe un autre modèle entier qui approxime emodèled'état d'ordre non entier mais en utilisant dans ce cas lapproximationde 'opérateur d'intégrationn our ce faire, on propose d'abord une nouvelle représentationd'étatutilisant'opération d'intéé gration à la place de la représentation usuelle utilisant 'opération de dérivationn Danses deux cas, l'erreur d'approximation du modèle non entier par e modèleentier enbasses et hautes fréquences y est également caractérisée.Lesdeux modèlesentiers ainsi développés ont "l'inconvénient" d'avoir une dimension relativement importante, onmontre alors dans

Xiii

la troisième partie de ce chapitre, que lutilisation des méthodesde réductionbaséesur les valeurs singulières du modèle peut être une solution pour réduire très considérablement la dimension du modèle entier sans perte significativede sa précision.

Le chapitre 4 Traite du problème d'identification dessystèmes nonentiersdans e domaine fréquentiel. On y montre comment lassociationd'une méthode d'optimisation heuristique, l'optimisation par essaim particulaires en 'occurrence, et'algorithme d'idenn tification "Vector Fitting" permetdedévelopper un nouvelalgorithme d'identification des systèmes non entiers dansle domaine fréquentiel. Cet algorithme fonctionne demanière hiérarchisée : dans un niveau supérieuren supposant connus es paramètresdu modèle, l'optimisation par essaim particulaires permet d'optimiser 'ordrenon entier et dans un niveau inférieur, l'ordre non entier étant connu, l'algorithme VectorFitting permet d'opp timiser les paramètres du modèle en utilisant la forme pôlessrésiduss

Le chapitre 5 présente une méthode de calcul des paramètres durégulateur IF d'ordre non entier utilisantla technique par placement de pôlessLe modèlede référence à imposer à la fonction de transfert en boucle fermée ne pouvant pas être obtenu para méthode de placement de pôles classique, une autre méthode, basée sur une technique d'optimisation utilisantles algorithmes génétiques, est alorsutiliséeeCe régulateur est ensuite utilisé pour la commande en vitessede la machine synchrone à aimantspermanents et de la machine asynchrone. Une comparaison avec lastructureIF entière classique y est également présentée pour montrer lintérêt des régulateursIF non entiers notamment vis à vis des variations des paramètres mécaniquess Dans adernièrepartie de ce chapitre, une analyse analytique dela robustesse des régulateursIF d'ordre entier et non entier est élaborée afin de corroborer les résultats obtenus par simulationn

Table des matières

1 Notions sur la dérivation non entière et les systèmes non entiers 1

1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Intégration d'ordre non entier 2

1.3 Dérivation d'ordre non entier 4

1.3.1 Définition de Riemann-Liouville 5

1.3.2 Définition de Caputo. . . . . . . . . . 6

1.3.3 Définition de Griinwald-Letnikov 7

1.4 Systèmes non entiers. . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Equation différentielle dordre non entier 11

1.4.2 Cacul des racines d'un polynôme dordre non entier 12

1.4.3 Transformation du plan complexe s par la transformation p = s^á . 17

1.4.4 Représentation transfert des systèmes non entiers 18

1.4.5 Représentation d'état dessystèmes nonentiers 19

1.5 De la représentation transfert à la représentation ddétat 21

1.5.1 Cas des systèmes commensurables 21

1.5.2 Cas des systèmes non entiers généralisés 22

1.6 Propriétés des systèmes dordre non entier en représentation ddétat 22

1.6.1 Réponse temporelle deléquation détat nonentière 29

1.6.2 commandabilité et observabilité des systèmes non entiers 30

1.6.3 Stabilité des systèmes non entiers 31

1.7 Approximation et simulation des systèmes dordrenon entier 33

1.7.1 Du dérivateur généralisé au dérivateurborné en fréquences 34

1.7.2 Dérivateur généralisé 35

1.7.3 Dérivateur généralisé borné en fréquences 36

1.7.4 Approximation du dérivateur borné en fréquences 37

1.8 Conclusion.... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Approximation des systèmes d'ordre non entier implicites 43

2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Modèle non entier implicite continu 45
2.2.1 Caractéristiques fréquentielles des opérateursde dérivation et d'inn

tégration d'ordre non entier implicite 45

2.2.2 Approximation de charef 46

2.2.3 Approximation utilisant le développement en fractions continu 48

2.2.4 Approximation d'un modèle non entier implicite 51

2.3 Discrétisation d'un modèle non entier implicite 52

2.4 Représentation d'état des systèmes nonentiersmplicites 56

2.4.1 Modèle d'état non entier implicite continu 56

2.4.2 Modèle d'état discret dun système non entiermplicite 59

2.5 compression de modèles entiers de grande dimension 65

2.5.1 Approximation d'un modèle non entier explicitededimension 1 . 66

2.5.2 Approximation d'un système entier de grande dimension parun modèle non entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.5.3 Compression à l'aide d'un modèle oscillatoire 73

2.5.4 Exemple d'application. . . . . . . . . . . . . . 75

3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état 81

3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 Calcul des erreurs d'approximation du dérivateur généralisé 82
3.2.1 erreur d'approximation du dérivateur généralisé paredérivateur

borné en fréquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.2 erreur d'approximation du dérivateur borné en fréquences parun

transfert rationnel. . 87

3.3 Approximation des systèmes non entiers enreprésentation d'étatutilisant l'opérateur de dérivation . 91

3.3.1 Résultat principal. . . . . . . 92

3.3.2 Condition d'existence du modèle entier 95

3.3.3 Erreur d'approximation pendant lerégimetransitoire 96

3.3.4 Erreur d'approximation au voisinagede t = 0 et t -* oc 99

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état utilisant'opérateur

d'intégration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4.1 modèle d'état utilisantlopérateur dintégration 102

3.4.2 Approximation de l'opérateur dintégration non entier 105

3.4.3 approximation du modèle non entier 106

3.4.4 Erreur d'approximation pendant lerégimetransitoire 108

3.4.5 erreur d'approximation au voisinagede t = 0 et t -* oc 112

3.4.6 Sur les conditions initiales des modèles détat non entiers 113

3.4.7 Comparaison des deux modèles dapproximation 117

3.5 Réduction des modèles entiers qui approximent le modèled'état non entier 124

3.5.1 Rappels sur la réduction de modèleslinéaires 125

3.5.2 Application à la réduction des modèles Sysent1 ^et Sysent2 131

3.6 Conclusion .... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4 Identification des systèmes d'ordre non entier 141

4.1 Algorithme d'Identification "Vector Fitting" 142

4.1.1 Identification des paramètres de H(s) et ó(s) 143

4.1.2 Identification des pôles pi de G(s) 144

4.2 Optimisation par Essaim Particulaire 148

4.2.1 Algorithme d'Optimization par Essaim Particulaire 148

4.3 Application à l'identification dun système non entier 154

4.3.1 Principe de l'Algorithme. . . . . 154

4.4 Exemples numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.4.1 Utilisation de l'algorithme "Vector Fitting" pour 'approximation

d'un dérivateur non entier . . . . . . . 155

4.4.2 Identification d'un system non entier 156

4.4.3 Identification à partir des données perturbées 158

5 Commande d'ordre non entier par placement de pôles 159

5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2 Dimensionnement d'un régulateur IF non entier par placement de pôles161

5.3 Détermination des paramètres du modèlede référence 164

5.4 Application à la commande en vitesse dune MSAP 169

5.4.1 Nomenclature des paramètres de la machine 169

5.4.2 Valeurs numériques des paramètres de la machine 169

5.4.3 Modèle de park de la MSAP. . . . . . . . 169

5.4.4 Structure de commande 171

5.4.5 Décomposition du modèle dela MSAP en modèles de diension 1 . 172

5.4.6 Résultats de simulation et commentaires 174

5.5 Application à la commande en vitesse dune machine asynchrone 179

5.5.1 Nomenclature des paramètres de la machine 179

5.5.2 Valeurs numériques des paramètres de la machine 179

5.5.3 Model de park de la machine asynchrone 180

5.5.4 Résultats de simulation et commentaires 184

5.6 Analyse de la robustesse. . . 188

5.6.1 Analyse de la robustesse vis à vis des variations de f 189

5.6.2 Analyse de la robustesse vis à vis des variations de J 191

5.7 Comportement des régulateurs IF entier et non entier à une sollicitation

du couple résistant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.8 Conclusion .... . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Table des figures

1.1 variation du facteur doubli P_á(t) pour 0 <a < 1 ..............4

1.2 Principe de généralisation de lopération de dérivation des ordresnon entiers .......................... . .... . . . . . ..5

1.3 variation des coefficients C(j) en fonction de j pour différentes valeurs de a 10 1.4 Coupure du plan complexe suivant laxe 1^- .................13 1.5 Transformation du plan complexe s par la transformation p = s^á . . . . . . 18 1.6 Domaine de stabilité des systèmes commensurables dans e plancomplexe p 33

1.7 diagramme de gain et de phase du dérivateur généralisédéal courbe I et

du dérivateur borné en fréquence (courbe II) (a > 0) ............37

1.8 Diagramme asymptotique de Bode du dérivateur borné en fréquences et de

son approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Diagramme de Bode d'un FPP (trait plein) et d'un FPZ(trait discontinu) 46

2.2 Principe de calcul des singularités du transfertentier selon améthode d'approximation de Charef . . 47

2.3 Comparaison entre les deux méthodes dapproximation (trait plein : CFE,

en pointillés : méthode de Charef) ........................50

2.4 Position des pôles et zéros des transferts entiersobtenus enutilisantes

deux méthodes d'approximation 50

2.5 Approximation du modèle (224) en utilisant la méthode de Charef eta méthode utilisant CFE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6 Comparaison entre les modèles discrets obtenus en utilisant es trois fonc

tions génératrices (h = 0.01) 55
2.7 Comparaison entreles deux méthodes de discrétisation qui permettent

d'approximer le modèle non entier (224) (trait plein : méthode indirecte,

trait discontinu : méthode directe) 56
2.8 Réponse indicielle du modèle d'état du système non entier implicite de

dimension un, pour différentes valeurs de a 57
2.9 Réponse indicielle du modèle d'état non entier implicite de dimension un

discrétisé en utilisant les trois fonctions génératrices 61
2.10 Réponses indicielles des différents modèles continus et discrets représentant

le système non entier implicite (224) 64

2.11 Diagramme de Bode de G(s) et de ses approximations Gest(s) 78

2.12 réponses indicielles de G(s) et de ses approximations Gest(s) 79

3.1 erreur d'pproximation du dérivateur généralisé (2) par le dérivateur borné

en fréquences (1). 83
3.2 évolution de l'erreur d'pproximation _á(ùb) lorsque la bande d'approxima-

tion est élargie d'une décade. . . . 85
3.3 variation du paramètre délargissement u en fonction de l'erreur d'approxi-

mation en dB pour différentes valeurs de a 87

3.4 Diagramme asymptotique de Bode D_á(s) 88

3.5 Evolution de l'erreur en fonction du nombre de singularité N pour u = 2 89 3.6 Principe d'approximation du système non entier par un modèleentier 91 3.7 Principe d'approximation de la dérivée non entière de chaque variable d'état97

3.8 Schéma bloc de simuation d'un modèle détat entier 103

3.9 Schéma bloc de simuation d'un modèle détat dordre nonentier 104

3.10 Diagrammes de Bode del'approximationde lintégrateur d'ordrenon entier.

(trait plein : méthode présentée dans [TO], trait en pointillésméthode CRONE) 106

3.11 réponses indicielles des différents modèles dapproximation 119

3.12 Diagramme de Bode des différents modèles dapproximation 120

3.13 réponses indicielles des différents modèles dapproximationdu système 3.120)122 3.14 Diagramme de Bode des différents modèles dapproximationdu système

(3.120) .... . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.15 Principe de comparaison des différents modèles réduits 126

3.16 Approximation de la dérivée dordre 0.75 de la fonction u(t) = sin(3t) . . 132

3.17 Comparaison des trois modèlesréduits de dimension n = 10 de s0.75 . . . 133

3.18 Comparaison des trois modèlesréduits de dimension n = 5 de s0.75 . . . . 133
3.19 Approximation du système monovariable avecdes modèles réduitsde Sysent1

de dimension n = 5, (ad. donne n = 6) 136
3.20 Approximation du système monovariable avecdes modèles réduitsde Sysent 1

de dimension n = 2, (ad. donne n = 4) 136
3.21 Approximation du système monovariable avecdes modèles réduitde Sysent2

de dimension n = 5, (ad. donne n = 8) ....................137 3.22 Approximation du système monovariable avecdes modèles réduitsde Sysent 1

de dimension n = 2, (ad. donne n = 6) ....................137

4.1 Déplacement des pôles instables dans le plan s^a (0 < á < 1) ........146

4.2 Organigramme del'algorithme "VectorFitting" 147

4.3 Principe général de l'évolution dune particule 150

4.4 Organigramme général dun OEP 152

4.5 Algorithme hybride d'identiification utilisant simultanément "VectorFitt

ting" et l'Optimisation par Essaim de Particules 155

4.6 Position des pôles et zéros des modèles entiers qui approximent s^0.6. . . . 156
4.7 Diagrammes de Bode des modèles entiers qui approximent s^0.6 dans la

bande de fréquences [10^-5 10⁺⁵] pour n = 10 157

4.8 Diagrammes de Bode du système (4.28) et de son modèledentiifié 4.29 158

5.1 Structure de commande à laide dun régulateur IF non entier.......162
5.2 Structure de commande avec un régulateur IF non entier (K _p et Ki positifs) 164
5.3 Organigramme d'un algorithme génétique 167

5.4 Structure de commande dela MSAP 172

5.5 Réponse indicielle de la vitesse (trait plein : régulateur non entier, trait dis-

continu : régulateur entier) 176
5.6 Evolution du courant i_q pendant le régime transitoire de la vitesse (trait

plein : régulateur non entier, trait discontinu : régulateur entier) 177
5.7 Réponse indicielle de la vitesse avec variation ducoefficient de rottement

visqueux de #177; 50% en utilisant les deux types de régulateurs 178
5.8 Réponse indicielle de la vitesse avec variation du moment d'inertiede

#177; 50%. (1- valeur nominal avec régulateur entier, 2- valeur nominal avec ^régulateur non entier, 3- --50% de J avec régulateur non entier, 4- +50% de J avec

régulateur non entier, 5- --50% de J avec régulateur entier, 6- +50% de J avec

régulateur entier) 178

5.9 Structure de commande dela machine asynchrone 182

5.10 Réponse indicille de la vitesse(trait plein : régulateur non entier, train discontinu : régulateur entier) 185

5.11 Evolution du courant i_qs(t) pendant le régime transitoire de la vitesse.(1) : régulateur non entier, (2) : régulateur entier 186

5.12 Réponse indicielle de la vitesse avec variation du moment d'inertie.(1- valeur nominale de J, 2- régulateur non entier avec --50% de J, 3- régulateur non entier avec +50% de J, 4- régulateur entier avec --50% de J, 5- régulateur entier avec +50% de J) 187

5.13 Variation du courant iqs avec variation du moment dinertie(1- valeur nominale de J, 2- régulateur non entier avec --50% de J, 3- régulateur non entier avec +50% de J, 4- régulateur entier avec --50% de J, 5- régulateur entier avec

+50% de J) 187

5.14 Position des pôles pour différentes valeurs de a1 192

5.15 Comportement des régulateurs enrejet de perturbation, trait plein : régu-

lateur IP entier, trait discontinu : régulateur IP non entier) 195

5.16 schéma de commande de la boucle de vitesse à laide dun régulateur IF 195

Liste des tableaux

2.1 FPP discret obtenu en utilisant les trois principales fonctions génératrices 54

2.2 valeur de l'erreur relative _app des trois modèles non entiers 78

3.1 Erreur d'approximation obtenue pour quelques valeursde a 84

3.2 Erreur d'approximation _á(Wb) obtenue pour plusieurs valeurs de a et de u 86 3.3 Valeur de obtenue pour différentes valeurs de N et de a lorsque ,t = 2 . . 89 3.4 Récapitulatif des résultats numériques 120 3.5 Valeur relative des normes H2 et H des erreurs entre les réponses indicielles121 3.6 Récapitulatif des résultats numériques 123 3.7 Valeur relative des normes H2 et H des erreurs entre les réponses indicielles123 3.8 Tableau comparatif des valeurs initiales et finalesdestroismodèles d'état 124 3.9 Tableau comparatif des erreurs relatives de réduction 134 3.10 Valeurs caractéristiques obtenues par les diversmodèles réduits qui app

proximent le système monovariable. (Vi : Valeur initiale. V.F. :Valeur finale

relevée à t = 10 s. eVF : erreur sur la valeur finale. dep. :dépassemented : erreur

sur le dépassement) 138
3.11 erreurs relatives de la réduction des modèles entiersqui approximente

système monovariable. . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1 Comparaison entreles deux méthodes dapproximation (M.V. : méthode de

Vinagre, AGs : méthode utilisant un AG) 168

5.2 Paramètres des modèles de référence et des deux régulateurs 175

5.3 Paramètres des modèles de référence et des deux régulateurs 185

5.4 variations relatives de æÄf pour différentes valeurs de f ...........190
5.5 variations relatives de a1 pour différentes valeurs de f ............191
5.6 variations relatives de æÄJ pour différentes valeurs de J ...........193

Chapitre 1

Notions sur la dérivation non entière et

les systèmes non entiers

1.1 Introduction

Bien que le concept de la dérivation et intégration d'ordrenon entierne soit pas nouveau, il remonte aux travaux de Leibniz, son intérrtnest reconnu quedurantes deux dernières décennies du 20ème siècle. Durant cette période beaucoupde travaux on trait à cette notion. Un exposé historique détaillé est donné enntroductiondans55]. Les livres ([56], [67], [75] et plus récemment34]46]constituent actuellementes références de base de cette théorie. Dans ce chapitre, on présente es notionsde base de cenouveau concept, en essayant d'expliquerle plus simplement possibleces notions qui font'obbet des paragraphes 1.2 et 1.3. Dans le paragraphe 1.4, on présente les systèmes d'ordre non entier. Cette présentation commence par la définitionde 'équation di~érentielle d'ordre non entier, la résolution d'un polynôme non entier ainsi quea représentation des systèmes non entiers, aussi bien dans l'approche transfert (représentation externe entréeesortiee que dans l'approche d'état (représentation interne). Le paragraphe1.4 contient également quelques définitions nécessaires àla compréhension des notions présentéesdanses autres chapitres.

Le passage de la représentation transfertà a représentation d'état desmodèles non

entiers, dont la littérature est très peuexistante, fait'obbet d'une attention particulièree elle est présentée dans le paragraphe 1.5. On y présente en particulier une nouvelle méthode qui calcule le modèle d'état à partir du modèletransfert d'un système d'ordre non entier généralisé.

Après avoir présenté dansle paragraphe 1.6 les propriétés de commandabilitédobservabilité et les conditions de stabilité dessystèmes non entier d'ordre commensurable, on présente dans la dernière partie de ce chapitrele moyen utilisé pour 'analyse, a simulation et la réalisation des systèmes non entierCet outilconsiste en 'approximation du dérivaa teur non entier par un modèle entier présentant les mêmes caractéristiques fréquentielles dans une bande de fréquence bornée

1.2 Intégration d'ordre non entier

Soit une fonction réelle, dela variable réelle t, continue et intégrable sur [0, +oc[. L'intégration répétée k fois de la fonction f(t), également appelée l'intégrale k`eme de f(t), et notée I^kf(t), s'exprime par la formule de Cauchy

Z t Z tn Z t3 Z t2 dtn dtn-1 · · · dt f(t1)dt1 | {z -I t0 t0 t0 t0 k fois

Z t = I^kf(t) = 1 (t - ô)^k-1f(ô)dô (1.1) (k - 1)! t0

k doit être un nombre entier positif à cause de lutilisationde a fonction factorielle qui n'a de sens que pour des valeurs entières.

Pour généraliser la formule de Cauchy (1.1) à un nombre réellea E R^* +, Riemann en 1947 a proposé de remplacerla fonction factorielle para fonction Gamma qui en esta généralisation aux nombres réels. On obtient alorsa fonction d'intégration non entière

Z t

1

I^áf(t) = (t - ô)^á-1f(ô)dô (1.2)

F(a) t0 F étant la fonction d'Euler définie par

Z 8

F(ë) = v^ë-1e^-vdv V ë E R^*\Z- (1.3)

0

L'intégrale unilatérale dordre réel (12) est souvent appelée'intégrale deRiemannn Liouville car Liouville aussi a proposé la mêmedéfinition que Riemann maisen remplaaant

la borne inférieure d'intégration par -oc (dans ce cas l'intégrale est dite bilatérale)

Il est intéressant de souligner quedans larelation(1.2) aquantité^(t-i)á-'

_(á) vaut 1 quand

l'ordre d'intégration a = 1. L'intégrale classique d'ordre 1 de la fonction f(t) correspond alors à l'aire délimitée parla fonction f(t) et l'axe des abscisses surl'intervalle [t0, t].

Dans le cas où a est non entier, l'équation (12) peut êtreécrite sous a forme

I^áf(t) = P_á(t) ? f(t) (1.4)

avec

P_á(t) = (t)á-1

(a)

? étant le produit de convolution.

la fonction P_á(t) vient ainsi pondérer différemment chaque valeurde la fonction f(t). L'intégrale d'ordre non entier de la fonction f(t) peut alors être interprétée comme laire entre t0 et t que délimite par rapport àl'axe des abscisses la fonction f(t) pondérée par la fonction de la variable t, P_á(t) : L'ordre non entier a permet de moduler la pondération de la fonction f(t) à chaque pas d'intégration dr. Lorsque a < 1, la valeur de l'intégrale en un point t est plus influencée par les points de son voisinage que par des points plus éloignés. Oustaloup [65] appellela fonction de pondération P_á(t) le facteur d'oubli. La figure (1.1) montreles variations de P_á(t) pour différentes valeurs de a.

La transformation de Laplace delintégraled'ordrea de f(t) causale (f(t) = 0, pout t = t0 = 0), a la même expression que la transformation de Laplace de 'opération d'intégration entière, il suffit de remplacer lordre d'integration entier par'ordre non entier a. Elle est donnée par : [56]

[ ] [ ]

£ I^áf(t) = sá 1 £ f(t)(1.5)

FIGURE 1.1: variation du facteur doubli P_á(t) pour 0 < a < 1

1.3 Dérivation d'ordre non entier

La dérivation d'ordre non entier est la généralisation de a fonction de dérivation entière à des ordres non entiers quelconques. Cette généralisation peut être obtenue à partir de l'intégration non entière (12) donnant ainsiadéfinition deRiemann-Liouville et la définition de Caputo. Une autre généralisation, basée sur adéfinition usuelle dea dérivation entière, est proposée par Grinwald-Letniikov

Pour expliquer l'essence des deux premières définitions, considérons e schéma de principe de la figure (1.2). Ce schéma montre que la dérivéede la fonction f(t) à l'ordre non entier a (ici a = 2.3) compris entre r - 1 et r (r étant un nombre entier positif ici r = 3), peut être déduite en utilisant la définition de lintégration non entière 1.2) eta fonction de dérivation entière usuelle. On peut alors procéder de deux manières di~érentes donnant ainsi la définition de Riemann-Liouville et la définition de Caputo.

FIGURE 1.2: Principe de généralisation de lopération de dérivation à des ordresnon entiers

1.3.1 Définition de Riemann-Liouville

La première méthode peut être obtenue en deux étapes (chemin I)755. ~ Intégrer d'abordla fonction f(t) à l'ordre non entier r - a.

~ Dériver le résultat ainsi obtenu à lordreentier r.

Cette définition est appelée la définition de Letniikov-Riemann-Liouville, son expression mathématique est donnée par

t0D^á R t f(t) =

Z t } dr ( 1 (t - ô)^r-á-1f(ô) dô (1.6) dt^r (r - a) t0

Le symbôleR t0D^á t f(t) désigne la dérivée d'ordre non entier a par rapport à t de la fonction f(t) entre t0 et t selon la définition de Riemann-Liouville.

La transformation de Laplace de la dérivéed'ordrea de la fonction f(t) causale selon cette définition est donnée par 56]

[ ] [ ] £ .R 0 Dá t f(t) = s^á £ f(t)-

Xr - 1 i=0

siDá-i-1 f(t)

^~~~~~t=0

(1.7)

où: Dá-i-1f(t) ~ ~t=0 représente la dérivée (a-j-1)^`eme de f(t) lorsque t = 0.

Ainsi, les conditions initiales s'expriment en fonctiondes valeurs en 0 des dérivées non entières D^á-i-1f(t) de f(t), (j = 0,. . . , r - 1).

1.3.2 Définition de Caputo

A la fin des années 60, dans le cadre de ses travaux sur la dissipationdans un matériau viscoélastique linéaire, Caputo a introduitune autredéfinition de adérivation non entière [9]; Elle est aussi obtenue en deux étapes (CheminII)

~ Dériver la fonction f(t) à l'ordre entier r.

~ Intégrer le résultat ainsi obtenu à lordre non entier a - r + 1.

L'expression mathématique de cette définition est

t

1

t0D^á

C t f(t) = (r

_Z

(t - ô)^r_á_1f^(r)(ô) dô (1.8)

- a) t0

f^(r)(ô) étant la dérivée d'ordre entier r, par rapport à ô, de la fonction f (ô).

t0D^á

C t f(t) désigne la dérivée d'ordre non entier a de la fonction f(t) entre t0 et t selon la définition de Caputo.

La transformation de Laplace de la dérivée dordre a, par rapport à t, de la fonction f(t) causale selon la définition de Caputo est donnée par 56].

[ ] [ ] £ .C 0 Dá t f(t) = s^á £ f(t) -

Xr _ 1 i=0

~~ sá_i_1Dif(t) ~~t=0

(1.9)

où: Dif(t) ~ ~t=0 représente la j`eme dérivée entière de f(t) lorsque t = 0.

Dans ce cas, les conditions initiales sexpriment en fonction desvaleurs en0 des dérivées entières Dⁱf(t) de f(t), (j = 0,
·
·
· , r - 1).

La définition de Caputo requière donc que la fonction f(t) ainsi que ses r dérivées successives soient nulles pour t < 0, ce qui la rend plus restrictive quela définition de Riemann-Liouville qui exige la seule causalité de f(t). De plus, dans la résolution des équations différentielles dordre non entier la solution obtenue en utilisanta définition de Riemann-Liouville, s'exprime en fonction des valeurs nitialesd'ordrenon entier

(y0,

^dá dtáy(0)
·
·
·), alors que l'utilisation de la définition de Caputo permet d'exprimer a solution en fonction des valeurs initiales entières (y0, ^d _dty(0)
·
·
·). Dans le domaine de la

science physique où les valeurs initiales des dérivées entières sont plus perceptibles que

leurs dérivées non entièresla définition de Caputo sembledonc plus adaptéedans ce cas [39].

Une autre différence majeure entre les deux définitions apparaatorsquea fonction à dériver est une constante. En effetLa dérivée à l'ordrenonentier d'une constanteelon la définition de Riemann-Liouville est une fonction non nulle dépendante de avariablet alors que sa dérivée non entière selon la définition de Caputo estnulle.

C(t -- t0)^-á

t0D^á

R t C = (1 -- a) et C _t0 Dá t C = 0 (1.10)

L'analogie avec la dérivation entière induit plutôtà adaptera définition deCaputo particulièrement pour la modélisationdes phénomènes physiquespour esquelsl est pluttt facile de donner un sens aux conditions initiales. Alors que a définition de Riemann- Liouville est couramment utilisée en mathématiqueen raisonde son caractère plus général [2].

Dans la suite du mémoire, où les fonctions traitées sont causales etdontes valeurs initiales des dérivées entières et non entières sont nulles, on supposera que t0 = 0 et on adoptera la définition de CaputoOn notera alorssimplement D^áf(t) la dérivée d'ordre non entier a de la fonction f(t). néanmoins, lorsque la définition de Riemann-Liouville est utilisée cela sera précisé dans le texte.

1.3.3 Définition de Grflnwald-Letnikov

La dérivée généralisée d'une fonction f(t), peut également être obtenue de façon plus naturelle en utilisant la définition entière usuelle.C'est adéfinition proposée parGrrinwald [26], [65]. Elle est plus adéquate au calcul numérique de la dérivation non entière. En effet, partant de la dérivée première

D1 f(t) = lim h-+0

^f(t)--f(t--h)(1.11) h

h étant la période d'échantillonnage. la dérivée secondedonne

D2 f(t) = lim h-+0

f(t) -- 2f(t -- h) + f(t -- 2h)(1.12) h2

Un premier niveau de générallisation à lordre n E N donne :

D^n f (t) = lim h-+0

1 h^n

Xn j=0

? ? ((--1)j^n f(t-- jh)) (1.13) j

n étant un nombre entier, la notation (ⁿ_j) représente la combinaison de j élément parmi n dont l'expression est donnée par

? ?

n j

? ? =

n!

(1.14)

j! (n -- j)!

l'extension de l'équation (1.13) à des valeurs non entières a E R+ de l'ordre de dérivation étant immédiate, [65] soit

D^a f (t) = lim h-+0

1 h^a

cx) j=0

(--1)^j (^a )f(t -- jh)) (1.15) j

La notation (^a_j) désigne le binôme de Newton généralisé à des ordres réels

? ?

a j

? ? =

(a + 1)

j! (a -- j + 1) (1.16)

Pour des ordres de dérivation entiers a = n E N, la somme de l'équation (1.15) est limitée à n + 1 termes. La valeur de la dérivée à un instant t est alors une combinaison linéaire des n+1 valeurs de la fonction f (t-- j h) , j = 0,
·
·
· , n. La dérivation entière donne ainsi une caractérisation locale de la fonction. Par contre, pour des ordres de dérivation non entiers, les coefficients de pondération [(--1)j (^a_j)] ne s'annulent pas. la valeurs de la dérivée à un instant donnée est alors une combinaison inéaire de toutes es valeurs de a fonction f(t -- jh), j = 0,
·
·
· , oo. Cela montre qu'à l'inverse de la dérivation entière, la dérivation non entière donne un caractérisation globale de a fonction.

Algorithme de calcul

plutôt son explication, on se limite dans ce qui suit à la présentation dede 'algorithme dans le cas des ordres de dérivation réels.

Dans le cas où la fonction f(t) est causale, en posant t = Kh, cette condition se traduit par f ((K - j)h) = 0 pout K - j < 0, soit pour j > K. Ainsi dans l'équation (1.15) la somme étendue de j = 0 à j = 8 se réduit à la somme étendue de j=0àj=K. Posons alors :

C(j) = h1a (-1)i a

( _?(1.17)

j

La loi de récurrence entre les coefficients C(j) et C(j - 1) est donnée par :

{	C(0) = há 1 (1.18) C(j) = C(j - 1)^i_7^1 j = 1, · · · , k.

L'équation (1.15) s'écrit alors sous la forme plus adéquate au calcul numérique ous a forme :

D^a f (Kh) =

XK i=0

C(j) f ((K - j)h) (1.19)

D^a f (Kh) représente la valeur de la dérivée a`eme de f(t) à l'instant Kh.

Cette relation permet de montrer deux caractéristiques particulières de a dérivation non entière. Pour montrer la première, calculons les valeurs de a dérivée d'ordre a d'une fonction f(t) pour les quatre premières valeurs de t échantillonné au pas h. Elles sont données par :

{

D^a f(0) = C(0) f (0) D^a f (h) = C(1)f(0) C(0)f(1) D^a f(2h) = C(2)f(0) C(1)f(1) C(0)f(2) D^a f (3h) = C(3) f (0) C(2)f(1) C(1)f(2) C(0)f(3)

(1.20)

Plus la variable t augmente, plus le nombre de coefficients à ajouter devient mportant. e plus, pour calculer la dérivée à t = Kh les produits des coefficients C(j) et des valeurs de la fonction f ((K - j)h) ne sont pas les mêmes que ceux utilisés pour calculer les valeurs précédentes de la dérivée. Cet algorithme nécessite donc un temps de calcul très mportant.

FIGURE 1.3: variation des coefficients C(j) en fonction de j pour différentes valeurs de a

Pour montrer l'autre caractéristique de ladérivation non entière, considéronsafigure (1.3) qui montre les valeurs relatives des coefficients C(j) par lesquels les valeurs passées de la fonction doivent être pondérées pour calculer a valeur de adérivée dea fonction à l'instant présent, pour plusieurs valeur de lordre non entier.Pour des ordresa non entiers, les coefficients de pondération ne sont pasnuls, mais eur valeur diminue au fur et à mesure qu'on s'éloigne delinstant présent. Confirmant ainsie caractèrefacteur d'oubli" de ces coefficients évoqué par Oustaloup65]. Par contre, pourune valeur entière de a (ici a = 1) les coefficients de pondération sont tous nuls sauf pour j = 0 et j = -1. En effet, la dérivée d'ordre 1 d'une fonction à l'instant t dépend uniquement des valeurs de la fonction à l'instant t (j = 0) et l'instant précédent t - h (j = 1).

Bien qu'assurant de bons résultats, cet algorithme présente une précision de calcul d'autant meilleure que la période déchantillonnage h est faible, donc que le temps d'exécution est grand, surtout lorsquil est utilisé pour calculeres sorties d'un ssstèmedynamique décrit par une équation différentielle dordre nonentier notamment danse casmultivaa riable. Par contre, il est très lourd à utiliser carmême pour une période d'échantillonnage

pas très petite, le temps de calcul devient très grandorsque etemps de simulation du système est assez grand en raison du nombre de produits effectuer qui devient de plus en plus grand que le temps de simulation augmente tel que le montrees relations de l'équation (1.20), en particulier lorsque les coefficients C(i) sont des matrices.

1.4 Systèmes non entiers

Les systèmes, dont la dynamique est modélisée par une équationdifférentielleutilisant la dérivation d'ordre non entière, sont appelés les systèmesd'ordrenon entier ouimplee ment les systèmes non entiersActuellement, beaucoup detravauxtraitent desystèmes ou des phénomènes physiques nécessitant lutilisationdecette théorie pour développer de nouveaux outils mathématiques et informatiques qui permettent de manipuleresmodèles non entiers et leur simulationdautres tentent dedéterminer eurs caractéristiquesdynaa miques et statiques. Tous ces travaux utilisent a représentation transfert, dansaquelle la manipulation des équations non entières est plus simple, et considèrent souvente cas des systèmes commensurables. Très peu de travaux utilisent a représentation d'état, et les travaux traitant des systèmes nonentiers généralisés sont presquenexistants. n préé sente dans ce paragraphesles définitions de bases des systèmesnonentiers, notamment la définition de l'équation différentielle dordre non entier

1.4.1 Equation différentielle d'ordre non entier

De manière générale, un système dordre non entier monovariable, inéaire temps invariant est décrit par une équation différentielle généralisée de a forme

_Xn ai D^ái y(t) + a0 y(t) = _Xm bj D^âju(t) + b0 u(t) (1.21)

i=1 j=1

où : ai, bj E R, u(t) E R et y(t) E R désignent respectivementl'entrée et la sortie du
système. D^á désigne l'opérateur de dérivation dordre á (indifféremment de la définition
utilisée). Les ordres de dérivation á et â sont des nombres réels positifs quon suppose,

sans perte de généralité, tels que

0<á1<á2< · ··<á_n et 0</31</32< · ··</3_m

Comme dans le cas entier, l'équation caractéristique associée 'équation di~érentielle est obtenue en éliminant le terme de droite de léquationdi~érentielle 1.21) et en remplaaant l'opérateur de dérivation par une variablecomplexe quelconque. l est écrit sousa orme

Ä_ne(ë) = _Xn aië^ai+a0=0 (1.22)

i=1

Definition 1 Le système non entier décrit parl'équationdi~érentielle 2..2)st strictee ment propre lorsque /3_m < á_n. Lorsque /3_m = á_n le système est juste propre.

Definition 2 Un système non entier est dit d'ordrecommensurableá lorsque tous les ordres de dérivation de son équation di~érentielle sontmultiples du mème nombre non entier á. Dans ce cas, l'équation di~érentielle généralisée de'équation2..2)evientt

_Xn ai _Di a y(t) + a0 y(t) = _Xm bj _Dj â u(t) + b0 u(t) (1.23)

i=1 j=1

Lorsque á est un nombre rationnel, le système est alors appelé système ractionnaire d'ordre commensurable ou simplement système ractionnaire.

Definition 3 On appelle la dimension d'unsystème, entier ou non entier, e nombre de coefficients non nuls contenus danssonéquation caractéristiqueupposée monic le coefficient associé à la puissance aplus élevée est ééal à 1).

Cette définition permet de remplacer le terme "ordred'un système" usuellementutilisé dans la théorie des systèmes entiers, par le terme "dimensiond'un système" puisquee terme "ordre" est utilisé pour désignerdordrede dérivation.

1.4.2 Cacul des racines d'un polynôme d'ordre non entier

Le calcul des racines d'un polynôme dordre non entier donné par

Ä_ne(s) = a_ns^an+ an_1 san_ + · · · + a1 s^a + a0 = 0 (1.24)

FIGURE 1.4: Coupure du plan complexe suivant laxe RT

avec : a E R, á E R+, (i= 1, 2,· · · , n).

doit être considéré avec beaucoup de précautions en raisonducaractèrenon entier des puissances de la variable s qui implique la multiformité deléquation. En effet, si la variable complexe s est écrite sous la forme s = |s| ej? avec ? = ?0 + 2kð, il est possible d'exprimer une quelconque puissance de s, par :

( |s | ej( ?0+2kð)) ái = |s|ái ej ái ?0 ej 2 ái k ð sái =

(1.25)

~ Lorsque á est un nombre entier, _ej2ái k ð = 1 ?k, ce qui exprime que s ^ái a un seul

sens, traduisant ainsi l'uniformité du polynôme(1.24) dans ce casentier.

~ Dans le cas où á est non entier, le terme _ej2ái k ð dépend de k, exprimant que sái

a plusieurs sens et traduit ainsi la multiformitédu polynome non entier 1.24). Pour rendre cette équation uniforme, ilfaut éviter que 'argument des décrive un tour complet, ce qui est possible en effectuant une coupuredu plan complexe [655. Cependant, une telle coupure doit être effectuée suivant laxe R^T pour répondre au caractère indéfini de s ^ái pour s E R^T et á E R - Z. La coupure ainsi définie imposela détermination I - ð, +ð[ pour l'argument de s et est bien conforme à la condition sur s, soit s E C - RT (figure 1.4)

Principe de la méthode

entières ái par des nombres fractionnaires de la forme

ri

ái = q

+ei (i=1,... ,n) (1.26)

q et ri sont des nombres entiers et ei est l'erreur de rationalisation de la puissance réelleái. L'entier q est calculé de sorte que la somme des erreurs de rationalisation ei soit minimale et que les valeurs des entiers ri aient des valeurs admissiblesAinsi, le polynôme non entier Ä_ne(s) (1.24) devient un polynôme fractionnaireet peut êtreécrit sousa forme

Äf(s) = an srn/q + an_1 srn_1/q + . . . + a1 sr1/q + a0 = 0 (1.27)

En effectuant le changement de variable

p=s¹/^q (1.28)

le polynôme fractionnaire (129) devient un polynôme entierdonné par

Ä(p) = an p^rn + an_1 prn_1 + . . . + a1 p^r1 + a0 = 0 (1.29)

Ce polynôme possède alors r_n racines simples ou multiples. Connaissant cesracines, on peut, grâce au changement de variable (128) déduirees racinesdu polynôme fractionn naire Äf(s) de l'équation (1.27) qui sontles approximations des racinesdu polynômenon entier (1.24). En effet, si pi est une racine du polynôme entier Ä(p) elle peut être écrite sous la forme :

pi = |pi|e^arg(pi) (i = 1,... , r_n) (1.30)

| pi | et arg(pi) sont respectivement le module et largument de la racine pi. les racines du polynôme fractionnaire Äf(s), notées, s = | s |, ejarg(s), correspondantes sont données par:

? ???? ????

| s | = |pi|q arg(s)=qarg(pi)+2qkð k = 0, #177;1, #177;2, . . . 1 arg(pi) arg(pi) - - < k < 1 - 2q 2ð 2q 2ð

(1.31)

La troisième relation de cette équation permet de vériifier 'existence des racines du polyy nôme fractionnaire, les deux premières relations permettent de es calculer.

~ Lorsque Ä(p) possède une racine réelle négative, en raison de lacoupuredu plan complexe, il ne lui correspond aucune racine de Äf(s) donc de Ä_ne(s), c'est ce que l'on appelle les racines multimodes apériodiques.

~ Une même racine de Ä(p) peut engendrer plusieurs racines de Ä_ne(s). (lorsque plusieurs valeurs de k vérifient la condition de l'équation 131) D'un autrecôé, une racine de Ä(p) peut n'engendrer aucune racine de Ä_ne(s), (lorsqu'il n'y a aucune valeur de k qui vérifie cette même condition)

On peut alors tirer les conclusions suivantes caractéristiques des polynômes d'ordre non entier.

~ Le nombre de racines d'un polynôme dordre non entier ne peut êtredéterminé au préalable ni à partir dela puissance la plus élevée de sa variable, ni àpartirdu nombre de ses coefficients.

- Un polynôme non entier, peut avoir un nombre deracines beaucoup plus grand que le polynôme entier qui lui correspond par le changement de variablep = s^a, comme il peut en avoir aucune alors quele polynôme entier en possède r_n.

~ De ces deux conclusions on peut en déduire une autre caractérique propre aux polynômes non entiers On ne peut pas reconstituer le polynôme nonentier à partir de ses racines comme dans le cas des polynômes entiers.

Exemple d'illustration n°1

Soit à résoudre le polynôme non entier

Ä_ne(s) = s1.33 + 5 s0.65 + 4 = 0 (1.32)

Celui-ci peut alors être approximé par un polynôme fractionnaire en approximantes ordre non entiers 1.33 et 0.65 par :

?

????

????

1.334 ₃ = e1 = 0.0033

(1.33)

0.65 3 2 = e2 = 0.0167

e = e1 + e2 = 0.02

Le polynôme fractionnaire correspondant est donné par

A l'aide du changement de variable (p = s¹/³), celui-ci devient entier et s'écrit sous la forme :

L(p)=s⁴+5s²+4=0

dont les racines sont respectivement

2

p1, 2 = 1 _e+ j ð 2 et p3, 4 = 2 _e+ j ð

La condition d'existence des racines du polynôme fractionnairedonnée par'équation (1.33) s'exprime dans ce cas par

5 1

12 <k < - 12

Comme k doit être un entier, cette condition montre que le polynôme fractionnaire 1.33) et par conséquent le polynôme non entier (1.32) ne posssdent aucune racine.

Exemple d'illustration n°2

Considérons le polynôme non entier

L_ne(s) = s1.33 - 5 s0.65 + 4 = 0 (1.35)

A l'aide des approximations (133) et en utilisant le même changement de variablep = s¹/³) , le polynôme entier correspondant est donné par

L(p)=s⁴-5s²+4=0 (1.36)

dont les racines sont :

p1=2ej ⁰, p2=2ej ^ð, p3=1ej ⁰, p4=1ej ð

La condition d'existence des racines du polynômefractionnaires'exprime dans ce caspar

pourp1etp3 - 6 1 <k<+1 6 k=0 pourp2 etp4 - 3 2 <k<- 3 1kn'existepas

Par conséquent seul les racines p1 et p2 du polynôme entier (1.36) engendrent des racines au polynôme fractionnaires correspondant. Celles-ci sont données par

En remplaçant ces solutions dans le polynôme non entier (1..40),on trouve que

Ä_ne(1) = 0 alors que Ä_ne(8) = 0.57 =6 0

Ces résultats montrent que le calcul des racines dun polynôme d'ordrenon entier en utilisant la méthode proposée par Oustaloup,basée sur lapproximationdu polynôme non entier par un polynôme fractionnaire, esttributairede a qualité de cette approximation. Néanmoins, cette méthode reste intéressante même lorsque a solution calculéen'est pas une racine du polynôme non entierelle peutservir comme valeur nitiale à une méthode de résolution itérativeEn utilisant la méthodededichotomie, par exemple, on trouve que la racine du polynôme est environ égale à 7.44111 avec une erreur de 3.5 10_⁶.

1.4.3 Transformation du plan complexe s par la transformation p = sá

Puisque le calcul des racines d'un polynôme non entier passe necessairement para résolution du polynôme entier correspondant ene~ectuant e changement de variable (p = s^a). On présente dans ce qui suit la transformationdu plancomplexe décrit para variable s pour déterminer le plan décrit par la variable p correspondant.

~ Soit s = ñ_sej?^s les coordonnées d'un point situé dans le demi plan gauche du plan complexe ne contenant pas laxe réel. Dans ce cas, llargument de s est donnée par ir/2 < ?_s < ir lorsque la partie imaginaire de s est positive et il est donné par --ir < ?_s < --ir/2 lorsque la partie imaginaire est négative.Son image para transformation p = s^a est un point de coordonées p = ñ_p ej?^p= (ñ_s ej?^s)^a, tel que :

? ???? ????

ñp = ña s lorsque ir/2<?s<ir == air/2<?p <air lorsque -- ir < ?s < --ir/2 == --air < ?p < --air/2

(1.37)

~ De même, si on considère s = ñs ej?^s les coordonnées d'un point situé dans le demi plan droit du plan complexe. Dans ce cas, largument de s est donné par : --ir/2 < ?_s < ir/2. Son image par la transformation s^a est un point de coordonées

FIGURE 1.5: Transformation du plan complexe s par la transformation p = sa

p=ñ_p ej?^p, donné par:

ñp = ña s ?p=a?s telque --að/2<?p <að/2

(1.38)

La figure (1.5) illustrela transformationdu plancomplexe s par la transformation (p = s^a) pour 1 < a < 2 et 0 < a < 1. La zone grisée montrel'image du demi plan droitdu plan complexe et la zone hachurée montrelimage du demi gauche.La partie restée claire correspond à l'image de l'axe réel négatif.

Ces figures permettent notamment de connaître la position des pôles à mposer aupoo lynôme entier correspondant à léquation caractéristique des systèmes commensurables, afin d'obtenir une dynamique donnéeAinsipour obtenir une dynamique oscillatoire amortie, il faut que les pôles complexes du polynôme entier soient situésdanses zones hachurées. Lorsqu'ils sont situés dans la zone claire, même s'ils sont complexes, adynaa mique du système est amortieCes figures, permettent également de déduirees domaines de stabilité des systèmes non entiers dordrecommensurablea dans le plan complexe p obtenu par le changement de variable p = s^a.

1.4.4 Représentation transfert des systèmes non entiers

Lorsque les conditions initiales sont nulles, les transformations deLaplace deD^aiy(t) et Dâiu(t) sont respectivement s^aiY(s) et sâiU(s). Y(s) et U(s) étant les transformations de Laplace respectives de y(t) et u(t). En calculant la transformationde Laplacede l'équation

? ? ?

D^(á)(x) =Ax+Bu y = Cx+Du

(1.42)

où:

différentielle généralisée (121) on obtient la fonctionde transfert duystème non entier

donnée par:

_Im

Y (s) j=1 bj sâj + b0

G(s) = U(s) = In i=1 ai _sái + a0 (1.39)

_{Im Im}

j=1 bj _sj á + b0 j=1 bj (s^á)j + b0

Dans le cas des systèmes d'ordre commensurable á, cette fonction de transfert sécrit simplement :

G(s) = _In

= In i=1 ai (s^á)ⁱ + a0 (1.40)

i=1 ai _si á + a0

Dans le cas général des systèmes non entiers multivariables, ayant £ entrées et q sorties, décrit par un système d'équations différentielles dordrenon entier, amatrice de fonctions de transfert s'écrit

G(s) =

G11(s) . . . G1`(s) .... . .. .. Gq1(s) . . . Gq `(s)

(1.41)

où chaque Gi j(s) est une fonction de transfert de la forme (1.39).

1.4.5 Représentation d'état des systèmes non entiers

Le modèle d'état d'un système dordre non entiermultivariablecontinu nvariant est défini, comme dans le cas entier, par deux équations 53], [655

~ Une équation d'état danslaquelle chaque variabledétat xi(t) est dérivée à un ordre non entier ái. Dans ce cas on parle de la représentation détat généralisée.Danse cas des systèmes commensurablestous les états xi(t) sont dérivés à un même ordre non entier á.

~ une équation de sortie qui est une combinaison linéairedes états, comme danse cas entier.

Le modèle d'état s'écrit alors sous la forme

avec : x ? Rⁿ, u ? R`, y ? Rq, A ? R<sup>n×n</sup>, B ? R<sup>n×</sup>`, C ? Rq^×n, D ? Rq^×`. Dans le cas des systèmes commensurables le modèle détat (1.42) s'écrit

? ? ?

D^ax = A x + B u y = Cx+Du

(1.44)

avec :

_iT

D^a(x) = Da h x1, x2 . . . x_n (1.45)

La relation entre les matrices du modèle détat 1.42 et emodèletransfertG(s) peut être facilement calculé en utilisant la transformation de aplace et en considérantes conditions initiales nulles. On obtient

~~ )_1]

G(s) = C s^(a)I_n -- AB + D (1.46)

où:

_{h i}

s^(a)I_n = diag sa1, s^a2 . . . _san (1.47)

Lorsque les matrices A, B, C possèdent les formes particulières qui rappelent la forme canonique commandable des modèles détat entiers donnés sous a forme

0 1 0 · · · 0 0 0

0 0 1 0 0 0

A=

.... . .. ..

, B=

...

,

0

0 0 0 0 1

--a_n ^--an_1 ^--an_2 · · · --a2 --a1 1 (1.48)

/31 = 0, /32 = á1, /3i = Ii_1

j=1 áj, /3_n = In_1

j=1 áj

á2 = á1 + á2, án_i = Pn_i

j=1 áj, á_n = Pn j=1 áj

? ?

?

á1 = á1,

(1.50)

_{h i}

C = c1 c2 c3 · · · cn_1 c_n

_{h i}

a1 + an (1.49)

Dans ce cas le modèle transfert est donné par

c1sâ¹ + c2 sâ² + · · · + ci s ^âi + · · · + cn sân

á = á1 á2 á3 · · · án_1 á_n

G(s) =s an + a1 _san_1 + · · · + ai _san_i + · · · + an_2 _sa2 + an_1 s

avec :

1.5 De la représentation transfert à la représentation d'état

Si le calcul du modèle transfert à partir du modèledétat des systèmesnon entierse fait de la même manière que dansle cas des systèmes entiers classiques, ln'en est pas de même du calcul du modèle d'état à partir du modèle transfert, danse casdes systèmes non entier généralisés et multivariables en particulier

Dans le cas des systèmes commensurables, on verra qu'à 'aide du changementde vaa riable (p = s^a), on retrouve les méthodes utilisées dans la théorie des systèmesinéaires d'ordre entier. Une nouvelle méthode permettant decalculer un modèle d'étatà partir du modèle transfert sera présentée dans le casdes systèmesnon entiers généralisésmonoo variables [20]. Il faut noter enfinquun tel passage nexiste pasencore pouresystèmes non entiers généralisés multivariables.

1.5.1 Cas des systèmes commensurables

Etant donné un système non entier monovariable linéairenvariant représentéparon modèle transfert G(s) supposé irréductible donnée sous la forme

bm s^ma + bm_1 s(m_1)a + · · · + b1 s^a + b0

G(s) = sna + a1 s(n_1)a + · · · + an_1 sa + an (1.51)

Pour calculer le modèle d'état correspondant, on procède entrois étapes

étape 1 : A l'aide du changement de variable p = s^a , on transforme le modèle non entier G(s) en un modèle entier G(p) qui s'écrit sous la forme

bm p^m + bm_1 sm_1 + · · · + b1 s + b0

G(p) = sn + a1 sⁿ_¹ + · · · + an_1 s + an (1.52)

observable, Jordan ···). On obtient le modèle d'état dela forme

? ? ?

x ÿ=Ax+Bu y = Cx + Du

(1.53)

étape 3 : Remplacer dans le modèle d'état (153) ladérivéeentièred'ordre1 par la dérivée non entière d'ordre á pour obtenir le modèle d'état correspondant au modèletransfert commensurable (1.52) donné par

? ? ?

D^ax = A x + B u y = Cx+Du

(1.54)

Cette approche peut également être utiliséedans ecasdes systèmes commensurables multivaribles.

1.5.2 Cas des systèmes non entiers généralisés

cas où G(s) admet un numérateur constant

La fonction de transfert G(s) s'écrit sous la forme :

_sa' + a1 _sa'-1 + · · · + an_1 _sa1 + a_n

b0

G(s) =

Y (s)

= U (s) (1.55)

On suppose, sans perte de généralité, que á_n > án_1 > · · · > á2 > á1. Pour calculer une représentation d'état de G(s), on procède d'une manière similaire à la méthode usuelle utilisée pour les systèmes entiers permettant d'obtenirune représentation d'état dea forme canonique commandableLquation di~érentielle associée àG(s) est donnée par : (la variable t est omise pour ne pas surcharger les expressions)

Considérons alors le vecteur détat

? ???????????????? ? ?????????????????	x1 = y x2 = D^a1x1 = D^a1 y x3 =Da2--a1 x2^=Da2--a1 (Da1 y) = Da2 y ... xi = Dai-1--ai-2xi--1 = Dai-1^--ai-2 (Dai-2--ai-3 xi--2) = · · · = D^ai-1 y . .. xn = Dan-1--an-2 xn--1 = Dan-1 y			(1.57)
D^(a) (x) =		? ???????????????? ? ?????????????????	Da1 x1 = x2 Da2--a1 x2 = x3 Da3--a2 x3 = x4 ... Dai--ai-1 xi = xi+1 . .. Dan--an-1 xn = Dan--an-1 (Dan-1--an-2 xn--1) = · · · = D^an y		(1.58)

0
0

x +

... 0 1

u

(1.60)

D^(a)(x) =

0 0 0 0 1

^--an^--an--1 ^--an--2
·
·
· --a2 --a1

y=h b0 0 0
·
·
· 0 0ix

?

????????????? ?

??????????????

0 1 0
·
·
· 0 0

0 0 1 0 0

.

. .

.

. .

.

.

.

La dernière composante du vecteur D^(a) (x) (D^an y) s'écrit en fonction des autres dérivées de y(t) selon l'équation (1.56). On peut alors lexprimer en fonction des diiérentes composantes du vecteur d'état x(t) par :

D^an--an-1 x_n = --a1 xn -- a2 xn--1 --
·
·
· -- an--1 x2 -- an x1 + b0 u (1.59)

De l'équation (1.59) en tenant compte des équations (1.57) et de 'équation 1.58)₎ e modèle d'état correspondant au modèle transfert (1.55) est nalement donné par

avec

T

x= h x1, x2
·
·
· x_ni

? ?????

?????

(1.61)

T

D^(a)(x) = h Da1 _x1, D(a2-a1)x2
·
·
· D(an-an-1)xn

De la même manière on peut obtenir une forme simillaire à a forme cannonique observable des systèmes entiers.

cas où le numérateur de G(s) est un polynôme

La fonction de transfert G(s), supposée propre, s'écrit dans ce cas sous la forme

G(s)=bm sâs + bm-1 sâs-1 +
·
·
· + b1 sâ¹ + b0

(1.62)

s^an + a1 s^an-1 +
·
·
· + an-1 sa1 + an

On suppose aussi que a_n > an-1 >
·
·
· > a2 > a1 et 0_m > 0m-1 >
·
·
· > 02 > 01.

On a vu que lorsque les matrices A, B, C du modèle d'état non entier ont les formes particulières de l'équation (148) la fonction de transfert G(s) correspondante donnée par l'équation (1.49) est non commensurable. Néanmoins, es ordres non entiers 0i et ai du numérateur et du dénominateur de G(s) sont des combinaisons linéaires des ordres non entiers ai du modèle d'état. Par conséquent ce modèle ne peut être utilisé comme modèle d'état correspondant au modèle transfert G(s) que pour des cas particuliers où les coefficients et les ordres de dérivation du numérateur et ceux du dénominateur de G(s) ont la forme particulière de léquation (149)

On présente dans ce qui suit une méthode générale qui permet de calculer uneune repréé sentation d'état ayant la forme (148) à partir dudu modèle transfert G(s) où les coefficients et les ordres de dérivation du numérateur sont quelconques par rapport àà ceux du dénoo minateur.

Soit a le vecteur constitué de la concatination des nombres non entiers ai et 0i :

a =	h i an+man+m-1an+m-2 · · ·a3a2a1 (1.63)

tel que : an+m > an+m-1 >
·
·
· > a2 > a1.

0 1 0 · · · 0 0

0 0 1 0 0

D^(a)(x) =

.... . .. .. 0 0 0 0 1

?

????????????????? ?

??????????????????

0

0

x + . .. u

? ?

0 ? (1.64)

1

Considérons alors le modèle détat donné par

-an+m - an+m-1 - an+m-2 · · · -

_{h i}

y = c1 c2 c3 · · · cn+m-1 cn+m x

a2 -a1

avec :

_h ] T

D^(a)(x) = Da1 _x1 D(a2-a1)x2 · · · D(an+m-an+m-1)_xn+m (1.65)

dont le modèle transfert H(s) est donné par :

H (s) =

c1 + c2 s^a1 + c3 sa1+a2 + · · · + cn+m sa1+a2+···+an+m-1 sa1+a2+···+an+m + · · · + an+m-2sa1+a2 + an+m-1 sa1 + an+m

(1.66)

Remarque 4 Contrairement au cas des systèmes entiers, donte nombre de variables de leur modèle d'état est égal à la dimension deeur ééuationaractéristiiue, e nombre de variables du modèle détat d'unsystème non entier est égal à aomme dea dimension du polynôme numérateur et celle du polynôme dénominateur de sa onction de transsert

Puisque Le numérateur et le dénominateur de H(s) contiennent n + m termes. Il suffit alors de les trier de sorte à faireressortir m termes pour lequels les ordres non entiers correspondent à ceux du numérateurs de G(s) et n termes pour lequels les ordres non entiers correspondent à ceux du dénominateurs de G(s). La procédure de selection des termes ci et ai est résumée dans l'équation (167)

an+m = a_n c1 = b0

? ????

????

(1.67)

si ái =â _j alors _ci+1=bj ^et _an+m-i=0 i = 1, · · · ,n+m - 1

si ái =áj alors _ci+1=0 ^et _an+m-i=an-j i = 1, · · · ,n+m - 1

Exemple

Soit Le modèle transfert non entier donné par

4 s^0.7 + 6 s^0.5 + 10

G(s) = s2 + 2 s^0.8 + 3 s^0.3 + 5 (1.68)

? ?

? /32=0.7, b2=4; /31 =0.5, b1=6; b0=10

á3 = 2; á2=0.8, a1=2; á1=0.3, a2=3; a3=5

Le vecteur á est :

á = _{h i}

2 0.8 0.7 0.5 0.3

En utilisant la procédure de selection définie par léquation(1.67)₎on ootient

? ?????????? ? ???????????

a5=a3=5 c1 = b0 = 10 á1 = á1 = c2=0 et a4=a4=3 á2 = /31 = c3=b1 =6 et a3=0 á3=/32 = c4=b2=4 et a2=0 á4 = á2 = c5 = 0 et a1=a1=2

Selon l'équation (1.57), le vecteur détat x(t) est donné par :

h i x = y D^0.3 y D^0.5 y D^0.7 y D^0.8y

T

La dérivée d'ordre non entier du vecteur détat x(t) est :

_{h i}

D^(á)(x) = D^0.3x1 D^0.2x2 D^0.2x3 D^0.1x4 D^1.2x5

Le modèle d'état correspondant au modèletransfert(1.68) est nalement donné par

?

????????????? ?

??????????????

0
0

x + 0 u

(1.69)

0

1

0 1000

0 0100

D^(á)(x) = 0 0010

0 0001

--5 --3 0 0 --2

_{h i}

y = 10 0 6 4 0 x

01000
00100

D^(á)(x) = 00010

00001

--6 0 --3 0 --2

_{h i}

y = 7 2 0 1 0 x

?

????????????? ?

??????????????

0
0

x + 0 u

(1.72)

0

1

Remarque 5 La méthode qui vient d'être présentée suppose des relations quelconques entre les ordres de dérivationdu numérateur et ceux du dénominateur deG(s). Dans le cas où tous les ordres de dérivation á et /3 sont différents, le modèle d'état est dedimension n + in. Néanmoins, lorsqu'il existe des ordres de dérivation/3 qui sont égaux à ceux du dénominateur, cela engendre des dérivéesnulles danse vecteurD^(á)(x). Dans ce cas, la dimension du modèle détat peut être réduite en éliminantes ignesorrespondantes aux dérivées nulles du vecteur d état.Cette simpli~cation peuttre réalisée selonla relationn

lorsque á -- á -1 = 0 éliminer la j`eme ligne de la matrice A (1.70)

et le (j + ^1)`eme élément nul du vecteur C

Pour expliquer ce principe considérons le modèle transfert

s0.5 + 2 s^0.3 + 7

G(s) = s0.8 + 2 s^0.5 + 3 s^0.3 + 6 (1.71)

? ?

?

/32=0.5, b2=1; /31 =0.3, b1=2; b0=7

á3 = 0.8; á2 = 0.5, a1 = 2; á1 = 0.3, a2 = 3; a3 = 6

Le vecteur á est :

á =

_{h i}

0.8 0.5 0.5 0.3 0.3

Si on applique la méthode générale on obtient

hD^(á)(x) = D^0.3x1 D⁰x2 D^0.2x3 D⁰x4 D^0.3x5 le modèle d'état correspondant est

C doivent de ce fait être supprimésLe modèle simpliifié du modèle d'état (1.72) est naa lement donné par:

010

D^(á)(x) = 001

--6 --3 --2

_{h i}

y = 7 2 1 x

?

0

? ?

x + ? 0

?

1

? ????????

????????

u

(1.73)

avec :

T

_{h i}

x = y D^0.3 y D^0.5 y

h i D^(á)(x) = D0.3 x1 D^0.2x2 D^0.3xn

T

Remarque 6 Les coefficients et les ordres de dérivation dunumérateur et du dénomii nateur de la fonction de transfert non entièreG(s) peuvent, dans certains cas, avoirdes relations très particulières qui permettent de décomposerG(s) en éléments simples, comme dans le cas des fonctions de transfertd'ordre entierr

Pour montrer cette caractéristique considérons emodèletransfert

s0.5 + 2 s^0.3 + 7

G(s) = s0.8 + 2 s^0.5 + 3 s^0.3 + 6 (1.74)

qui peut être décomposé selonla relation

2 1

G(s) = (s^0.5 + 3) ^+(s0.3 + 2)

dont le modèle d'état correspondant est donné sous a forme modale

? ?

D^0.3x1 D^0.5x2

? ? ? ? ? --2 0 1 ? = ? ? x + ? ? u 0 --3 1

(1.75)

_{h i}

y = 1 2 x

1.6 Propriétés des systèmes d'ordre non entier en représentation d'état

On présente dans ce paragraphe les propriétés dynamiques des systèmes non entiers en représentation d'état Celles-ci ne concernent que es systèmes d'ordre commensurables puisqu'elles ne sont établies que pour ce type de système non entier. l n'existe actuelle ment aucun développement similaire pour les systèmes non entiers généralisés.

1.6.1 Réponse temporelle de l'équation détat non entière

Etant donné un système non entier dordre commensurable a < 1 dont le modèle d'état est donné par :

{	D^ax = Ax+ Bu x(0) = x0 y=Cx+Du			(1.76)
W(t) = Ea(A t^a) =		8 E k=0	Ak tka (1.81) (1 + ka)

En calculant la transformation de Laplace de cette équation, enen utilisant a définition de Caputo de la dérivation non entière, on peut exprimer la transformation de Lapalce du vecteur d'état par :

X(s) = (s^aI -- A)^-1B U(s) + (s^aI -- A)^-1 x0 (1.77)

On peut alors déterminer lexpression temporelle du vecteur d'état x(t) par :

x(t) = .C^-1[X(s)] = .C^-1 [(s^aI -- A)^-1B U(s) + (s^aI -- A)^-1 x0] (1.78)

Définissons alors, comme dans le cas entier la matrice de transition par

W(t) = .C^-1 [(s^aI -- A)-1] pour t > 0 (1.79)

On obtient finalement ::

x(t) = W(t) x0 + W(t) * [B u(t)]

t

x(t) = W (t) x0 + f W (t -- r) B u(r) dr (1.80)

o

où W(t) est donnée par :

E_á étant la fonction Mittag-Leffler57]qui est la généralisation dea fonction eepenentielle. En effet, lorsque (a = 1) le développement de la somme (181) donne e^At.

1.6.2 commandabilité et observabilité des systèmes non entiers

les notions de commandabilité et dobservabilité des systèmesinéaires ddordrenon entier sont très peu étudiées dans lalittérature.Actuellement seuls quelques résultats préliminaires sont donnés et ne concernent que les systèmes commensurables51]_]77]₁ [7]. La définition de la commandabilité des systèmes non entiersestamême que celle utilisée dans la théorie des systèmeslinéaires entiers 14].

Definition 7 Le système non entier d'ordre commensurable de'équation (..76st comm mandable si pour un temps donné t0 il existe un temps fini t1 > t0 tel que, quelque que soient deux états x(t0) = x0 et x(t1) = x1 dans l'espa ce d'état, il existe une entrée de commande u(t), t E [t0 t1] qui permet de transférer létat x(t) de x0 à x1 en un temps fini t1.

La condition de commandabilité est alors la même que pour ecasdes systèmes entiers. Le système non entier d'ordre commensurable(1.76) est commandable sie rang dea matrice de commandabilité :

C=[B AB A²B · · · An-1 B] (1.82)

est égal à n.

De la même manière la condition dobservabilité des systèmes non entiers commensurables est établie en utilisant la définition dobservalité des systèmes entiers donnéepar

Definition 8 Le système non entier d'ordre commensurable de'équation (..76stbb servable pendantl'intervalle de temps [t0 t1], t1 > 0, si n'importe quel état x(t0) peut être déduit à partir des observations de la sortie y(t) et de l'entrée u(t) pendant un temps fini t E [t0 t1].

Dans ce cas aussi, la condition dobservabilité du système(1..6) est quee rang dea

matrice d'observabilité

? C ? ? ? ? CA ? O = ?CA^2 ...

(1.83)

CA^n-1

est égal à n.

1.6.3 Stabilité des systèmes non entiers

On adopte dans ce cas aussi, la définition de la stabilité ausens entrée bornée sortie bornée (BIBO), dite aussi stabilité externe, utilisée dans a théorie des systèmesinéaires d'ordre entier.

Definition 9 Un système est dit BIBO stablesi et seulement si, à une entréeornée correspond une sortie bornée.

Dans le cas des systèmes non entiers dordre commensurable, comme danse cas entier, a condition de stabilité est quel'équation caractéristique du système n'admet aucune racine à partie réelle positive 2][65]

En pratique, la vérification dela condition de stabilité par e calculdes racines de l'équation caractéristique savère très diifficile en raison de a complexité deeur calcul (voir paragraphe 1.4.2). Au lieu de raisonner sur les racines du polynôme caractérique en s, Matignon a établi une condition de stabilité enraisonnant sur e polynôme entier, de variable complexe p, obtenu à partir de l'équation caractéristique, de variables, par le changement de variable p = s^á. Cette condition ne peut de ce fait être appliquée quaux systèmes non entiers d'ordre commensurable.

caractéristique du système, de variables, par le changement de variable p = s^a, vérifient la condition :

arg(pi) > á ð 2 i=1,
·
·
· ,n (1.84)

n est le nombre de racines du polynôme entier

pi, (i = 1,
·
·
· , n) sont les racines du polynôme entier arg(pi) est l'argument de la racine pi.

Remarque 11 La condition de commensurabilitéde 'ordre de dérivationst uneondition nécessaire. En e~et, lorsque cette conditionn'est pas vériiée l'étude dela stabilitédu système non entier sur la base des racinesde son polynômearactéristique, orrespondant au dénominateur de son modèle transfert, uniquementn'a pas deens.

Pour illustrer ces proposconsidérons lexemplesimple suivant

s1/ð - 1

G(s) = s-1

Le dénominateur de G(s) admet un pôle positif en s = 1, ce qui laisse penser que le système représenté parla fonction detransfertnon entièreG(s) est instable. mais en calulant sa réponse impultionnelleon trouve que

]

g(t) = £_¹ [G(s)] = £_1 [ s1/ð ^1- £_1 _[1 ]

s - 1 s - 1

g(t) = D1/ð(et) - e^t = 0 puisque D1/ð(et) = e^t [34]

qui montre que le système est bien stable. En utilisant laconditionde stabilité de Matignon (1.84) et en tenant compte de la transformationdu plan complexe, dea variables, par la transformation p = s^a présentée dans le paragraphe 1.4.3, on déduit les domaines de stabilité du système d'ordre commensurable á dans le plan complexe de la variable p illustrés par la figure (16)

FIGURE 1.6: Domaine de stabilité des systèmes commensurables dans e plan complexep

1.7 Approximation et simulation des systèmes d'ordre non entier

La complexité de la théorie dela dérivation non entièreet surtout 'absence d'outils mathématiques et numériques adéquats permettant 'analyse, a simulation eta réalisation de ces systèmes ont longtemps été les causes de sa marginalisation. Cette di~culté est principalement due au caractère global de lopérationde dérivation et d'intégration non entière nécessitant la connaissance detout le passé de a fonction.C'est doncnaturellement que les premiers travaux de recherche, qui remontent au début des années60, traitent du problème de simulation dessystèmes nonentiers.Trois solutions ont alors été proposées.

La première méthode est analytique, elle utilise la fonction Mittag-Le~er311,669 pour déterminer l'expression dela réponse temporelle dea sortiedu système.Les expressions obtenues sont généralementsi complexes, quelles ne peuvent êtreutilisées ni pour l'analyse du système, ni pour sa simulation temporelle.Ladeuxième méthode, utilisant des modèles discrets, peut être obtenue de deux manières di~érentes.La méthode directe basée sur la définition de Griinwald-Letnikov40], 65]permet de discrétiseremodèle continu. Elle peut être facilement développée dans les cassimplesdes systèmesmonovariables commensurables, elle peut aussi être généralisée au casdes systèmesmultivariables

non commensurables. La seconde manière, appelée aussi la méthode ndirecte, consiste à discrétiser, dans le modèle transfert non entier l'opérateurde dérivation pares outils de discrétisations connues (EulerTustin, Al Alaoui, etc) 15], 24]_]43]_]44]_]62]_]66]_] [76]. Ces deux méthodes sont simples à mettre en oeuvre par contre, ellesnécessitent un temps de calcul très importantLa troisième méthode, basée suresmodèles d'ordre entier continus, consiste à remplacer lopérateur de dérivation d'ordrenon entier par un transfert d'ordre entier qui lapproxime dans une bande de fréquencesdonnée.l su~t ensuite de remplacer, dans le modèle non entier lopérateur de dérivation pare transfert d'ordre entier qui l'approximeon obtient ainsi un modèle continud'ordre entier qui peut être utilisé pour simuler la sortie dusystème.Plusieurs solutionsont été proposées dans ce domaine [12], [30], [64], [76]

1.7.1 Du dérivateur généralisé au dérivateur borné en réquences

Le dérivateur généralisé étant le constituant principaldesmodèles d'ordre non entier, c'est donc naturellement quelapproximation des systèmesnon entiers commencenécess sairement par celle du dérivateur généraliséCelle-ci consiste alors à approximer, dans une première étape, le dérivateur généralisé par le dérivateur borné en fréquences.Puis dans une seconde étape, approximer ce dernier par un modèle rationneldont es pôles et zéros sont particulièrement distribués dans la même bande de fréquences.Le dérivateur généralisé étant ainsi remplacé par un transfert entier, l su~t alors de remplacer danse modèle du système non entier le dérivateur de dérivation paremodèle entier qui'app proxime. On obtient ainsi un modèle entier qui approxime le modèlenonentierdansa même bande de fréquences. Tousles outils de simulationet toutesesméthodes d'analyse des systèmes entiers peuvent alors être utilisés.

1.7.2 Dérivateur généralisé

La dérivée généralisée d'une fonction f(t) est dite explicite lorsqu'elle porte directement sur la fonction à dériver elle même, soit.

_(da )

expl f(t) = D^af(t) (1.85)

dt^a

lorsque f(t) est causale et que f(t) = 0 pout t = 0, l'opérateur correspondant est donné par:

Dgen(s) = s^a (1.86)

Lorsque la dérivée généralisée ne porte pas directement sur a fonctionf(t) mais sur le produit de f(t) par la fonction exponentielle croissante e^ùt, elle est dite implicite. Elle est définie par :

(

da ) impl f(t) = Da(f(t) eù t) (1.87)
dt^a l'opérateur correspondant est donné par

Dgen(s) = (s - ù)^a (1.88)

Le chapitre 2 sera entièrement consacré à cettedérivée implicite.par conséquent, dans tout ce qui suit, on ne s'intéresse quà la dérivée généralisée explicite.

Compte tenu des transformations de Laplacede l'intégration non entière1.5) et dea dérivée non entière, selon ses deux définitions (17) et (1.9), a fonction de transfert1.86) est appellée l'integro-différentiateur généralisé.En effet, orsquea > 0, _Dgen(s) définit un dérivateur et lorsque a < 0 elle définit un intégrateur. Souventon préfère lappeler simplement le dérivateur généralisé

L'approximation du dérivateur généralisé par une fonctionde transfert rationnelle est réalisée en deux étapes : Dansla premièreétape, le comportement non entierdu dérivateur (1.86) est réduit sur une bande de fréquences bornée.On approxime alorse transferts^a, dont le comportement non entier sétendsur toute a bande [0, 8[, par le fitlre passe- bande d'ordre non entier (189) dont le comportement non entier estimité à a bande de fréquences [ùb, ùh]. Cela est justifié par le fait que les systèmes physiques ont toujoursun

comportement borné en fréquences. Dans la seconde étape, e filtre passe-bande d'ordre non entier _Dborn'e(s) est remplacé par une mise en cascade dune infinité de filtres passe- bande rationnels. Il suffit ensuite de limiter le nombre de ces filtres pour queque e transfert rationnel qui approxime le dérivateur généralisé s^a dans la bande de fréquences [wb, wh] soit de dimension finie.

1.7.3 Dérivateur généralisé borné en fréquences

Le dérivateur généralisé borné en fréquences, noté _Dborn'e(s), représente le dérivateur généralisé s^a sur un intervalle de fréquences limité, ilil est décrit par a fonction dedetransfert

Dborn'e(s) = D0	1+ s Wb	)a	(1.89)
	1 + s Wh

wb et wh étant les limites de la bande de fréquences où les deux transferts 1.86) et 1.88) possèdent le même comportement Celles-ci sont souvent choisies dede sorte que w = 1 soit le centre de cet intervalle, comme pour le dérivateur entier. wb et wh vérifient alors la relation :

. 1/2

(wbwh) = 1 (1.90)

Pour que s^a et _Dborn'e(s) aient le même gain (égal à 1 comme pour le dérivateur entier) à la pulsation w = 1, lorsque wb et wh sont symétriques par rapport à w = 1, il faut choisir D0 égal à :

D0 =

Cbh)a = (Jh )a = (wo^a

= (wbri (sa) ( 1 VI ( wha = sa (1.92) La figure (1.7) illustrele comportementfréquenteeldudriivtturrggénraliséé déall courbee I) et du dérivateur borné en fréquence (courbe II) (ici on a considéré le cas d'un déri- vateur : a > 0). Celle-ci montre que le comportement fréquentiel du dérvateur ddéllett du dérivateur borné en fréquences sonttrès prochesauccenteedde aabbnneedeefrééuencee d'approximation. Par contre,iils deviennent compètement diifééeenssenndehhrssdeecettee (1.91)

1+s

^j wh) wb )

Wh

a (1+ s )a

Wb

Dborn'e(s) = (wb)

Lorsque wb -? 0 et wh -? 8, le transfert (1.89) devient

FIGURE 1.7: diagramme de gain et de phase du dérivateur généralisédéal courbe I et du dérivateur borné en fréquence (courbe II) (a > 0)

bande puisque le dérivateur borné en fréquence devient constant àcausede 'égalité des degrés de son numérateur et de son dénominateurC'est donc au voisinage desimites de la bande de fréquence où le comportement des deuxdérivateurs este plus di~érent et par conséquent que l'erreur d'approximation est la plus grande.

1.7.4 Approximation du dérivateur borné en fréquences

Après avoir expliqué dans le paragraphe précédent comment réalisera première étape, on s'intéresse dans ce paragraphe à la concrétisationde a seconde étape de'approximation. Plusieurs méthodes sont alors proposées, elles se distinguent principalement selon que le modèle entier obtenu est continu ou discret, utilisant a représentation d'état oua représentation transfert

Dans le cas continu, Charef 12] et Oustaloup64]déterminent es éros etespôles du transfert rationnel en se basant sur lecritèrede récursivité des fréquencesransitionnelles correspondantes. Celles-ci sont alors obtenues au moyens de simples calculsgéométriques.

D'autres méthodes d'approximation utilisent des techniquesd'interpolation, onmentionne la méthode de Carlson [10] qui se base sur un processus tératifde Neewton, etaméthode de Matsuda [54] qui utilise le principe du développement en fractions continues. A cela s'ajoutent toutesles techniques didentification fréquentiellesdont a démarche consiste à identifier les paramètres du modèle entierà partir de a réponse fréquentielledu dérivateur généralisé. On peut citerl'algorithme de Lévy 35], 63], 'algorithme Vector itting" [27], [47], ainsi que l'approche proposée dans79]qui consiste àminimiseranorme de l'erreur d'approximation. Beaucoup dautres méthodes d'approximation ont ensuite été proposées, soit pour utiliserla représentationd'état 70],71] ou bien pour amélioreres méthodes existantes notamment au voisinagedes limites de a bande d'approximation2], [80]. Une étude comparative de quelques unes de ces méthodes peut être trouvéedans [1]. On présente dans ce qui suitla méthode dapproximationdéveloppée parOustaloup [64], communément appelée méthode dapproximation CRONE, qui sera utiliséedanse chapitre 3 pour développer nos deux méthodes dapproximation des systèmesnon entier en représentation d'état

En mettant en série une infinité de filtres passe bande, dont es singularitéspôles et zéros) sont correctement choisis etrépartis dans abande de fréquences d'approximation [wmin, wmax], on obtient un modèle d'ordre entier équivalent au dérivateur non entier borné en fréquences. La figure (18) illustre ce principe.

la fonction de transfert non entière (1.89) du dérivateurborné en fréquences 'écrit alors :

Dborn'e(s) = D0	Y8 i=0	1 + s ùz,i	(1.93)
		1 + s ùp,i

D0 est un coefficient tel que le dérivateur borné en _{fréquencesDborn'e(s)} et le transfert entier équivalent aientle même gain pour w = 1 rd/s. -wz,i ^et -wp,i sont respectivement les zéros et les pôles des filtres passe bande.

Comme ce transfert entier ne peut pas êtreréalisé à causede sa dimensionnfinie, on l'approxime par un transfert de dimension finie en utilisant un nombreimitéde cellules passe bande. On obtient alors une approximationbornée en fréquencesde dimensionfinie. L'approximation CRONE ala particularité que le gain D0 ne dépend pas du nombre de

FIGURE 1.8: Diagramme asymptotique de Bode du dérivateur borné en fréquences et de son approximation

cellules nécessaires à l'approximation mais uniquement de la bande de fréquences, dont les limites sont symétriques par rapport à w = 1rad/sec et de l'ordre non entier á. On obtient finalement :

sá Dborn'e(s) Dá(s) = D0	YN i=--N	1 + s ùz ,i	(1.94)
		1 + s ùp,i

N est le nombre de cellules nécessaires pour obtenir une bonne précision.Celleeci est d'autant meilleure que N est grand. Les pôles ^--wp,i et zéros ^--wz,i du transfert entier sont déterminés par les relations récurrentes suivantes.

?

????

????

wz,--N = wminvç

(1.95)

wp,i = 8 wz,i i = --N, ..., N

wz,i+1 = çwp,i i = --N,..., N -- 1

Les paramètres de récurrence 8 et ç sont données par :

(1.96)

(wmax ) á/2N+1 (wmax ) (1--á)/2N+1

8 = et ç =

wmin wmin

Le coefficient d'ajustement du gain D0 est donné par:

D0=

~1) á = (ùmax )á ùmin

(1.97)

D_á(s), comme _Dborn'e(s), est juste propre et présente un gain constant en dehorsde a bande de fréquences de validité del'approximation.

Ce problème d'approximation des systèmes non entiers étant trèsmportant, l fera l'objet d'un développement plus approfondi dans les chapitres 2 et 3.

1.8 Conclusion

La première partie de ce chapitre a été consacrée àa présentation des di~érentes définitions de la dérivation et intégration non entière. On a en particuliermis en évidence le caractère longue mémoire de ces opérations contrairement au caractèreocal dea dérivation et l'intégration entière classique.C'est cette caractéristique qui est difficile à reproduire lorsqu'on souhaite simuler ouréaliser les systèmesnon entiers.C'estpourquoi leur approximation par des modèles entiers est actuellement a seule alternative.

Dans la seconde partie, après avoir présenté les définitions de basedes systèmesnon entiers, on a montré une autre caractéristique ntrinsèque de ce type de système, elle consiste en la résolution des polynômes non entiers pour esquelson ne peut pas savoir à priori combien de racinesils possèdent àlinverse des polynômes entiers.La méthode de résolution présentée consiste également à approximer epolynôme non entier par un polynôme fractionnaire à partir duquel, à laide d'unchangement de variable adéquat, permet une nouvelle fois, l'utilisation doutils propres aux systèmes entiers.

La dernière partie de ce chapitre a été consacrée àa méthode qui est actuellementa plus utilisée pour la simulation, la réalisationet l'analyse des caractéristiquesdynamiques des systèmes non entier : l'approximation du dérivateur d'ordrenon entierpar unmodèle entier de dimension finie. C'est cette approximation qui serautilisée danse chapitre 3 pour développer deux méthodes d'approximation des systèmes non entiers généralisés dans l'espace d'état.

Un autre type de dérivation a également été abordé dans ce premier chapitrea dérivation non entière implicite. Lalittératureesttrès peu abondante concernant cette dérivation, c'est pourquoi elle sera le propos duchapitre suivantt

Chapitre 2

Approximation des systèmes d'ordre

non entier implicites

2.1 Introduction

On a vu dans le chapitre 1 que la dérivée d'une fonction f(t) peut ne pas concerner explicitement la fonction elle même mais son produitpar a fonction exponentielle croiss sante e^ùt. On l'appelle dans ce cas la dérivéeimplicite de la fonction f(t). Cette dérivée peut être très utile lorsquela fonction est obtenue à partirde a transformation de Laa place inverse d'une fonction retardée ou avancéedans e domaine fréquentiel.Lesmodèles utilisant ce type de dérivation sont appelés les systèmes mplicites.

De même que la dérivation explicite la dérivation implicite peut êtregénéralisée aux ordres de dérivation non entiers. Dans ce cas, la fonction de transfert correspondante est du type (s + 1/r)^á (r étant l'inverse de la pulsation davance ou deretardet a un nombre réel quelconque) etles modèles utilisantce genre de fonction de transfertont appelés les modèles implicites d'ordre non entier ou tout simplement esmodèlesnon entiers implicites.

Les mêmes problèmes de réalisation et desimulation sont de ce fait posés pour ces modèles implicites tout autant que les modèles non entiers explicites sinon plus. i pour les modèles utilisant la dérivation explicite, plusieurs méthodesd'approximation ont été

développées, tant dans le domaine continu [10] 64][69]quedans edomaine discret[], [15], [40], [45] il n'en est pas de même pour les modèles utilisant adérivationmplicite pour lesquels la littérature est très peu abondanteeC'estdans ce cadre ques'inscrit notre contribution qui faitl'objet de la première partiede ce chapitree

On y propose une méthode d'approximation des systèmes non entiersmplicites contii nus en se basant sur le développement en fractions continu du modèleeCette méthode est ensuite comparée à la méthode basée sur la distribution récursive des pôles et éros du transfert entier qui approxime le modèle nonentier mplicite proposéedans11] qu'on appelle d'ailleurs l'approximation de Charef.La méthode utilisant edéveloppement en fractions continu est aussi utilisée pour développer le modèlediscret des systèmesnon entiers implicites représentés par un modèle transfertcontinuu

Cette partie traite également de la modélisationdans 'espace d'état continu desyss tèmes non entiers implicites. On développe dans ce cas aussi, le modèle discretéquivalemment, on utilise pour ce faireles fonctions génératricesd''Euler, de Tustin et deAllAlaoui qui ont permis de développer le modèle discret dans la représentation transfertt

Dans la deuxième partie de ce chapitreon montrecomment 'approximation de struc tures d'ordre non entier simples du type, (1 + r s)^á ou bien 1 + (r s)^á, par un modèle entier de grande dimension peut être avantageusement exploitéee En e~et, on développe des méthodes qui permettent de faire lapproximation nverse, c'est à dire approximer par des modèles non entiers, utilisant un nombre réduitde paramètres, desmodèles entiers de grande dimension utilisant un nombre très important de paramètressOn appelle cette nouvelle application la compression du nombre de paramètredesmodèlesentierss

2.2 Modèle non entier implicite continu

2.2.1 Caractéristiques fréquentielles des opérateurs dedériivation et d'intégration d'ordre non entier implicite

Definition 12 La dérivée non entière de la fonction f(t), est dite implicite lorsquelle ne porte pas directement sur la fonction f(t) mais le produit de f(t) par la fonction exponentielle croissante e(t/ô) de constante de temps r; Elle est donnée par :

f(t) et/ô]

Da impl f(t) = D^a[(2.1)

Ainsi l'équation différentielle dun système implicite monovariablede dimension 1 est donnée par:

_ra Da _[y(t) et/ô] = u(t) e^t/^ô (2.2)

u(t) E R étant l'entrée du système et y E R sa sortie. Lorsque les conditions initiales sont nulles et sachant que £ [f(t) et/ô] = F(s -- 1/r), la transformation de Laplace de l'équation (2.2) dans le plan complexe de la variable p, donne :

r^ap^aY(p-- 1/r) = U(p-- 1/r) (2.3)

a

En effectuant le changement de variable s = (p -- 1/r), l'équation (2.3) devient

ra ( )

s + 1/r Y (s) = U(s) (2.4)

La fonction de transfert correspondant à 'équation différentielle2.2) est donc

Y (s) 1

G(s) = U(s) = (2.5)

(1+rs)^a

U(s) et Y(s) sont respectivement les transformations de Laplace de u(t) et y(t). r est la constante de temps et a un nombre réel quelconque.

La fonction de transfert (25) est appelée un pôeà puissance fractionnaire, fractional power pole) (FPP), [18] Son module en décibels est caractérisé par

FIGURE 2.1: Diagramme de Bode d'un FPP (trait plein) et dun FPZ(trait discontinu)

En basses fréquences, son diagramme asymptotiquedeBode présente une droite de pente nulle, comme dans le cas entier, et en hautes fréquences ilest caractérisé parune droite de pente de --20 a dB/décade. Le diagramme de phase quant à lui, il est donné par

arg (G(jù)) = --a arctan(jrù) (2.7)

Son diagramme de Bode présente une phase constanteégale à --a ð 2.

lorsque a < 0, la fonction de transfert (25) est appelée unzéro à puissance fractionn naire (fractional power zero) (FPZ) Lafigure 2.1) llustrees diagrammes de Bode d'un FPP et un FPZ lorsque a = 0.65 et r = 0.5.

2.2.2 Approximation de charef

La méthode d'approximation de Charef12] a été ntroduite pour représentere comportement dynamique des systèmes fractals, également appelésFractionalPower Pole (FPP) [17], caractérisés par un diagramme damplitude de Bode à pente fractionnaire. Le système fractal, représenté par la fonctionde transfert2.5), est alors approximé par une fonction de singularité constituée dune série de pôes et de zérosdont enombre et la distribution dépendent d'une erreur dapproximationdéfinieau préalable. On montre

FIGURE 2.2: Principe de calcul des singularités du transfert entier selon améthode d'app proximation de Charef

dans [12] que cette approximation peut être obtenue en mettant en série plusieurs filtres passe bande dont le diagramme de Bode est constituéd'unensemble de droites aaant all ternativement des pentes de --20 dB et 0 dB. Par conséquent, lorsqueles pôles et les zéros de ces filtres sont particulièrement disposés, le lieudeBode de a fonction de transfert non entière (2.5) peut être approximée par untransfertd'ordre entier. Cette approximation est d'autant plus précise que le nombre de filtres utilisés est très grand et quea bande de fréquence est large. La fonction detransfert entièreéquivalente à cettemise enérie des filtres passe bande est alors donnée par

? QN-1 ( ~ ?

1 + s

1 i=0 ù_z i

G(s) = = lim ? ( ) ? (2.8)

(1 + T s)á fJN

N_oo 1 + s

i=0 ùp i

L'approximation de G(s), sur une bande de fréquences finie, peut être obtenue à l'aidede la fonction de transfert entière de dimension finie

( ~

QN (2.9)

1 + s

i=0 ùp i

G(s)

[TN-1 ( ~

1 + s

i=0 ù_z i

1 vç (2.10)

Les fréquences transitionnelles w_{z i} et w_p isont déterminées, par un simple calcul géométrique, sur la base de l'écart maximum å > 0 (en décibels) entre la ligne dapproximation en zigzag et la droite de pende --20a dB/décade. comme le montrela figure (22)

Le premier pôle est donné par

Les autres singularités sont calculées par les expressions

ùz i =8ùp ii=0,1,...,N-1 ùpi+1='qùz i i=1,2,...,N-1

(2.11)

8 et 'q sont deux constantes qui dépendent de lerreurdapproximation å. Elles sont données par:

ùz i 8 ^=ùp i

e = 1010á(1-á) et 'q =

ùp i+1 ùz i

= 10 ^e 10 á (2.12)

Le nombre de singularité N, qui constitue également la dimension du modèle entier G(s), dépend de la limite supérieur ùmax de la bande de fréquences où s'effectue lapproximation. Il est donné par :

" log(ùmax #

ùp0 )

N = P E + 1 (2.13)

log(8 'q)

PE : désigne la partie entière

Lorsque le transfert (25) représente un FPZ ( á < 0), il peut être approximé en utilisant les mêmes équations de (29) à (2.13) en remplaçant es pôles par des zéros et les zéros par des pôles.

2.2.3 Approximation utilisant le développement enfractions continu

Une fonction irrationnelle quelconque G(s), de variable s, peut être développée en fractions continu (CFE)Ce développement étant in fini et s'écrit sousa forme

G(s) = a0(s) +	b1(s)			(2.14)
a1(s) +		b2 (s)
a2(s) +			b3 (s)
			a3(s) + · · ·

b2(s) b3(s) · · · (2.15)

a1(s)+ a2(s)+ a3(s)+

G(s) = a0(s) +

b1(s)

ai(s) et bi(s) sont des fonctions rationnellesde la variable s (polynômes) ou bien de simples constantes. A la notation de léquation (2.14), on préfère souventutilisera notation plus compacte :

^bG(s), la fonction de transfert de dimension finie ainsi obtenue.Unsimple réarrangement des coefficients ai(s) et bi(s), suffit ensuite de transformer le développement en fractions continu (2.15) à la forme traditionnelle dune fonctionde transfert écriteousaorme d'un rapport de deux polynômes en s:

^bG(s) = Q(s) (2.16)

P(s)

C'est ce principe qui est utilisé pour approximer la fonctionde transfertrrationnelle d'un modèle non entier implicite. Le programme (2.17) écritdanseangageMAPLE, peut être utilisé pour calculer le développement en fractions continu de N éléments qui approxime un FPP :

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

with(numtheory); Gdes := 1/(1+ô*s)àá; CFEGdes := cf rac(Gdes, á, s, N); Gapp := nthconver(CFEGdes, N);

(2.17)

Pour comparer la méthode dapproximation de Charef et celleutilisante développe ment en fractions continuon présente dans la figure(2..3) es diagrammes deBode des transferts entiers obtenus à laide de ces deux méthodespour approximeremodèle non entier implicite 1/(1+s)^0.5. Les paramètres des transferts entiers sont calculésde sorte que les deux modèles soient de même dimensionPour la méthodede Charef on a choisi å = 1 dB et ùmax = 10⁴ et pour la méthode utilisantle développement en fractions continu, on a choisi N = 24.

On constate que dans la bande de fréquences [10_², 10⁺²] les deux approximations sont similaires. Une analyse plus détaillée des deux fonctions de transfert entière, basées sur la position de leurs pôles et zéros, (figure 2..4) montre que améthode de Charef distribue l'ensemble des pôles et zéros sur toute la largeur de abandede fréquences imposée par ùmax, alors que, la méthode utilisant le développement en fractions continu focalise ces singularités aux basses fréquences puisque cette méthode estbaséeur un développement au voisinage de s = 0.

FIGURE 2.3: Comparaison entre es deux méthodes dapproximation (trait plein : CFE, en pointillés : méthode de Charef)

2.2.4 Approximation d'un modèle non entier implicite Etant donné le modèle non entier implicite

Eim=1 bi si á

G f rac(s ) (2.18)

Er=1 ai sⁱ

Pour être approximé en utilisant la méthode de Charef, Gfrac(s) doit être décomposé en éléments simples selon :

ir 1 (1 + ôz,i s) Gfrac(s)=[K ni + ôp i s)

#á

(2.19)

qui peut être écrit sous la forme

G frac(s) = Ká [_fi (1 + sri1 [ ni 1 (2.20)

i=1 (1+ôp,i srⁱ

La méthode de Charef permet alors dapproximer chaque FPP et chaque FPZ ndividuell lement. Le modèle entier qui approxime le modèle non entier mplicite (2.18) est alors donné par :

G ent(s) = Ká [G FPZ i(s)1[GFPP i(s)1 (2.21)

GFPZi(s) ^et GFPPi(s) sont respectivement les approximations des diiérents FPP et FPZ, donnés par :

GFPZi(s) (1 + ôz,i s)^áá > 0 (2.22)

et :

GFPPi(s) 1 á > 0 (2.23)

_)á

(1+

qui peuvent être calculés en utilisant les relations (2..) à 2.13).

Par contre, en utilisant la méthode de C FE, il est inutile de décomposer e modèle non entier (2.18) en éléments simples ilil suffit dadapter lele programme 2..).

Pour illustrer ces deux méthodes dapproximation, considérons 'exemple donné par l'équation (2.24). [60]

1

G f rac(s) = (2.24)

(1 + 10000 s)0.11 (1 + 210 s)0.36 (1 + 0.124 s)0.35

FIGURE 2.5: Approximation du modèle (224) en utilisant la méthode de Charef eta méthode utilisant CFE

Les résultats obtenus sont représentés par la figure 2.5) dansaquelleontracéses diagrammes de Bode des modèles entiers obtenus par les deux méthodes ddapproximation ainsi que le diagramme de Bode du transfert (2.24) tracépoint par point.

La figure (2.5) montre que les deux approximations sont très proches en basses fréé quences mais très différentes aux hautes fréquences.Cela estdûau fait queaméthode utilisant le développement en fractions continu donne une fonction de transfert entière de classe zéro caractérisé par une phase nulleet un gain constant aux hautes fréquences, alors que la méthode de Charef donne un modèle entier declasse 3 caractérisée par une phase de --270 et un gain de --60 dB/decade en hautes fréquences

2.3 Discrétisation d'un modèle non entier implicite

La discrétisation est une étape nécessaire lorsqu'on utilisedesmachines fonctionnant en discret pour commander ou simuler des modèles continus.Dans ecasdes ssstèmes non entiers, il existe deux méthodes permettant dobteniremodèlediscret partir du modèle continu.

La première méthode, appeléela méthode indirecte, se déroule endeux étapes.Dans la première étape on doit calculer le modèle entiercontinu qui approxime emodèlenon entier. Puis dans une seconde étapeen utilisant les méthodes de discrétisation usuelles des modèles entiers continus, on obtient le modèleentier discret qui approxime emodèle non entier continu.

La deuxième méthode est appeléela méthode directe car elle permetde calculer direc tement le modèle entier discretde la variable z, à partir du modèle non entier continu de la variable s. On utilise pour ce faireles fonctions génératrices, notéesù(z_¹). En effet, il suffit de remplacer l'opérateur de Laplace s du modèle non entier continu parla fonction ù(z_¹) de la variable z. On obtient ainsi le modèle discret équivalent au modèle nonentier continu. Il faut noter néanmoins que le modèle discret ainsi obtenu estrrationnel, l doit donc être approximé par un modèle rationnel dedimension finie.C'est ce qui est présenté dans ce paragraphe en utilisant une nouvelle fois le développement en fractions continu.

G(z) = G(s = ù(z_^1)) = a0(z) +	b1(z)		b2 (z)	b3 (z) · · · a3(z)+
	a1(z)+		a2 (z) +

Dans ce cas aussi, il faut arrêter le développement n fini à unnombre fini N et d'écrire le résultat obtenu sous forme dun rapport de deux pollynômesde a variablez sous la forme :

^bG(z) = Q(z) (2.25)

P (z)

Ainsi, le modèle discret correspondant à la fonction de transfertdu slystème non entier implicite de dimension un de l'équation (25) sécrit

1

G(z) = ( _)á (2.26)

1 + ôù(z_¹)

Le tableau (2.1) résumeles modèles discrets irrationnelsobtenusorsqu'on utiliseesrois principales fonctions génératrices.

Le programme (2.17) devient dans ce cas (le programme donné par'équation2.27)

fonction génératrice	ù(z^-1)		G(z)
Euler	( ^1 1 -- z-1) h		1
			(1+ô h (1-z-1))á
Tustin	2 (1-z-1 ~ h 1+z^-1		1
			( 1+ 2ô 1-z-1 ~á h 1+z^-1
Al-Alaoui	( 1-z-1 ~ 8 7h 1+z^-1/7	1 ( ~á 1+8T 1-z-1 7h 1+z^-1/7

TABLE 2.1: FPP discret obtenu en utilisant les trois principales fonctions génératrices

est écrit en utilisant la fonction génératrice de Tustin)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

with(numtheory);

s := (2/h)*(1--x)/(1+x);

(2.27)

Gdes := 1/(1+ô*s)àá; CFEGdex := cfrac(Gdes, á, x, N); Gapp := nthconver(CFEGdex, N);

Il faut noter que la variable x doit être utilisée à la place de la variable ( z^-1) sinon la fonction cfrac de MAPLE ne fonctionne pas. Par conséquent, ilfaut remplacer, dans e résultat obtenu la variable x par (z^-1) pour obtenir le modèle discret ^àG(z).

Pour comparer ces trois fonctions génératrices, onapproxime denouveauemodèle non entier implicite de dimension 1 donné par l'équation (2.5) avec ô = 1 et á = 0.5, la période d'échantillonnage étant h = 0.01 s. La méthode d'approximation utilisée est dans ce cas aussi celle utilisant le développement en fractions continu avecN = 10. La figure (2.6) illustre les diagrammes de Bode des troismodèlesentiers ainsi obtenus. es résultats montrent que pour h = 0.01, la fonction génératrice dEuler semble être la plus indiquée.

Enfin, pour illustrer les deux méthodes de discrétisation, directe etndirecte, on considère de nouveau le modèle non entier implicitede léquation(2.24).Enutilisantaméthode

FIGURE 2.6: Comparaison entre les modèlesdiscrets obtenus enutilisant es trois fonctions génératrices (h = 0.01)

indirecte, chaque FPP est approximé par un modèle entier qui est ensuite discrétisé en utilisant une des trois fonctions génératrices ù(z^-1). Dans la deuxième étape, on effectue le produit des trois modèles discrets ainsi obtenus pour obteniremodèle discret qui approxime le modèle non entier continu (2.24)

En utilisant la méthode directe il suffit de remplacerdans le modèlenon entier continu, l'opérateur de Laplace par unedes trois fonctionsgénératricesù(z^-1) et d'utiliser le programme (2.27) adapté pour ce modèle.Les résultatsobtenus sont présentés dansa figure (2.7). La fonction génératrice utiliséedans cette simulation esta fonction d'Euler avec h = 0.01 s.

Cette figure montre queles deux méthodes dapproximation sont très proches.l faut noter néanmoins une différence au voisinage de t = 0 où la méthode indirecte est plus précise que la méthode directeCela est dû au faitque l'approximation utilisante déé veloppement en fractions continu est moins performante auxhautes fréquences que'app proximation de Charef.

FIGURE 2.7: Comparaison entreles deux méthodes dediscrétisation qui permettent d'app proximer le modèle non entier (224) (trait plein : méthode indirecte, trait discontinu : méthode directe)

2.4 Représentation d'état des systèmes non entiers implicit es

On rappelle dans la première partie de ce paragraphe emodèled'état d'un ssstème implicite donné dans [11], [74]. Dans la deuxième partie, on présente emodèle discret obtenu en utilisant, dans ce cas aussi, les fonctions génératricesù(z^-1) données dans le tableau (2.1).

2.4.1 Modèle d'état non entier implicite continu

Le modèle d'état associé à la fonction detransfertdu système non entiermplicite de dimension un donné par l'équation (25) est un modèle nonstationnaire, 11, 74]_]l est donné par:

FIGURE 2.8: Réponse indicielle du modèle d'état du système non entier implicite de dii mension un, pour différentes valeurs de a

avec :

(1 #177; 1 -- a 1 (2.29)

A(t) = -- et B =

T t T

T est la constante de temps du système et a l'ordre de dérivation non entier

La figure (2.8) montre la réponse indicielle obtenue pour T = 1 et a respectivement égal à 0.5, 1 et 1.5.

Pour a = 1, on retrouve la réponse indicielle du système de dimension un d'ordre entier. Pour a = 0.5, on obtient une réponse apériodique avec une dynamique détablissement très lente caractérisant les systèmes non entiers.

Pour a = 1.5 par contre, la réponse indicielle présente un dépassement dont a valeur nene dépend que de l'ordre non entier a comme pour les systèmes non entiers explicites.

Remarque 13 Il faut noter également que, contrairement auau systtme non entiereeplicite de dimension 1, la réponse indicielle du systtme implicite ne présente pas ddoscillations quelque soit a > 1 et surtout il ne devient par instable orsque a > 2.

transfert est donnée par

1

G(s) =_fIn (1 + ô s)ái (2.30)

i=1

Le modèle d'état de dimension n correspondant est dans ce cas aussi non stationnaire, [11] il est donné par :

? ? ?

ÿx(t) = A(t)x(t) +Bu(t) y(t) = Cx(t)

(2.31)

avec :

? ? ?

B=[0 0 · · · 1]^T C=[1 0 · · · 0]

(2.32)

et :

0 1

· · ·

0 0

...

? ?

A(t) = ? ? (2.33)

0 0

· · ·

0 1

--(a_n + b_n bn_1

t ) ^--(an-1 + _t )
·
·
· --(a2 + b2 t ) --(a1+ b1 t )

Les coefficients ak sont définis par :

? ?

(2.34)

?

???????? ????????

a0 = 1 h Pn i Pn ak = 1 i2=1 · · · Pn ik=1(1/ôi1)(1/ôi2) · · · (1/ôik) k! i1=1 k=1,2, · · · ,n et i1=6i2=6 · · ·=6ik

les coefficients bk sont donnés par :

bk = (n -- k + 1) ak-1 -- _Xn ái ci,k k=1,2,
·
·
· ,n (2.35)

i=1

et les coefficients _ci,k sont :

?

????????

????????

ci,1 = 1

h Pn i

(2.36)

_Pn

ci,k = 1 i2=1
·
·
· Pn i(k_1)=1(1/ôi1)(1/ôi2)
·
·
· (1/ôi(k-1))

(k-1)! i1=1

k = i = 1,2,
·
·
· ,n et i1 =6 i2 =6
·
·
· =6i(k-1)

2.4.2 Modèle d'état discret d'un système non entier mpllcite

Le modèle d'état discret correspondant au modèle continudu système non entier implicite de dimension 1 (2.5) est calculé en utilisantdans ce cas aussi, les fonctions génératrices ù(z^-1) utilisées pour discrétiser les modèles continus enreprésentation transfert.

Ainsi, la fonction génératrice dEuler donne

? ? ?

x(k + 1) = A(k) x(k) + B u(k) y(k)=x(k)

(2.37)

avec :

( r - 1 - OE )

1 - h et B = h

A(k) = r (2.38)

k

En utilisant la fonction génératrice de Tustin, on obtient emodèle d'état discret

avec :

? ? ?

x(k + 1) = A1(k) x(k) + A2(k) x(k - 1) + B1 u(k) + B2 u(k - 1) y(k) = x(k)

(2.39)

( ( h

1 - h 2r + 1 - OE )

2r - 1 - OE ) , B1 = B2 = h

A1(k) = , A2(k) = - 2r (2.40)

2k 2k

Enfin, la fonction génératrice dAl-ALAOUI conduitau modèle

	? ? ?	x(k + 1) = A1(k) x(k) + A2(k) x(k - 1) + B1 u(k) + B2 u(k - 1) y(k) = x(k)	(2.41)
avec :		( ) ( h ) A1(k) = 1 - 7 h 8 r - 7(1-a) A2(k) = - 8 r + ^1-a 8(k-1) 8(k-1)	(2.42)

B1=^7h

8 r B2 = 8 h r

On présente dans ce qui suitles détails de calcul des modèles discrets obtenus enutilisant les fonctions génératrices dEuler et de Tustin.Le même calcul peut tre développé en utilisant la fonction génératrice dAl-Alaoui.

en utilisant la fonction génératrice d'Euler

En remplaçant, dans modèlele d'état continu (2.28) l'opérateur dedérivation para fonction génératrice dEuleron obtient

( 1 (1 -- z-1))

x(k + 1) = A(k) x(k) + B u(k) (2.43)

h

(z^-1) étant l'opérateur de retard, on a(z^-1) x(k + 1) = x(k). L'équation (2.43) s'écrit dans ce cas :

x(k + 1) -- x(k) = h A(k) x(k) + h B u(k)

)

h 1 -- x(k) + h

-- r u(k) (2.44)

r k

En remplacant A(k) et B par leurs expressions respectives (2.29) on obtient finalement (x(k + 1) = 1 --

en utilisant la fonction génératrice de Tustin

Le modèle d'état continu (228) sécrit, lorsqu'on remplace'opérateur de dérivation par la fonction génératrice de Tustin

x(k + 1)

( 2 1 -- z-1 ) = A(k) x(k) + B u(k) (2.45) h 1 + z-1

qui est développée sous la forme

( )

x(k + 1) (1 -- z^-1) = h 2 (1 + z^-1) A(k) x(k) + B u(k) en appliquant l'élément de retardon obtient

( )

1 + h x(k) + h

x(k + 1) = 2 A(k) 2 B(k) u(k) + h 2 A(k --1) x(k --1) + h 2 Bu(k --1)

Finalement, en remplacant A(k), A(k -- 1) et B par leurs expressionson obtient

( ) ( h

1 -- h 2r -- 1 -- 2r + 1 -- ) x(k --1) + h

x(k + 1) = x(k) -- 2r u(k)+ 2r h u(k --1) (2.46)

2k 2k

Pour montrer la différence entre cestrois modèles discrets, on présente dansa gure (2.9) les réponses indicielles obtenues par cchacun des troismodèles pourr = 1, = 0.5 et h = 0.01 s.

Les réponses indicielles sont différentes lorsque la période d'écchantillonnage est grande, par contre, lorsqu'elle est petite, les trois réponses sont similaires. Dans ce casl est plus

FIGURE 2.9: Réponse indicielle du modèle d'état non entier implicite de dimensionun discrétisé en utilisant les trois fonctions génératrices

indiqué d'utiliser la fonction génératricedEuler puisqu'elle donne emodèle d'étate plus simple.

De la même manière, le modèle discret correspondant au modèled'état d'ordrenon entier implicite continu (2.31) peut être calculéen remplaçant 'opérateur de dérivation par la fonction génératrice ù(z^-1). Le même calcul que celui qui vient d'être présenté peut alors être reproduit. En utilisant lafonction génératrice d'Euler, par eeemple, on ootient

( 1 )

x(k + 1) _h(1 - z^-1)= A(k) x(k) + B u(k)

A(k) étant une matrice, cette équationse développe selon

( )

x(k + 1) = I_n + h A(k) x(k) + B h u(k)

A(k) x(k) + B h u(k)

et peut être mise sous la forme

x(k+1)=

où : I_n est la matrice identité de dimension n.

1 h

A est donnée par :

· · · 0 0

? ?

? ... ?

? ?

A(k) = ? ? (2.47)

0 0

· · ·

1 h

-(a_nh + b_n bn-'

k ) -(an_1h +_k ) · · · -(a2h + b2 k ) -(a1h + b' k )

On présente dans ce qui suit, une autre forme du modèle d'état correspondant au système non entier implicite constitué de plusieurs FPP(2.30) enutilisant esmodèles d'état discrets (2.37)(239) ou (2.41) du modèlemplicite de dimensionun ootenus en utilisant les trois fonctions génératrices.

En effet, le modèle (2.30), qui est écritsous la forme

G(s) =

Yn =1

1 (1 +ô s)ái

on peut associer à chaque FPP le modèle détat

? ? ?

ÿx (t) = A (t)x (t)+B u (t) y (t) = x (t)

(2.48)

avec :

( 1 )

+ 1 - a et B = 1

A (t) = - ô (2.49)

ô t

ô et a sont respectivement la constante de temps et l'ordrede dérivationdu j`eme FPP. L'entrée u (t) du j`eme FPP est la sortie du (j - 1)^`eme.

Ainsi, le modèle d'état continu correspondant à la miseencascade desn FPP constituant la fonction de transfert (2.30) est donné par

? ? ?

ÿx(t) = A(t)x(t) +Bu(t) y(t) = Cx(t)

(2.50)

avec :

et

1

--

r1

1--a1

t 0 · · · 0 0

1 r2

1 r2

1--a2 t

· · ·

0 0

A(t) = (2.52)

....
. .. ..

0 0

1 · · · rn

1 rn

1--an t

Le modèle d'état discret correspondant est obtenu en utilisant esmodèles discrets (2.37), (2.39) et (241) de chaque FPZ.En utilisant a onction génératrice d''uler par exemple, le modèle continu obtenu est donné par

? ? ?

x(k + 1) = A(k) x(k) + B u(k) y(k) = Cx(k)

(2.53)

avec :

et

B= [h/ô1 0 · · · 0]^T et C= [0 0 · · · 1] (2.54)

1--^1 r1

1--a1 k 0 · · · 0 0

1 r2

1-- ^1 r2

1--a2 k

· · ·

0 0

A(k) = (2.55)

....
. .. ..

0 0

1 · · · rn

1-- ^1 rn

1--an k

La figure (2.10) montre les réponses indicielles de l'exemplede 'équation 2.24) obb tenues à l'aide du modèle d'état entier continu (2.31), celledu modèled'état quenous avons proposé (2.51) ainsi que celle du modèle échantillonné équivalent 2.53) obtenue en discrétisant le modèle (250) en utilisant la onction génératrice d''Euler avec un pas d'échantillonnage h = 0, 01 s. La superposition des trois courbes montre l'analogie entre les trois modèles.

FIGURE 2.10: Réponses indicielles des différents modèles continus et discrets représentant le système non entier implicite (224)

La première partie de ce chapitre a été consacrée àa présentation des systèmes utilii sant la dérivation implicite d'ordre non entierdans le domaine continu et discret en utilii sant la représentation transfert ainsi quea représentation ddétat.Dansaeprésentation transfert continue, une nouvelle méthode dapproximation utilisant e développement en fractions continu a été présentée puis comparée à la méthode ddapproximation de haref, dédiée aux systèmes implicite d'ordre non entierLapproximation d'un modèlemplicite de dimension 1 avec ces deux méthodes a donné des résultats similaires.

On a ensuite donné deux modèles continus non stationnairespermettant de représenter les systèmes implicites d'ordre non entier dans lareprésentation ddétat. Ces deuxmodèles ont ensuite été échantillonnés à laidedes fonctions génératrices dd'Euler, deTustin et ddAll Alaoui également utilisées pour échantillonner le modèletransfert.Plusieurs courres de simulation ont été données tout au longde cette premièrepartie pour valideresmodèles théoriques qui on été présentés

2.5 compression de modèles entiers de grande dimension par des modèles non entiers

On a montré dans le chapitre 1 et dans la première partie de ce chapitre que la simualtion ou la réalisation dun système non entier explicite ou mplicte, requière au préalable son approximationdans une bande de fréquences bornée, parune fonction de transfert entière de dimension finieAinsi, lasimulation oua réalisation du simple opérateur de dérivateur non entier explicte s^á ou implicite (1 + s/ô)^á, n'utilisant au plus que deux paramètres, exigel'utilisation dun modèle entier de dimensiond'autant plus grande que l'approximation doit être précise.

C'est cette caractéristique quon souhaite utiliser pour proposerunenouvelle applicaa tion des modèles non entiers l'approximation de modèles entiersde grande dimension utilisant un nombre élevé de paramètres par des modèles non entiersde dimensionnfini mais n'utilisant que très peu de paramètres. Comme ilnes'agitpasde a réduction demoo dèle classique qui consiste à réduirela dimension du modèle, c'est même tout e contraire puisque la dimension du modèle devient infini, on appelle cette nouvelle applicationa compression du nombre de paramètres de modèle.

Ce genre d'approximation ou de réduction du nombre de paramètresdu modèle est intéressante notamment dans les applications decompression.Par exemplee taux de transmission ou bien la capacité de stockage peuvent être sensiblement améliorés en utii lisant le nombre réduit de paramètres utilisés par le modèlenon entier à a placedu nombre élevé de paramètres utilisés par le modèle entier originalde grande dimension. De telles applications peuvent être rencontrées dans esprocessustels quea parole, es ondes acoustiques ou le traitement dimage.Une autreapplication peut êtrea conception de filtres qui permettent d'obtenir une transitiontrès rapide du gain. La conception d'un tel filtre à l'aide de la dérivation entière classiqueconduitàdestransferts de très grande dimension. Ces derniers peuvent alors être compressés à 'aide d'un modèlenon entier. On peut également utiliser ce type de compression pour réduireenombre deparamètres des contrôleurs entiers calculés à laide des techniques de commande H réputées pour

obtenir des contrôleurs de grande dimension.

Mais avant de développerla méthode de compressionde modèles, on présente d'abord dans les deux prochains paragraphes deux méthodes dapproximation directe de deux structures non entières simples utilisant ladérivée explicite.

2.5.1 Approximation d'un modèle non entier explicite de dimension 1

Approximation d'un modèle explicite apériodique (0 < a < 1)

Un système de dimension 1 explicite apériodique, est la généralisation du système de dimension 1 entier dans lequel la sortie est dérivée, non plus à lordre1, mais à un ordre non entier a quelconque compris entre 0 et 1. Il présente le même comportement fréquentiel que le modèle implicite deléquation (2.5) auxbasses ethautes fréquences. a fonction de transfert est donnée par

1

G(s) = 1 + (rs)á (0< a <1) (2.56)

L'approximation de G(s) peut être obtenue en approximantdans une première étape e dérivateur fractionnaire s^á par un transfert entier en utilisant les méthodes d'approximaa tion usuelles (méthode CRONE par exemple) puis dans uneseconde étape, remplacer dans l'équation (2.56)le dérivateur non entier par etransfert entier qui'approxime. Cette démarche n'est pas intéressante dans notre cascar ellene donne pasune relation explicite entre les paramètres du transfert entier etes paramètresr et a du transfert non entier (2.56). On trouve dans 13] une méthode d'approximation directe donnant uneelle relation. Cette méthode est baséesur larelation suivante [22

_Z

1 F(t)

G(s) = = 1 + ts d (2.57)

1 + (r s)á 0

F(t) est donnée par :

" #

sin ~(1 - a) ð~

1

F ($) = _h (2.58)

2ð cosh alog($/r) - cos [(1 - a) ð~i

L'échantillonnage de F(v) sur une bande de fréquences limitée sur des points disposés logarithmiquement conduit à

Gest(s) =

2N_ 1X i=1

ri 1+ôs

=

2N_1X i=1

ri 1 + s pi

(2.59)

où : pi sont les pôles du modèle entier et ri sont les résidus correspondants.

On défini alors une constante À représentant le rapport entre deux pôles successifs

À = pi+1 pi

i=1,2, · · · ,2N-1 (2.60)

Le paramètre À caractérise la qualité delapproximation, ilest équiivalent au produitç ä) utilisé dans l'approximation du modèle implicite de dimension 1. L'approximation est d'autant plus précise que le paramètre À est proche de l'unité.

Les pôles sont déterminés par lexpression

? ???? ????

p0 = 1/ô pi = ôi 1 = (À)^i_Np0 i = 1,2, · · · ,2N- 1

(2.61)

Les résidus ri correspondants aux pôles pi sont donnés par :

" #

sin [(1 - a) ð]

1

ri = _h (2.62)

2ð cosh a log(ôi _ô ) - cos[(1 - a) ð~i

Le nombre de singularités N est :

[ log (ùH ) ]

p0

N = P E + 1 (2.63)

log(À)

Dans [13], l'auteur propose de choisir ùH = 1000 ùmax, ùmax étant la ivaleur de la borne supérieure de la bande de fréquences où lon souhaiteeffectuer 'approximation.

Approximation d'un modèle explicite oscillatoire (1 <a < 2)

Un système non entier de dimension 1 oscillatoire est décrit par la même équation différentielle que le système apériodique mais lordrededériivation a est compris dans ce cas entre 1 et 2. La caractéristique principale desa réponse indicielle, contrairement au

système apériodique, est qu'elle présente un dépassement qui ne dépend que de 'ordre non entier a et ce dépassement est d'autant plus important que a s'approche de 2 [78]. Sa fonction de transfert est donnée par

1

G(s) = 1 + (rs)a (1 <a <2) (2.64)

Pour approximer G(s), Charef [13] propose d'utiliser deux fonctions detransfertUne fonction de transfert non entière qui permet de reproduireecomportement non entier de G(s) et une fonction de transfert entière de dimension 2 qui permet de reproduirele comportement oscillatoire de G(s). G(s) est alors approximée par

Gest(s) = GD(s) GN(s) (2.65)

avec :

1

GD(s) = (r s)² + 2 î r s + 1 (2.66)

où:

/

1 + cos(a ð/2)

î = (2.67)

2a-1

GN(s) est un FPZ défini par :

GN(s) = (1 + r _s)2 -a (2.68)

Il permet de ramener la pente dela droitedudiagramme asymptotiquede Bode deGD(s) de --40 dB/décade à --20a dB/décade.

L'apparoximation de G(s) de l'équation (2.64) est finalement obtenue par

₁ "

[IN 1 + s

1 i=0 ù_z i

Gest(s) = ₁ " (2.69)

(r s)² + 2 î r s + 1 [IN-1 1 + s

i=0 ùp i

Les fréquences transitionnelles w_{z i} et w_p iainsi que le nombre de singularités N sont déterminés par la méthode d'approximation de Charefdun FPZ présentée danse paragraphe 2.2.2.

2.5.2 Approximation d'un système entier de grande dimension par un modèle non entier

Le principe de cette approximation consiste à remplacer un ensemblede pôles et de zéros, ou bien un ensemble de pôles et de résidus du modèle entier par untransfertnon entier ayant l'une des trois structures (2.5) (2.56), 2.64), ou bien une combinaison d'elles. Pour ce faire, il suffit de trier les singularités dutransfert entier et chercher celles quiont disposées de manière particulière qui permet deretrouver esparamètresdu modèle non entier dont l'approximation donnerait cette disposition particulière.On présente dans ce qui suit, la démarche à suivre pour dabord trouver a répartition particulière des singularités du transfert entierpuisdedonner es expressionsquipermettent de retrouver les paramètres du modèle non entier correspondant.

Compression à l'aide d'un modèle implicite

Etant donné un modèle entier G(s) de grande dimension, dont les pôles et les zéros sont supposés réels. Si G(s) n'a pas cette structureil doit être décomposé au préalable. Dans ce cas, il peut être écrit sous la forme

G(s)=K

~ ~ Qm 1 + s i=0 ùz i ~ ~ (2.70) Qn 1 + s i=0 ùp i

K étant le gain statique, --w_{z i} et --w_p isont les pôles et les zéros de G(s) respectivement.

On souhaite remplacerle maximum de pôles et dezéros de G(s) par le modèle non entier implicite (2.5). On dit dans ce cas que ces pôles et zérosde G(s) sont compressés par les paramètres a et r de (2.5). Pour ce faire, les pôles et zéros de G(s) qui sont distribués selon les conditions des équations (210) à (2.12) doivent d'abord être déterminés. On procède comme suit.

~ Construire deux vecteurs contenant les zéros et espôlesde G(s) dont les éléments sont triés dans l'ordre croissant. Concaténer ensuite cesdeux vecteurs dans unmême

vecteur Comb qui doit être trié dans l'ordre croissant lui aussi.

? ????? ?????

[ ] zero = wz0, wz2, · · · , wzM [ ] pole = wp0, wp2, · · · , wpN Comb = [zero, pole]

(2.71)

~ Après avoir choisi le nombre minimum de singularités à compresser, notéNmin, extraire du vecteur Comb toutes les combinaisons contenant au moins Nmin éléments telles que les éléments d'indice paire doivent être des zéroset es éléments d'indice impaire doivent être des pôlesDe plus, le premier et ledernier élément doivent être des pôles. On veut retrouver ainsi la disposition alternée pôleezéroopôlee
·
·
·) de l'équation (2.11).

On obtient ainsi une première sélection dessingularités susceptibles d'être compressées. Pour affiner cette première sélection, on cherche les combinaisons pouresquellesespôles et les zéros sont maintenant récursivement distribuésselon 'équation2.11).

~ Pour chaque combinaison et pour chaque triplet (w_p i, w_p i+1, wzi), calculer l'ordre

non entier ai :

ai =

( ) log wzj/wpj ( ) log wpj+1/wpj

i=1,2, · · · ,N z (2.72)

N_z étant le nombre de zéros contenus dans la combinaison considérée.

Cette relation est déduite de la relation (2.12) qui exprime es valeurs des deux constantes 8 et j en fonction des singularités w_{z i} et w_p i. En effet, les constantes 8 et j sont données par :

wz i 8 ^=wp i	e = 1010a(1-a) et j =					wp i+1 wz i		=10	e 10a
le produit 8j est donc égal à : wz i 8 j = wp i			wp i+1 wz i	=10	10a(1-a) + e e 10a
log(8)		E 10a(1-a) 10a(1-a) + E E 10a					= a
log(j 8)

en calculant le rappot :

on obtient :

a =

log\ W_z i ~ W_p i

log(Wp i+1 ~ Wzi Dans le cas idéal où tousles pôles et zéros de la combinaison sont récursivement

distribués, les ordres non entiers ai ainsi calculés auraientla même valeurDans le cas contraire, on doit calculer leur valeur moyenne

a =	L1Nz i=1ai (2.73) Na

~ Pour ne garder à la fin qu'une seule combinaison, on calcule, pour chacune d'elle, le nombre d'éléments qu'elle contient(plus ce nombreest élevé plus enombrede singularités compressées est grand) On calcule aussi 'indice quimesurea disparité des singularités (plus les singularités sont distribuées récursivement, meilleure est l'approximation). Cetteindice étant lécart type desordresnon entiersai défini par:

sPNz ~~ai - a ~~

i=1

ó_m = (2.74)

N_a - 1

La combinaison à retenir finalement est celle qui contient e maximumde singularités et ayant la plus petite valeur de ó_m.

~ L'autre paramètre du modèle non entier implicite r est calculé comme suit : pour chaque paire (w_{p i+1,} w_a i), calculer la valeur correspondante de r, telle que :

1/r i = wp 0 10^-

log~ùp i+1 ~ ùz i 2

i=1,2, · · · ,Na (2.75)

wp ₀ étant le premier pôle de la combinaison considérée.

Cette relation est déduite de léquation (2.10) qui exprime avaleur dea première singularité w_p 0. En effet,

wp0 =

1 vç = 110 ^e

20 á

r r

Comme :

e

=10 10á

w_p i+1

ç=

w_a i

on a:

l'expression de 1/ô est donc donnée par :

1= wp0 ç ô

--1/2 = wp 0 10

- log ("p it1 ) "z i 2

ô est donnée par la valeur moyenne

ô =	PNz i=1 ôi (2.76) Nz

G(s) peut alors être approximé par le transfert d'ordrenon entier

1

Gest(s) =(1 + ô _s)á GR(s) (2.77)

Compression à l'aide d'un modèle explicite apériodique

Dans ce cas aussi, les pôles et les zéros dutransfert entierG(s) qui peuvent être compressés doivent être réels. G(s) peut dans ce cas être écrit sous la forme

G(s) =

XN i=1

ri 1 + s pi

(2.78)

où : pi sont les pôles de G(s) et ri leurs résidus correspondants

Les paramètres du modèle non entier apériodique de dimension 1 (2.56) qui permet de compresser le maximum de pôles et de résidus de G(s) est obtenu en utilisant les étapes suivantes.

~ Construire deux vecteursle premier contient les valeurs absolues despôlespi de G(s) triés dans l'ordre croissant le deuxième vecteurcontient es résidus correspondants

?

??

??

ri.

_{h i}

pole = p1, p2, · · · , pN

_{h i}

residu = r1, r2, · · · , rN

(2.79)

~ Après avoir choisi le nombre minimum de singularités susceptibles d'être compress sées, noté Nmin, pour vérifier la condition donnée par léquation (2.60), extraire du vecteur pole toutes les combinaisons ayant un rapport entredeux pôles successifs relativement constant. Ceci constitue une première séectiondes pôles qui peuvent être compressés.

~ Pour chaque combinaison et pour chaque pairede pôles (pi, pi+1) successifs calculer le rapport :

Ài = pi+1 pi

i=1,2,... ,Np -1 (2.80)

N_p étant le nombre de pôles contenus dans la combinaisonconsidérée.

calculer alors la valeur de À caractérisant la récursivité de ladistributionde tous es pôles par.

_PNp-1

i=1 Ài

À =(2.81) N_p - 1

~ Pour chaque combinaison et pour chaque pôle pi, i = 2,. . . N_p, en utilisant le résidu

(2.83)

La combinaison à retenir finalement est celle qui contient emaximumde pôles et ayant la plus petite valeur de ó_m.

D'après l'équation (2.61) la constantede temps ô est tout simplement égale àlinverse du premier pôle de la combinaison finalement retenue.

G(s) est dans ce cas approximé parle transfert nonentier

correspondant ri, calculer l'ordre non entier ai solution de l'équation nonlinéaire (2.62). La valeur du paramètre 1/ô à considérer étant le premier pôle de la combinaison considérée. La valeur de a en est la valeur moyenne,

_PNp-1

i=1ai

a = (2.82)

N_p - 1

Dans ce cas aussi, pour mesurer la récursivité de ladistribution des singularités, on utilise, comme indicateur, l'écart type des ordres nonentiersai défini par :

ó_m =

1

Gest(s) = GR(s) (2.84)

1 +(ôs)^á

2.5.3 Compression à l'aide d'un modèle oscillatoire

Contraire aux modèles non entiers, implicite et explicite apériodique, qui exigent que les pôles et les zéros du modèle entier G(s) soient tous réels, celui-ci exige lexistence de deux pôles complexes. Les paramètres a et ô du modèle non entier oscillatoire peut être obtenu en utilisant les étapes suivantes.

~ Utiliser les étapes qui permettent de calculer les paramètres3 et r du modèle non entier implicte GN(s) contenu dans G(s) :

GN(s)=(1+rs) ^â (0<3<1) (2.85)

qui remplace le maximum de pôles et de zéros réels de G(s). Ce modèle étant un FPZ, ses paramètres peuvent être déterminés en utilisant es équations2.77) (2.76) qui calculent le modèleimplicite permettant d'approximerun modèle entier. Il faut néanmoins inverser au préalable le transfert entierG(s).

Selon l'équation (2.68), l'ordre a du modèle non entier oscillatoire est

a = 2 - 3 (2.86)

~ En utilisant l'équation (267) calculer la valeur de îcorrespondante. Déterminer ensuite les pôles de la fonction de transfert GD(s) de l'équation (2.66) qui correspond aux valeurs de r et î qui viennent d'être calculées. Il suffit alors de vériifiersi G(s) possède deux pôles complexes proches de ceux de GD(s).

Lorsque ces pôles existent, G(s) peut être approximé par le modèle non entier oscillatoire

1

Gest(s) = GR(s) 1 <a <2 (2.87)

1 +(rs)^á

Dans le cas contraire, on se contente du modèle nonentier mplicite 2.85).

Gest(s) = (1+rs) ^â GR(s) 0< a <1 (2.88) Remarque 14 Dans les trois modèles nonentiers ((277), (2.8) et (2.77 quipproximent le modèle entier G(s), le transfert GR(s) peut simplement être une fonction de transfert qui contient les singularités deG(s) qui n'ont pas été compressées par le modèle non entier2 Cela n'a~ecte pasbeaucoup 'approximation lorsque la aleur de ó_m est très petite correspondant à une distribution récursiiedéale desingularités2 n peutégalement déterminer GR(s) de sorte que G(s) et son approximation Gest(s) aient un comportement fréquentiel semblable dans labandedefréquences oo'approximation este~ectuéé npeut alors utiliser les techniques d'identi~cation classiques dessstèmesntiers2

Remarque 15 Le gain statique de GR(s) doit également être ajusté desorte que e gain statique du modèle d'ordreentier G(s) et celui du modèle non entier Gest(s), qui l'approxime, soient les mêmes.

2.5.4 Exemple d'application

Pour vérifier l'implémentation de ces trois méthodes de compression de modèles et illustrer leur exécution, considérons le modèle entier

8.51 s⁶ + 169 s⁵ + 1279 s⁴ + 4702 s³ + 8834 s² + 7990 s + 2675

G(s) = s8 + 22.52 s⁷ + 191.1 s⁶ + 782.9 s⁵ + 1684 s⁴ + 2031 s³ + 1475 s² + 632.1 s + 117.6

(2.89)

Compression à l'aide d'un modèle implicite

Après avoir éliminé des pôles complexes de G(s), les vecteurs contenant les pôles et zéros réels obtenus, ordonnés dans lordre croissant, sont donnés par

[ ]

zero = 0.8 1.613 2.2 3.1 5 7.143

[ ]

pole = 0.5 1 2 4 5.882 8.333

La combinaison contenantle maximum de pôles et dezéros alternativement distribués qui commence et fini par un pôle est

[ ]

Comb = 0.5 0.8 1 1.613 2 2.2 4 5 5.882 7.143 8.333 en utilisant, les équations (2.72) à (2.76) on obtient

á = 0.5283 u = 0.1954 et ô = 2.2821

Le modèle non entier implicite qui approxime G(s) est donné par :

1 4.403(s + 3.1)

Gest(s) = s2 + 0.8s + 0.6 (2.90)

(1 + 2.2821 s)0.5283

Dans ce cas, le transfert GR(s), contient simplement les deux pôles complexes et le zéro de G(s) qui n'ont pas été compressésseul le gain statique aété ajusté.

Compression à l'aide d'un modèle explicite apériodique

Dans ce cas aussi, après avoir éliminé les pôles complexes, etransfert entierG(s) est écrit sous la forme pôles-résidus de léquation(2..78),es vecteurs contenantespôles, ordonnés dans l'ordre croissant et lesrésidus correspondants sont donnés par

[ ]

pole = 0.5 1 2 4 5.882 8.333

[ ]

residu = -- 6.785 --1.203 --0.091 0.483 0.76 1.703

La combinaison contenantle maximum de pôles qui vériifient 'équation 2.60) est

[ ]

Comb = 0.5 1 2 4 8.333

Les équation (2.81) et (282) permettent de calculere paramètre de récursivitéÀ, la résolution de l'équation nonlinéaire (262) et l'équation(2.82) donnenta valeur dea et l'écart typeó_m, qui mesure la disparité des pôlesest déterminé en utilisant 'équation (2.83). La constante de temps ô quant à elle c'est tout simplementlinverse du premier pôle du vecteur pole. Les valeurs numériques de ces paramètres sont

La combinaison contenantle maximum de pôles qui vériifient 'équation 2.60) est

À = 2.021 a = 0.8578 ó = 0.06 et ô = 2

Le modèle non entier explicite apériodique qui approxime G(s) est dans ce cas donné par :

1 7.39 (s + 2.1)

Gest(s) = (s² + 0.85 s + 0.68) (2.91)

1 + (2 s)0.8578

Dans ce cas, le transfert entier GR(s) est déterminé par l'algorithme didentiification "Vector Fitting" qui sera développé dans le prochain chapitrede sorte que es transfertsG(s) et Gest(s) aient le même comportement dans la bande de fréquences [10_², 10⁺²] qui contient tous les pôles de G(s).

Compression à l'aide d'un modèle explicite oscillatoire

pôles de G(s) :

[ ]

S = 0.8 1.0 1.613 2.0 2.2 4.0 5.0 5.882 7.14 On obtient alors :

â = 0.5487 ó_m = 0.216 et ô = 1.4114

a est alors donné par

a = 2 -- â = 1.4513

2á-1

La valeur de î correspondante est

r1 +cos(a ð/2) î = =0.5052

Les pôles complexes du modèle oscillatoire GD(s) (2.66) correspondants à ces valeurs de î et ô sont :

s1,2 = --0.3580 #177; j 0.6115

qui sont proches des pôles complexes de G(s) (s1,2 = --0.40 #177; j 0.6633). Ils peuvent donc être associés aux paramètres du modèle implicite (2..85) pour formeremodèle non entier explicite oscillatoire, qui approxime G(s), donné par :

1 30.57 (s + 3.1)

Gest(s) = (s + 8.333) (s + 0.5) (2.92)

1 + (1.4114 s)1.4513

Dans ce cas le transfert entier GR(s) contient le pôle et le zéros de G(s) qui n'ont pas été

compressés, seul le gain statique a été ^ajustéLes figures (2.11) et (212) donnent respectivement es diagrammes de Bode ainsi que

les réponses indicielles de G(s) des trois modèles non entiers utilisant un nombre réduit de paramètres Gest(s). Les réponses indicielles des modèles non entiers (2.90) (2.91) et (2.92) qui sont présentées sont celles des modèles entiersqui approximent cesmodèles non entiers. Elles montrent que les trois modèles nonentierspeuvent êtreutilisés pour approximer le modèle entier G(s), avec plus ou moins de précision. Pour cet exemple en particulier, le modèle implicite semble être le plus appropriéselon es réponsesndicielles. D'un autre côté, dans le domaine fréquentiel, le modèleexplicite apériodique est celui qui donne la meilleure approximation

FIGURE 2.11: Diagramme de Bode de G(s) et de ses approximations Gest(s)

II G(s) ^-Gest(s) II-)

Pour affiner la comparaison entre les trois modèles non entierG_est(s) qui approxime le modèle entier G(s), on présente dans le tableau (22) lerreurrelative åapp donnée par :

åapp = (2.93)

IIG(s)II-₎

modèle implicite	modèle apériodique	modèle oscillatoire
0.07	0.112	0.128

TABLE 2.2: valeur de l'erreur relative åapp des trois modèles non entiers

Les résultats donnés dans ce tableau confirment les conclusions tirés partir des

courbes de simulations.

Remarque 16 La fonction de transfert G(s) étant d'ordre entier, elleest caractérisé, en hautes fréquences, par une phase proportionnelle entière deð/2 alors que le modèle non entier, qui l'approxime présente une phase proportionnelle nonntière deð/2. Pour que

FIGURE 2.12: réponses indicielles de G(s) et de ses approximations Gest(s)

les deux modèles aient le même comportement fréquentieln hautes fréquences, n peut ajouter au modèle non entier un zérode puissance fractionnaire (PPZ aaante même ordre non entier que le pôle de puissancefractionnaire (PPP utilisé pour la compression pour compenser son comportement non entiermais donta fréquenceransitionnelle doit être située en hautes fréquences pour ne pas a~ecterlapproximation

Dans la deuxième partie de ce chapitre, une nouivelle applicationde a dériivation non entière appelée : "la compression du nombre de paramètres d'un modèle" a été présentée. Elle permet de représenter des modèles entiers utilisant un nombremportant de paraa mètres par des modèles non entiers nutilisant quetrès peude paramètres.Troistructures non entières simples ont alors été proposées.Néanmoins, l aut noter que cette approche ne peut pas être utilisée pour réduire le nombre de paramètresde n'importe quelmodèle entier, ce qui est le cas également des techniques deréductionde modèles. Cette approche ne peut pas être appliquée pourles modèles entiers nayant que despôles et éros, par exemple.

Chapitre 3

Approximation des systèmes non

entiers en représentation d'état

3.1 Introduction

L'approximation des systèmes non entiers par des modèles d'ordre entier, consiste à remplacer l'opérateur de dérivation dordre non entier parun modèle d'ordre entier qui l'approxime sur une bande de fréquences donnée. Le modèle entier ainsiobtenu peut tre utilisé pour l'analyse, la réalisation et lasimulerdu système nonentierrPlusieursolutions ont été proposées [12], [30] [64] 70] 76] Néanmoins, a plus part sont développées dans la représentation transfert où la manipulationdes ordresnon entiers est plus aiséee Très peu de travaux ont abordé ce problème dans la représentation d'état21]_]53]_]55]_] [70] et aucun ne concerne l'aspect général du problème, à savoirconsidérer des systèmes multivariables non nécessairement commensurabless l faut noter également, qu'aucun calcul concernant l'erreur dapproximation naété proposé usqu'àmaintenantt

Dans la première partie de ce chapitre, ondéveloppedans un premiertempsun modèle d'état d'ordre entier qui approxime un modèle détat non entier multivariablenonnécess sairement commensurable. Une analyse du modèle est ensuite développée dansaquelle on montre les conditions d'existence dune telle approximation. Oncaractérise ennn'err reur d'approximation du modèle non entier par le modèle entierrCe résultat est ensuite

utilisé pour montrer quele paramètre le plus important prendre en considérationpour approximer un système non entier par un modèle entier est a argeur deabande de fréquences de validité de cette approximation et non pas, comme cela a été suggéré par de nombreux auteurs, la dimension du modèle entier qui approxime 'opérateur de dérivation non entier.

Dans la deuxième partie de ce chapitreon développe une autreapproximation enutii lisant l'approximation delopérateurdintégration.Pour ce faire, on propose d'abord une nouvelle représentation détat utilisant lopérationd'intégration a place deaeprésenn tation usuelle utilisant l'opération dedérivation. Nous caractérisonsdans ce cas également les erreurs d'approximation aussi biendurant le régime transitoirequ'au voisinage det = 0 et t -* 8.

A l'instar de toutes les méthodes dapproximation, les deux modèles entiers ainsi dé veloppés ont "l'inconvénient" davoir une dimensionrelativement mportantenotamment lorsque le modèle non entier estlui même de grande dimension.On montredansa troii sième partie de ce chapitre, quel'utilisation des techniques de réductionbasées sures valeurs singulières du système peut être une solution pour réduiretrès considérablement la dimension du modèle entier tout en gardant unebonne précision.

Une étude comparative entreles deux modèles dapproximationcllture ce chapitre.

3.2 Calcul des erreurs d'approximation du dérivateur généralisé

Les deux modèles d'approximation qui sont développés dans ce chapitre sont basés sur l'approximation du dérivateur généralisé par e transfert rationnel borné en fréquences présenté dans le paragraphe 1.7.4 du chapitre 1. Par conséquent, la caractérisation des erreurs d'approximation du modèle dordre non entier paresdeuxmodèles d'état entiers, dépend également de l'erreur commise lors de lapproximationdudérivateur généralisé. C'est pourquoi, on caractérise dabord, dans ce présent paragraphe, cette erreur notamment en basses et en hautes fréquences où elle est la plus importante.

FIGURE 3.1: erreur d'pproximation du dérivateur généralisé (2) par le dérivateur borné en fréquences (1).

3.2.1 erreur d'approximation du dérivateur généralisé par e déé rivateur borné en fréquences

Les diagrammes de Bode du dérivateur généralisé D_gen(s) et celui du dérivateur borné en fréquences _Dborn'e(s) étant symétriques par rapport au point correspondant àà w = 1 et GaindB = 0, l'erreur d'approximation en w = wh est la même qu'en w = wb. On présente dans ce qui suit le développement du calcul de lerreur dapproximation àà a borne w = wb.

L'erreur d'approximation notée e_a(s), est exprimée par

ea(s) =Dgen(s) -Dborn'e(s) = s^a - D0

1 + sWb a 1+ s Wh )

Comme on ne s'intéresse qu'à l'erreur sur les modules, on remplace cette erreur par e_a(w) = D gen(.7w) dB - Dborn'e(.7w) dB (3.1)
La figure (3.1) illustre lerreur e_a(w) pour a = 0.5 et wb = 10³.

Lorsque w = wb, cette erreur est égale à

eá(wb) =

2 2 20a log(wb) -- 20a log(wb) + 10a log (1 + (wb) -- 10a log (1 + wb (3.3) ~wb wh

Comme (Wb )2 < 1, log (1 + (Wh2) r=j 0, l'erreur d'approximation est finalement donnée

Wh

par :

e_á(wb) = 10 a log (2) (3.4)

L'erreur d'approximation du dérivateur généralisé par e dérivateur borné en fréquences ne dépend donc que de l'ordre de dérivation non entier elle est ndépendante de a argeur de la bande d'approximation. Le tableau (3.1) donne les valeurs de e_á(wb) pour quelques valeurs de a. On constate que e_á(wb) est relativement petite pour des ordres de dérivation

a

0.7

0.5

0.3

0.1

0.9

eá(wb)dB

2.7083

0.3010

0.9031

1.5051

2.1071

TABLE 3.1: Erreur d'approximation obtenue pour quelques valeurs de a

voisins de zéro mais devient de plus en plus importante au fur etet à mesure queque a se rapproche de 1.

Pour rendre plus précise l'approximation du dérivateur généralisé par e dérivateur borné en fréquences dans la bande [wb, wh], il suffit d'effectuer réellement lapproximation dans une bande de fréquences plus large [w_mi_n, w_max] telle que :

w_mi_n < wb et w_max >> wh (3.5)

La figure (3.2) illustre lévolution de lerreur d'approximation e_á(wb) lorsque la bande d'approximation est élargie dune décade de part et d'autre. Afin de quantifier 'amélioo ration de la précision ainsi obtenue, calculons dans cece cas aussi 'erreur d'approximation commise aux bornes wb et wh lorsque l'approximation du dérivateur est effectuée dans la bande plus large [w_mi_n, w_max]. Pour ce faire, les bornes w_mi_n et w_max sont elles aussi considérées symétriques par rapport à w = 1. Elles peuvent dans ce cas être écrites sous la forme

FIGURE 3.2: évolution de l'erreur d'pproximation e_á(wb) lorsque la bande d'approximation est élargie d'une décade

D'après la relation (3.2) lerreur dapproximation est donnée par

eá(w) =

20a log(w) -- 20a log(wmin) + 10a log (1 + (ùmin

)^2)

)^2)~~~~~

(3.7)

10a log (1 + (Zax A la pulsation w = wb, cette erreur vaut

e á (wb) =

20a log(wb) -- 20a log(wmin) + 10a log (1 + (ùùmbin)2) 10a log (1+ (ùrax)^2)

(3.8)

En remplaçant w_mi_n et w_max par leurs expressions respectives données par l'équation (3..), on obtient

~~~~~

e_á(wb) =

(3.9)

-- 20a log(wb) + 20a log(wb) -- 20a log(10^v)

U0¹+^í)

+10a log (1+ G^`eb^b) U0^--)

_f \ 2 ₁ N2

10a log (1+ G1)

\ 2 f \ 2)

Pour les mêmes raisons que pour léquation (3.3) _á(ùb) devient

á(ùb) = 10a log(1 + 10^21/) - 20alog(10^21/) (3.10)

Finalement, l'expression de l'erreur est donnée par

)

1 + 10^21/

á(ùb) = 10 a log (3.11)

10^21/

Lorsque u = 0 on retrouve évidementl'expression de lerreurdonnée par'équation 3..) commise lorsque la bande d'approximation nest pasélargie.

Dans ce cas aussi, l'erreur _á(ùb) ne dépend pas de la largeur dela bande de fréquences où s'effectue l'approximationElle dépend néanmoins de son élargissement caractérisé par le paramètre u. Pour montrer l'influence del'élargissement de la bandedapproximation,

on présente dans le tableau (32) les valeurs de (ùb) pour plusieurs valeurs de a et de u.
a	u=0	u=1	u=2	u=3
a = 0.1	0.3010	4.30 10^-3	4.30 10^-5	4.30 10^-7
a = 0.3	0.9031	1.30 10^-2	1.30 10^-4	1.30 10^-6
a = 0.5	1.5051	2.1610^-2	2.17 10^-4	2.1710^-6
a = 0.7	2.1072	3.0210^-2	3.0410^-4	3.0410^-6
a = 0.9	2.7083	3.8910^-2	3.9110^-4	3.9110^-6

TABLE 3.2: Erreur d'approximation _á(ùb) obtenue pour plusieurs valeurs de a et de u

Ce tableau montre que l'erreur dapproximationdiminue d'un rapportde 100 à chaque fois que la bande d'approximation est élargie dunedécade de part et d'autre.

Le choix de la bande de fréquences [ùb, ùh] où doit être effectuée l'approximation du dérivateur généralisé dépend du comportement fréquentiel du système non entier à approximer. Par contre la bande de fréquences où doits'effectuer réellement'approxii mation [ùmin, ùmax] est choisie selon l'erreur d'approximation quon souhaite obteniren ùb et ùh. Il est donc souhaitable de déterminer le paramètrecaractérisant'élargissement

FIGURE 3.3: variation du paramètre délargissement u en fonction de l'erreur d'approximation en dB pour différentes valeurs de a

de la bande d'approximation u en fonction de l'erreur d'approximation quon souhaite imposer. De la relation (3.11) on obtient, après quelquesmanipulations simples

u =

~~~~~

( ) log 10 ^å 10 á - 1 2

~~~~~

(3.12)

La figure (3.3) représente les variations du paramètresu en fonction de l'erreur d'approximation en dB pour différentes valeurs del'ordre non entier a. Elle constitue ainsi une abaque permettant de choisir le paramètre délargissement de abande d'approximation en fonction de l'erreur d'approximation souhaitée.

3.2.2 erreur d'approximation du dérivateur borné en fréquences par un transfert rationnel

Contrairement à l'approximation de Charef 12], qui détermine a récursivité despôles et zéros du modèle entier ainsi queleur nombre à partir de 'erreur d'estimation, Lapp proximation CRONE [64] impose la largeurde labandede fréquences ainsiqueenombre

FIGURE 3.4: Diagramme asymptotique de Bode D_á(s)

de cellules nécessaires à l'approximation. On reprend dans cece qui suit e développement fait par Charef pour déterminer lerreur dapproximation faite en utilisant 'approximaa tion CRONE. On utilise pour ce faire le diagramme asymptotique dudu ieu dede Bode de a mise en série de plusieurs cellules passe bande donné par la figure (3.4).

D'après cette figure et en tenant compte du faut que 'axe des abscisses aa uneune échelle logarithmique, on a

e

tan(a) = log('q)/2 = 20 a (3.13)

l'erreur d'approximation maximale e est donc donnée par

e = 10 a log('q) (3.14)

Comme les bornes de la bande d'approximation [wb wh] sont symétriques, elles peuvent être écrites sous la forme

wb = 10^--P et wh = 10^+P (3.15)

u étant un nombre entier positif. En utilisant lexpression de 'q donnée par l'équation (1.96) du chapitre 1, l'expression de l'erreur, exprimée en dB sécrit finalement

20 a (1 - a) (u + 1)

e = (3.16)

2N + 1

FIGURE 3.5: Evolution de l'erreur en fonction du nombre de singularité N pour ,i = 2

La figure (3.5) représente les variations de 'erreur en fonction du nombre de singularités (2N + 1), pour différentes valeurs de a. La bande d'approximation étant imposée par le système non entier (ici on a considéré ,i = 2).

A titre d'illustration et de comparaison, on présente dans etableau3.3)es valeurs numériques de l'erreur obtenue pour quelques valeurs de N.

	N=1	N=5	N=10	N=20	N=50	N=100
a = 0.1 = 0.9	1.8	0.49	0.26	0.13	0.05	0.03
a = 0.2 = 0.8	3.2	0.87	0.46	0.23	0.09	0.05
a = 0.3 = 0.7	4.2	1.15	0.6	0.31	0.13	0.06
a = 0.4 = 0.6	4.8	1.31	0.69	0.35	0.14	0.072
a = 0.5	5	1.37	0.71	0.37	0.15	0.075

TABLE 3.3: Valeur de obtenue pour différentes valeurs de N et de a lorsque ,i = 2

A partir de la relation (316) on peut déduire une autre relation qui déterminee nombre N caractérisant le nombre de cellules nécessaires pour obtenirune erreur d'app proximation donnée lorsquelordre non entier a et le paramètre ,i, caractérisant la largeur

de la bande d'approximation [ùb ùh], sont fixés.

)

20 á (1 - á) (u + 1) -

N = arondi (3.17)

2

L'erreur d'approximation du dérivateur généralisé s^a, par le filtre passe bande non entier Dborn'e(s) est nulle pou ù = 1 et augmente au fure et à mesure que w s'approche des limites de la bande d'approximation [ùb ùh]; Le maximum étant donné par _a(ùb). Par contre, est l'erreur d'approximation du dérivateurborné en _{fréquencesDborn'e(s)} par le transfert rationnel dans la même bande d'approximation, en une fréquence correspondant à un pôle ou un zéro du transfert rationnel en particulier.De plus, ellen'est qu'une estimation puisqu'elle se base sur le lieu asymptotique et non pas sur lediagramme de Bode exacte.

En comparant, les résultats donnés par les tableaux (3..) et3.3), on constate que pour obtenir une erreur similaire àlintérieurde labande de fréquences, , et à ses bornes _a(ùb), il faut utiliser un nombre très important decellules.En e~et, pour obtenirune erreur d'environ 1/100, équivalente à l'erreur _a(ùb) obtenue avec un élagissement dune décade de la bande d'approximationil faut utiliser N = 100 (le modèle rationnel ainsi obtenu est de dimension 201). Il faut noter néanmoins que ce nombre doitêtre relativisé puisque n'est qu'une approximation.

Par conséquent, on considère que lélagissementde labande d'approximation d'une décade de part et d'autre est suffisante pour obtenir une bonne approximation aux bornes dea bande et pour obtenir une approximationsimillaire à l'intérieur de abande, enutilisant un transfert rationel de dimension raisonnable, on peut utiliserN = 20.

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 91

FIGURE 3.6: Principe d'approximation du système non entier par un modèle entier

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation

Etant donné le modèle d'état dordre non entier (3.18) dont es conditionsnitiales sont supposées égales à zéro

Sys frac :

D^(á)(x) =Ax+Bu y = Cx+Du

(3.18)

avec :

[ ] D^(á)(x) = D^á1x1, D^á2x2 . . . D^ánxn

T

avec : x ? Rⁿ, u ? R`, y ? Rq, A ? R<sup>n×n</sup>, B ? R<sup>n×</sup>`, C ? Rq^×n, D ? Rq^×`.

l'objectif est de développer un modèle détat dordre entier qui approxime e système Sysfrac. Pour ce faire, on se base surle schémadesimulationde la figure (3.6) dansequel l'intégrateur non entier I^(á)(x) est remplacé par son approximation entière.

3.3.1 Résultat principal

Proposition 1 Etant donné (Aai, Bai, Cai, Dai), le modèle d'état équivalent au transfert rationnel qui approximel'opérateur de dérivation nonntierD^ai dans la bande de fréquences [ùb, ùh], alors le modèle d'état dordre entier qui approximee ssstème non entier (3.18) dans la même bande de fréquences est donné par

Sysent1 :

? ? ?

Zÿ =AGZ+BGu Z(0)=Z0 yest CG Z + DG u

(3.19)

où:

????????????? ? ?

??????????????

AG=Ad-Bd(Dd-A)^-1Cd BG=Bd(Dd-A)^-1B

(3.20)

CG = -C(Dd - A)^-1Cd DG = C(Dd-A)^-1B+D

_h ] + [ ]

Z0 = C (Dd - A)^-1 Cd C (Dd - A)^-1 Bu(0)

_h ]

C (Dd - A)^-1 Cd ] + étant la matrice pseudo-inverse de h (Dd - A)^-1 Cd .

AG E ^{(2N+1).n×(2N+1).n,} BG E ^(2N+1).n×m, CG E ^q×(2N+1).n , DG E q×m.

Ad, Bd, Cd et Dd sont données par

?

????????

????????

(3.21)

Ad = Block - diagonal [Aa1 Aa2 ... Aa_n] Bd = Block - diagonal [Ba1 Ba2 ... Ba_n] Cd = Block - diagonal [Ca1 Ca2 ... Ca_n] Dd = diagonal [Da1 Da2 ... Da_n]

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 93

Démonstration 1 Nous avons montré dans le paragraphe 1.7.4 du chapitre 1, que l'opérateur de dérivation d'ordre non entier s^á peut être approximé par un transfert rationnel D_á(s) de dimension finie dont les pôeset éros sont récursivement distribués dansa bande de fréquences bornée [ùb, ùh]. D_á(s), de dimension (2N + 1), est juste propre et caractérisé par un gain constant en dehorsdea bande de validité de'approximation.

Afin de l'utiliser pour approximerle modèle d'état _deSysfrac, on lui associe un modèle d'état de la forme

Dá(s) :

? ? ?

ÿzá = Aázá+Báf zá(0) = 0 D^áf Cázá+Dáf

(3.22)

z_á(0) = 0 puisque le modèle d'état (322) est déduit à partir dumodèleransfert deD_á(s).

L'entrée du modèle (322) est lafonction à dériverf(t) et la sortie l'approximation de sa dérivée à l'ordre a. z_á(t) est un vecteur d'état de dimension (2N + 1). Le coefficient D_á ne dépend pas du nombre de cellulesutilisées pour'approximation mais dépend uniquement des bornes de la bande de fréquences de validité de'approximation et delordre non entier a. Les matrices A_á, B_á et C_á sont de dimensions respectives

A_á E ^{R(2N+1)×(2N+1),Bá} _E ^R(2N+1)×1 et C_á E R1×(2N+1).

La dérivée de chaque variable d'état xi du modèle non entier Sysfrac peut alors être approximée en utilisant le modèle d'état (3.22) quis'écrit danseas

Dái(s) :

? ? ?

^ÿzái = Aái zái + Bái xi zái(0) = 0, D^áixi Cái zái + Dái xi i = 1, ..., n

(3.23)

L'approximation de toutes les variablesd'état _deSysfrac peut être réalisée en mettant en parallèle n modèle du type (322)Le modèle d'état global correspondant à ette misen parallèle est alors donné par

D(á)(s) :

? ? ?

Zÿ =AdZ+Bdx Z(0)=0, (3.24) D^(á)(x) CdZ+Ddx

avec :

[ _iT

Z = zT _á1, zT á2 . . . _zT (3.25)

án

Ad E ^{(2N+1).n×(2N+1).n,} Bd E ^(2N+1).n×n, Cd E ^n×(2N+1).n , Dd E ^n×n sont des matrices diagonales par bloc données par

[Aá1]			[Bá1]
Ad=	[Aá2]	, Bd=		[Bá2]	,

...

[Aá_n]

[Cá1]

...

[Bá_n]

Dá1

Cd=	[Cá2]		, Dd=		Dá2
...		[Cán]		...		Dán

En égalisant l'équation desortie du modèle (3.22), qui approximea dérivée non entière du vecteur d'état x(t), et l'équation dynamique du modèle non _{entierSysfrac} (3.18), on obtient

Ax+Bu CdZ+Ddx (3.26)

Le vecteur d'état x est alors donné par la relation

x -(Dd - A)^-1 Cd Z + (Dd - A)^-1 Bu (3.27)

En substituant ensuite la relation (3.27)dans respectivement'équationynamiqueu modèle (3.24) etl'équation de sortie du modèle (3.18) on aboutiu modèlentierui approxime le modèle non entier Sys _frac donné par

Sysent1 :

? ? ?

Zÿ = [Ad - Bd (Dd - A)^-1 Cd] Z + [Bd (Dd - A)-1 B] u yest= [-C(Dd-A)^-1Cd]Z+[C(Dd-A)^-1B+D]u

(3.28)

Pour corriger l'erreur sur la sortie yest introduite par l'approximation des dérivateurs non entiers s^ái, au voisinage de t = 0, on peut utiliser les conditions initiales du vecteur d'état Z(t) telles que :

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 95

cette condition se traduit par

D u(0) = CG Z(0) + DG u(0)
CG Z(0) = (D - DG) u(0)

CG n'étant pas une matrice carrée, Z(0) s'écrit alors

[ ] + [ ]

Z(0) = C (Dd - A)^-1 Cd C (Dd - A)^-1 Bu(0) (3.29)

[ ]

C (Dd - A)^-1 Cd ] + étant la pseudo-inverse de la matrice [ C (Dd - A)^-1 Cd

Le modèle d'état (3.28) dépend ainsi des matrices (A, B, C et D) du modèle non entier Sys _frac et des matrices (Ad, Bd, Cd et Dd) des différents modèles d'état qui approximent les opérateurs de dérivation dordre non entier Il faut noterque cemodèle est uste propre (DG =6 0) même lorsque le modèle non entier Sys _frac est strictement propre. Il faut noter également que ce modèle nécessitelinversionde la matrice ( Dd-A) et que la dimension de la matrice AG est très grande ((2N + 1).n x (2N + 1).n). On montre dans le paragraphe 3.5 que ce problème peut être résolu en utilisant les techniques de réduction de modèle entier.

3.3.2 Condition d'existence du modèle entier

Le modèle entier Sysent1 qui approxime le modèle non entier Sysfrac nécessite l'existence de l'inverse de la matrice (Dd - A). La proposition suivante établi les conditions d'existence de l'inverse de cette matrice.

Proposition 2 la matrice (Dd - A)^-1 existe si, et seulement si, les coeefficientsD_ái de la matrice Dd ne sont pas les valeurs propres généralisées deamatriceA.

Démonstration 2 Cette démonstration est basée sur la dééfinition, donnée dans [65, des valeurs propres généralisées d'une matrice.Ainsi, es valeurs propres généralisées de la matrice A sont les racines du polynôme non entierdééfini par

avec :

D_á(ë) = diag[ëá1, ë^á2 ... ë^án]

Puisque Dd est une matrice diagonale, le déerminant de(Dd - A) est non nul si et seulement si, aucun coefficient Dái de Dd n'est une valeur propre généraliséede amatrice système A de Sysfrac. Rappelons que le coefficient Dái est donné par

= (ùmax ₎ái

( 1 )ái

Dái =ùmin

Remarque 17 Lorsque un des coefficients Dái de la matrice Dd est une valeur propre généralisée de la matrice A, il suffit d'élargir la bande d'approximation pour ccangera valeur de ce coefficient.

3.3.3 Erreur d'approximation pendant le régime transitoire

L'établissement du modèle Sysent1 (3.19) qui approxime le modèle non entier Sysfrac (3.18) étant basée surlapproximationde l'opérateur de dérivations^á, les sorties de Sysent ne sont que des approximations des sorties du modèle non entier Sys _frac. On présente dans ce qui suit l'erreur d'approximation entre les deux vecteursde sortie.

Proposition 3 Soit ederivy(t) = yest(t) - y(t) l'erreur entre les sorties du modèle non entier Sysfrac et le modèle entier Sysent qui l'approxime en utilisant l'approximation de l'opérateur de dérivation.Lerreur ederivy(t) est donnée par

ederivy(t) = C (Dd - A)^-1 ederivx(t) (3.31)

et

Ederivy(s) = C (Dd - A)^-1 (å(s)In ) (s(á)I n - A)^-1 B U(s) (3.32)

avec :

T

[ ]

ederiv _x(t) = ederiv ^x1(t), ederiv x2(t) ... ederiv x_n(t)

et:

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 97

* : désigne le produit de convolution

I_n : est la matrice identité de dimension n

x(t) : est le vecteur d'état de Sysfrac

y(t) : est le vecteur de sortie de Sysfrac

yest(t) : est le vecteur de sortie du modèle entier Sysent1

ederivx(t) : est le vecteur des erreurs dapproximation de la dérivée non entière de chaque variable d'état

åi(t) : est la transformation de Laplace inverse de l'erreur d'approximation de

l'opérateur de dérivation non entier s^ái par le transfert rationnel dont le modèle d'état est donné parl'équation (3.23)

Démonstration 3 L'approximation de la dérivéenon entiire de chaaue variaale d'état se fait selon de schéma de principe dea~gure (3. 7)

FIGURE 3.7: Principe d'approximation de la dérivée non entièredechaque variable d'état

La sortie du transfert s^ái représente la dérivée a`eme

i exacte de xi(t) donnée par

D^áixi(t) = _L_1 [sái xi(s)] (3.34)

et la sortie du transfert D_ái(s), représente l'approximation de la dérivée d'ordreai de xi(t), donnée par

D

ái est xi(t) L_¹[D_ái(s)xi(s)] (3.35)
L'erreur d'approximation de la dérivéede avariaale d'étatxi(t) est donc donnée par

ederivxi(t) = _L_1 [sái xi(s)] - L_¹ [D_ái(s) xi(s)]

]ederiv xi(t) = L_1 [ åi(s) . xi(s)(3.36)

où åi(s) est défini par

åi(s) = s^ái - D_ái(s)

dont le gain en dB est borné parl'expression ((3.66)

Finalement, L'erreur d'approximation dea dérivée dexi(t) est donnée par

ederivxi(t) =åi(t) * xi(t) (3.37)

De ce fait, le système entier Sysent 1 devient égal au système nonentier Sysfrac qu'il approxime lorsque l'erreur dapproximation dea dérivée du vecteur d'état est considérééDans ce cas, le modèle entier (3.24), qui approximea dérivée nonntièreuecteur d'état x(t), devient

? ?

?

Zÿ = AdZ+Bdx

D^(á)(x) = CdZ+Ddx+ederivx

(3.38)

avec :

_{h i}T

ederiv _x(t) = ederiv ^x1(t), ederiv x2(t) ... ederiv x_n(t)

Le vecteur d'état non entier x(t) s'exprime en fonction du vecteurd'état entierZ(t) par

x = -(Dd - A)^-1 Cd Z + (Dd - A)^-1 Bu - (Dd - A)^-1 ederivx

| _{z -I | _{z -I

(3.39)

xest

Comme

y = Cx+Du = Cxest +Du | {z -I yest

-C (Dd - A)^-1 ederivx (3.40)

On obtient finalement

ederivy(t) = yest(t) - y(t) = C (Dd - A)^-1 ederivx(t) (3.41)

Dans le domaine de Laplace, cette relation s'exprime par

Ederivy(s) = C (Dd - A)^-1 Ederivx(s) (3.42)

Ederivx(s) est donné par

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 99

avec :

i(å(s)In ) = diag h å1(s), å2(s) ... å_n(s)

donc :

) Ederiv y(s) = C (Dd - A)^-1 (å(s)In | s			(s(á)I n - A)^-1 B U(s) V- {z s (III)	(3.44)
		{z | {z (I) (II)

L'erreur sur les sorties dépend donc, de aarreur dea ande d'approximation(terme I), de l'erreur d'approximationdudérivateur énéralisé (terme II)t du vecteur d'état de Sysfrac (terme III).

Cette relation montre quela précision sur les sorties est proportionnelle à 'erreur d'approximation de la dérivée non entière, ce qui étaitprévisible, mais ellemontre aussi qu'elle est inversement proportionnelle à la di~érence (Dd - A). Comme la matrice Dd est constituée des coefficients Dái égaux à (1/ù_mi_n)^ái, elle indique le choix de la bande de fréquences d'approximationConnaissant les valeurspropres généraliséesdu modèle non entier à approximer on choisit les bornes de labande de fréquencesdansaquelledoit se faire l'approximation de sorte que

soit le plus grand possible

~ 1 )ái ùmin

- Ài (3.45)

3.3.4 Erreur d'approximation au voisinage de t = 0 et t -* oc

Les équations (3.31) et (332) donnent l'erreur d'approximation desorties dumodèle non entier pendant le régime transitoire. Dans cette section, on étudie, en particulier, l'erreur d'approximation au voisinage de t = 0 et en régime établi (t -* oc).

erreur d'approximation au voisinage de t = 0

à t = 0, notée ederivy(0), est nulle.

Démonstration 4 L'erreur entre les sorties du système non entierSys _frac et celles de modèle entier Sysent 1 qui l'approxime, à t = 0 notée ederivy(0), est définie par :

ederivy(0) = y(0) -- yest(0) (3.46)

En utilisant les équations de sortiesdesmodèles d'état duystème nonntier et de son approximation, et en tenant compte de 'équation ((..2)

ederivy(0) = D u(0) -- (CG Z0 + DG u(0)) = 0

puisque les conditions initialesZ0 du modèle entier sont calculées de manière à annuler cette erreur.

erreur d'approximation en régime établi

Lemma 2 Sous condition que le modèle d'approximation Sysent 1 soit stable, l'erreur d'approximation entre lessorties du modèle non _{entierSysfrac} et celles du modèle entier qui l'approxime Sysent1, en régime établi (t -- ,' oc) notée ederivy(oc), lorsque l'entrée est un échelon, est donnée par

[( ]

₎_1

ederiv _y(oc) = C (ùmin)^(á)In -- A -- (--A)_¹Bu(oc) (3.47)

avec :

[ ]

(ùmin)^(á)In = diag (ùmin)^á1, (ùmin)^á2 . . . (ùmin)^á

A, B et C, sont les matrices du modèle d'état dusystème non entierSysf_rac, I_n est la matrice identité de dimension n et ùmin la borne située en bassesfréquencesdea bande où est réellement effectuéel'approximation des opérateurs de dérivation non entiers s^ái.

Démonstration 5 L'erreur d'approximation dessorties dusystème non entierSysf_rac, en régime établi, notée ederivy(oc), lorsque l'entrée est un échelon, est donnée par

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 101

Le modèle transfert Gf _rac (s) correspondant au système non entier Sysent1, (équation 3.18) étant donné par

G frac(s) = C[(s^(á) I_n - A)B + D (3.49)

En remplaçant les opérateurs de dérivation nonnon entiers s^ái (i = 1,
·
·
· , n) par les fonctions de transfert qui les approximent Dái (s), le modèle transfert Gent1(s), correspondant au modèle entier Sysent1, est

Gent 1(s) = C [(D (á)(s)In - A)-11B + D (3.50)

avec

D(á)(s)In = diag[D_á1(s), D_á2(s)
·
·
·D_án(s)]

D_ái(s) étant donné par l'équation (195)

Dái(s) = D0ái	YN i=-N	1+ s ùz,i
		1+ s ùp,i

(D(á)(s)In) = diagD0D0 á2
·
·
· D0á_n] (3.51)_á1,

Comme D0ái= (ùmin)^ái (1.91),

lim (D _(á)(s)I n) = diag [ (ùmin)^á1, (ùmin)^á2
·
·
·(ùmin)án = (ùmin)^(á)In (3.52)

s?0

d'un autre côté

lim (G frac(s)) = C [(- A)^-1]B + D (3.53)

s?0

l'erreur d'approximation entre lesles sorties de Sysfrac et celles de Sysent1, en régime établi, est finalement donnée par

1

ederiv _y(8) = [C [ ((ùmin)^(á)In - A) B + D - C [(-A) + Dlu(8)

ederivy(8) = CR(ùmin)^(á)In - A)^-1 - (-A)^-11B u(8) (3.54)

Dans ce cas, l'erreur ne dépend pas de la qualité de lapproximation mais uniquement de
la limite en basses fréquences de la bande où est effectuée l'approximation des opérateurs
de dérivation non entiers. Lorsque ùmin est égale à zéro l'erreur dapproximation est nulle.

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état

utilisant l'opérateur d'intégration

Considérons à nouveau le modèle détat dordre non entier

Sys frac :

? ? ?

D^(á)(x) =Ax+Bu y = Cx+Du

(3.55)

avec

T

[ ]

D^(á)(x) = D^á1x1, D^á2x2 . . . D^ánx_n

avec x ?Rⁿ, u ? R^e, y ? Rq, A ? R^nxn, B?R^nx`, C?Rq<sup>xn</sup>, D ? Rq<sup>x</sup>`.

L'objectif est dans ce cas aussi de développer un modèled'état d'ordre entier qui app proxime le système non entier sys _frac. Contrairement à l'approximation présentée dans de la paragraphe 3.3.3, qui se base sur l'approximation de lopérateur de dérivation, on développe dans ce qui suit une approche baséesur lapproximation de 'opérateur d'inn tégration. On utilise pour ce faire, la nouvelle représentation d'état utilisant'opération d'intégration qui sera développée dans le paragraphe 3.4.1 et sur l'approximation del'intégrateur non entier par un modèledétatdordre entier qui sera présenté danse paragraphe 3.4.2.

3.4.1 modèle d'état utilisantl'opérateur dintégration

Habituellement, le modèle d'état dun systèmedordreentier inéairenvariantutilisant l'opérateur de dérivation sécrit

? ? ?

ÿx(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

(3.56)

qui exprime les variations des variables détat en fonctiond'ellesmême et des variables d'entrée. La simulation et la réalisation de ce modèle peuvent tre réalisées en utilisant le schéma bloc de la figure (3.8) où la variable détat xi(t) représente la sortie du j`eme intégrateur (j = 1, 2 ... n).

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 103

FIGURE 3.8: Schéma bloc de simuation d'un modèle détat entier

Si on considère comme variable d'état lentréedechaque ntégrateur, qu'onnotewi(t), le vecteur d'état w(t) de la nouvelle représentation sexprime enfonctiondu vecteur d'état x(t) du modèle (3.56), lorsqueles conditions initiales sont nulles, par

Z0 t w(ô)dô = x(t) (3.57)

par conséquent

Z t w(ô)dô et dx( t)

x(t) = dt = w(t) (3.58)

0

En remplaçant le vecteur d'état x(t) et sa dérivée dx(t)

dt par leurs expressions respectives

de l'équation (3.58) dansle modèle détat (3.56) on obtient

? ? ?

w(t) = A f 0 ^tw(ô)dô + B u(t) (3.59) y(t) = C f 0 t w(ô)dô + D u(t)

On appelle ce modèle, le modèle d'état entier utilisant l'opérateur d'intégration. Le modèle transfert équivalent est dans ce cas donné par

[' ] [( [' _])-1]

G(s) = C _s I_n I_n -- A _s I_nB+D (3.60)

La factorisation de la variable complexe s conduit à la formule usuelle de G(s).

La simulation et la réalisation dusystème non entier (3.55) peut également tre obtenu par le schéma bloc de la figure (38) dans lequel ilfaut remplacer 'opérateur d'intégration d'ordre entier par l'opérateur dintégration d'ordrenonentier.La gure3..)llustree schéma de simulation ainsi obtenu

FIGURE 3.9: Schéma bloc de simuation d'un modèle détat dordre non entier

Pour généraliser aux systèmes non entiers le modèled'état 3.59) utilisant'opérateur d'intégration, on utilise de nouveau, dans le schémadesimulationde a figure3.9), comme variable d'état l'entrée de chaque opérateur dintégration d'ordrenon entier. Le vecteur w(t) s'écrit dans ce cas

w(t) = D^(a)(x(t)) (3.61)

T

avec

[ ]

w(t) = Da1 _x1(t), D^a2 x2(t), . . . D^an x_n(t)(3.62)

Lorsque les conditions initiales sont nulles, le vecteur x(t), s'exprime alors en fonction du vecteur w(t) par l'expression

x(t) = I^(a) (w(t)) (3.63)

Le modèle d'état utilisantl'opérateur dintégrationd'ordrenon entieréquivalent au modèle d'état utilisant l'opérateur de dérivationd'ordrenon entier3.55) 'écrit alors

? ? ?

w(t) = AI^(a)(w(t)) + Bu(t) y(t) = CI^(a)(w(t)) + Du(t)

(3.64)

avec

[ ]

I^(a)(w(t)) = Ia1 _w1(t), I^a2 w2(t), . . . I^an w_n(t)(3.65)

C'est cette nouvelle structureutilisant lopérateur d'intégrationnon entier, quiera utilisée pour développer un autre modèle détat dordre entier qui permet d'approximer le modèle d'état d'ordre non entier utilisant lareprésentation d'état usuelle de'équation (3.55).

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 105

Le modèle transfert correspondant, lorsqueles conditionsnitiales sont nulles, est donné par

[ 1 1 [( ] ) G(s) = C s(a) In In - A [ 1 s(a) In

_11

B+D (3.66)

où

_{h i}

1

s(a) I_n = diag sa1 , 1

1 sa2 . . . 1

_sa

(3.67)

=a(s) :

? ? ?

ÿza = Aa za + Ba f za(0) = 0 Ia f Caza

(3.69)

3.4.2 Approximation de l'opérateur d'intégration non entier

L'approximation de l'opérateur dintégration d'ordrenon entiers_^a (a > 0), peut simplement être obtenue en inversant le transfert entier qui approxime'opérateur de déé rivation non entier s^a. Seulement, cela abouti à un modèle juste propre.En utilisant ce modèle entier pour approximer le modèle détat, utilisant 'opérateur d'intégration, on obtiendrai, comme dans le cas delapproximation du modèle non entier utilisant'opéraa teur de dérivation, un modèle d'état juste propre même orsque emodèlenon entier qu'il approxime est strictement propre.

On préfère alors utiliser lapproximationdéveloppée dans 700 qui, au ieu d'approximer directement l'intégrateur non entier s_^a (a > 0), il utilise la forme particulière

1 Ia =a(s) = s

D(1_a)(s) (3.68)

D(1_a)(s) étant l'approximation delopérateur dedérivationd'ordre1 - a (a > 0), donné par l'équation (1.95)

=_a(s) est donc strictement propre et présente un comportement ntégrateur non entier à l'intérieur de la bande d'approximation et se comporte comme un ntégrateur d'ordre entier en dehord de la bande, tel que le montre la figure (3.10).Le modèle d'état corress pondant peut alors être écrit sous la forme

FIGURE 3.10: Diagrammes de Bode de l'approximationde lintégrateur d'ordrenon entier. (trait plein : méthode présentée dans [7O1, trait en pointillésméthode CRONE)

A_a, B_a et C_a sont de dimensions appropriéesdépendant des paramètres utilisés pour l'approximation de l'opérateur dintégrationd'ordrenon entier.

3.4.3 approximation du modèle non entier

Proposition 4 Etant donné (Aai, Bai, Cai), le modèle d'état qui approxime 'opérateur d'intégration non entierD^-ai, ai > 0 dans la bande de fréquences [ùb ùh], alors le modèle d'état d'ordre entier qui approxime e ssstème nonntier(3.5),n utilisantl app proximation de l'opérateur dintégration, dansamêmeande de fréquences, stonné par

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant 'opérateer d'intégration 107

où

{

AG = AI + BI ACI BG=BIB CG = C CI DG = D

(3.71)

AG _{E R}(2N+2).nx(2N+2).n_, BG _{E R}(2N+2).nx._, C_{G E} Rqx(2N+2).n _et DG _E Rqx.e

AI, BI, et CI sont données par

{

(3.72)

AI = Block -- diagonal [Aá1 Aá2 ... Aá_n] BI = Block -- diagonal [Bá1 Bá2 ... Bá_n] CI = Block -- diagonal [Cá1 Cá2 ... Cá_n]

Démonstration 6 Le modèle d'état utilisant lopérateur d'intégration correspondant au modèle d'état non entier utilisant 'opérateur de dérivation Sysfrac est donné par

? ? ?		w(t) = A I ^(á) (w (t)) + B u (t) y (t) = C I ^(á) (w(t)) + D u(t)		(3.73)
-^,q(á)(s) :	{		Z^ÿ=AIZ+BIw Z(0) = 0 (3.75) I(á) (w) CI Z

avec

T

(3 .7 )

[_zT _zT

á1 á2...zá^T]

n

L'intégration non entière de chaque variable d'état wi(t) peut être approximée par le modèle d'état (3.69) qui s'écrit alors sous a orme

-,qái(s) :

{

^ÿzái = Aái zái + Bái wi zái(0) = 0, i = 1, ,n Iái wi Cái zái

(3.74)

En mettant en parallèle, n modèles de ce type, on obtient lele modèle d'état qui approxime l'intégration non entière du vecteur w(t), donné par

AI E ^{(2N+2).n×(2N+2).n} , BI E ^(2N+2).n×n , CI E ^n×(2N+2).n sont des matrices diagonales par bloc données par

[Aá1]			[Bá1]				[Cá1]
AI=	...	, BI =			...	, CI =			...
[Aán]				[Bán]				[Cán]

En substituant l'expression de w(t) de l'équation dynamique du modèle d'état non enn tier (3.73) dans celle du modèle entier (3.77), et enenantompte du ait que I^(á) (w) CI Z, on obtient

( )

Zÿ = AI Z + BI A I^(á)(w(t)) + B u(t) , Z(0) = 0

( )

Zÿ AI Z + BI A CI Z + B u(t) , Z(0)=0

[ ]

Zÿ AI + BI A CIZ+BIBu(t) Z(0)=0 (3.77)

En remplaçant de nouveau, lexpression I^(á) (w) CI Z dans l'équation de sortie du

modèle non entier (373)onobtient

yest CCI Z+Du(t) (3.78)

Les équations (3.77) et (378)peuvent alors tre rassemblées pourbtenir la orme stann dard de la représentation détat

Sysent2 :

? ? ?

[ ] Zÿ AI + BI A CIZ+BIBu(t) Z(0) = 0 yest C CI Z + D u(t) + C x0

(3.79)

3.4.4 Erreur d'approximation pendant le régime transitoire

Dans ce cas aussi, le modèle Sysent2 n'étant qu'une approximation du modèle non entier Sys _frac, ses sorties ne sont que les approximation de celle de Sys _frac. On présente dans ce qui suit l'expression de cette erreurdapproximation pendant e régime transitoire.

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 109

Lemma 3 Soit eintegy(t) = yest(t) - y(t) l'erreur entre les sorties du système non entier Sysfrac et celles du modèle entier Sysent2, qui l'approxime en utilisant l'approximation de l'opérateur d'intégration.ei_nt_egy(t) est alors exprimée par le modèle d'état

? ? ?	ÿeZ= AG eZ + EG eint w eintegy = CG eZ + Ceint w			(3.80)
? ???? ????		AG = AI +BIACI EG = BIA CG=CCI	(3.81)

Les matrices AI, BI et CI sont définies dansl'équation (3.72))

avec

T

[ ]

einteg _w(t) = einteg ^w1(t), einteg w2 (t) ... einteg w_n(t)

eintegwi(t) =åi(t) * wi(t) (3.82)

wi(t) : sont les variables d'état du modèle utilisant lopérateur d'intégration

y(t) : est le vecteur de sortie de Sys frac

yest(t) : est le vecteur de sortie du modèle entier Sysent2

eZ(t) : est l'erreur sur le vecteur détat Z(t) due à eintegwi(t)

eintegwi(t) : est l'erreur d'approximation delintégration non entièrede avariablewi(t) åi(t) : est la transformation de Laplace inversede l'erreur d'approximation de s_^ái,
par le transfert rationnel dont le modèle détat estdonné par3..9)

Démonstration 7 Comme dans le cas del'opérateur de dérivation non entier, 'erreur d'approximation del'opérateur d'intégration non entier deaariaale d'étatwi(t) est donnée par

]einteg wi(t) = £_1 [ åi(s) . wi(s)

åi(t) étant la transformation de Laplace inverse de'erreur d'approximation de'intégrateur non entier s^-ái, (a > 0), par le transfert rationnel _ái(s) défini par l'équation (3.68).

En tenant compte de cette erreur d'approximation, emodèlentier3.75)uipproxime l'opérateur d'intégration non entier du vecteur d'étatw(t) devient

^ÿZest = AI Zest + BI w

(3.84)

I(á) (w) = CI Zest + eintegw

?

?

?

ái(s) :

avec

T

[ ]

einteg _w(t) = einteg ^w1(t), einteg w2 (t) ... einteg w_n(t)

En substituant de nouveau lexpressiondew(t) de l'équation dynamique de (3.73)dans celle du modèle entier (3.84) et entenant comptemaintenant deaelationI^(á)(w) = CIZest + eintegw, on obtient

^ÿZest =

[ ] AI + BI A CIZest + BI B u(t) + BI A eintegw (3.85)

De la même manière, en remplaçant, 'expressionI^(á)(w) = CIZest + eintegw dans l'équation de sortie du modèle non entier (3.73), on obtient

y = CCI Zest + D u(t) + C eintegw (3.86)

En introduisant l'erreur eZ(t) = Zest (t)-Z (t), des équations (385) et (3.86), onpeut alors exprimer l'expression de lasortie dûe 'erreur d'approximationei_nt_egw(t) qui représente dans ce cas l'erreur d'approximation eintegy(t), elle est donnée par

? ? ?

ÿeZ = AG eZ + EG eintegw eintegy = CGeZ+Ceintegw

(3.87)

Dans le domaine de Laplace, ce modèledevient

[ ]

Einteg _y(s) = CG (sIG - AG ^)-1 EG + CEintegw(s) (3.88)

où : IG est une matrice identidé de dimension ( 2N + 2) et

T

[ ]

Einteg _w(s) = Einteg ^w1(s), Einteg w2(s) . . . Einteg w_n(s)

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 111

qui peut s'exprimer en fonction des erreurs d'approximation i(s) par

( )

Einteg _w(s) = i(s)I_n .W (s) (3.89)

avec

( ) _{h i}

i(s)I_n = diag 1(s), 2(s) . . . _n(s)

D'un autre côté, la transformation de Laplace de'équation ddnamique du moddle non entier utilisant l'opérateur d'intégration (33.6) donne

( _])_1

I_n - A [ 1

W (s) = s(á) I_nBU(s) (3.90)

avec

( ₁ ) _{h i}

s(á) I_n = diag scx1 , 1

1 scx2 . . . 1

_scxn

En remplaçant cette expression dans 'équation (3388)₎ quistlleussi remplacée dans l'équation (3.88), on obtient finalement

h i einteg y(s) = CG (sIG - AG ) _1 EG + C V- {z -I (I)

( ) i(s)In | {z } (II)

( ])_1 In - A [ 1 s(á) In B U(s) | {z } (III)

(3.91)

Dans ce cas aussi, l'erreur sur les sorties dépenddu modèed'approximation terme), de l'erreur d'approximation des opérateurs nonentiers (terme II) etdu ecteur d'état x(t) (terme III).

3.4.5 erreur d'approximation au voisinage de t = 0 et t --> 00

Dans ce paragraphe, on étudie le comportement du modèe entier Sysent2 au voisinage de t = 0 et en régime établi (t --> 00).

Lemma 4 L'erreur entre les sorties du système non entier Sys _frac (3.55) et celles du modèle entier (Sysent2) (3.70) qui l'approxime, en utilisant 'approximation de 'opérateur d'intégration, à t = 0, notée, eintegy(0) = y(0) -- yest(0), est égale à zéro.

y(0) et y_est(0) sont respectivement les sorties de Sys _frac et de Sys_ent2 à t = 0.

Démonstration 8 A t = 0, l'erreur entre les sorties du système non entier Sys _frac et celles du modèle entier (Sys_ent2) qui l'approxime, en utilisant l'approximation de 'opérateur d'intégration, notée, ei_nt_{eg y}(0), est définie par

einteg y(0) = y(0) _--yest (0) (3.92)

comme les conditions initiales sont supposées nulles, des quationsdesortiesdesmodèles d'état (3.55) et (370) on a :

einteg y(0) = D u(0) -- DG u(0) = 0 puisque DG = D (équation 3.71)

Lemma 5 Sous condition que le modèle d'état (3.70) soit stable, 'erreurentrelessorties du système non entier Sys _frac (3.55) et celles du modèle entier (Sys_ent2) (3.70) qui l'approxime, en utilisant lapproximation de 'opérateur d'intégration, uand t --> 00 , notée, einteg y(00) = y(00) -- yest(00), lorsque l'entrée est un échelon, est donnée par

einteg _y(00) = [C( -- A.)^-1B -- CG( -- AG)^-1BG] u(00) (3.93)

y(00) et yest(00) sont les sorties de Sysf_rac et de Sys_ent2 lorsque t --> 00 u(00) étant l'amplitude de l'échelon.

? ? ?

ÿx(t) = Ax(t) + Bu(t) x(t0) = x0 y(t) = Cx(t) + Du(t)

(3.98)

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 113

de l'opérateur d'intégration, notée, eintegy(oo), lorsque l'entrée est un échelon unitaire, est définie par

[ ]

einteg _y(oo) = y(oo) -- yest(oo) = Gfrac(s -* 0) -- G_ent 2(s -* 0)u(oo) (3.94)

Le système non entier étant supposé stable, en utilisantehéorème de la aleurr nal, n Gfrac(0) = C(--A)_¹ B + D (3.95)

Le modèle d'état d'ordre entier qui l'approoime étantui aussiupposétaale, e mmme théorème donne

Gent2(0) = CG(--AG)_¹ BG + DG (3.96)

comme DG = D (équation 3.71)

[ ]

einteg _y(oo) = C(--A)_¹ B -- CG(--AG)_¹ BGu(oo) (3.97)

3.4.6 Sur les conditions initiales des modèles détat non entiers

Si l'influence des conditions initiales sur lévolution dynamiquedes systèmesinéaires entiers est bien maîtrisée, il nen est pas de mêmedes systèmes d'ordrenon entiers. exiss tence de plusieurs définitions de la dérivation non entière peut expliquer cette di~culté mais le fait que l'ordre de dérivation non entier soitun nombre réeléventuellementuu périeur à 1) peut également être une autre raison plus importante.

Pour montrer la complexité de la définition des conditions nitiales danseséquations d'état d'un système d'ordre non entieron présentedans ce qui suita généralisation de la représentation d'état classique, dabord à un ordrede dérivation entierr supérieur à 1, ensuite à un ordre de dérivation réel quelconque.Pour mieux expliciter cette di~culté on considère la généralisation de la représentationntégrale.

Habituellement, lorsqu'on doit tenir compte des conditions nitialesdansun modèle d'état classique, on doitlécrire sous la forme

On précise la valeur du vecteur détat àlinstant t = 0 car si on pose :

dx(t)

w(t) = dt

son intégrale est donnée par

Z t

x(t) = w(ô)dô + x0

0

permettant ainsi de résoudre léquation différentielled'ordre1 du modèle d'état (3.98) Celui-ci peut alors être écriten représentationntégrale, sousa forme

? ? ?

w(t) = A f 0 t w(ô)dô + B u(t) + A x0 (3.99) y(t) = C f 0 t w(ô)dô + Du(t) + Cx0

La généralisation dela représentation détat (3..98) àun ordre de dérivation entier r > 1, s'écrit

? ? ?

dr x(t) = Ax(t) + B u(t) C.I = x0 y(t) = Cx(t) + Du(t)

(3.100)

où d^r représente l'opérateur de dérivation entierd'ordrer et x0 représente les conditions initiales du vecteur d'état x(t) nécessaire de définir pour pouvoir intégrer cetteéquation différentielle d'ordre r.

On pose une nouvelle fois :

d^rx(t)

w(t) = dtr

L'intégration r fois de x(t) nécessite alors la connaissance des valeurs initiales des (r-1)^`eme dérivées du vecteur d'état x(t). Celles-ci peuvent alors être regroupées dans une matrice x0 donnée par

x0 =	x10 x10 x (1) 10 · · · x(r--1) (2) 10 x20 x20 x (1) 20 · · · x(r--1) (2) 20			(3.101)
. ..		· · ·	. ..

xn0 xn0 x

(1) n0
·
·
· x(r--1)

(2)

n0

où x(j)

i0 , (i = 1,
·
·
· , n, j = 1,
·
·
· ,r-1), représente la valeur delaj^`eme dérivée de xi à t = 0.

Le vecteur w(t) s'écrit alors :

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 115

P étant un vecteur colonne dépendant du temps, donné par h iT P = 1 t t2 2! · · · tr-1 (r--1)! Dans la représentationintégrale le modèe détat (3.100) devient			(3.103)
? ? ?	w(t) = A I^rw(t) + B u(t) + A x0 P y(t) = C I^rw(t) + D u(t) + C x0 P	(3.104)

La généralisation de la représentationdétat (3..8) àun ordre de dérivationéel quell conque a, s'écrit

avec :	? ? ?	D(a) (x(t)) = Ax(t) + Bu(t) C.I = x0 y(t) = Cx(t) + Du(t)		(3.105)
h i D(a) (x(t)) = Da1 x1(t), D^a2 x2(t), . . . , D^an xn(t) Le vecteur w(t) s'écrit dans ce cas :			T

w(t) = D^(a) (x(t))

Le vecteur x(t), s'exprime différemment selon quela dérivation dordre non entièreutii lisée est celle donnée par la définition de Riemann-Liouville ou biencelledonnée para définition de Caputo [34].

~ En utilisant la définition de Caputopour chaque variabled'état, on a

Iai wi(t) = xi(t) -

ri-- 1X k=0

xi (0)^tk ^(k) k! (3.106)

ri étant un nombre entier tel que (ri - 1 < ai < ri), et x(k)

i (0) est la valeur de la

k`eme dérivée entière de xi(t) à t = 0.

Les conditions initiales sont ainsi les valeurs des dérivées entièresdu vecteur d'état à t = 0. Elles peuvent être résumées dans la matrice x0 donnée par :

x0 =

x10 x(1) 10 x10 · · · x(r) (2) 10 x20 x20 x (1) 20 · · · x(r) (2) 20

(3.107)

. .

.. · · · ..

xn0 xn0 x

(1) n0 · · · x(r)

(2)

n0

avec :

? ????

????

r = max(ri), i = 1, · · · , n

(3.108)

xi0 = dj

(j) dtj xi(t) _~t=0 si j < ri - 1

=0 sij>ri -1

~ En utilisant la définition de Riemann-Liouville

_Xri

k=1

D^ái-kxi(0) ^t

(ái - k + 1)

ái-k

(3.109)

Iái wi(t) = xi(t) -

D^ái-kxi(0) est la valeur de la (ái - k)graveeme dérivée non entière de xi(t) à t = 0, qui n'est pas forcément une constante.

Dans ce cas, la matrice x0 contenant les conditions initiales est donnée par

x0 =			x(á1-1) 10 x10 · · · x(á1-r) (á1-2) 10 x20 x (á2-1) 20 · · · x(á2-r) (á2-2) 20			(3.110)
...				· · ·	...
avec :	? ??? ? ????	xn0 x (án-1) n0 · · · x(án-r) (án-2) n0 r = max(ri), i = 1, · · · , n x i0 = D^(ái-j^)xi(t) (ái-j) ~~t=0 si j < ri = 0 sij > ri					(3.111)

La généralisation aux systèmes non entiers de la représentation d'état 3.98) utilisant l'opérateur de dérivation et tenant compte des conditions nitiales se fait alors par

? ? ?

D^(á)x = A x + B u C.I : x0 y = C x + D u

(3.112)

avec :

T

_{h i}

D(á) (x) = Dá1 _x1, D^á2 x2, . . . , D^án x_n x0 est définie par l'équation (3.107) lorsque lopérateur de dérivationnon entierD^(á) est celui donné par la définition de CaputoLorsque c'est ladéfinitionde Riemann-Liouville qui est utilisée, x0 s'exprime par l'équation (3.110)

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 117

Dans la représentationintégrale, le modèle détat non entierdevient

? ? ?		w(t) = AI^(á)(w(t)) + Bu(t) + A x0ñ y(t) = CI^(á)(w(t)) + Du(t) + C x0ñ		(3.113)
avec	h i I^(á)(w(t)) = I^á1w1(t), I^á2w2(t) , . . . , I^ánwn(t)		T		(3.11[4)

~ en utilisant la définition de Caputo

_{h i}T

ñ = 1 t t2 2! · · · tr (3.115)

r!

~ En utilisant la défition de Riemann-Liouville

ta1 -1 (á1)	ta1 -2	· · ·		ta1^-r (á1 -r)

ta2^-1 ta2^-2 ta2^-r

· · ·

·

·

·

ñ=

(á2)

(á2-1)

(3.116)

...

· · ·

...

tan^-1

tan^-2

· · ·

tan -r

(án)

(án-1)

(án -r)

dans les deux cas, r = max(ri), (j = 1, · · · , n).

Le lecteur peut consulterles références 38], [48], [49], [61] pourobtenir plus de détails concernant ce problème de prise en compte des conditions initialesdansamodélisation des ssystèmes d'ordre non entier et leur approximation.

3.4.7 Comparaison des deux modèles dapproximation

On présente dans ce paragraphe une étude comparative des deux modèles entiers Sysent1 ^et Sysent2 qui approxime le modèle d'ordre non entier Sysfrac. Cette étude est basée sur des résultats de simulation effectués sous Matlab.Deux exemples numériques seront alors traitésLe premier exemple traite d'un ssystème commensurable eteecond traite d'un modèle non entier généralisé. Dans un souci declarté, esprésentations des courbes notamment, on a volontairement choisi des exemplesmonovariables.

D'une part, la réponse indicielle du modèle non entier est calculée en utilisant a définition de Grünwald-Letnikov Le pas déchantillonnage est choisi e plus petit possible, pour que la réponse soit la plus exacte possible, mais qui nest pas trop petite aussi inon le temps de calcul serait très grand. La réponse fréquentielle quant à elle, elle est calculée point par point, les diagrammes de Bode qui seront présentés sont doncdonc des tracés exacts.

D'autre part, le modèle non entier est approximé par es deux modèles entiers Sysent1 et Sys_ent2 qui ont été développés dans les paragraphes précédents. Les réponses ndicielles et fréquentielles qui sont présentées dans ce cas sont obtenues enen utilisant es outils de Matlab.

Une comparaison basée sur les résultats numériques obtenus est également effectuée. On présente alors, sous forme de tableaux, les valeurs nitiale et finale ainsi que e maximum qui permet de calculer le dépassement des différentes réponses ndicielles. Les écarts entre les valeurs obtenues par les deux modèles et celles obtenues en utilisant a définition de Grünwald-Letnikov sont aussi présentés. On donnera enfin es valeurs relatives des normes H2 et H_oc des différences entre les réponses données par les modèles d'approximation et celle obtenue en utilisant la définition de Grünwald-Letniiov Cette dernière est considérée comme étant la réponse exacte. Ces normes sont respectivement définies par

11y(t) -- yestim(t)112 11y(t) -- yestim (t)11₀₀

å2 = et å00 = (3.117)

11y(t)112 11y(t)11₀₀

y(t) : la sortie obtenue en utilisant la définition de Grünwald-Letniiov

yestim(t) : la sortie obtenue en utilisant les modèles dapproximation.

Exemple d'un système commensurable

Le premier exemple qui est traité est un système non entier d'ordre commensurable dont le modèle d'état est donné par

Sys frac :

? ???????? ????????

?D^(1.2175)(x) = x + 104 --330 0 1 1 u 0 --220 2 y=h 1 2 x

(3.118)

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 119

FIGURE 3.11: réponses indicielles des différents modèles dapproximation

Le modèle transfert correspondant est donné par

1 04

G(s)= s1.2175 + 330 +

s1.2175 + 220 (3.119)

4

les paramètres de simuation sont comme suit

~ Lorsqu'on utilise la définition de Griinwald-Letniikova période d'échantillonnage

est choisie égale à h = 0.0005 et le temps de simulation est égal à tfinal = 0.5 s.
~ Lorsqu'on utilise les modèle d'approximation entiers, 'opérateur de dérivation non

entier est approximé dans la bande de fréquences [10^-5, 10⁺⁵] en utilisant N = 20.

Les résultats de simulation obtenus sont données par afigure3.11) pouresrois réponses indicielles et la figure (312) pour les trois réponses fréquentielles.

Les deux figures montrent queles deux modèles entiers approximent correctemente modèle non entier dans la bande de fréquences choisie.

FIGURE 3.12: Diagramme de Bode des différents modèles dapproximation

Pour affiner la comparaison entre les deux modèles entiers, on présente danse tableau (3.4) les valeurs initiale et finale des modèles approximésainsique eurdépassement. es dépassements et erreurs sont calculées relativement aux résultats donnés en utilisanta définition de Griinwald-Letnikov

méthode	val. init.	val. fin.	erreur	val. max.	dep. (%)	erreur
Griinwald	0	30.3630	-	32.7262	7.7832	-
Sysent 1	0	30.3629	10^-4	32.8693	8.2545	0.4613
Sysent2	0	30.3629	10^-4	32.8651	8.2406	0.4574

TABLE 3.4: Récapitulatif des résultats numériques

Il faut noter que la valeur considérée commeétant a valeur finalenest qu'unendication puisqu'elle ne correspond quàla valeurde la sortie à t = 0.5 s. Pour obtenir la valeur finale il faut simuler le modèle pendant beaucoup plus longtemps sachant qu'ils'agit des systèmes non entiers caractérisés par une dynamique d'établissement trèsente.

Pour mesurer l'écart entre les résultats desimulation obtenus pares deuxmodèles entiers et ceux obtenus en utilisant la définition de Grinwald--Letnikov sura totalité du

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 121

temps de simulation, on présente dans le tableau (3.5) es valeurs relatives desnormesH2 et H des erreurs entre les réponses indicielles données par les modèlesSys_ent ₁ et Sysent2 et celle obtenue en utilisantla définition de Grinwald-Letniikov

modèle	Valeur de å	Valeur de å2
Sysint1	0.0132	0.0025
Sysint 2	0.0131	0.0025

TABLE 3.5: Valeur relative des normes H2 et H des erreurs entre les réponses indicielles

Les résultats des tableaux (34) (3.5) montrent que esécarts entrees valeurs obtenues en utilisant les modèles d'approximation entiers et celles obtenues enutilisanta définition de Griinwald-Letnikov sont très faibles. Cela confirme es conclusions tirées partir des résultats présentés par les figures (3.11) et (3.12).

Exemple d'un système non entier généralisé Etant donné le modèle non entier généralisé suivant

D^0.26x1
D^1.74x2

?
?

? ? ? ? ?

--30 --3 1

? = ? ? x + ? ? u

30 --2 0

?

????????

????????

_{h i}

y = 1 100 x

(3.120)

Sys frac :

dont le modèle transfert correspondant est donné par

s1.74 + 3002

G(s) = s2 + 10 s1.74 + 2 s0.26 + 110 (3.121)

les paramètres de simulation utilisés dans ce cas sont

FIGURE 3.13: réponses indicielles des différents modèles dapproximation du système (3.120)

~ Les dérivateurs non entiers sont approximés dans abande de fréquences[10^-5, 10⁺⁵] et le nombre de cellules utilisé est dans ce cas aussi obtenu avec N = 20.

Les réponses indicielles obtenues en utilisant la définition de Grrinwald-Letniiov et celles obtenues à l'aide des modèles entiers SYSent1 ^et SYSent2 sont illustrées par la figure (3.13) et les réponses fréquentielles correspondantes sont llustrées parafigure3.11).

Les réponses indicielles semblent être confondues et les réponses fréquentielles semblent l'être également dans la bande de fréquences choisie.Cela confirme une nouvelle fois l'exactitude des modèles d'approximation.

Les différentes valeurs numériques obtenues pour différentes points particuliers des réponses indicielles sont résumées dans le tableau (3..6).

Dans ce cas aussi, hormis les valeurs initiales, la qualité d'approximation obtenuepar les deux modèles est appréciableCeci est confirmé par les valeurs relatives desnormes H2 et H des erreurs entre les réponses indicielles données par es deux modèlesentiers et celle obtenue en utilisant la définition de Griinwald-Letniikovprésentéesdansetableau (3.7).

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 123

FIGURE 3.14: Diagramme de Bode des différents modèles dapproximation du système (3.120)

méthode	val. init.	val. fin.	erreur	val. max.	dep. (%)	erreur
Griinwald	0	27.0783	-	42.7054	57.71	-
Sysent1	0.0334	27.0752	3.1 10^-3	43.1415	59.32	1.61
Sysent2	0	27.0754	2.9 10^-3	43.1385	59.31	1.60

TABLE 3.6: Récapitulatif des résultats numériques

modèle	Valeur de E	Valeur de E2
Sysint 1	0.0111	0.0061
Sysint2	0.0111	0.0060

On présente finalement un tableau comparatifqui résume es valeursnitiales etfinales des réponses indicielles calculées à partir des matrices correspondant aux di~érentsmoo dèles Sysfrac, Sysent1, utilisant l'opérateur de dérivation et Sysent2, utilisant l'opérateur d'intégration.

		Sysfrac	Sysent 1	erreur (%)	Sysent2	erreur (%)
Exple 1	Val. init.	0	0.0082	8.2 10_^3	0	0
	Val. fin.	30.3212	30.3212	0	30.3212	0
Exple 2	Val. init.	0	0.0334	3.3410_^2	0	0
	Val. fin.	27.2909	27.2661	2.4810_^2	27.2909	0

TABLE 3.8: Tableau comparatif des valeurs initiales et finalesdestroismodèles d'état

Ces valeurs montrent que le modèle Sysent2 utilisant l'approximation delopérateur d'intégration est plus performant que le modèle Sysent 1 utilisant l'approximation de lopérateur de dérivation. Néanmoinsce dernier donneégalement une bonne approximation du modèle non entier Sys frac.

3.5 Réduction des modèles entiers qui approximent le modèle d'état non entier

Les vecteurs d'état des modèles entiers Sysent1 ^et Sysent2 qui approximent le modèle non entier Sysfrac sont respectivement de dimension ((2N + 1) × n) et ((2N + 2) × n). (2N + 1) étant le nombre de cellules utilisées pour lapproximation du dérivateurnon entier s^á, (2N+2) le nombre de cellules nécessaires pour lapproximationde 'intégrateur non entier s_^á, (a > 0) et n la dimension du vecteur d'état du système dordre nonentier

Sys frac.

De plus, on a montré dans le paragraphe 3.2.2, que l'utilisation de (2N+1) = 20 était un nombre raisonnable pour obtenir une approximationdont 'erreur est environégale à 0.01 dB pour toutes les valeurs de a comprise entre 0 et 1. Par conséquent, on constate

que la dimension des modèles entiers peut devenir très vite trèsmportantenotamment pour les systèmes non entiers de grande dimension.

Si pour la simulation des systèmes cela ne pose pas un véritableproblème, ln'en est pas de même lorsque le modèle est celui dun contrôleur non entier.Dans ce cas, a réalisation d'un tel contrôleur devient très onéreuse.On pourrait alors penser à utiliser une approximation moins précise afin dobtenir des modèles entiersde dimension relatii vement faible. On montre dans ce paragraphe quecette solution n'est pas trèsndiquée notamment pour les systèmes non entiers multivariables.Une solution plus adéquate est alors l'utilisation des techniques de réduction de modèledes systèmesentiers.Cetteoluu tion consiste à approximerle modèle non entier par un modèle entier surune bande de fréquences très large et utilisant un nombre important de singularités.Lemodèle ainsi obtenu est certainement de grande dimension mais néanmoins trèsprécis.A 'aide des méthodes de réduction, utilisantles valeurs singulières du modèle entier, on peut alors ramener la dimension du modèle à des valeurs réduites tout en maintenant une bonne pré cision de ses caractéristiques dynamiques. Lintérêt de cesméthodes de réduction esta caractérisation de l'erreur dapproximation en fonction des valeurs singulières duystème permettant donc d'imposer a priori lerreurdapproximation.

Pour montrer l'intérêt de cette méthode, le modèle entier réduit obtenu est comparé au modèle entier, ayant la même dimension, obtenue par une approximation directe utilisant un nombre réduit de cellules. La figure (3.15) illustrece principe de comparaison.

3.5.1 Rappels sur la réduction de modèleslinéaires

Depuis les années 80, plusieurs méthodes de réduction de modèle basées sur la ^décomposition en valeurs singulières du système ont été développéespuisutiliséesdansa

commande des systèmes de grande dimension par des régulateursde dimension réduite. [6], [22], [32], [41], [58],. L'intérêt principal de ces méthodes est sansaucun doutea caa ractérisation de la borne de la norme H de l'erreur commise lors de la procédure de réduction en fonction des valeurs singulières du système, permettant ainsi d'imposer a priori l'erreur d'approximation.

FIGURE 3.15: Principe de comparaison des différents modèles réduits

On présente dans ce qui suitle résumé des deux méthodes de réduction esplusutilii sées : la méthode de réduction équilibrée utilisant unetroncature directe des états associés aux faibles valeurs singulières (balanced truncation) 588 etaméthode de réduction utilii sant la troncature des dérivées des états associésaux faibles valeurs singulières dumodèle équilibré (Singular perturbation balanced truncation) qui, contrairement à a première méthode, ne néglige pas complètement les états associés aux faiblesvaleurs singulières mais seulement leurs dynamiques 41]

Considérons la réalisation minimale dun systèmelinéaire multivariable à tempsnvaa riant commandable, observable et asymptotiquement stable, donnée par

A Ó = ?	B ? = C	( )-1 sI - A B + D + Du Bn ?	(3.122) (3.123) (3.124)
? C à laquelle il correspond le modèle détat On représente un modèle de dimension	Ón D ? ? xÿ =Ax+Bu ? y = Cx ? n par An ?
	= ? Cn	Dn ?

où A_n E R^nXn, B_n E R^nX`, C<sub>n</sub> E Rq<sup>Xn</sup> et D<sub>n</sub> E Rq<sup>X</sup>`.

On représente égalementle modèle réduit par

? Ór = ?		Ar	Br	? ?	(3.125)
		Cr	Dr

avec A_r E ^rXr, B_r E ^rX`, C_r E ^qXr et D_r = D.

Valeur singulière de Hankel

Soient P et Q deux matrices symétriques définies positives, solutions des équationsde Lyapunov

? ? ?

AP+PA^T+BB^T = 0 A^TQ+ QA+C^TC= 0

(3.126)

La matrice P est appellée le grammien de commandabilité. Elle mesure la quantité d'énerr gie necessaire à la commandabilité des variables détat du système.La matriceQ est appellée le grammien d'observabilitéElle mesure la contribution en énergie des variables d'état du système dans les grandeurs desortie.Elle permet ainside mesurere degrès d'observabilité des états

Definition 18 Les valeurs singulières de Hankel dusystème Ó, notées oi(Ó), sont les racines carrées des valeurs propres de amatriceP Q. [58]

r ( )

oi(Ó) = ëi P Q(3.127)

Représentation équilibrée d'un système

C'est la représentation détat dans laquelle les grammiens de commandabilitéP et d'observabilité Q sont diagonaux et égaux. La transformation qui permet de passer d'une représentation d'état quelconque à la représentation d'étatéquilibrée estamatriceT solution de l'équation

PQ=TS2T -1 (3.128)

singulières de Hankel. Elle est donnée par

S=diag( ó1, ó2, · · · ón ) (3.129)

Dans la représentation d'état équilibrée, les variablesd'état sont ainsi classées dea vaa riable d'état correspondante au mode le plus commandableet eplus observable, àa variable correspondante au mode le moins commandable et emoins observable.

méthode de réduction par troncature directe des états

Etant donné le modèle d'état équilibréeÓb associé au système original (3.122)

Ab Ób ?	Bb ?	et Db = D sousla forme	(3.130) (3.131) (3.132) (3.133)
= ? Cb dont le modèle d'état associé est ? ÿxb = Ab xb ? y = Cb xb ? avec : Ab = T ^-1AT, Bb = T ^-1B, La matrice des valeurs singulières de Hankel S S1 S ?	Db ? + Bb u + Db u Cb = CT est alors décomposée 0 ?
= ? 0	S2 ?

S1 contient les r valeurs singulières les plus grandes et S2 contient les (n - r) valeurs singilières les plus petites. Cette décomposition est e~ectuée telle que ^ar`eme valeur singulière de S1 soit très grande par rapport à la premièresingulièresde S2.

Le modèle d'état équilibrée estlui aussi décomponséenconséquence sous a forme

Ób =	Ab11 Ab21	Ab12 Ab22	Bb1 Bb2	(3.134)
	Cb1	Cb2	Db

B b 1 - Ab 12 A-1

b 22 Bb 2

D-Cb2 A-1

b 22 Bb 2

₃

5 (3.138)

Órspbt =

₂

Ab 11 - Ab 12 A-1

b 22 Ab 21

₄

C b 1 - C b 2 A-1

b 22 Ab 21

La réduction équilibrée consiste alors à e~ectuer une troncature desmodes duystème en éliminant les n - r variables d'état xb2 associées à 82. Le modèle réduit de dimension r, noté _Órbt, ainsi obtenu est donné par

2 Ór bt = 4	Ab 11	Bb1	3 5	(3.135)
	Cb1	Db

Le modèle réduit _Órbt possède les propriétés suivantes

~ Órbt est stable

~ Si le système original Ó est strictement propre, le modèle réduit _Órbt est aussi strictement propre.

~ l'erreur d'approximation est

~ ~ ~Ó - Órbt ~8 = 2

Xn j=r+1

ój (3.136)

~ ~

~. ~8 : désigne la norme H₈. La norme H₈ d'une fonction de transfert stable G(s) étant définie par

~ ~ ~G ~8 = sup ù?[0,8]

~~~G(jù) ~ ~ (3.137)

En général, le modèle réduit ainsi obtenu présente le mêmecomportement dynamiqueque le système original, par contre lerreur au régime établi peut êtremportante.

méthode de réduction associant les perturbations singulières et la troncature des états

A partir du modèle d'état équilibré (3.130) au lieu déliminer complétement es vaa riables d'état xb2 associées à 82, comme dans la méthode précédenteon ne néglige que leur régime dynamique (^ÿxb2 = 0). Le modèle réduit correspondant, noté _Órspbt, est dans ce cas donné par

~ rspbt est juste propre même lorsque le système original est strictement propre

~ l'erreur d'approximation est

~ ~ ~ - rspbt ~8 = 2

Xn j=r+1

ój (3.139)

( ~

~ l'erreur en régime établi est nulle r spbt(0) = (0) .

On présente dans ce qui suit le détail de calcul des modèles _rbt et _rspbt à partir du modèle équilibré _r. Pour ce faire, le modèle d'état associé à laréalisation équilibrée b, de l'équation (3.130) est réécrite sous la forme

xbÿ 1 = Ab11 xb1 + Ab12 xb2 + Bb1 u (a)

xbÿ 2 = Ab21 xb1 + Ab22 xb2 + Bb2 u (b)

y=Cb1xb1+Cb2xb2+Dbu (c)

?

????

????

(3.140)

Si on élimine complètement l'état xb2, ce modèle devient

? ? ?

xbÿ 1 = Ab11xb1 + Bb1 u y = Cb1 xb1 + Db u

correspondant à la réalisation (3.135) du modèle réduit par troncature directe du vecteur d'état xb2.

Par contre, si on ne neglige quela dynamique de xb2, l'équation (3.140-b) devient

Ab21 xb1 + Ab22 xb2 + Bb2 u = 0

xb2 = -A^-1

b 22 Ab21 xb1 - A-1

b 22 Bb2 u

En substituant cette relation dans respectivement 'équation 3.140-a) et'équation3.140- c), on obtient

_{h i h i}

xbÿ 1 = Ab ₁₁ - Ab 12 A-1

b 22 Ab ₂₁ xb ₁ + Bb ₁ - Ab 12 A-1

b 22 Bb ₂ u

_{h i h i}

y = Cb ₁ - Cb 2 A-1

b 22 Ab ₂₁ xb ₁ + Db - Cb 2 A-1

b 22 Bb ₂ u

Ces relations donnent la représentationréduitede 'équation 3.133).

3.5.2 Application à la réduction des modèles Sysent1 ^et Sysent2

On présente dans ce paragraphe les résultats obtenus orsque ces deux méthodesont utilisées pour la réduction des modèles entiers Sysent1 ^et Sysent2 qui approximent le modèle non entier Sys _frac. Pour ce faire, le dérivateur oulintégrateur non entier est d'abord approximé par un modèle entier sur une largebande de fréquences enutilisant un nombre élevé de singularités afin dobtenir lapproximation a plus précise.On remplace ensuite, dans le modèle non entier, lopérateurdedérivation oud'intégrationpar lemodèle entier qui l'approxime. On obtient ainsi un modèle entier de grande dimension pourequel les deux méthodes de réduction sont appliquées afin dobtenir un modèle réduit.D'un autre côté, Le modèle non entier est approximéde manière à obteniramême dimension que le modèle entier réduit, on approxime alors le dérivateur ou 'intégrateur non entier dans la même bande de fréquences mais avec un nombreréduitde singularités.Plusieurs exemples sont alors considérés

On notera:

(bt) : la méthode de réduction par troncaturedirecte des états

(spbt) : la méthode de réduction associant les perturbations singulières etaroncature des états;

(a.d) : la méthode de réduction utilisant lapproximationdirecte avecun nombre réduit de cellules;

(MdD) : le modèle de grande dimension

Approximation réduite de l'opérateur de dérivation

On consière le dérivateur dordre a = 0.75 qui est approximé en utilisantla méthode CRONE dans la bande de fréquences [10^-5, 10⁺⁵] en utilisant N = 25. On obtient ainsi un modèle entier de dimension n = 51. L'entrée u(t) = sin(3t) est ensuite appliquée à l'entrée de ce modèle, sa sortie doit donc être l'approximation de adérivée à 'ordre 0.75 de la fonction sin(3t). Pour montrer la qualité de cette approximation, la sortiedu modèle entier est comparée à la fonction 30.75cos(3t+ 3ð 8 ) qui est la dérivée à l'ordre 0.75 de la fonction sin(3 t) calculée théoriquement. Les résultats obtenus sont llustrés para

FIGURE 3.16: Approximation de la dérivée dordre 0.75 de la fonction u(t) = sin(3t)

figure (3.16).

Cette figure montre quela dérivée obtenue en utilisant 'approximation du dérivateur non entier correspond à celle obtenue théoriquement.

Pour montrer l'intérêt de réduire ladimensiondutransfertentierqui approxime'opéé rateur de dérivation s0.75, on présente dans les figures (317) et (3.18) respectivement es résultats obtenus lorsque la dimension réduite est égale à 10 puis égale à 5. On présente également dans les mêmes figuresles résultats donnés par emodèle entier aaantamême dimension obtenu lorsque l'opérateur de dérivation s0.75 est directement approximé avec un nombre réduit de cellules. Tous ces résultats sont comparésà a courbe théorique de la dérivée d'ordre 0.75 de la fonction u(t) = sin(3t).

On présente dans le tableau (39) les valeurs relativesdesnormesH2 et H₈, des différences entre les réponses données par les modèles réduits et celleobtenue enutilisant le modèle de grande dimension.

Tous ces résultats montrent dabord, que lapproximationdudérivateur d'ordre0.75 avec un modèle de dimension n = 10 (quelque soit la méthode utilisée) ne déteriore pas beaucoup la qualité de l'approximation. Il montrent également que, dans ce cas en

FIGURE 3.17: Comparaison des trois modèles réduits dedimension n = 10 de s0.75

134 Approximation des systèmes non entiers en reprrsentation dd'tat

0.43

2.78

0.18

n=5

E₈

0.18

0.42

2.81

E2

dimension

n = 10

bt

spbt

a. d.

erreur

E₈

E2

0.04

0.03

0.02

0.02

0.02

0.02

TABLE 3.9: Tableau comparatif des erreurs relatives de réduction

particulier, l'utilisation dun nombre réduit de cellules pour approximeredérivateurnon entier semble donner les meilleurs résultats. En e~et, en réduisant a dimension du modèle à n = 5, cette méthode est celle qui donneles plus petits ecarts par rapport à a courbe théorique. La méthode utilisant la troncaturedirecte des états est par contre celle qui donne les résultats les plus mauvais

Approximation avec un modèle réduit d'un système non entier monovariable

?

????????

????????

?
?

D^0.26x1
D^1.74x2

_{h i}

y = 1 100 x

? ? ? ? ?

--30 --3 1

? = ? ? x + ? ? u

30 --2 0

On utilise de nouveau le modèle non entier de léquation 3.120) dont emodèle d'état est donné par

Sys frac :

Pour l'approximer à l'aide du modèle entier Sysent 1, utilisant l'approximation delopérateur de dérivation, les dérivateurs dordre non entier sont approximés en utilisanta méthode CRONE dans la bande de fréquences [10^-5, 10⁺⁵] avec N = 20. Le modèle entier ainsi obtenu, de dimension n = 82, est ensuite réduit en utilisantles deux méthodes de réduction, d'abord à la dimension n = 5 ensuite à la dimension n = 2.

D'un autre côté, le modèle non entier est directement approximé enutilisantun nombre réduit de cellules pour obtenirles mêmes valeurs que les modèles réduitsobtenus en utilisant les techniques de réduction de modèle. On utilise alorsN = 1 pour obtenir un

modèle de dimension n = 6. Pour obtenir un modèle plus réduiton a légèrement modifié le programme de calcul de la méthode CRONE (au lieudechoisir N on choisi la dimension du modèle réduit (2N + 1). cela nous a permis d'approximer les deux dérivateurs avec seulement deux cellules, la dimension du modèle entier qui approximele modèlenon entier est donc de dimension n = 4. Les figures (3.19) et (320) illustrent les résultats obtenus.

Pour l'approximer à l'aide du modèle entier Sysent2, utilisant l'approximation delopérateur d'intégration les dérivateurs dordrenon entier sont, dans ce cas aussi, approximés en utilisant la méthode CRONE dans la bande de fréquences [10^-5, 10⁺⁵] avec N = 20. Le modèle entier obtenu de dimension n = 84, est ensuite réduit en utilisantles deux méthodes de réduction, d'abord à la dimension n = 5 ensuite à la dimension n = 2. D'un autre côté, le modèle non entier est directement approximé enutilisantun nombre réduit de cellules pour obtenir les mêmes valeurs que les modèles réduits obtenus en utilisant les techniques de réduction de modèleOn utilise alors N = 1 pour obtenir un modèle de dimension n = 8. Pour obtenir un modèle plus réduiton a utilisé le programme de calcul modifié de la méthode CRONE. Cela nous a permis dapproximer esdeuxdérivateurs avec seulement deux cellules, la dimension du modèle entier qui approxime e modèlenon entier est donc de dimension n = 6. Les figures (3.21) et (322) illustrent les résultats obtenus.

Toutes ces courbes montrent quavec le modèleréduitde dimension n = 5, les méthodes utilisant les valeurs singulières de hankel (bt et spbt) approximent correctementemodèle de grande dimension, ce qui n'est pas le cas de lapproximationdirecte avecun nombre réduit de cellules. En réduisant davantage ladimensiondes modèles entiers, on s'apperroit que seule la méthode (spbt) permet de maintenir une bonne approximation.Les résultats donné par le modèle réduit en utilsant la méthode (bt) se déteriorent en régime établi en particulier. L'utilisation delapproximation directe quant à elledonne des résultatsrès médiocres.

Tous ces résultats sont résumés dans les tableaux (3.10) et3.11) quimontrentes détails des valeurs caractéristiques des di~érentes réponsesndicielles ainsiquees valeurs relatives des erreurså₈ et å2.

FIGURE 3.19: Approximation du système monovariable avec des modèèes rrduitsde Sysent1 de dimension n = 5, (ad. donne n = 6)

FIGURE 3.21: Approximation du système monovariable avec des modèèes rrduitde Sysent2 de dimension n = 5, (ad. donne n = 8)

approxi.	dim.		bt	spbt	a.d.	G.D.
deriiv.	n = 5	V.I.	0.033	0.052	0.033	0.033
		V.F.	27.087	27.073	27.132	27.075
		eVF	0.012	0.002	0.057
		dep.	59.25%	59.33%	90.48%	59.32%
		ed	7.810_^2	1.710_^3	31.15
	n = 2	V.I.	0.033	1.456	0.33	0.033
		V.F.	28.666	27.182	-	27.075
		eVF	1.59	0.011	-
		dep.	53.19%	57.10%	89.55%	59.32%
		ed	6.13	2.23	30.22
intégrateur	n = 5	V.I.	0	0.045	0	0
		V.F.	27.067	27.082	25.323	27.075
		eVF	8.8 10_^3	6.5 10_^3	-
		dep.	59.4%	59.29%	75.12%	58.08%
		ed	1.32	1.21	17.04
	n=2	V.I.	0	-1.52	0	0
		V.F.	28.641	27.128	27.237	27.075
		eVF	1.56	0.052	0.16
		dep.	53.30%	57.24%	40.89%	58.08%
		ed	4.78	0.84	17.19

TABLE 3.10: Valeurs caractéristiques obtenues par les diiversmodèles réduits qui approxii ment le système monoivariable(Vi : Valeur initiale. V.F. :Valeur finale relevée à t = 10 s. eVF : erreur sur la valeur finale. dep. :dépassemented : erreur sur le dépassement)

approx.	dim.	erreur	bt	spbt	a. d.
derivateur	n = 5	E8 E2	5.06 10^--4 1.33 10^--4	7.07 10^--4 6.57 10^--4	0.25 0.12
	n = 2	E8	0.04	0.03	0.48
		E2	0.06	0.007	0.44
integrateur	n = 5	E8	1.1 10^--3	1.0 10^--3	0.30
		E2	5.18 10^--4	4.6410^--4	0.20
	n = 2	E8	0.04	0.03	0.37
		E2	0.05	0.006	0.14

TABLE 3.11: erreurs relatives dela réduction des modèles entiersquiapproximentesss tème monovariable

3.6 Conclusion

Ce chapitre a été consacré au développement de deux modèles d'étatentiers qui app proximent un modèle non entier généralisé multivariable.Le premier utilise'approxii mation de l'opérateur de dérivation et le second utilise 'approximation de'opérateur d'intégration. Ces deux modèles dapproximation ne pose aucune restriction, ni sure modèle non entier lui même qui peut être commensurable ou non commensurable, ni sur les ordres de dérivation non entiers qui peuvent être supérieurs à 1. Les erreurs d'approximation, tant à t = 0, t -* 8 que durant le régime transitoire, ont également été établies.

Le problème de la dimension très importante des modèles d'état entiers obtenus a également été résolu. Cette solution consisteen 'utilisation destechniques de réduction de modèle qui a permis de réduire très considérablement les dimensions desmodèles entiers qui approximent le modèle non entier

Chapitre 4

Identification des systèmes d'ordre non

entier à l'aide de l'optimisation par

essaim particulaire

La modélisation du comportement dynamiquedes systèmesdans esquels se déroulent des phénomènes physiques â caractère diffusif, par des modèlesutilisant adérivation entière classique donne des modèles entier de dimensiontrès élevée.Lutilisation dea dérivation d'ordre non entier par contre, permet d'obtenirdesmodèlesn'utilisant que très peu de paramètres grâce â lordre nonentier Néanmoins, a richessentroduite par cet ordre de dérivation rendle calcul fractionnairetrès complexe, c'este cas notamment de l'identiification des systèmesEn effet, si pour les systèmes entiers, e problème deanon linéarité due aux pôles du modèlea été résolu par les algorithmesd'identiification bien établis tels que l'algorithme de Marquardt-Levenberg [0] et'algorithme de Levy33],63] l'ordre de dérivation rend le problème plus complexe encore.Les méthodes d'optimisation Heuristiques, telles que les algorithmes génétiques 23], 29]ou 'optimisationpar essaims de particules (OEP) [16], [33], sont d'un intérêt particulier pour résoudre cegenrede problème puisqu'elles ne nécessitent aucune information autreque a fonction optimiser elle-même. C'est dans ce cadre que sinscrit le travailprésenté dans ce présent chapitre. L'OEP est associée â l'algorithme didentiification Vector Fitting" VF)22],22] pour

développer un nouvel algorithme didentificationdes systèmes non entiersdansedomaine fréquentiel. Cet algorithme fonctionnede manièrehiérarchisée dansun niveau supérieur, en supposant connus les paramètres, lOEP permet d'optimiser l'ordre non entier et dans un niveau inférieur, l'ordre non entier étant connu, l'algorithme VectorFitting permet d'optimiser les paramètres du modèle en utilisant la forme pôlessrésidus.

Le chapitre est organisé comme suit

Le premier paragraphe est consacré à la présentationde 'algorithme d'identiication des systèmes entiers dans le domaine fréquentiel.Dans le deuxième paragraphe on présente le principe de l'optimisation par essaim particulaire ainsi que sesdééfinitions debase.La combinaison des deux algorithmes permettant lidentiification des systèmesnon entiers dans le domaine fréquentiel est développée dans le troisième paragraphe.Les exemples numériques d'application sont également présentés dans es paragraphes3, 4 et 5.

4.1 Algorithme d'Identification "Vector Fitting"

Etant donné un système G dont le comportement fréquentiel est connu dans un intervalle de fréquences donnéLe problème est didentiifier ce système parun modèle pôle résidus de la forme :

G(s) =

Xn i=1

ri s - pi

+d+sh (4.1)

ri et pi sont respectivement les résidus et les pôlesde G(s), d et h sont deux nombres réels h = 0 lorsque le modèle doit être propre et d = 0 lorsqu'il doit être strictement propre. n étant la dimension de G(s). L'objectif est d'identifier ces paramètres en utilisant a méthode des moindres carré même si le problème est non linéaireà causedes pôles de G(s). L'algorithme "Vector Fitting" permet alorsde résoudre ce problèmendirectement et itérativement enintroduisant deux autres fonctions de transfert

? ? ?

H(s) = (ó(s)G(s)) Pn i=1 s-ãj + õ + s æ Qj (4.2) Àj ó(s) Pn i=1 s-ãj + 1

lever le problème de non linéarité, on suppose également quees pôlesãi, appelés les pôles d'initialisation, sont connus au début de chaque itération.

4.1.1 Identification des paramètres de H(s) et ó(s) En substituant l'expression de ó(s) dans celle de H(s) on obtient :

Xn i=1

Qi s _ ãi

( Xn ) Ài + y + s æ _ G(s) = G(s) (4.3) s _ ãi i=1

Au début de chaque itération, Les pôles ãi étant connus (égaux à ceux calculés dans l'itération précédente)cette équation est linéairevis à visdes coefficients%i, y, æ et Ài. Elle peut donc être mise sous la formelinéaire

F =g (4.4)

Ainsi, pour plusieurs valeurs de s, notées sk, on aura :

?

?????

?????

(4.5)

~ ~

1

Fk = sk-ã1 ... 1

sk-ãn 1 sk -1

sk-ã1 ... -1

sk-ãn

= [%1 ... Q_n y æ À1 ... À_n]^T

_{h i}

gk = G(sk)

Fk et gk sont les k`eme lignes de F et g respectivement. Le vecteur ayant (2n+2) éléments, la résolution de l'équation (4.5) nécessite ( 2n + 2) mesures. Il faut noter également que la matrice F et le vecteur g sont complexes alors que le vecteursolution doit être réel. L'équation (4.5) doit alors être écrite sous a forme

" # " #

FR gR

= (4.6)

FC gC

FR et FC sont les parties réelles etimaginaires de la matrice F. gR et gC sont les parties réelles et imaginaires du vecteur g.

L'équation (4.6) devient ainsi une équation linéaire dont es coefficients sont tous réels. Néanmoins, sa résolution nécessite lutilisationde la pseudo nversion de matrice puisque F n'est plus une matrice carrée. La solution est dans ce cas donnée par :

= F ⁺g (4.7)

4.1.2 Identification des pôles pi de G(s)

Les deux fonctions de transfert H(s) et ó(s) étant déterminées, pour calculer les pôles pi de G(s), H(s) et ó(s) doivent être écrites sous la forme

? ? ?	fln+1 %i i=1 (s--àzi) H(s) = Lan fln i=1 s--yi + V + s æ = i=1(s--yi) fln (4.8) Ài i=1(s--zi) ó( s) = Lan i=1 s--yi + 1 = fln i=1(s--yi)
G(s) est alors donnée par H(s) G(s) = ó(s)		=		fIn+1 (ó(s)G(s)) ó(s) = fIn i=1 (s - àzi) i=1(s - zi) (4.9)

Cette équation montre que les pôles de G(s) ne sont autre que les zéros de ó(s) et que les pôles d'initialisation ãi sont simplifiés lors de la division de H(s) par ó(s). De plus, les zéros de ó(s) étant les pôles de son transfert inverse 1/ó(s), au lieu de calculer les zéros de ó(s), il est plus indiqué de calculer les pôles de 1/ó(s) qui ne sont autre que les valeurs propres de la matrice système du modèle détatcorrespondant.

Détermination du modèle d'état de 1/ó(s)

Le modèle d'état associé à ó(s) peut être exprimé par

? ? ?

xÿ =Ax+Bu y=Cx+Du

(4.10)

A est une matrice diagonale dont les éléments sont les pôles ãi de ó(s), B un vecteur
colonne unité, C est un vecteur ligne dont les élémentssont les résidus de ó(s) et D = 1.

Pour déterminer le modèle d'état de 1/ó(s) à partir de celui de ó(s), il suffit que l'entrée u(t) de ó(s) devienne la sortie de 1/ó(s) et que la sortie y(t) de ó(s) devienne l'entrée de 1/ó(s). Ainsi, à partir de l'équation de sortie du modèle détat de ó(s) (y = Cx + Du), on a:

u = D--1 (y - Cx) (4.11)

En remplaçant cette expression dans léquation dynamique et entenant comptedu fait que D = 1, on obtient :

Le modèle d'état de 1/ó(s) est finalement donné par

xÿ = (A--BC)x+By u= --Cx+y

(4.13)

Ainsi, les pôles de G(s) sont les valeurs propres de la matrice ( A -- B C).

Stabilité du modèle identifié

A la fin de chaque itération, silors du calcul des nouveaux pôles de G(s), on trouve des pôles instables, ils doivent être transformés en pôles stablesorsqu'on souhaitemposer un modèle G(s) stable. Dans le cas des systèmes entiers, ceci peut êtreobtenu en changeant le signe de la partie réelle des pôles sans modifier eur dynamique.Danse cas des systèmes non entiers commensurables, le changement designe de apartie réelle d'un pôle dans le plan complexe s^á (a étant l'ordre commensurable compris entre 0 et 1) le rend en effet stable mais modifie également sa dynamique.Eneffet, un pôle situé dans la partie stable du demi plan droit du plan complexe donne une dynamique oscillatoire alors que s'il est situé dansle demi plan gaucheil donneraitunedynamique apériodique. Il est donc nécessaire de maintenir le pôle dans la partie stabledudemiplan droitdu plan complexe. La figure (4.1)illustre la manièrede procéder orsque es pôles sont complexes. Dans le cas où les pôles sont réelsil suffit de changerleurs signes comme danse cas entier.

Si on note les pôles instables par s1,2 instable et les pôles stables par s1,2 stable respectivement, la relation qui exprimeles pôles stables en fonctiondes pôlesnstables est donnée par:

s1,2 stable = ñinstable _e#177; j(áð-?instable) (4.14)

En effet, le déplacement des pôles doit se faire de sorte à mainteniremême module des pôles et l'argument des pôles stables doit être symétrique par rapport à a droite de pente a^ð ₂, de l'argument des pôles instablesUn simple calcul géométrique permet alors de déduire la relation (4.14)

FIGURE 4.1: Déplacement des pôles instables dans le plan s^a (0 < a < 1)

Identification des résidus de G(s)

Après avoir calculé les pôles de G(s), les autres paramètres (les n résidus ri et les deux paramètres d et h) sont calculés par une autre équationlinéairede la forme F è = g définie par :

è = ~c1 ... c_n d hIT

_{h i}

gk = G(sk)

?

?????

?????

(4.15)

~

1

F k = sk-p1

]

1

... 1 sk

sk-pn

Les étapes principales de l'algorithme "Vector Fitting" sont récapitulées danslorgaa nigramme de la figure (4.2)

Pour arrêter l'itération de lalgorithme, deuxcritères ddarrêt sont utilisés. Le premier limite le nombre maximal d'itérations, empéchant ainsi llalgorithme d'itérerndéfiniment. Le deuxième critère d'arrêt est le critère à minimiser constitué parlerreur entrees valeurs des réponses fréquentielles produites par e modèledentifié et cellesdonnéespar le système. Il est donné par :

[ XNf

1 ^~~_~G(sk) - G*(sk) ~~~ 2] 1/2

J = (4.16)

Nf i=1

FIGURE 4.2: Organigramme del'algorithme "Vector Fitting"

G^*(sk) étant les donnés du systèmeG(sk) les données générées parle modèle identifié et Nf est le nombre de de fréquences utilisées.

4.2 Optimisation par Essaim Particulaire

L'optimisation par essaim particulaire (OEP), comme es algorithmes génétiques, est une méthode d'optimisation heuristique baséesur lasimulationducomportement collec tif des êtres vivants tels que des oiseaux ou des poissons.Cette méthode d'optimisation, inventé par l'électricien Ebenhart R.et le socio-psychologue Kennedy .en 1995, [33] s'appuie nottament sur un modèle développé par le biologiste ReynoldC.W72] permettant de simuler le déplacement d'un groupe doiseaux. Cette méthode se base sur a collaboraa tion des individus d'un même essaim en essayant de maintenirconstante adistante qui les sépare afin d'éviter de se chevaucher lorsquils changent de direction.

Cette technique est souvent décrite comme une sorted'algorithme évolutionnaire avec une population d'individus (les particules) dans laquelle, àchaque pasde temps, es "meilleurs" (selon un critère prédéfini) sont plus au moins mitésparesautres.Un autre aspect essentielle, propre à cette technique, est l'existence d'une mémoire quedoit posséé der chaque élément de l'essaim lui permettant de se souvenir de sa meilleure performance et celle transmise par ses congénères. De plus, Les individus de 'essaimtravaillent en collaboration (en s'échangeant des informations) et non pas en compétition comme dans les algorithmes génétiques par exemple.

4.2.1 Algorithme d'Optimization par Essaim Particulaire

Pour expliquer le principe de cet algorithme appliqué pour résoudreun problème de minimisation ou de maximisationconsidérons le problèmed'optimisation

min{f(xj)}, j = 1, 2, · · · , d (4.17)

La fonction fitness associée est

Espace de recherche

L'espace de recherche représente lespacede variationdes paramètres(xi) à optimiser, il est délimité par les valeurs minimales et maximales de ces paramètres.Le nombre de paramètres à optimiser d constitue la dimension de l'espace de recherche.

Particle

Une particule, également appelée "élément de lassaim" représente une solution poo tentielle au problème à optimiser (4.15) Elle est constituée parune combinaison donnée des paramètres à optimiser (xi). Comme la particule est ammenée à évoluerelle est représentée, dans l'espace de recherche, par une position X(i,j). (i = 1, 2, · · · , M et j = 1, 2, · · · , d. i est le rang de la particule danslessaim et j le rang du paramètre x(j) qui compose le i`eme individu. M est la taille de l'essaim et d la dimension de l'espace de recherche.

A chaque paramètre x(j) est associée la vitesse dévolution v(j). La vitesse d'évolution de la i`eme particule est alors définie par V(i, j). La meilleure position déjà occupée par la i`eme particule est représentée par pbest(i) :

[ ]

pbest(i) = pbest(i, ^1), pbest(i, 2) ... _pbest(i, d)(4.19)

pbest(i, j) étant la valeur du paramètre x(j) correspondant à la meilleure position occupée par la i`eme particule. On lui associe également la valeur de safiteness F itpbest(i).

La meilleure position déjà occupée par la meilleure particule de 'essaim est représenn tée par gbest :

[ ]

gbest = gbest(1) , _gbest(2) ... gb_est(d)(4.20)

gbest(j) est la valeur du paramètre x(j) correspondant à la meilleure position occupée par la meilleure particule de l'essaimOn lui assicie aussi la valeur de safitnessFit gbest.

FIGURE 4.3: Principe général de l'évolution dune particule

Principe de déplacement d'une particule

Les trois éléments fondamentaux pour calculer le déplacement d'une particule, d'une position à l'autre, sont décrites par la figure (4..3).

~ La particule se déplace selon sa vitesse propre(elle se déplace selon sonntuition) (flèche 1).

~ Elle se déplace vers la meilleure position quelle a déà occupée.On ditqu'elle a tendance à retourner vers la position de sa meilleureperformance elle se déplace selon sa propre expérience) (flèche 2).

~ Elle se déplace également versla position de la meilleure performancedéjà trouvée par une autre particule delessaim. (elle atendance a faireconfiance à 'information transmise par les autres particules) (flèche 3).

Un coefficient de confiance est alors associé à chacune de ces troisvitesses.Ainsi, a particule ne rejoint aucune des trois positions précédentes mais sedéplace vers une nouu velle position qui est la combinaisonlinéaire de ces trois positions.

La vitesse V(i,j) et la position X(i,j) de chaque paramètre sont alors mises à our à chaque itération par :

?

?

?

( ) ( )

V (i, j) = w V (i, j) + c1 rand1 _pbest(i) - X(i, j) + c2 rand2 _gbest - X(i, j) X(i,j) = X(i,j) + V(i,j)

(4.21) Pour être plus précis, on devrait représenter a vitesse eta position de chaqueparamètre à l'itération k par respectivement V'

i,j et X' i,j et à l'itération k+1 par V'+1

i,j et X'+1

i,j , mais

on a préféré garderla notation usuellement utilisée pour ne pas surchargeres variables.

- wmin

c1 et c2 sont deux constantes d'accélération, elles caractérisent a capacité deapartii cule à chercher dans un autre endroit de lespacederecherche oubienà affiner sa recherche à l'endroit où elle se trouveEn général on choisitc1 et c2 telles que c1 +c2 <4 [16]. rand1 et rand2 sont deux nombres aléatoires compris entre 0 et 1. Les coefficients de confiance de la particule en sa propre expérience et la confiance qu'elledonne à'information transmise par les autres particules sont ainsi générés aléatoirement à chaquetération. La pondéé ration w change à chaque itérationAu début de la recherche, on lui donne une valeur assez grande pour accélérer la recherche avec des variationsde a position assez grandes (recherche approximative) Ensuite, au fur et à mesureque aparticules'approche dea meilleure solution de l'essaim, cette pondération devient plus petite afin de permettre d'affiner la recherche de la position optimale. On peut utiliser 'expression suivante pour déterminer les valeurs de cette pondération16].

wmax

w(iter) = wmax - iter (4.22)

itermax

iter : est le rang de l'itération actuelle. itermax : est le nombre maximum d'itération. wmax : est la valeur initiale de la pondération, on la prend généralement égale à 0.9. wmin : est la valeur finale de la pondération elle est comprise entre 0.3 et 0.4 [16]. L'organigramme de la figure (4.4), montre les étapes de lalgorithme d'optimisation par essaim particulaire.

Initialisation de l'essaim

FIGURE 4.4: Organigramme général dun OEP

gorithmes d'optimisationitératifsstochastiques. Linitialisation dea position et dea vitesse de chaque paramètre de chaque particuleest obtenue par

? ?? ??

( ) X(i, j) = X(j)min + X(j)max - X(j)minrand ( ) (4.23) V (i, j) = V (j)min + V (j)max - V (j)minrand

où : X(j)min ^et X(j)max sont les valeurs limites du paramètre x(j). V(j)min = 0 et V(j)max = 1. rand est un nombre aléatoire compris entre 0 et 1.

Confinement d'intervalle

Initialement, chaque particule a sa propre vitesse et sa propre positionimitée dans l'espace de recherche. A chaqueitération, toutes les particules changent eur vitesse ete déplacent selon les équations (4.19) Certaines peuvent alors se déplacerhors de'espace de recherche. Pour éviter ce problème, on assigne à la particule sortantea valeur du point de frontière le plus proche La vitesse de la particuleconcernée est alors annulée pour l'empécher de se déplacer à la prochaine itération.En général, Lorsquea solution trouvée par l'algorithme se trouve sur la limitede 'espace de recherche, cela signiie que quelques limites des paramètres ne sont pas correctes. Le mécanisme de con~nnement des particules est donné par :

? ???? ????

if X(i,j) > X(j)max = X(i,j) = X(j)max if X(i,j) <X(j)min = X(i,j) = X(j)min V(i,j) = 0

(4.24)

4.3 Application à l'identification d'un système non entier

Dans ce paragraphe, l'optimisation par essaim particulaire est associée à 'algorithme d'identification "Vector Fitting" pour développer un nouvel algorithme d'identification des systèmes non entiers dansle domaine fréquentiel.

4.3.1 Principe de l'Algorithme

Le modèle non entier à identifier est donné par

Gf rac(s) =

Xn i=1

ri sá - pi

+d+s^áh. (4.25)

pour lequel il faut déterminer lordre non entier a ainsi que les paramètres ri, pi, d et h. La dimension n du modèle étant préalablement fixé

Le problème étant fortement nonlinéaire àcause des pôesqui sont au dénominateur de la fonction de transfert et de lordre nonentier qui esta puissance de'opérateur de Laplace, pour le résoudre on propose de procéder comme suit.

~ Dans une première étape, on suppose connus les paramètres du modèleri, pi, d et h), l'ordre non entier a est déterminé en utilisant l'optimisation paressaim particulaire.

~ Dans une seconde étape, a étant déterminé, à l'aide du changement de variable

p= s^á (4.26)

le modèle non entier (4.25) devient entier ilest donné par

Gent(p) =

Xn i=1

ri p - pi

+d+ph (4.27)

dont les paramètres sont déterminés en utilisant l'algorithme "Vector Fitting"

L'algorithme d'identification global du modèle non entier basculede a première à a seconde étape et vise et versa itérativement usqu'àce que 'un desdeux critères d'arrrt est vérifié. Le premier critère étant lerreur quadratique entrees données générées pare modèle et les mesures effectuées sur lesystème.Le deuxième critère étant enombremaxii mal d'itérations. L'organigramme de la figure (4.5) lluste e principe de cet algorithme.

FIGURE 4.5: Algorithme hybride d'identification utilisant simultanément VectorFitting" et l'Optimisation par Essaim de Particules

4.4 Exemples numériques

4.4.1 Utilisation de l'algorithme "Vector Fitting" pour l'approxii mation d'un dérivateur non entier

L'approximation du dérivateur non entier par un modèle entier a fait'obbet de pluu sieurs travaux puisqu'il consitue lélément principal dans lasimulation des systèmesnon entiers. On utilise dans ce qui suit lalgorithme "Vector Fitting" pour proposer une autre méthode d'approximation du dérivateur non entier basée sur une technique d'identiicaa tion. Pour montrer l'intérêt de cette méthode, on compare ses résultats à ceux obtenus avec la méthode d'approximation CRONE. On considèrepour ce faire, edérivateurs^0.6 qui est d'abord approximé àl'aide dun transfert rationnelde dimension n = 10 dans la bande de fréquences [10^-5 10⁺⁵]. Les paramètres d'un transfert entierdu même dimension sont ensuite identifiés à partir des données générées par edérivateurs^0.6 dans la même bande de fréquences.

FIGURE 4.6: Position des pôles et zéros des modèles entiers qui approximent s^0.6.

La figure (4.6) représente les pôles et zéros des deuxtransferts rationnels.les axes0 dB sont décalés pour mieux représenter la position des pôleset zéros de chaque fonction de transfert entière). la figure (4.7) illustrees diagrammes de Bode des deuxmodèles entiers qui approximent le dérivateur s^0.6.

Ces résultats montrent que les pôles et zéros du modèle entier obtenus à 'aide de l'algorithme "Vector Fitting" sont distribués de a même manière récursive que ceux du modèle obtenu par la méthode CRONE (figure 4.6) Cette courbe montreégalement que la bande de fréquences de validité de lapproximation obtenue enutlisant 'algorithme "Vector Fitting" est pluslarge que celle utilisée par a méthode CRONE.Commee montre la figure (4.7). Lapproximationde s^0.6 par l'algorithme "Vector Fitting" estdonc meilleure.

4.4.2 Identification d'un system non entier

FIGURE 4.7: Diagrammes de Bode des modèles entiers qui approximent s^0.6 dans la bande de fréquences [10_⁵ 10⁺⁵] pour n = 10.

complexe.

10(s^0.5 + 0.3)

Gfrac(s) = (s^0.5 + 50)(s - s^0.5 + 1) (4.28)

Un vecteur contenant 500 valeurs des pulsations logarithmiquementréparties dans a bande de fréquences [10_⁶ 10⁺⁶] a été généré, pour chacune delle on calcule le module en dB et la phase en radian de Gf rac(s).

Identification à partir des données exactes

Trois valeurs différentes de n ont été choisies (n = 3, n = 5 et n = 8). La taille de l'essaim M est choisie égale à 20. La dimension de l'espace de recherche étant égal à 1, l'espace de recherche est délimité par les valeurs 0 et 1. La valeur de l'itération maximale est égale à 40.

Pour chacune des valeurs de n, l'algorithme trouve la bonne valeur de a et les bonnes valeurs des paramètres. Lerreur quadratique de a différence desmodules estégale à 3.36 10_⁶ dB.

FIGURE 4.8: Diagrammes de Bode du système (4.28) et de son modèledentifié 4.29

4.4.3 Identification à partir des données perturbées

Pour montrer la robustesse de lalgorithme d'identification, es valeursdu module et de la phase générés par le modèle non entier (4.28) ont été perturbées eneur ajoutant des valeurs aléatoires comprises entre -30% et +30% de leurs valeurs. Les résultats obtenus sont illustrés dans la figure (4.8) lerreur quadratique est1, 12 10_² dB, l'ordre non entier est a = 0, 495 et le modèle identifié est donné par

^àGfrac(s) = 0.186 ^(s0.495 + 0.378)(s^0.495 + 0.148)

(s0.495 + 0.178)(s - 1.024 s^0.5 + 1.001) (4.29)

Il faut noter que les pôles complexes, qui caractérise e comportement dynamique du système sont correctement identifiés, ce qui nest pasle casdespôles et éros entiers. ela justifie la différence entre les diagrammes de Bode en hautes fréquences.

Chapitre 5

Commande d'ordre non entière par

placement de pôles : Application à la

commande des machines

5.1 Introduction

L'utilisation du concept de dérivation dordre nonentier à a commande des systèmes peut être envisagée de deux points de vue différents Le premier consiste à considérer un modèle non entier du système à commanderauquel cas on peut ui associerun régulaa teur d'ordre non entier ou pas afin datteindredes objectiisde commande donnés. Cette approche nécessiterait alors une modélisation plus fine du système qui ustiierait'intérêt et l'opportunité de l'utilisation de la dérivation nonentière.La deuxième approche, a plus naturelle à l'état actuelconsiste à considérer un modèled'ordre entier du système et utiliser un régulateur d'ordre non entierLapport supplémentaire qu'aaouterait unel régulateur réside dansl'aspect non entier de l'ordrede dérivation ou d'intégration qu'il contient. Cela constitue un degré deliberté supplémentairequi peut améliorer considéraa blement les techniques de commande utilisant desrégulateursclassiques.

En effet, l'ordre non entier, nétant pas une pondération associéeaux onctions de dérivation et d'intégrationàlinverse des paramètresKd et Ki, il peut être utilisé pour

imposer une caractéristique du système enboucle fermée ndépendamment desparamètres du système à commander. Cette caractéristique est de ce faitnsensible quelque soit les variations de ces paramètres. Cest ce qui est illustrédans ce chapitre à traversa commande en vitesse de la machine synchrone à aimant permanent etde amachine asynchrone. On montre en particulierque le dépassement de a réponsendicielle dea vitesse imposé par le régulateur non entierreste nchangé même orsquees paramètres mécaniques (le moment de l'inertie en particulier) de la machine changent, caractéristique impossible à obtenir en utilisant le régulateur PID entier.

Le chapitre est organisé comme suit

Dans la première partie on présente la méthode decalcul des paramètresdu régulateur IP d'ordre non entier, utilisant la technique par placement de pôles, que nous avons développée. Le modèle de référence à imposer à la fonctionde transfert enboucle fermée ne pouvant pas être obtenu par la méthodede placement de pôlesclassique, onutiliseune autre méthode basée sur une techniquedoptimisation utilisant es algorithmesgénétiques. Cette méthode permet de calculer les paramètres du modèle de référence à partir de ceux d'un modèle de dimension deux d'ordre entierLe principe ainsi que quelquesdéfinitions de base sur les algorithmes génétiques sont données dans e paragraphe5.2. Dans les paragraphes 5.4 et 5.5, après avoir rappelé les méthodes et les structuresde commande de la machine synchrone à aimants permanents et de la machine asynchrone, on présente les résultats de simulations obtenus lorsque lerégulateur IP d'ordre non entier est utilisé pour contrôler la vitesse de la machine.Pour montrer son ntérêt, on présenteégalement son comportement vis à vis des variations des paramètresmécaniques deamachine.Une comparaison avec le régulateur IP d'ordre entier y est aussi présentée. Dans le paragraphe 5.6, une analyse analytique de la robustessedesrégulateursIP d'ordre entier et non entier est élaborée afin de corroborer les résultats obtenus par simulation. Le comportement des deux types de régulateurs IP en présence d'un couple résistant est étudié dans le paragraphe 5.7. On y montre pourquoi, à l'instar detoutes les structuresde commande qui imposent à la fonction de transfert en boucle fermée etransfert(..7 qui garantita robustesse du dépassement dela réponse indicielle vis à vis des variations paramétriques

du système, le régulateur IP d'ordre non entier est moins performant que le régulateur IP d'ordre entier.

5.2 Dimensionnement d'un régulateur IP non entier par placement de pôles

Actuellement, plusieurs méthodes de synthèse des paramètresdes régulateursnon entiers sont proposéesToutes ces méthodes sont basées sur a représentation fréquentielle et utilisent la technique de "loop shaping"Très peu de méthodesutilisent atechnique de placement de pôles dont le principe consiste àdéterminer es coefficientsdu polynôme caractéristique à partir des pôles quon souhaite mposer àaboucle fermée.Uneimple identification terme à terme permet alors de déduire esparamètresdu régulateur dont dépend le polynôme caractéristique

Seulement, ce principe général ne peut pas être utilisé dans e casdes systèmesnon entier puisqu'hormis les systèmes fractionnaires commensurables, l estmpossible de déé duire les coefficients du polynôme caractéristique nonentier àpartir des racines qu'on souhaite lui imposer.

On présente dans ce qui suit une nouvelle méthode de calcul des coefficients d'un régulateur PID d'ordre non entier en utilisant le principe de placement de pôles pour commander la vitesse d'une machine électrique (machine synchrone àaimant permanent et machine asynchrone). Sans perte de généralité, la fonction dérivéen'est pas utilisée puisque les modèles des différentes grandeurs de la machine sont modélisés parun modèle de dimension 1. On préférera égalementla structure IP à la structure PI classique car, contrairement à cette dernière, lastructureIP présente l'avantage d'obtenir en bouclefermée une fonction de transfert de dimension deux qui ne possède parde éro. La structure de commande est celle illustrée par la figure (51) 19].

Supposons alors que le système à commander est de dimension 1 dont la fonction de transfert G(s) est donnée sous la forme :

G0

G(s)= (5.1)

1+Ts

FIGURE 5.1: Structure de commande àlaide dun régulateur IF non entier

G0 étant le gain statique et T la constante de temps.

qu'on souhaite contrôler à laide dun régulateur IF d'ordre non entier selon le schéma de commande de la figure (5.1). La fonction detransfertde aboucle fermée est dans ce cas donnée par :

K K _p G0

T

G bf(s) = (5.2)

sa+1 + 1+Kp G0

T sa + K Kp G0

T

Pour calculer les trois paramètresdu régulateur (á, K _p et Ki), en utilisant la technique par placement de pôles, le polynôme caractéristique de Gbf(s) doit être écrit sousla forme

Ä(s) = s^a+1 + a1 s^a + a0 = 0 (5.3)

Dans le cas entier, le nombre de pôles à imposer est égal àadimensiondu polynôme. Dans le cas non entier cette méthode ne peut être appliquée que pour es systèmes fractionnaires commensurables. En effet, dans ce casgrâce à unchangement de variable adéquat, on peut ramener le polynôme fractionnaire à un polynôme entier pourequel ce principe peut être appliqué. C'est ce qui est proposé dans 73]Mais dans ce cas aussi celan'est pas intéressant car souventil y a trop de pôles à imposer.En effet, si on veut appliquer ce principe lorsque á = 0.45 par exemple, le polynôme caractéristique (5..3) s'écrit

Ä(s) = s29/20 + a1 s9/20 + a0 = 0 (5.4)

puis à l'aide du changement de variable p = s1/20, on obtient le polynôme entier Ä(p)=p²⁹+a1p⁹+a0=0 (5.5)

pour lequel on doit imposer 29 pôles. Sachant que souvent on souhaite imposer au syss
tème en boucle fermée une dynamique semblable à celle dun systèmededimensiondeux
sinusoïdal amorti, cela peut être obtenu en nimposant udicieusement au polynôme entier

(5.5) que deux pôles, les autres doivent alors être choisisde manière à ce qu'ilsn'interviennent pas dans la dynamique du système en boucle fermée. Ilest donc clair, que cette manière de faire n'est pas élégante dans le cas fractionnaire commensurable etnutilisable dans le cas plus général des systèmes dordre non entier.

Dans ce qui suit, on propose une autre démarche qui tiennecompte de a forme particulière du polynôme caractéristique de Gbf(s). En effet, le paramètre K _p de la fonction proportionnelle peut être choisi pour annuler lecoefficient a1 associé à s^a. Gbf(s) devient alors :

Gbf(s) =

(5.6)

sa+1 -- Ki

T

Ki

T

qui peut être égalée au modèle de référence

d

Gref(s) = (5.7)

sâ + d

dont le dépassement est imposé par lordre de dérivation non entier3 et le temps d'établissement par le paramètre d.

On obtient ainsi une première relation qui permet de déterminer e coefficientK _p du régulateur IF non entier :

1

K_p =-- (5.8)

G0

á doit être supérieur à zéro sinon la fonction s^a devient une intégrale et 3 doit être inférieur à 2 sinon le modèle (5.7) devientinstable [52] Par conséquent on choisit1 < 3 < 2 pour garantir la stabilité du système en boucle fermée, donc 'ordrenon entierá doit être tel que 0 < á < 1. Dans ce cas, la réponse indicielle du système en boucle fermée est du type sinusoïdal amorti dont le dépassement nedépend que de 'ordrenon-entierá et le temps d'tablissement ne dépend que du paramètre Ki de la fonction intégrale [24] [67]. Ils sont équivalents aux paramètres æet w_n du système de dimension deux sinusoïdal amorti.

Par identification terme à terme des paramètres des dénominateurs _deGref(s) et Gbf(s), deux autres relations, permettant de calculer les deux autres paramètres du régu-

FIGURE 5.2: Structure de commande avec un régulateur IF non entier (K _p et Ki positifs)

lateur IF non entier, peuvent ainsi être obtenues

Ki =--dT (5.9) á = 3 -- 1

Néanmoins, si dans le cas des systèmes entiers, on saitdéterminer es pôles compleexes imposer au polynôme caractéristique du modèle de référence partir des caractéristiques qu'on souhaite lui imposer (le dépassement et le temps de montée, 'erreur statique étant annulée par la fonction intégrale du régulateur IF), Il n'en est pas de même dans le cas des systèmes non entiers. Pour résoudre ce problème ondétermine es paramètresd et 3 du modèle de référence (5.7) de sorte que lécartentre sa réponsendicielle et celle du modèle de dimension deuex d'ordre entier soit la plus petite possible. Le problème étantnon linéaire, on utilise pour ce faire une méthode doptimisationes algorithmes génétiques.

Remarque 19 : Il faut noter qu''habituellement les coeefficientsK _p et Ki du régulateur IF sont toujours positifs ce qui nest pas e casciiPour qu'ilsoientinsi l uut de considérer la structure de commande de afigure (55.) qui estdentique a structure de la figure (5.1) mais les coe~cientsK _p et Ki sont maintenant positifs.

5.3 Détermination des paramètres du modèle de référence

On trouve dans [78], une étude détailléesur lanalogie entrees caracéristiquesempoo relles et fréquentielles du modèle non entier (5.7) et e modèlede dimension deuex sinusoodal amorti. On y trouve également une relation permettant d'eexprimeres paramètres3 et d

du modèle (5.7) en fonction des paramètres et w_n du modèle de dimension deux. Elles sont données par :

2arccos(2 ²-1)

â = et d=w_n^â (5.10)

ð

Néanmoins, on montre que cette relation donne une bonnecorrespondanceorsque <

J2/2. Par contre, pour = J2/2, la relation (5.10) donnela valeur â = 1 (voir les

résultats du tableau 51)Le modèle (5.7) seraitdans ce casun modèle entier de dimension 1 dont le pôle est égal à -w_n, ce qui est loin d'être une bonne approximation. Nous proposons alors une autre méthodebasée sur l'identiéficationde modèledontesparamètres sont optimisés en utilisantles algorithmes génétiques.Lesparamètresdu modèle non entier (5.7) sont calculés de sorte que lerreur quadratique dééfiniepara relation5.11)oita plus petite possible :

1 SSE=Nm

XK k=1

[ y(kh) - ày(kh)

2 (5.11)

y(kh) et ày(kh) sont respectivement les sorties du modèle dedimensiondeuxd'ordre entier et du modèle de référence non entier (57) N_m est le nombre de mesures et h la période d'échantillonnage.

Rappels sur les algorithmes génétiques

Les algorithmes génétiques (AGs) sont des algorithmes doptimisations'appuyant sur des techniques dérivées de la théorie de lévolutiondes espècesque Charles Darwin 1160) a publié dans son livre intitulé Lorigine des espèces au moyende a sélection naturelle ou la lutte pour l'existence dans la nature sous 'influence des contraintes extérieurs, es êtres vivants se sont graduellement adaptés àeur milieunaturelau travers de processus de reproduction. Par analogie les algorithmes génétiques permettent essentiellement de résoudre des problèmes d'optimisation en engendrant une suite de solutions approchées et s'améliorant progressivement, simulant ainsi l'évolutiondarwinienne dansaquelle, es systèmes biologiques survivent et sadaptent par des processusnaturels tels queaeproo duction, le croisement et la mutation.

les individus les mieux adaptés àleur environnement survivent et peuvent se reproo duire. Cet environnement peut alors être la fonctionà optimiser etesndividus'ensemble

des paramètres de la fonctionDe ce fait, les AGs n'utilisent pas directementles paramètres eux mêmes mais leur codes. De plus, hormis la fonction àoptimiser, lsn'ont besoin d'aucune autre information la concernant.Achaque génération, LesAGs génèrent de nouveaux individus à partir des anciens en utilisant des opérateurs similaires aux opéé rations génétiques telles que à la sélectiondes parents aptes à se reproduire, e croisement de deux parents pour donner des enfants et la mutation pour créer denouveaux gènes. Les individus de la nouvelle générationsont alors évalués para fonctionFitness pour constater leur aptitude à survivre. Cette fonction Fitness correspond au problème que l'on souhaite optimiser etlindividu qui est le plus apteà survivrecorrespond àa solution la plus proche de la solution recherchée. Dans ce mémoire on utiliseesAGs utilisant le codage binaire. La figure (53) représente l'organigramme d'optimisation par unAG pour déterminer les paramètres d et 3 du modèle (5.7).

Codage des individus : Chaque individu est une chaîne binaire de 40 bits. Les vingt premiers représentent l'ordre de dérivation 3 et les vingt suivants le paramètre d. Les contraintes étant les valeurslimites de ces deux paramètres.Cela réduite champ de re cherche donc accélère la rapidité de convergencede l'algorithme.

Génération de la population initiale : la population est constitué de 100 individus, c'est donc une matrice binaire (100 x 40) dont les valeursdes bits sontuniformément générés entre les valeurs 0 et 1

La fonction Fitness: La fitness de chaque individu est calculée par le critère quadratique de l'équation (5.11). Le problème doptimisationétant de eminimiser.

Les opérateurs génétiques utilisés sont

La sélection des parents : C'est le mécanisme qui fixe à partir de la génération préé cédente, quels individus pourront se reproduire pour former agénération suivante.On utilise la sélection stochastique universelle4]Cette méthode de sélection reproduites individus proportionnellement à leur fonction dadaptationsansbiais.La probabilité de sélection est égale à 0.8.

Le croisement : A partir de deux chaînes binaires représentant deux parents. On génère

FIGURE 5.3: Organigramme d'un algorithme génétique

aléatoirement un nombre compris entre 0 et 1, s'il est inférieur à la probabilité de croisement P _c (égale à 0.7) un site de croisement est alors choisi. l est égal àun nombre aléatoire généré entre 2 et L - 1. (L étant la longueur de l'individu ; égale à 40). Le mécanisme de croisement consiste à échanger les gênes de chaque parent entree site sélectionné eta position finale L des deux parents [23].

La mutation : C'est le mécanisme génétique qui permet de diversifier la recherche de a solution. L'opérateur de mutation consiste simplement àcomplémentera valeur d'un bit avec une probabilité P_m égale à 0.0175. Sa mise en oeuvre consiste à générer un nombre aléatoire compris entre 0 et 1, lorsqu'il est inférieur à P_m un autre nombre compris entre 1 et L est généré, il constitue le rang du gêne à muter 23].

Critère d'arrêt : Le critère d'arrêt del'algorithme est le nombremaximumde généraa tions qui est fixé à 10.

Le tableau (5.1) montrent les résultats obtenus en utilisantlesaméthode proposée dans [78] et celle utilisantles AGs pour déterminer les paramètres 3 et d pour w_n = 20 et quelques valeurs de .

	estimation de 3		estimation de d		valeur du critère
	M.V.	AGs	M.V.	AGs	M.V.	AGs
0.95	0.404	1.247	3.358	20.59	0.225	0.004
J2/2	1	1.270	20	23.29	0.6707	0.002
J2/3	1.375	1.391	61.50	45.25	0.006	0.002
J2/10	1.819	1.813	232.8	218.9	0.001	0.001

TABLE 5.1: Comparaison entreles deux méthodes dapproximation (M.V. : méthode de Vinagre, AGs : méthode utilisant un AG)

Ce tableau montre que pour des valeurs de < J2/2, les deux méthodes donnent des résultats similaires. Par contre, lorsque est voisin de 1 la méthode utilisant l'algorithme génétique est plus précise commele montre la valeurducritèreà minimiser.

5.4 Application à la commande en vitesse d'une MSAP

5.4.1 Nomenclature des paramètres de la machine

vd(t) et v_q(t) : tensions statoriques dansle repère ( d,q),

id(t) et i_q(t) : courants statoriques dans le repère ( d, q),

Ld et L_q : inductances longitudinale et transversale dustator

Öd(t) et Ö_q(t) : flux dans le système d'axe (d,q),

Öf : le flux créé par les aimants permanents,

R : la résistance d'une phase statorique,

ù_s(t) : la vitesse électrique de rotation du moteur

P : le nombre de paires de pôles,

C_e(t) : le couple électromagnétique

C_r(t) : le couple résistant,

f : le coefficient des frottement visqueux,

J : le moment d'inertie des parties tournantes,

ù(t) : la vitesse mécanique de rotation du moteur

5.4.2 Valeurs numériques des paramètres de la machine

Courant de phase nominal : I_n = 1.5 A, Puissance nominale : Pnom = 500 W, Tension de phase nominale: Vnom = 130 V, fréquence : 50 Hz, Vitesse mécanique nominale : ùnom = 1500 tr/min; Nombre de paires de pôlesP = 2; Ld = 0.048 H; L_q = 0.064 H; L_m = 0.258 H; R = 17.5 Ù ; Öf = 0.39144 Wb; f = 2.8 10^-3 kg.m²/s; J = 5.1 10^-3 kg. m².

5.4.3 Modèle de park de la MSAP

A cause de la matrice inductance qui dépend de langle derotationde 'arbredu moo teur, donc du temps, la modélisation des machines triphasées àcourant alternatif danse repère (a, b, c) aboutit à des modèles nonlinéaires et non stationnaires.On préfère alors

utiliser des transformations dutype Parrk, Clarrk ou Concordia, qui associées à certaines hypothèses simplificatrices (la non saturationet la distribution spatiale sinusoodale de la fmm statorique), permettent desimplifierconsidérablement esmodèles de cesmaa chines. La transformation de Parrk permet de substituer auxenroulementsa, b, c), dont les conducteurs et les axes magnétiques sont immobiles par rapportau stator, deux enn roulements fictifs (d, q) dont les axes magnétiques sont solidaires du rotor ettournent avec lui [5]. L'indice d indique la composante suivantl'axe longitudinal du rotor et 'indice q indique la composante suivantlaxe en quadrature.Le modèleainsi obtenu peut tre écrit sous la forme :

?

?

?

vd(t) = Rid(t) + d d_tÖd(t) +W_s(t)Ö_q(t)

(5.12)

v_q (t) = R i_q (t) + d dtÖq (t) - W_s (t)Öd (t)

avec :

? ? ?

Öq(t) = Lqiq(t) Öd(t) = Ld id(t) + Öf

(5.13)

Le couple électromagnétique dans le reférentiel de Parrk estdonné par

_{h i}

3

C_e(t) = ₂P Öf + (Ld - L_q )id(t) i_q(t) (5.14)

et l'équation mécanique de la partie tournantede la machine est

J ^d W(t) = C_e(t) - C_r(t) - f W(t) (5.15)

dt

La vitesse électrique est reliée à la vitesse mécanique para relation

W_s(t) = PW(t) (5.16)

Le principe de la commande en vitesse de la machine synchrone à aimants permanents consiste à assimiler le comportement de la machine synchrone àcelui de amachine à courant continu à excitation séparée8] dans laquelleecourant d'alimentation contrrle le couple et le courant d'excitation contrôle le flux.Ainsi dans es équations5.13),i la composante du courant id(t) = 0 le flux Öd(t) selon l'axe d est constant puisque le plux Öf est constant et dansl'équation (514) lecouple électromagnétiqueC_e(t) est par conséquent proportionnel au courant i_q(t).

Le problème de non linéarité du modèle de la machine est ainsi ^levé

5.4.4 Structure de commande

Pour contrôler les courants id(t) et i_q(t) indépendanment l'un de l'autre (découpler le modèle de la machine), les tensions statoriques vd(t) et v_q(t) sont décomposées sous la forme :

? ? ?

vd(t) = vd c(t) + vdd(t) vq(t) = vqc(t) + vqd(t)

(5.18)

Les composantes vdd(t) et v_qd(t) permettent de compenser les termes de couplageentre des deux axes d et q :

? ? ?

vdd(t) = ùs(t)Öq(t) vqd(t) = -ùs(t)Öd(t)

(5.19)

et les composantes vd _c(t) et v_qc(t) permettent ensuite de contrôler les courants id(t) et i_q(t) respectivement.

De plus, les courants ayant un régimetransitoireplus rapide que celuide a vitesse mécanique de la machine, on peut négliger leur régimedynamique orsqu'on veut contrôler la vitesse. On ramène ainsile modèle nonliéaire multivariable de a machine à trois modèles linéaires simples de dimension 1. On peut de ce fait utiliser un régulateur IP pour contrôler chaque grandeur de la machine(les courantsid(t) et i_q(t) ainsi que la vitesse (ù(t)). Le schéma de commande est illustré par la figure (5.4)

En effet, le champ magnétique produit par les aimants permanents étant constant, de l'équation (5.14) du couple électromagnétique, il suffit que e courant id(t) soit nul pour que le couple ressemble à celui dela machine à courant continuà excitation séparée. Pour ce faire, il suffit d'orienter le repère ( d, q) de manière à annuler la composante id(t) du courant. Cela revient alors à choisir convenablement 'anglede rotation utilisé par la transformation de Park de sorte que le courant statorique soitentièrement porté sur l'axe q. C'est ce qui est communément appelé la commande vectorielle ou commande par orientation du flux. Ceci constitut néamoins une difficulté de mise enoeuvrede cette commande puisqu'il est nécessaire de mesurer langle derotation à tout nstant.

FIGURE 5.4: Structure de commande dela MSAP

Un autre avantage, non moins important, de cette structurede commande est quee courant de référence Iqref est délivré par le régulateur de vitesse, on peut par conséquent y insérer un limiteur pour protéger la machine contredespicstrèsmportants du courant i_q(t) que pourrait engendrer le régulateur de vitesse.

5.4.5 Décomposition du modèle de la MSAP en modèles de dii ension 1

Pour mettre en oeuvrele schéma de commande de la figure(5..4) etutiliseraméthode de calcul des régulateurs IF développée dans le paragraphe 5.1.2, on présente dans ce qui suit les modèles des courants id(t), i_q(t) et de la vitesse ù(t), écrits sous la forme de l'équation (5.1).

- modèle du courant id(t)

En utilisant les équations (512) et (513) et entenant compte dea décomposition de la tension vd(t) (5.18), on obtient :

d

vd _c(t) = Rid(t) + Ldid(t) (5.20)
dt

Le modèle transfert correspondant est donc

Id(s) G0 id

Gid(s) =V ¹ + T

d c(s) = i d s (5.21)

avec :

1 Ld

G0 id = R et Ti d = R (5.22)

Id(s) et Vd _c(s) sont respectivement les transformations de Laplace de id(t) et vd _c(t).

- modèle du courant i_q(t)

De la même manière que pour le courant id(t), en utilisant une nouvelle foisles équations (5.12) et (513) et en tenant compte de adécomposition dea tension v_q(t) (5.18), on obtient le modèle transfert donné par

I_q(s) G0 iq

Gi _q(s) = V_q c(s) = (5.23)

1+Ti_qs

avec :

1 L_q

G0 iq = R et Ti q = R (5.24)

I_q(s) et V_qc(s) sont les transformations de Laplace de i_q(t) et v_qc(t) respectivement.

~ modèle de la vitesse ù(t)

A partir de l'équation du couple (517) en négligeant a dynamique desboucles de régulation des courants(i_q(t) = iqref(t) et id(t) = idref(t) = 0), l'équation mécanique de la machine (5.15) en considérant lecouple résistant nul, s'écrit

J d 3

ù(t)+fù(t) = ₂P Öfiqref(t) (5.25)

dt

Le modèle transfert sécrit donc

Ù(s) G0 ù

G_ù(s) = I_q ref(s) = 1 + T_ù s (5.26)

avec :

3PÖf J

G0 ù = 2 f et T_ù = f (5.27)

Ù(s) et la transformée de Laplace de ù(t) et Iqref(s) celle du courant de référence iqref(t) délivré par le régulateur de vitesse.

5.4.6 Résultats de simulation et commentaires

Gbf(s) =

Ki K _p G0

T (5.28)

La commande de la boucle de courant à laide dunrégulateur IP d'ordre entier selon la structure de commande dela ifigure (51) lorsque a fonction de transfert du courant est mise sous la forme de l'équation (51) donne en boucle fermée une fonction de transfert ayant l'expression :

s2 + 1+Kp G0

T s + Ki K _p G0

T

qui montre qu'en régime établi la valeur du courant est égale à savaleur de consigne quelque soit les paramètres G0 et T. Les paramètres électriques de la machine nont donc aucune influence sur la dynamique de la vitesse, cest pourquoi onse contente d'utiliser deux régulateurs entiers pour contrôler les courants id(t) et i_q(t), l'utilisation de régulateurs d'ordre non entier nest pas justiifiée dans ce cas.Ce type de régulateur est par contre utilisé dans la boucle de vitesse pour améliorer la robustesse dea commande vis à vis des variations des paramètres mécaniques (le moment d'inertie en particulier).

Pour montrer l'intérêt dutiliser un tel régulateur, oncompare ses résultats à ceux obtenus à l'aide d'un régulateur entier classique.Pour ce faire, on mposeesmêmes caractéristiques dynamiques à la boucle de vitesseet onutiliseamême méthode, par placement de pôles, pour calculerles paramètres des deux régulateurs. On présente alors la réponse indicielle de vitesse, pour montrer la qualité de l'asservissement, et'évolution de la composante en quadrature du courant pour montrera consommation en courant durant le régime transitoire de la machine.

Les paramètres du régulateur IF d'ordre entier sont calculés de manière à obtenir en boucle fermée, un modèle de dimension deux sinusoïdal amorti caractérisé pares paramètres et w_n. Les expressions des coefficients K _p et Ki sont alors données par :

2 w_n T - 1 T w2 n

K p = et Ki = 2 w_n T - 1 (5.29)

G0

Les coefficients (K_p, Ki et a) du régulateur IF non entier sont calculés à l'aide des equations (5.6) et (59) de manière à obtenir enboucle fermée, emodèlenon entier5..) pour lequel les paramètres d et â sont calculés de sorte que sa réponse indicielle soit équivalente à celle du modèle du second ordre sinusoïdal amorti.

Les valeurs numériques des modèles de référenceentier et non entier ainsi que celles des paramètres des deux régulateurs sont résumés dans etableau 5.2).

type de re- gulateur	paramètres du modèle entier		paramètres du modèle non entier		paramètres des régulateurs
		wn	d	â	a	Kp	Ki
Régulateur non entier	J2/2	8.24	6.0	1.12	0.12	-0.0024	-10.9286
Régulateur entier	»	»	-	-	-	0.0482	6.1113

TABLE 5.2: Paramètres des modèles de référence et des deux régulateurs

Les figures (5.5) et (56) illustrent laréponse ndiciellede avitesse et'évolution de
la composante en quadrature du courant obtenu à 'aide desdeux types de régulateurs
entier et non entier, pour les valeurs nominales des paramètresmécaniques deamachine.
La figure (5.5) montre que les deux réponses indicielles sont quasiment similaires,
montrant ainsi, d'un côté, que la méthode utilisée pour choisires paramètresdu modèle
de référence en utilisant un algorithme génétiqueet, de l'autrecôté queaméthode de
calcul des paramètres du régulateur IF non entier en utilisant la méthode de placement

FIGURE 5.5: Réponse indicielle de la vitesse (trait plein : régulateur non entier, trait discontinu : régulateur entier)

de pôles donnent de bons résultatsIl faut noter également qu'auvoisinage de éro, a réponse indicielle du modèle non entier diffère de celle du modèleentier de dimension deux, elle rappele plutôt celle d'un modèle entier de dimension 1.

La figure (5.6) montre que durant lerégimetransitoirede a vitesse, e courant obtenu en utilisant un régulateur non entier présente un pic égèrement plus grand que celui obtenu avec un régulateur entiermontrant ainsi que e régulateurnon entier ne consomme pas plus de courant, donc plus d'énergieque le régulateur entier.La figure5.6)llustre également une autre caractéristique propreaux systèmesnon entiers qui présentent un démarrage très raide et un établissementtrès ent.

Pour montrer la robustesse du régulateur non entier vis à vis des variations des paramètres mécaniques de la machinele coefficient de frottement visqueux f et le moment d'inertie J, on a fait varier leurs valeurs, avec #177; 50% de leurs valeurs nominales en gardant les valeurs des coefficients des régulateurs égales àcelles calculées aveces valeurs nominales de f et J. Les résultats obtenus sont présentés par les figures 5.7) et5..) respectivement.

La figure (5.7) montre la robustesseet l'insensibilité desdeux régulateurs poures variations #177; 50% du coefficient de frottement visqueux.

FIGURE 5.6: Evolution du courant i_q pendant le régime transitoire de la vitesse (trait plein : régulateur non entier, trait discontinu : régulateur entier)

La figure (5.8) montre quele dépassement de la réponse ndicielle estnsensirble aux variations du moment d'inertie lorsquon utilise le régulateur non entiercourrbes4 et 5). Par contre en utilisant le régulateur entier(courrbes2 and 3) le dépassement est fortement lié à ces variations. Dansle cas entier celas'explique par e fait que es coe~cients du régulateur soient calculés en fonction des paramètres de amachine.Alorsque danse cas non entier, le dépassement estimposé par lordrededérivationnon entier, l est de ce fait indépendant des paramètres de la machine.

La justification analytique de ces résultats ainsi que ceux orbtenus pouramachine asynchrone, sera présenté dans le paragraphe 5.4.

FIGURE 5.7: Réponse indicielle de la vitesse avec variation ducoefficient de rottement visqueux de #177; 50% en utilisant les deux types de régulateurs

FIGURE 5.8: Réponse indicielle de la vitesse avec variationdu moment d'inertiede #177; 50%. (1- valeur nominal avec régulateur entier, 2- valeur nominal avec régulateur non entier3---50% de J avec régulateur non entier, 4- +50% de J avec régulateur non entier, 5- --50% de J avec régulateur entier, 6- +50% de J avec régulateur entier)

5.5 Application à la commande en vitesse d'une machine asynchrone

5.5.1 Nomenclature des paramètres de la machine

vd_s(t) et v_qs(t) : tensions statoriques selon laxe d et l'axe q,

id_s(t) et i_qs(t) : courants statoriques selon laxe d et l'axe q,

L_s et L_r : inductances cycliques statorique et rotorique,

L_m : inductance mutuelle cyclique maximale entre le statoret e rotor

u = 1 - L m 2: coefficient de fuite,

L_s L_r

Öd_r(t) et Ö_qr(t) : flux rotoriques selon l'axe d et l'axe q,

R_s et R_r : resistances statorique et rotorique,

ù_s(t) et ù_r(t) : pulsation des courants statoriques etrotoriques,

P : nombre de paires de pôles,

C_e(t) : Couple électromagnétique

C_r(t) : Couple résistant,

f : coefficient de frottement visqueux,

J : Moment d'inetie de la partie tournante,

ù(t) : vitesse mécanique de la machine.

5.5.2 Valeurs numériques des paramètres de la machine

Courant de phase nominal : I_n = 6.31 / 3.64 A, Puissance nominale: Pnom = 1500 W, Tension de phase nominale : Vnom = 220 / 380 V, fréquence : 50 Hz, Vitesse mécanique nominale : ùnom = 1500 tr/min; Couple nominal : Cenom = 10 N.m; Nombre de paires de pôles : P = 2; L_s = 0.274 H; L_r = 0.274 H; L_m = 0.258 H; R_s = 4.85 Ù ; R_r = 3.08 Ù ; f = 8.10^-3 kg.m²/s; J = 31.10^-3 kg.m2.

5.5.3 Mode! de park de !a machine asynchrone

La modélisation de la machine asynchrone est un point largement reprisdansaitté rature [5], aussi on donne dans ce qui suit le modèle dynamique en représentation d'état de la machine dans le référentiel lié au champs tournant (d, q), en choisissant comme variable d'état: les courants id_s(t), i_qs(t) ainsi que les flux rotoriques _Ödr ^et _Öqr. Il est donné

par: avec :

d dt

? ?

is(t) Ör(t)

1 ? 1 ? 1 ? 1 A11 A12 is(t) B1 j = ? j ? j + ? j vs(t) (5.30) A21 A22 Ör(t) 0

? ₁ ? ₁ ? ₁

id_s(t) Öd_r(t) vd_s(t)

i_s(t) = ? _j , Ö_r(t) = ? _j , v_s(t) = ? _j (5.31)

i_qs(t) Ö_qr(t) v_qs(t)

et :

h Rs _i h L _m Rr _i h ù_e Lm i

A11 = - a Ls + ^Rr(1-a) I1 - ù_e I2; A12 = - I1 - I2

a L_s L_r a L_s L 2 a L_s L_r

r

h Lm Rr i h Rr i A21 = I 1; A22 = - I1 - (ùe - ùr)I2 Lr Lr		(5.32)
h 1 i B1 =I1 I1 = a Ls	? 1 ? 1 1 0 0 -1 ? j ; I2 = ? j 01 10

Le couple électromagnétique est donné par

[ ]

P L_m

C_e(t) = Öd_r(t) i_qs(t) - Ö_qr(t) id_s(t)(5.33)

L_r

L'équation mécanique est

J ^d ù(t) = C_e(t) - C_r(t) - f ù(t) (5.34)

dt

Principe de commande de la machine

Comme pour la machine synchrone à aimants permanents, e principe de a commande en vitesse de la machine asynchrone consiste à assimiler son comportement à celui dea machine à courant continu à excitation séparée 8]. Ondoit alors découplera commande du couple par la composante en quadrature ducourant et acommande du flux para

composante directe. On utilise dans ce cas aussi le principe de a commande vectorielle qui permet alors d'écrire

? ? ?

Ödr(t) = Ör(t) Öqr(t) = 0

(5.35)

dans ce cas, le couple électromagnétique sécrit

P L_m

C_e(t) = Ö_r(t) i_qs(t) (5.36)

L_r

L'équation du flux devient aussi

Lr Rr

d Ör(t) + Ör(t) = Lm ids(t) (5.37) dt

En tenant compte des relations de léquation (5.34) et en remplaaant'opérateur de dé rivation _dt ^dpar l'opérateur de Laplace s, les équations électriques dela machine (5.30) deviennent :

?

??

??

( )

L m 2

Vd_s(s) = ó L_s s Id_s(s) + R_s + R_r Id_s(s) - ó L_s ù_s(s) I_qs(s) - Rr Lm

L 2 L r 2 Ör(s)

r

( )

L m 2

V_qs(s) = ó L_s s I_qs(s) + R_s + R_r I_qs(s) + ó L_s ù_s(s) Id_s(s) - Lm Lr ùr(s)Ör(s)

L r 2

(5.38) Vd_s(s), V_qs(s), Id_s(s), I_qs(s), ù_s(s), ù_r(s) et Ö_r(s) sont respectivementles transformations de Laplace de vd_s(t), v_qs(t), id_s(t), i_qs(t), ù_s(t), ù_r(t) et Ö_r(t)

Pour contrôler les courant Id_s(s) et I_qs(s) indépendemment l'un de l'autre, les tensions statoriques dans le repère (d, q) sont décomposées selonla relation

? ? ?

Vds(s) = Vdsd(s) + Vds c(s) Vqs(s) = Vqsd(s) + Vqsc(s)

(5.39)

les composantes Vdsd(s) ^et Vqsd(s) compensent les termes de couplage entre les deux axes

? ? ?

Vdsd(s) = -óLsùs(s)Iqs(s) - Rr L Lm r 2 Ör(s) Vqsd(s) = +óLsùs(s)Ids(s) - Lm Lr ùr(s) Ör(s)

(5.40)

et les composantes Vds _c(s) et Vqs _c(s) contrôlent les courants Id_s(s) et I_qs(s) respectivement. De plus, la dynamique des courants étant plusrapide que celle du fluxet de avitesse, leur dynamique peut être négligée pour calculer les paramètresdes régulateurs du ux et de la vitesse. le modèle non linéaire fortement couplé de la machine asynchone est ainsi

FIGURE 5.9: Structure de commande de la machine asynchrone

simplifié en quatre modèles linéaires de dimension 1. On peut par conséquent utiliser quatre régulateurs IF pour commander en vitessela machine. La figure (5.9) montrea structure de la partie commande. la structure decommande globale deamachine est simillaire à celle de la machine synchrone donnée par la figure(5..).

Dans ce cas également, pour utiliser la méthode de dimensionnement des régulateurs IF non entiers développée dansle paragraphe 5.1, on doit déterminer le modèle de dimension 1 de chaque grandeur de la machine (les courants Id_s(s) et I_qs(s), le filux Ö_r(s) et la vitesse Ù(s)).

- modèles des courants

En tenant compte de la décomposition des tensions (5.39) et en supposant quees termes de couplage soient compensés par les composantescorrespondantesVd_sd(s) et Vdsq(s) des tensions Vd_s(s) et Vd_s(s), les équations électriques dela machine (538)

?

??

??

deviennent :

( ~

L m 2

Vds _c(s) = ó L_s s Id_s(s) + R_s + R_r Id_s(s)

L r 2

( ~ ( 5.41)

L m 2

Vqs _c(s) = ó L_s s I_qs(s) + R_s + R_r I_qs(s)

L r 2

qui permet de calculer le modèle transfert commun auxdeux courants

Id_s(s) I_qs(s) G0 i

Gi(s) = Vds c(s) = Vqs c(s) = 1 + Ti s (5.42)

avec :

L ² óLsL ²

r r

G0 i = et Ti = m Rr (5.43)

L r 2 R_s + L m 2 R_r L r 2 R_s + L 2

~ modèle du flux

: A partir de l'équation (536) on obtient

Ö_r(s) G0 Ö

GÖ(s) = Ids ref(s) = 1 + TÖ s (5.44)

avec :

L_r

G0 Ö = L_m et TÖ = Rr (5.45)

Idsref(s) est la sortie délivrée parle régulateur du flux qui sertde référence au régulateur du courant Id_s(s).

~ Modèle de la vitesse

: En utilisant l'équation (5.34) en négligeant le régime transitoire des grandeurs électromagéntiques (Id_s(s) = Idsref(s), I_qs(s) = Iqsref(s) et Ö_r(s) = Örref(s)) et en considérant le couple résistant nul, on obtient

Ù(s) G0 ù

G_ù(s) = Iqs ref(s) = 1 + T_ù s (5.46)

avec :

PL_m Örref J

G0ù = L_r f et T_ù = f (5.47)

Örref étant la consigne constante imposée par lerégulateur du flux _etIqsref(s) est la
sortie du régulateur de vitesse qui sert deréférence au régulateurdu courantIqs(s).

5.5.4 Résultats de simulation et commentaires

La fonction intégrale des régulateurs IF entier utilisées dans les boucles de régulation de courant garantitl'annulation de lerreurstatique quelque soites valeurs des paraa mètres électriques de la machineDe ce fait, ladynamiquede a vitesse estnsensible aux variations de ces paramètres. Cest pourquoi le régulateur IF d'ordre non entier n'est utilisé que dans la boucle de régulation de la vitesse afin daméliorer a robustesse dea commande vis à vis des variations des paramètres mécaniques (lemoment d'inertie ete coefficient de frottements visqueux)

Pour montrer l'avantage de ce régulateur par rapportau régulateur entier, on compare les résultats obtenus par les deux régulateurs.Pour ce faire, comme pouramachine synchrone, on impose les mêmes caractéristiques dynamiques à abouclede vitesse et on utilise la même méthode pour calculer les paramètres des deux régulateurs. On présente également la réponse indicielle de vitesse, pour montrer la qualité de a commande, et l'évolution de la composante en quadraturedu courant pour montrera consommation en courant durant le régime transitoire de la machine.

Les paramètres du régulateur IF d'ordre entier sont calculés de manière à obtenir en boucle fermée, un modèle de dimension deux sinusoïdal amorti caractérisé pares paramètres æ et w_n, les coefficients K _p et Ki sont données par les expressions (527)

Les coefficients (K_p, Ki et a) du régulateur IF non entier sont calculés à l'aide des equations (5.6) et (59) de manière à obtenir enboucle fermée, emodèlenon entier5.8). Les valeurs numériques des modèles de référence entier et non entier ainsi que celles des paramètres des deux régulateurs sontrésumés dans etableau 5..).

Les figures (5.10) et (511) illustrent respectivement es réponsesndicielles de la vitesse obtenue à l'aide des deux régulatreurs et lévolution du courant i_qs(t) pendant le régime transitoire de la vitesse.

La figure (5.10) montre que les deux réponses indicielles sont simillaires.Néanmoins, la réponse obtenue à l'aide du régulateur entier présente des oscillations, ce quin'estpas le cas en utilisant le régulateur non entierLafigure(5.11),montre qu'avece contrrleur non entier, le courant présente un pic légèrement plus grand pendant e régime transitoire

type de re- gulateur	paramètres du modèle entier		paramètres du modèle non entier		paramètres des régulateurs
	æ	ùn	d	â	á	K p	Ki
Régulateur non entier	J2/3	16	47.18	1.39	0.39	-0.004	-142.44
Régulateur entier	»	»	-	-	-	0.30	28.40

TABLE 5.3: Paramètres des modèles de référence et des deux régulateurs

FIGURE 5.11: Evolution du courant i_qs(t) pendant le régime transitoire de la vitesse.(1) : régulateur non entier, (2) : régulateur entier

de la vitesse. Cela signifie queles contrôleurs non entiersne consomment pas plus de courant, donc plus d'énergie

Pour finir, afin de montrerla robustesse des régulateursvis visdes paramètres mécaniques, plusieurs valeurs du moment dinertie J sont considérées (#177;50% de sa valeur nominale) pour les deux contrôleurs. Lesrésultats obtenus sont présentésuresfigures (5.12) et (5.13)

La figure (5.12) montre que le dépassement de la réponse ndicielle estnsensible au variations du moment d'inertie en utilisant lerégulateur non entiercourbe1, 2 et 3) contrairement au régualteur entier (courbe 4 et 5) dont le dépasement varie considérablement. Il faut noter égalementtel que le montre lafigure(5.13) quea robustesse obtenue avec le régulateur non entier ne se fait pas audétriment de a consommation en courant, puisque les pics sont sensiblement identiques dans les des deux cas.

FIGURE 5.12: Réponse indicielle de la vitesse avec variationdu moment d'inertie.(1- valeur nominale de J, 2- régulateur non entier avec --50% de J, 3- régulateur non entier avec +50% de J, 4- régulateur entier avec --50% de J, 5- régulateur entier avec +50% de J)

FIGURE 5.13: Variation du courant _qs avec variation du moment dinertie. (1- valeur nominale de J, 2- régulateur non entier avec --50% de J, 3- régulateur non entier avec +50% de J, 4- régulateur entier avec --50% de J, 5- régulateur entier avec +50% de J)

5.6 Analyse de la robustesse

~ L'erreur statique est nulle en utilisant les deux types de régulateursquelque soientes variations de f et J en raison du fait qu'en régime permanent ( s = 0) les fonctions de transfert en boucle fermée obtenues en utilisant e régulateurIF d'ordre non entier (5.2) et en utilisantle régulateur IF d'ordre entier (5.28) sont égales à 1 quelque soit les variations de f et J.

~ Pour montrer l'influence des variations de f et J sur le temps d'établissement dela vitesse, il faut étudier leurinfluence sur le terme KiKpG0

T qui permet d'imposer la

valeur de w2

n dans le cas entier et la valeur de d dans le cas non entier.

~ Enfin, pour montrer l'influence des variations de f et J sur le dépassement de la
réponse indicielle de la vitesseil faut analyser leur influence sur eterme 1+KpG0

T qui détermine la valeur du coefficient damortissement æ, dans le cas entier et qui permet en annulant le terme a1, d'obtenir la structure (58) qui garantiea robustessedu dépassement dans le cas non entier

Pour ce faire, on remplaceles paramètres des régulateurspareurs expressionsess pectives en considérant quil ny a aucune variation sur les paramètres deamachineles expressions de G0 et T sont celles obtenues avec f et J). Par contre, on remplacele gain statique et la constante de temps par leur expression enconsidérant des variationsÄJ sur le moment d'inertie et Äf sur le coefficient de frottement visqueux. On les notera alors G0 _ÄJ et TÄJ lorsqu'on étudie l'influence des variations du moment dinertie J et G0 _Äf et TÄf lorsqu'on étudie l'influence des variations du coefficient de frottement visqueux f.

De plus, l'expression du gain statique de la fonction detransfertde a vitesse dea machine synchrone à aimants permanents et de la machine asynchrone étant simillaires et l'expression de la constante de temps dans les deux machines étant amême, 'analyse de la robustesse se fera de la même manière dans les deux cas.Pour ne peut e~ectuere même travail deux fois on remplacera le gain statique de a focntion de transfert dea vitesse dans les deux machines par

cste

G0ù = (5.48)

f

avec :

cste = Lr pour la machine asynchrone

cste = 2 pour la machine synchrone à aimants permaments

P L_m Ör ref

3 P Öf (5.49)

Rappelons également que les paramètres durégulateur d'ordreentiers sont donnés par:

2 æ w_n T -- 1 T w2 n

K_p =et Ki=

G0 2 æ w_n T -- 1

et ceux du régulateur d'ordre non entier sont donnés par

1

K_p =-- et Ki =--dT

G0

5.6.1 Analyse de la robustesse vis à vis des variations de f

=

En utilisant le régulateur d'ordre entier temps d'établissement :

(2 æ w_n T_1'\( Tw2 '\( cste '\

n

G0 2 æ w_n T _1 f+Äf

Ki K _p G0 Äf

TÄf f +Äf

J

Ki K p G0 Äf TÄf

" J # cste f f+Äf = w ^2 = w ^2 n (5.50) n cste J f f+Äf

Les variations du coefficient de frottement visqueux nont donc aucune n~uence sure temps d'établissement de la réponse indicielle de la vitesse, confirmant ainsies résultats de simulation présentés dansla figure (57)

dépassement de la réponse indicielle :

1 + K p G0 Äf TÄf	=	(2 æ wn T _1 '\ ( cste '\ 1 + G0 f+Äf
			J
			f +Äf

1 + K _p G0 Äf

=

TÄf

2 æ wn J f _1 1 + cste

cste
f +Äf

f

J f +Äf

1 +Kp G0 Äf TÄf

Äf =2 æ wn+ J =2æÄfwn (5.51)

Äf étant le coefficient d'amortissement dû aux variations ducoefficient de frottee ment visqueux f, il peut alors s'exprimer en fonction du coefficient damortissement , correspondant à la valeur nominale de f, par :

Äf

Äf = + (5.52)

2 J ù_n

Cette relation montre queles variations de f agissent sur le dépassement dela réponse indicielle, ce qui n'est pas le cas d'après les résultats obtenues parsimulation figure 5..). Pour expliquer cette différenceon a calculé les valeursnumériques relatives ÄæÄf

æ ) pour ù_n = 8.24, J = 5.1 10^--3 et plusieurs valeurs de f. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau (5.6).

Äf	10%	20%	50%	70%	100%	150%	200%
Ä Äf ÄæÄf	0.0033 0.0047	0.0067 0.0094	0.0167 0.0236	0.0233 0.033	0.0333 0.0471	0.05 0.0707	0.0666 0.0942
æ

TABLE 5.4: variations relatives de _Äf pour différentes valeurs de f

Ces résultats montrent que les variations relativesde _Äf sont très faibles par rapport à . Cela explique pourquoi les variations de f semblent ne pas agir sur le dépassement de la réponse indicielle, con firmant ainsi les résultats desimulationde a figure5..).

(--d T )k--1 ) G0 Ä f

G0

= TÄf

En utilisant le régulateur d'ordre non entier

temps d'établissement :

Ki K _p G0 Ä f

TÄf

Ki K p G0 Ä f	=	k dJ ) k f ) k cste ) f cste f+Äf J f +Äf	= d (5.53)
TÄf

Dans ce cas également, les variations du coefficient de frottement visqueux n'ont aucune influence sur le temps d'établissement de la réponse indiciellede la vitessecon firmant es résultats de simulation montrés par la figure (5..7).

dépassement de la réponse indicielle :

a1 =

1 - ~ f ~ ~ cste ~ cste f+Äf J f +Äf

Äf = J (5.54)

" J #

cste r _J ~

Dans ce cas aussi, cette relation sembleêtrecontraireaux résultats obtenus par simulation. Pour montrer que les résultats concordrent, nous avonscalculé, dansune premiire étape, les valeurs du coefficient a1 correspondant aux différentes valeurs de f. Les résultats sont donnés dans le tableau (5.5)Dans une seconde étape, nous avons calculées racines des

Äf	10%	20%	50%	70%	100%	150%	200%
a1	0.0549	0.1098	0.2745	0.3843	0.549	0.8235	1.098

TABLE 5.5: variations relatives de a1 pour différentes valeurs de f

polynômes entiers correspondants aux polynômes non entiersobtenus poures différentes valeurs du coefficient a1 (nous avons remplacé la valeur de á = 0.39 par á = 0.4 pour réduire le nombre de pôles à calculer) Ces pôles sont ensuite comparés à ceux du polynôme caractristique obtenu pour a1 = 0 correspondant à la valeur nominale de f. Les résultats obtenus sont illustrés parla figure (514)

Ces résultats montrent que les variations du coefficient d'amortissementf ne modifient pas beaucoup la position des pôles dela fonctiondetransfert enboucle ermée, connrmant ainsi les résultats obtenus par simulation.

5.6.2 Analyse de la robustesse vis à vis des variations de J

~ 2 æ ù_n T --1 ~ ~ T ù ~ ~ _cste ~

n

G0 2 æ ù_n T --1f

En utilisant le régulateur d'ordre entier

temps d'établissement :

Ki K p G0ÄJ

=

TÄJ

J+ÄJ
f

FIGURE 5.14: Position des pôles pour différentes valeurs de a1

Les variations du moment dinertie agissent sur le temps d'établissement dea réponse indicielle de la vitesse. Cela confirmeles résultats desimulation présentés para gure (5.8), (courbes 5 et 6) pour la machine synchrone à aimants permanents et la figure 5.12), (courbes 4 et 5) pour la machine asynchrone.

dépassement de la réponse indicielle :

1 + K p G0 ÄJ		=	1 + (2æùnJ) f _1 ) (cste cste f f
TÄJ			J+ÄJ f
1+ K p G0ÄJ	J = 2 wn J + ÄJ = 2 ÄJwn (5.56)
TÄJ

Dans ce cas aussi, on peut exprimer le coefficient damortissement _ÄJ, dû aux variations du moment d'inertie J, en fonction du coefficient d'amortissement , il est donné par :

ÄJ = J (5.57)

J + ÄJ

Pour apprécier l'influence des variations de J sur le coefficient d'amotissement ÄJ, donc sur le dépassement de la réponse indicielle, on présente dans e tableau 5.5)es valeurs numériques des variations relatives de _ÄJ par rapport à pour différentes valeurs de ÄJ.

Ces résultats montrent que ces variations sont relativement mportantes, qui prouvent que les variations de J agissent bien sur le dépassement de la réponse indicielle de la

vitesse telle que le montre la figure (58) (courbes 5 et 6) pour la machine synchrone à aimants permanents et la figure (512) (courbes 4 et 5) pour la machine asynchrone.

ÄJ	10%	20%	50%	70%	100%	150%	200%
ÄæÄJ ÄæÄj	0.6428 0.9091	0.5893 0.8333	0.4714 0.6667	0.4159 0.5882	0.3536 0.5	0.2828 0.4	0.2357 0.3333
æÄj

TABLE 5.6: variations relatives de æÄJ pour différentes valeurs de J

=

f _dJ ) f _f ) f _cste )

f cstef

En utilisant le régulateur d'ordre non entier

temps d'établissement :

Ki K _p G0 ÄJ

TÄJ

J+ÄJ
f

Ki K p G0ÄJ	= d J (5.58) J + Ä J
TÄJ

Cette relation montre queffectivement les variations du moment d'inertie affecteeemps d'établissement de réponseindicielle confirmant ainsi les résultats de simulation présentés par la figure (5.8), (courbes 3 et 4) pour la machine synchrone à aimants permanents et la figure (5.12), (courbes 2 et 3) pour la machine asynchrone.

dépassement de la réponse indicielle :

a1 =	1 + K p G0 ÄJ	=	1 - f f ) fcste ) cste f J+ÄJ f	= 0 (5.59)
	TÄJ

Dans ce cas aussi, les variations de J n'affectent pas le dépassement dela réponse indicielle ce qui est conforme aux résultats desimulation présentésparafigure5.8),courbes3 et 4) pour la machine synchrone à aimants permanents et afigure 5.12), courbes2 et 3) pour la machine asynchrone

s + 3KpKiÖf

2J

(f+3P KpÖf )

s2 + J

^2J (5.60)

Ù(s)
ùref(s)

3KpKiÖf

=

5.7 Comportement des régulateurs IP entier et non entier à une sollicitation du couple résistant

L'ordre non entier introduit par la dérivationet 'intégrationnon entièresn'étant pas une pondération de ces fonctions mais une puissancede l'opérateur de Laplace, lpermet d'imposer une caractéristique de la boucle fermée indépendamment desparamètres du système. C'est ce qui est montré dans ce chapitre àtraversa commande en vitesse dea machine synchrone à aimants permanents et la machine asynchrone, où e dépassement de la réponse indicielle est indépendante des variations des paramètresmécaniques,lemoment d'inertie en particulier, ce qui nest pas le cas lorsqu'on utilise es régulateursPID entiers classiques. Dans ce qui suit, on étudie le comportement des régulateursIP entier et non entier lorsque la machine est sollicitée par un couple résistant.Le comportement étant similaire pour les deux machines, les résultats desimulation qui sont donnés et'analyse qui en sera faite, sont ceux obtenus dans la commandede la machine synchrone à aimants permanents.

Pour ce faire, on a considéré la vitessederéférence nul et on a njectéun couple résistant en échelon de valeur 0.8 N.m, pour montrer lévolution de a vitesse relative à cette sollicitation (En réalitécet essai doit être fait enun point de fonctionnement nominal de la machine). Les résultats obtenus sontdonnés par a figure 5.15). Ces résultatsmontrent que le IP d'ordre entier rejettela perturbationducouple beaucoup plus rapidement que ne le fait le régulateur IP d'ordre non entier.

Pour expliquer pourquoi le régulateur non entier a un comportement moinsperformant que le régulateur entier, alors quils ont été dimensionnés de sorte queeur fonction de transfert en poursuite soit équivalente, calculons es fonctions de transfert en boucle fermée en poursuite et en rejet de perturbation.

Rappelons que le schéma de commande de la boucle de vitesse est celui de a figure 5.16. ~ Lorsqu'on utilise le régulateur IP d'ordre entier (a = 1), on obtient :

5.7 Comportement des régulateurs IP entier et non entier à une sollicitation du couple résistant 195

FIGURE 5.15: Comportement des régulateurs enrejet de perturbatton, trait plein : régulateur IP entier, trait discontinu : régulateur IP non entier)

= s			( Ù(s) ) 2 3KpKiÖf ùref (s)
et	Cr(s)^= Ù(s)	J s 1
		(f+3P KpÖf ) s+ 3KpKiÖf s2+ J 2 J		(5.61)

Cette relation montre quela réponse indiciellede la fonctionde transfert en rejet de perturbation est la réponse impulsionnelle de la fonctionde transfert en poursuite. Comme les réponses indicielle et impulsionnelle ont le même temps détablissement, Le comportement dynamique du régulateur IF d'ordre entier est le même en poursuite et en rejet de perturbation.

~ Lorsqu'on utilise le régulateur IF d'ordre non entier (a =6 1), les fonctions de transfert en poursuite et en rejet de perturbation sont données par

Ù(s)

Wref(s)

3KpKiÖf

^2J (5.62)

(f+3P KpÖf )

sa+1 + s^a + 3KpKiÖf

J 2J

et	Cr(s)^= Ù(s)	J sa 1
		(f+3P KpÖf ) sa+ 3KpKiÖf s^a+^1+ J 2 J	(5.63)

( _Ù(s) )

= _sa 2

3KpKiÖf ùref (s)

Dans ce cas, la réponse indicielle du transfert enrejet de perturbationn'est pas la réponse impulsionnelle de la réponse indicielle dutransfert en poursuite mais sa dérivée à l'ordre non entier a. Comme la dynamique d'établissement des systèmes non entiers est d'autant plus lente que lordre nonentier estprocce de éro, cela explique le comportement du régulateur IF non entier lors de la sollicitation du couple résistant.

Il faut noter, que ce comportement estsimilaire à tous es régulateursnon entiers
dont les paramètres sont calculés desorte à obtenir enboucle ferméea fonction de
transfert (5.7) qui garantie larobustesse dudépassement dea réponsendicielle11.

5.8 Conclusion

Dans ce chapitre, on a proposé une nouvelle méthodededimensionnement du régulaa teur IF d'ordre non entier par placement de pôles. Contrairement à'approche habituelle qui consiste à imposer les pôles du polynôme caractéristique de aboucle fermée, on a proposé une autre approcheCelle-ci utilise les paramètresdu régulateurpour annuler quelques coefficients de ce polynôme pour obtenir enboucle fermée a fonction de transfert de l'équation (5.7). En effetsa structure permet d'imposeredépassement dea réponse indicielle à l'aide de l'ordre non entier et non pas à laide des paramètresdu régulateur garantissant de ce fait sa robustesse vis à vis des paramètresdu système.

Les paramètres d et â du modèle de référence (5.7) ne pouvant pas être déterminés à partir des caractéristiques dynamiques de la réponse ndicielleledépassement ete temps de réponse), on a utiliséles algorithmes génétiques.Cesdeuxparamètresont alors optimisés tels que la réponseindicielle du modèle non entier (5.7) soitéquivalente à celle d'un système entier de dimension deux dont les paramètres æet w sont faciles à choisir.

L'application du régulateur IF non entier à la commande en vitesse de la machine synchrone à aimants permanents et de la machine asynchrone a montré sonntérêt. En effet, le dépassement de la réponse indicielle de la vitesse nedépend plus desparamètres mécaniques de la machine (le moment dinertie en particulier), caractéristiquemposs sible à obtenir à l'aide du régulateur entier classique.Cette robustesse pouvant êtrea caractéristique principale àimposer dans certaines applications.

Il faut signaler enfin, le mauvais comportement du régulateur IF non entier lorsque la machine est sollicitée par un couple résistant contrairement au régulateurIF d'ordre entier. Ce problème pouvant être ajouté aux nombreusesquestions concernanta commande non entière aux quelles il reste à trouver des réponses.

La discussion des principaux résultats obtenus ainsi que les perspectives qui peuvent compléter le contenu de ce mémoire font lobjet decette conclusionn

Le chapitre 1 a été consacré à la présentation des diifférentes définitions de adérivaa tion et intégration non entière. Il a été, en particulier, mis en évidence e caractèreongue mémoire de ces opérations contrairement au caractèreocalde a dérivation et'intégraa tion entière classique. C'est cette caractéristique qui est di~cile à reproduireors dea simulation ou la réalisation des systèmes non entierssC'estpourquoieur approximation par des modèles entiers est actuellement la seule alternativee

Dans la seconde partie de ce chapitre, après avoir présenté esdéfinitions debase des systèmes non entiers, une autre caractéristique ntrinsèque a étémise en évidenceeElle consiste en la résolution des polynômes non entiers pour esquelson ne peut pas savoir a priori combien de racinesils possèdent contrairement aux polynômes entierssLa méthode de résolution présentée consiste à approximer aussi epolynôme non entier par un polyy nôme fractionnaire à partir duquel, à laide dun changement de variable adéquat, permet une nouvelle fois d'utiliser les outils propres aux systèmes entierss

Enfin, le passage de la représentation transfertàa représentation d'état a étéraité de manière particulière car ce point est très peu abordé dans aittératuree Les perspectives possibles dans ce domaine sont notamment

~ le passage de la représentation transfert à a représentation d'état pour lesystèmes non commensurables multivariables.

~ établir les conditions de stabilité dessystèmes non commensurables, d'aborddans
le cas monovariable ensuite dans le cas plus général des systèmesmultivariabless
~ un autre problème qui serait intéressant détudier est e changement debasedansa

représentation d'état des systèmes généralisés, permettant ainsi d'obtenir des formes "canoniques" simples rendant possible la commande des systèmesnon entiersmultivariables. Problème qui n'est pas encore abordé

Le chapitre 2, outre la méthode d'approximation utilisant ledéveloppement en frac tions continu qui a été proposée, a permis de développer desmodèles entiers qui approximent le modèle non entier implicite dans les domaines continuet discret.La discrétisation des modèles continus non stationnaires qui modélisent les systèmesmplicitesdansa re présentation d'état fait aussi lobjet decechapitre.

Celui-ci contient également une nouvelle applicationdont les modèlesnonentierspeuvent constituer une solution. Il sagit des problèmes de compression oude stoccage de données. Les perspectives dans ce domaine peuvent être

~ développer des méthodes d'approximation utilisant d'autres structuresnon entières

qui puisse compresser des modèles comportant des pôes et des éros complexes.
~ étudier des applications réelles utilisant ce typedecompression de données à 'aide

de modèles non entier, dans la parole oulimage, parexemple.

Le chapitre 3, qui contient les principaux résultats de cette thèse, a été consacré au développement de deux modèles entiers qui approximent un modèle non entier généralisé multivariable dont les ordres de dérivation sont quelconques.Le premiermodèleutilise l'approximation de l'opérateur de dérivationet le deuxième utilise cellede 'opérateur d'intégration. Ce dernier a été rendu possible grâce àa nouvelle représentation d'état utilisant l'opération d'intégration, à la place de 'opération de dérivation usuelle, qui a été proposée. L'intérêt de ces modèles, en plus dêtre généraux, puisque'ils sont valables aussi bien pour les modèles commensurables et non commensurablesmonovariables ou multivariables, ils ne posent aucune restriction sures ordresnon entiers.

Il faut noter également que les erreurs dapproximationen basses et enhautes fréquences, d'abord du dérivateur généralisée, ensuite des modèles entiers, ont été caractérisées. Ces erreurs ont mis en évidence que le paramètre e plus mportant dontl faut

tenir compte est la largeur de la bande dapproximation etnon pasenombre de cellules utilisées.

Un autre résultat important qui a été présenté dans ce chapitre, est'utilisation des techniques de réduction de modèle qui a permis deréduiretrès considérablement es dimensions des modèles entiers qui approximent le modèle nonentier.Résolvant ainsi le problème de réalisation des systèmes non entiers, problème qui a souvent été décrié comme étant leur inconvénient.

Il reste néanmoins deux pointsimportants quil faut résoudrepour compléter cette approximation des systèmes non entiers enreprésentation d'état

~ Etablir les conditions de stabilité des modèles dapproximation.

~ Etablir une définition générale de la représentationd'état des systèmesnon entiers qui tiennent compte des conditions initiales.

~ Tenir compte de ces conditionsinitiales dans les modèles entiersqui approximente modèle d'état non entier.

Le chapitre 4 a été consacré à l'identification dessystèmes nonentiersdans edomaine fréquentiel. Le résultat présenté consiste en 'association deaméthode d'optimisation par essaim particulaires "PSO" et l'algorithme d'identification "Vector itting" pour obtenir un nouvel algorithme Hybride pour l'identificationdes systèmesnon entiers fortement non linéairesCe résultat peut êtreétendu aucasdes systèmes non entiers généralisés.

Le chapitre 5 a traité de la commande des systèmes entiers par des régulateurs non entiers. On a alors proposé une nouvelle méthodededimensionnement du régulateur IP d'ordre non entier par placement de pôles. Contrairement à'approchehabituelle qui consiste à imposer les pôles du polynôme caractéristique de aboucle fermée, on a proposé une autre approche. Celle-ci utilise les paramètres du régulateur pour annuler quelques coefficients de ce polynôme afin d'obteniren boucle fermée, une fonctionde transfert dont la structure permet dimposer le dépassement de a réponsendicielle à 'aide de l'ordre non entier et non pas à laide des paramètres du régulateur garantissant de ceait

sa robustesse vis à vis des paramètres du système.

L'application du régulateur IF non entier à la commande en vitesse de la machine synchrone à aimants permanents et de la machine asynchrone a montré sonntérêt. En e~et, le dépassement de la réponseindicielle de la vitesse ne dépend plus des paramètresméé caniques de la machine (le moment d'inertie en particulier) caractéristiquempossible à obtenir à l'aide du régulateur entier classique. Il faut noter néanmoins, emauvais comporr tement du régulateur IF non entier lorsque la machine est sollicitée par un couple résistant contrairement au régulateur IF d'ordre entier. Ce problème étant commun àtoutes es structures de commande non entières, il serait intéressant d'étudier ce problème.Lutilii sation de la méthode d'optimisation PSO associée auxtechniques de commande robuste pourrait être un moyen dele résoudre.

Il faut souligner enifin, que tousles développements théoriquesqui ont été présentés, proposés ou développés tout au long des cinq chapitres de ce mémoireont été validés par simulation. Beaucoup de programmes informatiques ont alors été écrits, même si à notre sens ils ont été fait de manière assez rudimentaire.Un autre chantiernonmoinsmportant serait de structurer tous ces algorithmes numériquesdans une toolbox quiervirait d'outil au développement d'autres résultats que ce soitdans le domaine de 'identiification oue domaine de la commande des systèmes entiers ou non entierspardesoisde commande utilisant la notion de dérivation non entière.

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