Contribution à l'analyse et la synthèse des systèmes d'ordre fractionnaire par la représentation d'état

Chapitre 3

Approximation des systèmes non

entiers en représentation d'état

3.1 Introduction

L'approximation des systèmes non entiers par des modèles d'ordre entier, consiste à remplacer l'opérateur de dérivation dordre non entier parun modèle d'ordre entier qui l'approxime sur une bande de fréquences donnée. Le modèle entier ainsiobtenu peut tre utilisé pour l'analyse, la réalisation et lasimulerdu système nonentierrPlusieursolutions ont été proposées [12], [30] [64] 70] 76] Néanmoins, a plus part sont développées dans la représentation transfert où la manipulationdes ordresnon entiers est plus aiséee Très peu de travaux ont abordé ce problème dans la représentation d'état21]_]53]_]55]_] [70] et aucun ne concerne l'aspect général du problème, à savoirconsidérer des systèmes multivariables non nécessairement commensurabless l faut noter également, qu'aucun calcul concernant l'erreur dapproximation naété proposé usqu'àmaintenantt

Dans la première partie de ce chapitre, ondéveloppedans un premiertempsun modèle d'état d'ordre entier qui approxime un modèle détat non entier multivariablenonnécess sairement commensurable. Une analyse du modèle est ensuite développée dansaquelle on montre les conditions d'existence dune telle approximation. Oncaractérise ennn'err reur d'approximation du modèle non entier par le modèle entierrCe résultat est ensuite

utilisé pour montrer quele paramètre le plus important prendre en considérationpour approximer un système non entier par un modèle entier est a argeur deabande de fréquences de validité de cette approximation et non pas, comme cela a été suggéré par de nombreux auteurs, la dimension du modèle entier qui approxime 'opérateur de dérivation non entier.

Dans la deuxième partie de ce chapitreon développe une autreapproximation enutii lisant l'approximation delopérateurdintégration.Pour ce faire, on propose d'abord une nouvelle représentation détat utilisant lopérationd'intégration a place deaeprésenn tation usuelle utilisant l'opération dedérivation. Nous caractérisonsdans ce cas également les erreurs d'approximation aussi biendurant le régime transitoirequ'au voisinage det = 0 et t -* 8.

A l'instar de toutes les méthodes dapproximation, les deux modèles entiers ainsi dé veloppés ont "l'inconvénient" davoir une dimensionrelativement mportantenotamment lorsque le modèle non entier estlui même de grande dimension.On montredansa troii sième partie de ce chapitre, quel'utilisation des techniques de réductionbasées sures valeurs singulières du système peut être une solution pour réduiretrès considérablement la dimension du modèle entier tout en gardant unebonne précision.

Une étude comparative entreles deux modèles dapproximationcllture ce chapitre.

3.2 Calcul des erreurs d'approximation du dérivateur généralisé

Les deux modèles d'approximation qui sont développés dans ce chapitre sont basés sur l'approximation du dérivateur généralisé par e transfert rationnel borné en fréquences présenté dans le paragraphe 1.7.4 du chapitre 1. Par conséquent, la caractérisation des erreurs d'approximation du modèle dordre non entier paresdeuxmodèles d'état entiers, dépend également de l'erreur commise lors de lapproximationdudérivateur généralisé. C'est pourquoi, on caractérise dabord, dans ce présent paragraphe, cette erreur notamment en basses et en hautes fréquences où elle est la plus importante.

FIGURE 3.1: erreur d'pproximation du dérivateur généralisé (2) par le dérivateur borné en fréquences (1).

3.2.1 erreur d'approximation du dérivateur généralisé par e déé rivateur borné en fréquences

Les diagrammes de Bode du dérivateur généralisé D_gen(s) et celui du dérivateur borné en fréquences _Dborn'e(s) étant symétriques par rapport au point correspondant àà w = 1 et GaindB = 0, l'erreur d'approximation en w = wh est la même qu'en w = wb. On présente dans ce qui suit le développement du calcul de lerreur dapproximation àà a borne w = wb.

L'erreur d'approximation notée e_a(s), est exprimée par

ea(s) =Dgen(s) -Dborn'e(s) = s^a - D0

1 + sWb a 1+ s Wh )

Comme on ne s'intéresse qu'à l'erreur sur les modules, on remplace cette erreur par e_a(w) = D gen(.7w) dB - Dborn'e(.7w) dB (3.1)
La figure (3.1) illustre lerreur e_a(w) pour a = 0.5 et wb = 10³.

Lorsque w = wb, cette erreur est égale à

eá(wb) =

2 2 20a log(wb) -- 20a log(wb) + 10a log (1 + (wb) -- 10a log (1 + wb (3.3) ~wb wh

Comme (Wb )2 < 1, log (1 + (Wh2) r=j 0, l'erreur d'approximation est finalement donnée

Wh

par :

e_á(wb) = 10 a log (2) (3.4)

L'erreur d'approximation du dérivateur généralisé par e dérivateur borné en fréquences ne dépend donc que de l'ordre de dérivation non entier elle est ndépendante de a argeur de la bande d'approximation. Le tableau (3.1) donne les valeurs de e_á(wb) pour quelques valeurs de a. On constate que e_á(wb) est relativement petite pour des ordres de dérivation

a

0.7

0.5

0.3

0.1

0.9

eá(wb)dB

2.7083

0.3010

0.9031

1.5051

2.1071

TABLE 3.1: Erreur d'approximation obtenue pour quelques valeurs de a

voisins de zéro mais devient de plus en plus importante au fur etet à mesure queque a se rapproche de 1.

Pour rendre plus précise l'approximation du dérivateur généralisé par e dérivateur borné en fréquences dans la bande [wb, wh], il suffit d'effectuer réellement lapproximation dans une bande de fréquences plus large [w_mi_n, w_max] telle que :

w_mi_n < wb et w_max >> wh (3.5)

La figure (3.2) illustre lévolution de lerreur d'approximation e_á(wb) lorsque la bande d'approximation est élargie dune décade de part et d'autre. Afin de quantifier 'amélioo ration de la précision ainsi obtenue, calculons dans cece cas aussi 'erreur d'approximation commise aux bornes wb et wh lorsque l'approximation du dérivateur est effectuée dans la bande plus large [w_mi_n, w_max]. Pour ce faire, les bornes w_mi_n et w_max sont elles aussi considérées symétriques par rapport à w = 1. Elles peuvent dans ce cas être écrites sous la forme

FIGURE 3.2: évolution de l'erreur d'pproximation e_á(wb) lorsque la bande d'approximation est élargie d'une décade

D'après la relation (3.2) lerreur dapproximation est donnée par

eá(w) =

20a log(w) -- 20a log(wmin) + 10a log (1 + (ùmin

)^2)

)^2)~~~~~

(3.7)

10a log (1 + (Zax A la pulsation w = wb, cette erreur vaut

e á (wb) =

20a log(wb) -- 20a log(wmin) + 10a log (1 + (ùùmbin)2) 10a log (1+ (ùrax)^2)

(3.8)

En remplaçant w_mi_n et w_max par leurs expressions respectives données par l'équation (3..), on obtient

~~~~~

e_á(wb) =

(3.9)

-- 20a log(wb) + 20a log(wb) -- 20a log(10^v)

U0¹+^í)

+10a log (1+ G^`eb^b) U0^--)

_f \ 2 ₁ N2

10a log (1+ G1)

\ 2 f \ 2)

Pour les mêmes raisons que pour léquation (3.3) _á(ùb) devient

á(ùb) = 10a log(1 + 10^21/) - 20alog(10^21/) (3.10)

Finalement, l'expression de l'erreur est donnée par

)

1 + 10^21/

á(ùb) = 10 a log (3.11)

10^21/

Lorsque u = 0 on retrouve évidementl'expression de lerreurdonnée par'équation 3..) commise lorsque la bande d'approximation nest pasélargie.

Dans ce cas aussi, l'erreur _á(ùb) ne dépend pas de la largeur dela bande de fréquences où s'effectue l'approximationElle dépend néanmoins de son élargissement caractérisé par le paramètre u. Pour montrer l'influence del'élargissement de la bandedapproximation,

on présente dans le tableau (32) les valeurs de (ùb) pour plusieurs valeurs de a et de u.
a	u=0	u=1	u=2	u=3
a = 0.1	0.3010	4.30 10^-3	4.30 10^-5	4.30 10^-7
a = 0.3	0.9031	1.30 10^-2	1.30 10^-4	1.30 10^-6
a = 0.5	1.5051	2.1610^-2	2.17 10^-4	2.1710^-6
a = 0.7	2.1072	3.0210^-2	3.0410^-4	3.0410^-6
a = 0.9	2.7083	3.8910^-2	3.9110^-4	3.9110^-6

TABLE 3.2: Erreur d'approximation _á(ùb) obtenue pour plusieurs valeurs de a et de u

Ce tableau montre que l'erreur dapproximationdiminue d'un rapportde 100 à chaque fois que la bande d'approximation est élargie dunedécade de part et d'autre.

Le choix de la bande de fréquences [ùb, ùh] où doit être effectuée l'approximation du dérivateur généralisé dépend du comportement fréquentiel du système non entier à approximer. Par contre la bande de fréquences où doits'effectuer réellement'approxii mation [ùmin, ùmax] est choisie selon l'erreur d'approximation quon souhaite obteniren ùb et ùh. Il est donc souhaitable de déterminer le paramètrecaractérisant'élargissement

FIGURE 3.3: variation du paramètre délargissement u en fonction de l'erreur d'approximation en dB pour différentes valeurs de a

de la bande d'approximation u en fonction de l'erreur d'approximation quon souhaite imposer. De la relation (3.11) on obtient, après quelquesmanipulations simples

u =

~~~~~

( ) log 10 ^å 10 á - 1 2

~~~~~

(3.12)

La figure (3.3) représente les variations du paramètresu en fonction de l'erreur d'approximation en dB pour différentes valeurs del'ordre non entier a. Elle constitue ainsi une abaque permettant de choisir le paramètre délargissement de abande d'approximation en fonction de l'erreur d'approximation souhaitée.

3.2.2 erreur d'approximation du dérivateur borné en fréquences par un transfert rationnel

Contrairement à l'approximation de Charef 12], qui détermine a récursivité despôles et zéros du modèle entier ainsi queleur nombre à partir de 'erreur d'estimation, Lapp proximation CRONE [64] impose la largeurde labandede fréquences ainsiqueenombre

FIGURE 3.4: Diagramme asymptotique de Bode D_á(s)

de cellules nécessaires à l'approximation. On reprend dans cece qui suit e développement fait par Charef pour déterminer lerreur dapproximation faite en utilisant 'approximaa tion CRONE. On utilise pour ce faire le diagramme asymptotique dudu ieu dede Bode de a mise en série de plusieurs cellules passe bande donné par la figure (3.4).

D'après cette figure et en tenant compte du faut que 'axe des abscisses aa uneune échelle logarithmique, on a

e

tan(a) = log('q)/2 = 20 a (3.13)

l'erreur d'approximation maximale e est donc donnée par

e = 10 a log('q) (3.14)

Comme les bornes de la bande d'approximation [wb wh] sont symétriques, elles peuvent être écrites sous la forme

wb = 10^--P et wh = 10^+P (3.15)

u étant un nombre entier positif. En utilisant lexpression de 'q donnée par l'équation (1.96) du chapitre 1, l'expression de l'erreur, exprimée en dB sécrit finalement

20 a (1 - a) (u + 1)

e = (3.16)

2N + 1

FIGURE 3.5: Evolution de l'erreur en fonction du nombre de singularité N pour ,i = 2

La figure (3.5) représente les variations de 'erreur en fonction du nombre de singularités (2N + 1), pour différentes valeurs de a. La bande d'approximation étant imposée par le système non entier (ici on a considéré ,i = 2).

A titre d'illustration et de comparaison, on présente dans etableau3.3)es valeurs numériques de l'erreur obtenue pour quelques valeurs de N.

	N=1	N=5	N=10	N=20	N=50	N=100
a = 0.1 = 0.9	1.8	0.49	0.26	0.13	0.05	0.03
a = 0.2 = 0.8	3.2	0.87	0.46	0.23	0.09	0.05
a = 0.3 = 0.7	4.2	1.15	0.6	0.31	0.13	0.06
a = 0.4 = 0.6	4.8	1.31	0.69	0.35	0.14	0.072
a = 0.5	5	1.37	0.71	0.37	0.15	0.075

TABLE 3.3: Valeur de obtenue pour différentes valeurs de N et de a lorsque ,i = 2

A partir de la relation (316) on peut déduire une autre relation qui déterminee nombre N caractérisant le nombre de cellules nécessaires pour obtenirune erreur d'app proximation donnée lorsquelordre non entier a et le paramètre ,i, caractérisant la largeur

de la bande d'approximation [ùb ùh], sont fixés.

)

20 á (1 - á) (u + 1) -

N = arondi (3.17)

2

L'erreur d'approximation du dérivateur généralisé s^a, par le filtre passe bande non entier Dborn'e(s) est nulle pou ù = 1 et augmente au fure et à mesure que w s'approche des limites de la bande d'approximation [ùb ùh]; Le maximum étant donné par _a(ùb). Par contre, est l'erreur d'approximation du dérivateurborné en _{fréquencesDborn'e(s)} par le transfert rationnel dans la même bande d'approximation, en une fréquence correspondant à un pôle ou un zéro du transfert rationnel en particulier.De plus, ellen'est qu'une estimation puisqu'elle se base sur le lieu asymptotique et non pas sur lediagramme de Bode exacte.

En comparant, les résultats donnés par les tableaux (3..) et3.3), on constate que pour obtenir une erreur similaire àlintérieurde labande de fréquences, , et à ses bornes _a(ùb), il faut utiliser un nombre très important decellules.En e~et, pour obtenirune erreur d'environ 1/100, équivalente à l'erreur _a(ùb) obtenue avec un élagissement dune décade de la bande d'approximationil faut utiliser N = 100 (le modèle rationnel ainsi obtenu est de dimension 201). Il faut noter néanmoins que ce nombre doitêtre relativisé puisque n'est qu'une approximation.

Par conséquent, on considère que lélagissementde labande d'approximation d'une décade de part et d'autre est suffisante pour obtenir une bonne approximation aux bornes dea bande et pour obtenir une approximationsimillaire à l'intérieur de abande, enutilisant un transfert rationel de dimension raisonnable, on peut utiliserN = 20.

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 91

FIGURE 3.6: Principe d'approximation du système non entier par un modèle entier

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation

Etant donné le modèle d'état dordre non entier (3.18) dont es conditionsnitiales sont supposées égales à zéro

Sys frac :

D^(á)(x) =Ax+Bu y = Cx+Du

(3.18)

avec :

[ ] D^(á)(x) = D^á1x1, D^á2x2 . . . D^ánxn

T

avec : x ? Rⁿ, u ? R`, y ? Rq, A ? R<sup>n×n</sup>, B ? R<sup>n×</sup>`, C ? Rq^×n, D ? Rq^×`.

l'objectif est de développer un modèle détat dordre entier qui approxime e système Sysfrac. Pour ce faire, on se base surle schémadesimulationde la figure (3.6) dansequel l'intégrateur non entier I^(á)(x) est remplacé par son approximation entière.

3.3.1 Résultat principal

Proposition 1 Etant donné (Aai, Bai, Cai, Dai), le modèle d'état équivalent au transfert rationnel qui approximel'opérateur de dérivation nonntierD^ai dans la bande de fréquences [ùb, ùh], alors le modèle d'état dordre entier qui approximee ssstème non entier (3.18) dans la même bande de fréquences est donné par

Sysent1 :

? ? ?

Zÿ =AGZ+BGu Z(0)=Z0 yest CG Z + DG u

(3.19)

où:

????????????? ? ?

??????????????

AG=Ad-Bd(Dd-A)^-1Cd BG=Bd(Dd-A)^-1B

(3.20)

CG = -C(Dd - A)^-1Cd DG = C(Dd-A)^-1B+D

_h ] + [ ]

Z0 = C (Dd - A)^-1 Cd C (Dd - A)^-1 Bu(0)

_h ]

C (Dd - A)^-1 Cd ] + étant la matrice pseudo-inverse de h (Dd - A)^-1 Cd .

AG E ^{(2N+1).n×(2N+1).n,} BG E ^(2N+1).n×m, CG E ^q×(2N+1).n , DG E q×m.

Ad, Bd, Cd et Dd sont données par

?

????????

????????

(3.21)

Ad = Block - diagonal [Aa1 Aa2 ... Aa_n] Bd = Block - diagonal [Ba1 Ba2 ... Ba_n] Cd = Block - diagonal [Ca1 Ca2 ... Ca_n] Dd = diagonal [Da1 Da2 ... Da_n]

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 93

Démonstration 1 Nous avons montré dans le paragraphe 1.7.4 du chapitre 1, que l'opérateur de dérivation d'ordre non entier s^á peut être approximé par un transfert rationnel D_á(s) de dimension finie dont les pôeset éros sont récursivement distribués dansa bande de fréquences bornée [ùb, ùh]. D_á(s), de dimension (2N + 1), est juste propre et caractérisé par un gain constant en dehorsdea bande de validité de'approximation.

Afin de l'utiliser pour approximerle modèle d'état _deSysfrac, on lui associe un modèle d'état de la forme

Dá(s) :

? ? ?

ÿzá = Aázá+Báf zá(0) = 0 D^áf Cázá+Dáf

(3.22)

z_á(0) = 0 puisque le modèle d'état (322) est déduit à partir dumodèleransfert deD_á(s).

L'entrée du modèle (322) est lafonction à dériverf(t) et la sortie l'approximation de sa dérivée à l'ordre a. z_á(t) est un vecteur d'état de dimension (2N + 1). Le coefficient D_á ne dépend pas du nombre de cellulesutilisées pour'approximation mais dépend uniquement des bornes de la bande de fréquences de validité de'approximation et delordre non entier a. Les matrices A_á, B_á et C_á sont de dimensions respectives

A_á E ^{R(2N+1)×(2N+1),Bá} _E ^R(2N+1)×1 et C_á E R1×(2N+1).

La dérivée de chaque variable d'état xi du modèle non entier Sysfrac peut alors être approximée en utilisant le modèle d'état (3.22) quis'écrit danseas

Dái(s) :

? ? ?

^ÿzái = Aái zái + Bái xi zái(0) = 0, D^áixi Cái zái + Dái xi i = 1, ..., n

(3.23)

L'approximation de toutes les variablesd'état _deSysfrac peut être réalisée en mettant en parallèle n modèle du type (322)Le modèle d'état global correspondant à ette misen parallèle est alors donné par

D(á)(s) :

? ? ?

Zÿ =AdZ+Bdx Z(0)=0, (3.24) D^(á)(x) CdZ+Ddx

avec :

[ _iT

Z = zT _á1, zT á2 . . . _zT (3.25)

án

Ad E ^{(2N+1).n×(2N+1).n,} Bd E ^(2N+1).n×n, Cd E ^n×(2N+1).n , Dd E ^n×n sont des matrices diagonales par bloc données par

[Aá1]			[Bá1]
Ad=	[Aá2]	, Bd=		[Bá2]	,

...

[Aá_n]

[Cá1]

...

[Bá_n]

Dá1

Cd=	[Cá2]		, Dd=		Dá2
...		[Cán]		...		Dán

En égalisant l'équation desortie du modèle (3.22), qui approximea dérivée non entière du vecteur d'état x(t), et l'équation dynamique du modèle non _{entierSysfrac} (3.18), on obtient

Ax+Bu CdZ+Ddx (3.26)

Le vecteur d'état x est alors donné par la relation

x -(Dd - A)^-1 Cd Z + (Dd - A)^-1 Bu (3.27)

En substituant ensuite la relation (3.27)dans respectivement'équationynamiqueu modèle (3.24) etl'équation de sortie du modèle (3.18) on aboutiu modèlentierui approxime le modèle non entier Sys _frac donné par

Sysent1 :

? ? ?

Zÿ = [Ad - Bd (Dd - A)^-1 Cd] Z + [Bd (Dd - A)-1 B] u yest= [-C(Dd-A)^-1Cd]Z+[C(Dd-A)^-1B+D]u

(3.28)

Pour corriger l'erreur sur la sortie yest introduite par l'approximation des dérivateurs non entiers s^ái, au voisinage de t = 0, on peut utiliser les conditions initiales du vecteur d'état Z(t) telles que :

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 95

cette condition se traduit par

D u(0) = CG Z(0) + DG u(0)
CG Z(0) = (D - DG) u(0)

CG n'étant pas une matrice carrée, Z(0) s'écrit alors

[ ] + [ ]

Z(0) = C (Dd - A)^-1 Cd C (Dd - A)^-1 Bu(0) (3.29)

[ ]

C (Dd - A)^-1 Cd ] + étant la pseudo-inverse de la matrice [ C (Dd - A)^-1 Cd

Le modèle d'état (3.28) dépend ainsi des matrices (A, B, C et D) du modèle non entier Sys _frac et des matrices (Ad, Bd, Cd et Dd) des différents modèles d'état qui approximent les opérateurs de dérivation dordre non entier Il faut noterque cemodèle est uste propre (DG =6 0) même lorsque le modèle non entier Sys _frac est strictement propre. Il faut noter également que ce modèle nécessitelinversionde la matrice ( Dd-A) et que la dimension de la matrice AG est très grande ((2N + 1).n x (2N + 1).n). On montre dans le paragraphe 3.5 que ce problème peut être résolu en utilisant les techniques de réduction de modèle entier.

3.3.2 Condition d'existence du modèle entier

Le modèle entier Sysent1 qui approxime le modèle non entier Sysfrac nécessite l'existence de l'inverse de la matrice (Dd - A). La proposition suivante établi les conditions d'existence de l'inverse de cette matrice.

Proposition 2 la matrice (Dd - A)^-1 existe si, et seulement si, les coeefficientsD_ái de la matrice Dd ne sont pas les valeurs propres généralisées deamatriceA.

Démonstration 2 Cette démonstration est basée sur la dééfinition, donnée dans [65, des valeurs propres généralisées d'une matrice.Ainsi, es valeurs propres généralisées de la matrice A sont les racines du polynôme non entierdééfini par

avec :

D_á(ë) = diag[ëá1, ë^á2 ... ë^án]

Puisque Dd est une matrice diagonale, le déerminant de(Dd - A) est non nul si et seulement si, aucun coefficient Dái de Dd n'est une valeur propre généraliséede amatrice système A de Sysfrac. Rappelons que le coefficient Dái est donné par

= (ùmax ₎ái

( 1 )ái

Dái =ùmin

Remarque 17 Lorsque un des coefficients Dái de la matrice Dd est une valeur propre généralisée de la matrice A, il suffit d'élargir la bande d'approximation pour ccangera valeur de ce coefficient.

3.3.3 Erreur d'approximation pendant le régime transitoire

L'établissement du modèle Sysent1 (3.19) qui approxime le modèle non entier Sysfrac (3.18) étant basée surlapproximationde l'opérateur de dérivations^á, les sorties de Sysent ne sont que des approximations des sorties du modèle non entier Sys _frac. On présente dans ce qui suit l'erreur d'approximation entre les deux vecteursde sortie.

Proposition 3 Soit ederivy(t) = yest(t) - y(t) l'erreur entre les sorties du modèle non entier Sysfrac et le modèle entier Sysent qui l'approxime en utilisant l'approximation de l'opérateur de dérivation.Lerreur ederivy(t) est donnée par

ederivy(t) = C (Dd - A)^-1 ederivx(t) (3.31)

et

Ederivy(s) = C (Dd - A)^-1 (å(s)In ) (s(á)I n - A)^-1 B U(s) (3.32)

avec :

T

[ ]

ederiv _x(t) = ederiv ^x1(t), ederiv x2(t) ... ederiv x_n(t)

et:

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 97

* : désigne le produit de convolution

I_n : est la matrice identité de dimension n

x(t) : est le vecteur d'état de Sysfrac

y(t) : est le vecteur de sortie de Sysfrac

yest(t) : est le vecteur de sortie du modèle entier Sysent1

ederivx(t) : est le vecteur des erreurs dapproximation de la dérivée non entière de chaque variable d'état

åi(t) : est la transformation de Laplace inverse de l'erreur d'approximation de

l'opérateur de dérivation non entier s^ái par le transfert rationnel dont le modèle d'état est donné parl'équation (3.23)

Démonstration 3 L'approximation de la dérivéenon entiire de chaaue variaale d'état se fait selon de schéma de principe dea~gure (3. 7)

FIGURE 3.7: Principe d'approximation de la dérivée non entièredechaque variable d'état

La sortie du transfert s^ái représente la dérivée a`eme

i exacte de xi(t) donnée par

D^áixi(t) = _L_1 [sái xi(s)] (3.34)

et la sortie du transfert D_ái(s), représente l'approximation de la dérivée d'ordreai de xi(t), donnée par

D

ái est xi(t) L_¹[D_ái(s)xi(s)] (3.35)
L'erreur d'approximation de la dérivéede avariaale d'étatxi(t) est donc donnée par

ederivxi(t) = _L_1 [sái xi(s)] - L_¹ [D_ái(s) xi(s)]

]ederiv xi(t) = L_1 [ åi(s) . xi(s)(3.36)

où åi(s) est défini par

åi(s) = s^ái - D_ái(s)

dont le gain en dB est borné parl'expression ((3.66)

Finalement, L'erreur d'approximation dea dérivée dexi(t) est donnée par

ederivxi(t) =åi(t) * xi(t) (3.37)

De ce fait, le système entier Sysent 1 devient égal au système nonentier Sysfrac qu'il approxime lorsque l'erreur dapproximation dea dérivée du vecteur d'état est considérééDans ce cas, le modèle entier (3.24), qui approximea dérivée nonntièreuecteur d'état x(t), devient

? ?

?

Zÿ = AdZ+Bdx

D^(á)(x) = CdZ+Ddx+ederivx

(3.38)

avec :

_{h i}T

ederiv _x(t) = ederiv ^x1(t), ederiv x2(t) ... ederiv x_n(t)

Le vecteur d'état non entier x(t) s'exprime en fonction du vecteurd'état entierZ(t) par

x = -(Dd - A)^-1 Cd Z + (Dd - A)^-1 Bu - (Dd - A)^-1 ederivx

| _{z -I | _{z -I

(3.39)

xest

Comme

y = Cx+Du = Cxest +Du | {z -I yest

-C (Dd - A)^-1 ederivx (3.40)

On obtient finalement

ederivy(t) = yest(t) - y(t) = C (Dd - A)^-1 ederivx(t) (3.41)

Dans le domaine de Laplace, cette relation s'exprime par

Ederivy(s) = C (Dd - A)^-1 Ederivx(s) (3.42)

Ederivx(s) est donné par

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 99

avec :

i(å(s)In ) = diag h å1(s), å2(s) ... å_n(s)

donc :

) Ederiv y(s) = C (Dd - A)^-1 (å(s)In | s			(s(á)I n - A)^-1 B U(s) V- {z s (III)	(3.44)
		{z | {z (I) (II)

L'erreur sur les sorties dépend donc, de aarreur dea ande d'approximation(terme I), de l'erreur d'approximationdudérivateur énéralisé (terme II)t du vecteur d'état de Sysfrac (terme III).

Cette relation montre quela précision sur les sorties est proportionnelle à 'erreur d'approximation de la dérivée non entière, ce qui étaitprévisible, mais ellemontre aussi qu'elle est inversement proportionnelle à la di~érence (Dd - A). Comme la matrice Dd est constituée des coefficients Dái égaux à (1/ù_mi_n)^ái, elle indique le choix de la bande de fréquences d'approximationConnaissant les valeurspropres généraliséesdu modèle non entier à approximer on choisit les bornes de labande de fréquencesdansaquelledoit se faire l'approximation de sorte que

soit le plus grand possible

~ 1 )ái ùmin

- Ài (3.45)

3.3.4 Erreur d'approximation au voisinage de t = 0 et t -* oc

Les équations (3.31) et (332) donnent l'erreur d'approximation desorties dumodèle non entier pendant le régime transitoire. Dans cette section, on étudie, en particulier, l'erreur d'approximation au voisinage de t = 0 et en régime établi (t -* oc).

erreur d'approximation au voisinage de t = 0

à t = 0, notée ederivy(0), est nulle.

Démonstration 4 L'erreur entre les sorties du système non entierSys _frac et celles de modèle entier Sysent 1 qui l'approxime, à t = 0 notée ederivy(0), est définie par :

ederivy(0) = y(0) -- yest(0) (3.46)

En utilisant les équations de sortiesdesmodèles d'état duystème nonntier et de son approximation, et en tenant compte de 'équation ((..2)

ederivy(0) = D u(0) -- (CG Z0 + DG u(0)) = 0

puisque les conditions initialesZ0 du modèle entier sont calculées de manière à annuler cette erreur.

erreur d'approximation en régime établi

Lemma 2 Sous condition que le modèle d'approximation Sysent 1 soit stable, l'erreur d'approximation entre lessorties du modèle non _{entierSysfrac} et celles du modèle entier qui l'approxime Sysent1, en régime établi (t -- ,' oc) notée ederivy(oc), lorsque l'entrée est un échelon, est donnée par

[( ]

₎_1

ederiv _y(oc) = C (ùmin)^(á)In -- A -- (--A)_¹Bu(oc) (3.47)

avec :

[ ]

(ùmin)^(á)In = diag (ùmin)^á1, (ùmin)^á2 . . . (ùmin)^á

A, B et C, sont les matrices du modèle d'état dusystème non entierSysf_rac, I_n est la matrice identité de dimension n et ùmin la borne située en bassesfréquencesdea bande où est réellement effectuéel'approximation des opérateurs de dérivation non entiers s^ái.

Démonstration 5 L'erreur d'approximation dessorties dusystème non entierSysf_rac, en régime établi, notée ederivy(oc), lorsque l'entrée est un échelon, est donnée par

3.3 Approximation des systèmes non entiers en représentation d'état utilisant l'opérateur de dérivation 101

Le modèle transfert Gf _rac (s) correspondant au système non entier Sysent1, (équation 3.18) étant donné par

G frac(s) = C[(s^(á) I_n - A)B + D (3.49)

En remplaçant les opérateurs de dérivation nonnon entiers s^ái (i = 1,
·
·
· , n) par les fonctions de transfert qui les approximent Dái (s), le modèle transfert Gent1(s), correspondant au modèle entier Sysent1, est

Gent 1(s) = C [(D (á)(s)In - A)-11B + D (3.50)

avec

D(á)(s)In = diag[D_á1(s), D_á2(s)
·
·
·D_án(s)]

D_ái(s) étant donné par l'équation (195)

Dái(s) = D0ái	YN i=-N	1+ s ùz,i
		1+ s ùp,i

(D(á)(s)In) = diagD0D0 á2
·
·
· D0á_n] (3.51)_á1,

Comme D0ái= (ùmin)^ái (1.91),

lim (D _(á)(s)I n) = diag [ (ùmin)^á1, (ùmin)^á2
·
·
·(ùmin)án = (ùmin)^(á)In (3.52)

s?0

d'un autre côté

lim (G frac(s)) = C [(- A)^-1]B + D (3.53)

s?0

l'erreur d'approximation entre lesles sorties de Sysfrac et celles de Sysent1, en régime établi, est finalement donnée par

1

ederiv _y(8) = [C [ ((ùmin)^(á)In - A) B + D - C [(-A) + Dlu(8)

ederivy(8) = CR(ùmin)^(á)In - A)^-1 - (-A)^-11B u(8) (3.54)

Dans ce cas, l'erreur ne dépend pas de la qualité de lapproximation mais uniquement de
la limite en basses fréquences de la bande où est effectuée l'approximation des opérateurs
de dérivation non entiers. Lorsque ùmin est égale à zéro l'erreur dapproximation est nulle.

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état

utilisant l'opérateur d'intégration

Considérons à nouveau le modèle détat dordre non entier

Sys frac :

? ? ?

D^(á)(x) =Ax+Bu y = Cx+Du

(3.55)

avec

T

[ ]

D^(á)(x) = D^á1x1, D^á2x2 . . . D^ánx_n

avec x ?Rⁿ, u ? R^e, y ? Rq, A ? R^nxn, B?R^nx`, C?Rq<sup>xn</sup>, D ? Rq<sup>x</sup>`.

L'objectif est dans ce cas aussi de développer un modèled'état d'ordre entier qui app proxime le système non entier sys _frac. Contrairement à l'approximation présentée dans de la paragraphe 3.3.3, qui se base sur l'approximation de lopérateur de dérivation, on développe dans ce qui suit une approche baséesur lapproximation de 'opérateur d'inn tégration. On utilise pour ce faire, la nouvelle représentation d'état utilisant'opération d'intégration qui sera développée dans le paragraphe 3.4.1 et sur l'approximation del'intégrateur non entier par un modèledétatdordre entier qui sera présenté danse paragraphe 3.4.2.

3.4.1 modèle d'état utilisantl'opérateur dintégration

Habituellement, le modèle d'état dun systèmedordreentier inéairenvariantutilisant l'opérateur de dérivation sécrit

? ? ?

ÿx(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

(3.56)

qui exprime les variations des variables détat en fonctiond'ellesmême et des variables d'entrée. La simulation et la réalisation de ce modèle peuvent tre réalisées en utilisant le schéma bloc de la figure (3.8) où la variable détat xi(t) représente la sortie du j`eme intégrateur (j = 1, 2 ... n).

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 103

FIGURE 3.8: Schéma bloc de simuation d'un modèle détat entier

Si on considère comme variable d'état lentréedechaque ntégrateur, qu'onnotewi(t), le vecteur d'état w(t) de la nouvelle représentation sexprime enfonctiondu vecteur d'état x(t) du modèle (3.56), lorsqueles conditions initiales sont nulles, par

Z0 t w(ô)dô = x(t) (3.57)

par conséquent

Z t w(ô)dô et dx( t)

x(t) = dt = w(t) (3.58)

0

En remplaçant le vecteur d'état x(t) et sa dérivée dx(t)

dt par leurs expressions respectives

de l'équation (3.58) dansle modèle détat (3.56) on obtient

? ? ?

w(t) = A f 0 ^tw(ô)dô + B u(t) (3.59) y(t) = C f 0 t w(ô)dô + D u(t)

On appelle ce modèle, le modèle d'état entier utilisant l'opérateur d'intégration. Le modèle transfert équivalent est dans ce cas donné par

[' ] [( [' _])-1]

G(s) = C _s I_n I_n -- A _s I_nB+D (3.60)

La factorisation de la variable complexe s conduit à la formule usuelle de G(s).

La simulation et la réalisation dusystème non entier (3.55) peut également tre obtenu par le schéma bloc de la figure (38) dans lequel ilfaut remplacer 'opérateur d'intégration d'ordre entier par l'opérateur dintégration d'ordrenonentier.La gure3..)llustree schéma de simulation ainsi obtenu

FIGURE 3.9: Schéma bloc de simuation d'un modèle détat dordre non entier

Pour généraliser aux systèmes non entiers le modèled'état 3.59) utilisant'opérateur d'intégration, on utilise de nouveau, dans le schémadesimulationde a figure3.9), comme variable d'état l'entrée de chaque opérateur dintégration d'ordrenon entier. Le vecteur w(t) s'écrit dans ce cas

w(t) = D^(a)(x(t)) (3.61)

T

avec

[ ]

w(t) = Da1 _x1(t), D^a2 x2(t), . . . D^an x_n(t)(3.62)

Lorsque les conditions initiales sont nulles, le vecteur x(t), s'exprime alors en fonction du vecteur w(t) par l'expression

x(t) = I^(a) (w(t)) (3.63)

Le modèle d'état utilisantl'opérateur dintégrationd'ordrenon entieréquivalent au modèle d'état utilisant l'opérateur de dérivationd'ordrenon entier3.55) 'écrit alors

? ? ?

w(t) = AI^(a)(w(t)) + Bu(t) y(t) = CI^(a)(w(t)) + Du(t)

(3.64)

avec

[ ]

I^(a)(w(t)) = Ia1 _w1(t), I^a2 w2(t), . . . I^an w_n(t)(3.65)

C'est cette nouvelle structureutilisant lopérateur d'intégrationnon entier, quiera utilisée pour développer un autre modèle détat dordre entier qui permet d'approximer le modèle d'état d'ordre non entier utilisant lareprésentation d'état usuelle de'équation (3.55).

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 105

Le modèle transfert correspondant, lorsqueles conditionsnitiales sont nulles, est donné par

[ 1 1 [( ] ) G(s) = C s(a) In In - A [ 1 s(a) In

_11

B+D (3.66)

où

_{h i}

1

s(a) I_n = diag sa1 , 1

1 sa2 . . . 1

_sa

(3.67)

=a(s) :

? ? ?

ÿza = Aa za + Ba f za(0) = 0 Ia f Caza

(3.69)

3.4.2 Approximation de l'opérateur d'intégration non entier

L'approximation de l'opérateur dintégration d'ordrenon entiers_^a (a > 0), peut simplement être obtenue en inversant le transfert entier qui approxime'opérateur de déé rivation non entier s^a. Seulement, cela abouti à un modèle juste propre.En utilisant ce modèle entier pour approximer le modèle détat, utilisant 'opérateur d'intégration, on obtiendrai, comme dans le cas delapproximation du modèle non entier utilisant'opéraa teur de dérivation, un modèle d'état juste propre même orsque emodèlenon entier qu'il approxime est strictement propre.

On préfère alors utiliser lapproximationdéveloppée dans 700 qui, au ieu d'approximer directement l'intégrateur non entier s_^a (a > 0), il utilise la forme particulière

1 Ia =a(s) = s

D(1_a)(s) (3.68)

D(1_a)(s) étant l'approximation delopérateur dedérivationd'ordre1 - a (a > 0), donné par l'équation (1.95)

=_a(s) est donc strictement propre et présente un comportement ntégrateur non entier à l'intérieur de la bande d'approximation et se comporte comme un ntégrateur d'ordre entier en dehord de la bande, tel que le montre la figure (3.10).Le modèle d'état corress pondant peut alors être écrit sous la forme

FIGURE 3.10: Diagrammes de Bode de l'approximationde lintégrateur d'ordrenon entier. (trait plein : méthode présentée dans [7O1, trait en pointillésméthode CRONE)

A_a, B_a et C_a sont de dimensions appropriéesdépendant des paramètres utilisés pour l'approximation de l'opérateur dintégrationd'ordrenon entier.

3.4.3 approximation du modèle non entier

Proposition 4 Etant donné (Aai, Bai, Cai), le modèle d'état qui approxime 'opérateur d'intégration non entierD^-ai, ai > 0 dans la bande de fréquences [ùb ùh], alors le modèle d'état d'ordre entier qui approxime e ssstème nonntier(3.5),n utilisantl app proximation de l'opérateur dintégration, dansamêmeande de fréquences, stonné par

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant 'opérateer d'intégration 107

où

{

AG = AI + BI ACI BG=BIB CG = C CI DG = D

(3.71)

AG _{E R}(2N+2).nx(2N+2).n_, BG _{E R}(2N+2).nx._, C_{G E} Rqx(2N+2).n _et DG _E Rqx.e

AI, BI, et CI sont données par

{

(3.72)

AI = Block -- diagonal [Aá1 Aá2 ... Aá_n] BI = Block -- diagonal [Bá1 Bá2 ... Bá_n] CI = Block -- diagonal [Cá1 Cá2 ... Cá_n]

Démonstration 6 Le modèle d'état utilisant lopérateur d'intégration correspondant au modèle d'état non entier utilisant 'opérateur de dérivation Sysfrac est donné par

? ? ?		w(t) = A I ^(á) (w (t)) + B u (t) y (t) = C I ^(á) (w(t)) + D u(t)		(3.73)
-^,q(á)(s) :	{		Z^ÿ=AIZ+BIw Z(0) = 0 (3.75) I(á) (w) CI Z

avec

T

(3 .7 )

[_zT _zT

á1 á2...zá^T]

n

L'intégration non entière de chaque variable d'état wi(t) peut être approximée par le modèle d'état (3.69) qui s'écrit alors sous a orme

-,qái(s) :

{

^ÿzái = Aái zái + Bái wi zái(0) = 0, i = 1, ,n Iái wi Cái zái

(3.74)

En mettant en parallèle, n modèles de ce type, on obtient lele modèle d'état qui approxime l'intégration non entière du vecteur w(t), donné par

AI E ^{(2N+2).n×(2N+2).n} , BI E ^(2N+2).n×n , CI E ^n×(2N+2).n sont des matrices diagonales par bloc données par

[Aá1]			[Bá1]				[Cá1]
AI=	...	, BI =			...	, CI =			...
[Aán]				[Bán]				[Cán]

En substituant l'expression de w(t) de l'équation dynamique du modèle d'état non enn tier (3.73) dans celle du modèle entier (3.77), et enenantompte du ait que I^(á) (w) CI Z, on obtient

( )

Zÿ = AI Z + BI A I^(á)(w(t)) + B u(t) , Z(0) = 0

( )

Zÿ AI Z + BI A CI Z + B u(t) , Z(0)=0

[ ]

Zÿ AI + BI A CIZ+BIBu(t) Z(0)=0 (3.77)

En remplaçant de nouveau, lexpression I^(á) (w) CI Z dans l'équation de sortie du

modèle non entier (373)onobtient

yest CCI Z+Du(t) (3.78)

Les équations (3.77) et (378)peuvent alors tre rassemblées pourbtenir la orme stann dard de la représentation détat

Sysent2 :

? ? ?

[ ] Zÿ AI + BI A CIZ+BIBu(t) Z(0) = 0 yest C CI Z + D u(t) + C x0

(3.79)

3.4.4 Erreur d'approximation pendant le régime transitoire

Dans ce cas aussi, le modèle Sysent2 n'étant qu'une approximation du modèle non entier Sys _frac, ses sorties ne sont que les approximation de celle de Sys _frac. On présente dans ce qui suit l'expression de cette erreurdapproximation pendant e régime transitoire.

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 109

Lemma 3 Soit eintegy(t) = yest(t) - y(t) l'erreur entre les sorties du système non entier Sysfrac et celles du modèle entier Sysent2, qui l'approxime en utilisant l'approximation de l'opérateur d'intégration.ei_nt_egy(t) est alors exprimée par le modèle d'état

? ? ?	ÿeZ= AG eZ + EG eint w eintegy = CG eZ + Ceint w			(3.80)
? ???? ????		AG = AI +BIACI EG = BIA CG=CCI	(3.81)

Les matrices AI, BI et CI sont définies dansl'équation (3.72))

avec

T

[ ]

einteg _w(t) = einteg ^w1(t), einteg w2 (t) ... einteg w_n(t)

eintegwi(t) =åi(t) * wi(t) (3.82)

wi(t) : sont les variables d'état du modèle utilisant lopérateur d'intégration

y(t) : est le vecteur de sortie de Sys frac

yest(t) : est le vecteur de sortie du modèle entier Sysent2

eZ(t) : est l'erreur sur le vecteur détat Z(t) due à eintegwi(t)

eintegwi(t) : est l'erreur d'approximation delintégration non entièrede avariablewi(t) åi(t) : est la transformation de Laplace inversede l'erreur d'approximation de s_^ái,
par le transfert rationnel dont le modèle détat estdonné par3..9)

Démonstration 7 Comme dans le cas del'opérateur de dérivation non entier, 'erreur d'approximation del'opérateur d'intégration non entier deaariaale d'étatwi(t) est donnée par

]einteg wi(t) = £_1 [ åi(s) . wi(s)

åi(t) étant la transformation de Laplace inverse de'erreur d'approximation de'intégrateur non entier s^-ái, (a > 0), par le transfert rationnel _ái(s) défini par l'équation (3.68).

En tenant compte de cette erreur d'approximation, emodèlentier3.75)uipproxime l'opérateur d'intégration non entier du vecteur d'étatw(t) devient

^ÿZest = AI Zest + BI w

(3.84)

I(á) (w) = CI Zest + eintegw

?

?

?

ái(s) :

avec

T

[ ]

einteg _w(t) = einteg ^w1(t), einteg w2 (t) ... einteg w_n(t)

En substituant de nouveau lexpressiondew(t) de l'équation dynamique de (3.73)dans celle du modèle entier (3.84) et entenant comptemaintenant deaelationI^(á)(w) = CIZest + eintegw, on obtient

^ÿZest =

[ ] AI + BI A CIZest + BI B u(t) + BI A eintegw (3.85)

De la même manière, en remplaçant, 'expressionI^(á)(w) = CIZest + eintegw dans l'équation de sortie du modèle non entier (3.73), on obtient

y = CCI Zest + D u(t) + C eintegw (3.86)

En introduisant l'erreur eZ(t) = Zest (t)-Z (t), des équations (385) et (3.86), onpeut alors exprimer l'expression de lasortie dûe 'erreur d'approximationei_nt_egw(t) qui représente dans ce cas l'erreur d'approximation eintegy(t), elle est donnée par

? ? ?

ÿeZ = AG eZ + EG eintegw eintegy = CGeZ+Ceintegw

(3.87)

Dans le domaine de Laplace, ce modèledevient

[ ]

Einteg _y(s) = CG (sIG - AG ^)-1 EG + CEintegw(s) (3.88)

où : IG est une matrice identidé de dimension ( 2N + 2) et

T

[ ]

Einteg _w(s) = Einteg ^w1(s), Einteg w2(s) . . . Einteg w_n(s)

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 111

qui peut s'exprimer en fonction des erreurs d'approximation i(s) par

( )

Einteg _w(s) = i(s)I_n .W (s) (3.89)

avec

( ) _{h i}

i(s)I_n = diag 1(s), 2(s) . . . _n(s)

D'un autre côté, la transformation de Laplace de'équation ddnamique du moddle non entier utilisant l'opérateur d'intégration (33.6) donne

( _])_1

I_n - A [ 1

W (s) = s(á) I_nBU(s) (3.90)

avec

( ₁ ) _{h i}

s(á) I_n = diag scx1 , 1

1 scx2 . . . 1

_scxn

En remplaçant cette expression dans 'équation (3388)₎ quistlleussi remplacée dans l'équation (3.88), on obtient finalement

h i einteg y(s) = CG (sIG - AG ) _1 EG + C V- {z -I (I)

( ) i(s)In | {z } (II)

( ])_1 In - A [ 1 s(á) In B U(s) | {z } (III)

(3.91)

Dans ce cas aussi, l'erreur sur les sorties dépenddu modèed'approximation terme), de l'erreur d'approximation des opérateurs nonentiers (terme II) etdu ecteur d'état x(t) (terme III).

3.4.5 erreur d'approximation au voisinage de t = 0 et t --> 00

Dans ce paragraphe, on étudie le comportement du modèe entier Sysent2 au voisinage de t = 0 et en régime établi (t --> 00).

Lemma 4 L'erreur entre les sorties du système non entier Sys _frac (3.55) et celles du modèle entier (Sysent2) (3.70) qui l'approxime, en utilisant 'approximation de 'opérateur d'intégration, à t = 0, notée, eintegy(0) = y(0) -- yest(0), est égale à zéro.

y(0) et y_est(0) sont respectivement les sorties de Sys _frac et de Sys_ent2 à t = 0.

Démonstration 8 A t = 0, l'erreur entre les sorties du système non entier Sys _frac et celles du modèle entier (Sys_ent2) qui l'approxime, en utilisant l'approximation de 'opérateur d'intégration, notée, ei_nt_{eg y}(0), est définie par

einteg y(0) = y(0) _--yest (0) (3.92)

comme les conditions initiales sont supposées nulles, des quationsdesortiesdesmodèles d'état (3.55) et (370) on a :

einteg y(0) = D u(0) -- DG u(0) = 0 puisque DG = D (équation 3.71)

Lemma 5 Sous condition que le modèle d'état (3.70) soit stable, 'erreurentrelessorties du système non entier Sys _frac (3.55) et celles du modèle entier (Sys_ent2) (3.70) qui l'approxime, en utilisant lapproximation de 'opérateur d'intégration, uand t --> 00 , notée, einteg y(00) = y(00) -- yest(00), lorsque l'entrée est un échelon, est donnée par

einteg _y(00) = [C( -- A.)^-1B -- CG( -- AG)^-1BG] u(00) (3.93)

y(00) et yest(00) sont les sorties de Sysf_rac et de Sys_ent2 lorsque t --> 00 u(00) étant l'amplitude de l'échelon.

? ? ?

ÿx(t) = Ax(t) + Bu(t) x(t0) = x0 y(t) = Cx(t) + Du(t)

(3.98)

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 113

de l'opérateur d'intégration, notée, eintegy(oo), lorsque l'entrée est un échelon unitaire, est définie par

[ ]

einteg _y(oo) = y(oo) -- yest(oo) = Gfrac(s -* 0) -- G_ent 2(s -* 0)u(oo) (3.94)

Le système non entier étant supposé stable, en utilisantehéorème de la aleurr nal, n Gfrac(0) = C(--A)_¹ B + D (3.95)

Le modèle d'état d'ordre entier qui l'approoime étantui aussiupposétaale, e mmme théorème donne

Gent2(0) = CG(--AG)_¹ BG + DG (3.96)

comme DG = D (équation 3.71)

[ ]

einteg _y(oo) = C(--A)_¹ B -- CG(--AG)_¹ BGu(oo) (3.97)

3.4.6 Sur les conditions initiales des modèles détat non entiers

Si l'influence des conditions initiales sur lévolution dynamiquedes systèmesinéaires entiers est bien maîtrisée, il nen est pas de mêmedes systèmes d'ordrenon entiers. exiss tence de plusieurs définitions de la dérivation non entière peut expliquer cette di~culté mais le fait que l'ordre de dérivation non entier soitun nombre réeléventuellementuu périeur à 1) peut également être une autre raison plus importante.

Pour montrer la complexité de la définition des conditions nitiales danseséquations d'état d'un système d'ordre non entieron présentedans ce qui suita généralisation de la représentation d'état classique, dabord à un ordrede dérivation entierr supérieur à 1, ensuite à un ordre de dérivation réel quelconque.Pour mieux expliciter cette di~culté on considère la généralisation de la représentationntégrale.

Habituellement, lorsqu'on doit tenir compte des conditions nitialesdansun modèle d'état classique, on doitlécrire sous la forme

On précise la valeur du vecteur détat àlinstant t = 0 car si on pose :

dx(t)

w(t) = dt

son intégrale est donnée par

Z t

x(t) = w(ô)dô + x0

0

permettant ainsi de résoudre léquation différentielled'ordre1 du modèle d'état (3.98) Celui-ci peut alors être écriten représentationntégrale, sousa forme

? ? ?

w(t) = A f 0 t w(ô)dô + B u(t) + A x0 (3.99) y(t) = C f 0 t w(ô)dô + Du(t) + Cx0

La généralisation dela représentation détat (3..98) àun ordre de dérivation entier r > 1, s'écrit

? ? ?

dr x(t) = Ax(t) + B u(t) C.I = x0 y(t) = Cx(t) + Du(t)

(3.100)

où d^r représente l'opérateur de dérivation entierd'ordrer et x0 représente les conditions initiales du vecteur d'état x(t) nécessaire de définir pour pouvoir intégrer cetteéquation différentielle d'ordre r.

On pose une nouvelle fois :

d^rx(t)

w(t) = dtr

L'intégration r fois de x(t) nécessite alors la connaissance des valeurs initiales des (r-1)^`eme dérivées du vecteur d'état x(t). Celles-ci peuvent alors être regroupées dans une matrice x0 donnée par

x0 =	x10 x10 x (1) 10 · · · x(r--1) (2) 10 x20 x20 x (1) 20 · · · x(r--1) (2) 20			(3.101)
. ..		· · ·	. ..

xn0 xn0 x

(1) n0
·
·
· x(r--1)

(2)

n0

où x(j)

i0 , (i = 1,
·
·
· , n, j = 1,
·
·
· ,r-1), représente la valeur delaj^`eme dérivée de xi à t = 0.

Le vecteur w(t) s'écrit alors :

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 115

P étant un vecteur colonne dépendant du temps, donné par h iT P = 1 t t2 2! · · · tr-1 (r--1)! Dans la représentationintégrale le modèe détat (3.100) devient			(3.103)
? ? ?	w(t) = A I^rw(t) + B u(t) + A x0 P y(t) = C I^rw(t) + D u(t) + C x0 P	(3.104)

La généralisation de la représentationdétat (3..8) àun ordre de dérivationéel quell conque a, s'écrit

avec :	? ? ?	D(a) (x(t)) = Ax(t) + Bu(t) C.I = x0 y(t) = Cx(t) + Du(t)		(3.105)
h i D(a) (x(t)) = Da1 x1(t), D^a2 x2(t), . . . , D^an xn(t) Le vecteur w(t) s'écrit dans ce cas :			T

w(t) = D^(a) (x(t))

Le vecteur x(t), s'exprime différemment selon quela dérivation dordre non entièreutii lisée est celle donnée par la définition de Riemann-Liouville ou biencelledonnée para définition de Caputo [34].

~ En utilisant la définition de Caputopour chaque variabled'état, on a

Iai wi(t) = xi(t) -

ri-- 1X k=0

xi (0)^tk ^(k) k! (3.106)

ri étant un nombre entier tel que (ri - 1 < ai < ri), et x(k)

i (0) est la valeur de la

k`eme dérivée entière de xi(t) à t = 0.

Les conditions initiales sont ainsi les valeurs des dérivées entièresdu vecteur d'état à t = 0. Elles peuvent être résumées dans la matrice x0 donnée par :

x0 =

x10 x(1) 10 x10 · · · x(r) (2) 10 x20 x20 x (1) 20 · · · x(r) (2) 20

(3.107)

. .

.. · · · ..

xn0 xn0 x

(1) n0 · · · x(r)

(2)

n0

avec :

? ????

????

r = max(ri), i = 1, · · · , n

(3.108)

xi0 = dj

(j) dtj xi(t) _~t=0 si j < ri - 1

=0 sij>ri -1

~ En utilisant la définition de Riemann-Liouville

_Xri

k=1

D^ái-kxi(0) ^t

(ái - k + 1)

ái-k

(3.109)

Iái wi(t) = xi(t) -

D^ái-kxi(0) est la valeur de la (ái - k)graveeme dérivée non entière de xi(t) à t = 0, qui n'est pas forcément une constante.

Dans ce cas, la matrice x0 contenant les conditions initiales est donnée par

x0 =			x(á1-1) 10 x10 · · · x(á1-r) (á1-2) 10 x20 x (á2-1) 20 · · · x(á2-r) (á2-2) 20			(3.110)
...				· · ·	...
avec :	? ??? ? ????	xn0 x (án-1) n0 · · · x(án-r) (án-2) n0 r = max(ri), i = 1, · · · , n x i0 = D^(ái-j^)xi(t) (ái-j) ~~t=0 si j < ri = 0 sij > ri					(3.111)

La généralisation aux systèmes non entiers de la représentation d'état 3.98) utilisant l'opérateur de dérivation et tenant compte des conditions nitiales se fait alors par

? ? ?

D^(á)x = A x + B u C.I : x0 y = C x + D u

(3.112)

avec :

T

_{h i}

D(á) (x) = Dá1 _x1, D^á2 x2, . . . , D^án x_n x0 est définie par l'équation (3.107) lorsque lopérateur de dérivationnon entierD^(á) est celui donné par la définition de CaputoLorsque c'est ladéfinitionde Riemann-Liouville qui est utilisée, x0 s'exprime par l'équation (3.110)

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 117

Dans la représentationintégrale, le modèle détat non entierdevient

? ? ?		w(t) = AI^(á)(w(t)) + Bu(t) + A x0ñ y(t) = CI^(á)(w(t)) + Du(t) + C x0ñ		(3.113)
avec	h i I^(á)(w(t)) = I^á1w1(t), I^á2w2(t) , . . . , I^ánwn(t)		T		(3.11[4)

~ en utilisant la définition de Caputo

_{h i}T

ñ = 1 t t2 2! · · · tr (3.115)

r!

~ En utilisant la défition de Riemann-Liouville

ta1 -1 (á1)	ta1 -2	· · ·		ta1^-r (á1 -r)

ta2^-1 ta2^-2 ta2^-r

· · ·

·

·

·

ñ=

(á2)

(á2-1)

(3.116)

...

· · ·

...

tan^-1

tan^-2

· · ·

tan -r

(án)

(án-1)

(án -r)

dans les deux cas, r = max(ri), (j = 1, · · · , n).

Le lecteur peut consulterles références 38], [48], [49], [61] pourobtenir plus de détails concernant ce problème de prise en compte des conditions initialesdansamodélisation des ssystèmes d'ordre non entier et leur approximation.

3.4.7 Comparaison des deux modèles dapproximation

On présente dans ce paragraphe une étude comparative des deux modèles entiers Sysent1 ^et Sysent2 qui approxime le modèle d'ordre non entier Sysfrac. Cette étude est basée sur des résultats de simulation effectués sous Matlab.Deux exemples numériques seront alors traitésLe premier exemple traite d'un ssystème commensurable eteecond traite d'un modèle non entier généralisé. Dans un souci declarté, esprésentations des courbes notamment, on a volontairement choisi des exemplesmonovariables.

D'une part, la réponse indicielle du modèle non entier est calculée en utilisant a définition de Grünwald-Letnikov Le pas déchantillonnage est choisi e plus petit possible, pour que la réponse soit la plus exacte possible, mais qui nest pas trop petite aussi inon le temps de calcul serait très grand. La réponse fréquentielle quant à elle, elle est calculée point par point, les diagrammes de Bode qui seront présentés sont doncdonc des tracés exacts.

D'autre part, le modèle non entier est approximé par es deux modèles entiers Sysent1 et Sys_ent2 qui ont été développés dans les paragraphes précédents. Les réponses ndicielles et fréquentielles qui sont présentées dans ce cas sont obtenues enen utilisant es outils de Matlab.

Une comparaison basée sur les résultats numériques obtenus est également effectuée. On présente alors, sous forme de tableaux, les valeurs nitiale et finale ainsi que e maximum qui permet de calculer le dépassement des différentes réponses ndicielles. Les écarts entre les valeurs obtenues par les deux modèles et celles obtenues en utilisant a définition de Grünwald-Letnikov sont aussi présentés. On donnera enfin es valeurs relatives des normes H2 et H_oc des différences entre les réponses données par les modèles d'approximation et celle obtenue en utilisant la définition de Grünwald-Letniiov Cette dernière est considérée comme étant la réponse exacte. Ces normes sont respectivement définies par

11y(t) -- yestim(t)112 11y(t) -- yestim (t)11₀₀

å2 = et å00 = (3.117)

11y(t)112 11y(t)11₀₀

y(t) : la sortie obtenue en utilisant la définition de Grünwald-Letniiov

yestim(t) : la sortie obtenue en utilisant les modèles dapproximation.

Exemple d'un système commensurable

Le premier exemple qui est traité est un système non entier d'ordre commensurable dont le modèle d'état est donné par

Sys frac :

? ???????? ????????

?D^(1.2175)(x) = x + 104 --330 0 1 1 u 0 --220 2 y=h 1 2 x

(3.118)

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 119

FIGURE 3.11: réponses indicielles des différents modèles dapproximation

Le modèle transfert correspondant est donné par

1 04

G(s)= s1.2175 + 330 +

s1.2175 + 220 (3.119)

4

les paramètres de simuation sont comme suit

~ Lorsqu'on utilise la définition de Griinwald-Letniikova période d'échantillonnage

est choisie égale à h = 0.0005 et le temps de simulation est égal à tfinal = 0.5 s.
~ Lorsqu'on utilise les modèle d'approximation entiers, 'opérateur de dérivation non

entier est approximé dans la bande de fréquences [10^-5, 10⁺⁵] en utilisant N = 20.

Les résultats de simulation obtenus sont données par afigure3.11) pouresrois réponses indicielles et la figure (312) pour les trois réponses fréquentielles.

Les deux figures montrent queles deux modèles entiers approximent correctemente modèle non entier dans la bande de fréquences choisie.

FIGURE 3.12: Diagramme de Bode des différents modèles dapproximation

Pour affiner la comparaison entre les deux modèles entiers, on présente danse tableau (3.4) les valeurs initiale et finale des modèles approximésainsique eurdépassement. es dépassements et erreurs sont calculées relativement aux résultats donnés en utilisanta définition de Griinwald-Letnikov

méthode	val. init.	val. fin.	erreur	val. max.	dep. (%)	erreur
Griinwald	0	30.3630	-	32.7262	7.7832	-
Sysent 1	0	30.3629	10^-4	32.8693	8.2545	0.4613
Sysent2	0	30.3629	10^-4	32.8651	8.2406	0.4574

TABLE 3.4: Récapitulatif des résultats numériques

Il faut noter que la valeur considérée commeétant a valeur finalenest qu'unendication puisqu'elle ne correspond quàla valeurde la sortie à t = 0.5 s. Pour obtenir la valeur finale il faut simuler le modèle pendant beaucoup plus longtemps sachant qu'ils'agit des systèmes non entiers caractérisés par une dynamique d'établissement trèsente.

Pour mesurer l'écart entre les résultats desimulation obtenus pares deuxmodèles entiers et ceux obtenus en utilisant la définition de Grinwald--Letnikov sura totalité du

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 121

temps de simulation, on présente dans le tableau (3.5) es valeurs relatives desnormesH2 et H des erreurs entre les réponses indicielles données par les modèlesSys_ent ₁ et Sysent2 et celle obtenue en utilisantla définition de Grinwald-Letniikov

modèle	Valeur de å	Valeur de å2
Sysint1	0.0132	0.0025
Sysint 2	0.0131	0.0025

TABLE 3.5: Valeur relative des normes H2 et H des erreurs entre les réponses indicielles

Les résultats des tableaux (34) (3.5) montrent que esécarts entrees valeurs obtenues en utilisant les modèles d'approximation entiers et celles obtenues enutilisanta définition de Griinwald-Letnikov sont très faibles. Cela confirme es conclusions tirées partir des résultats présentés par les figures (3.11) et (3.12).

Exemple d'un système non entier généralisé Etant donné le modèle non entier généralisé suivant

D^0.26x1
D^1.74x2

?
?

? ? ? ? ?

--30 --3 1

? = ? ? x + ? ? u

30 --2 0

?

????????

????????

_{h i}

y = 1 100 x

(3.120)

Sys frac :

dont le modèle transfert correspondant est donné par

s1.74 + 3002

G(s) = s2 + 10 s1.74 + 2 s0.26 + 110 (3.121)

les paramètres de simulation utilisés dans ce cas sont

FIGURE 3.13: réponses indicielles des différents modèles dapproximation du système (3.120)

~ Les dérivateurs non entiers sont approximés dans abande de fréquences[10^-5, 10⁺⁵] et le nombre de cellules utilisé est dans ce cas aussi obtenu avec N = 20.

Les réponses indicielles obtenues en utilisant la définition de Grrinwald-Letniiov et celles obtenues à l'aide des modèles entiers SYSent1 ^et SYSent2 sont illustrées par la figure (3.13) et les réponses fréquentielles correspondantes sont llustrées parafigure3.11).

Les réponses indicielles semblent être confondues et les réponses fréquentielles semblent l'être également dans la bande de fréquences choisie.Cela confirme une nouvelle fois l'exactitude des modèles d'approximation.

Les différentes valeurs numériques obtenues pour différentes points particuliers des réponses indicielles sont résumées dans le tableau (3..6).

Dans ce cas aussi, hormis les valeurs initiales, la qualité d'approximation obtenuepar les deux modèles est appréciableCeci est confirmé par les valeurs relatives desnormes H2 et H des erreurs entre les réponses indicielles données par es deux modèlesentiers et celle obtenue en utilisant la définition de Griinwald-Letniikovprésentéesdansetableau (3.7).

3.4 Approximation des systèmes en représentation d'état tiiisant'opérateer d'intégration 123

FIGURE 3.14: Diagramme de Bode des différents modèles dapproximation du système (3.120)

méthode	val. init.	val. fin.	erreur	val. max.	dep. (%)	erreur
Griinwald	0	27.0783	-	42.7054	57.71	-
Sysent1	0.0334	27.0752	3.1 10^-3	43.1415	59.32	1.61
Sysent2	0	27.0754	2.9 10^-3	43.1385	59.31	1.60

TABLE 3.6: Récapitulatif des résultats numériques

modèle	Valeur de E	Valeur de E2
Sysint 1	0.0111	0.0061
Sysint2	0.0111	0.0060

On présente finalement un tableau comparatifqui résume es valeursnitiales etfinales des réponses indicielles calculées à partir des matrices correspondant aux di~érentsmoo dèles Sysfrac, Sysent1, utilisant l'opérateur de dérivation et Sysent2, utilisant l'opérateur d'intégration.

		Sysfrac	Sysent 1	erreur (%)	Sysent2	erreur (%)
Exple 1	Val. init.	0	0.0082	8.2 10_^3	0	0
	Val. fin.	30.3212	30.3212	0	30.3212	0
Exple 2	Val. init.	0	0.0334	3.3410_^2	0	0
	Val. fin.	27.2909	27.2661	2.4810_^2	27.2909	0

TABLE 3.8: Tableau comparatif des valeurs initiales et finalesdestroismodèles d'état

Ces valeurs montrent que le modèle Sysent2 utilisant l'approximation delopérateur d'intégration est plus performant que le modèle Sysent 1 utilisant l'approximation de lopérateur de dérivation. Néanmoinsce dernier donneégalement une bonne approximation du modèle non entier Sys frac.

3.5 Réduction des modèles entiers qui approximent le modèle d'état non entier

Les vecteurs d'état des modèles entiers Sysent1 ^et Sysent2 qui approximent le modèle non entier Sysfrac sont respectivement de dimension ((2N + 1) × n) et ((2N + 2) × n). (2N + 1) étant le nombre de cellules utilisées pour lapproximation du dérivateurnon entier s^á, (2N+2) le nombre de cellules nécessaires pour lapproximationde 'intégrateur non entier s_^á, (a > 0) et n la dimension du vecteur d'état du système dordre nonentier

Sys frac.

De plus, on a montré dans le paragraphe 3.2.2, que l'utilisation de (2N+1) = 20 était un nombre raisonnable pour obtenir une approximationdont 'erreur est environégale à 0.01 dB pour toutes les valeurs de a comprise entre 0 et 1. Par conséquent, on constate

que la dimension des modèles entiers peut devenir très vite trèsmportantenotamment pour les systèmes non entiers de grande dimension.

Si pour la simulation des systèmes cela ne pose pas un véritableproblème, ln'en est pas de même lorsque le modèle est celui dun contrôleur non entier.Dans ce cas, a réalisation d'un tel contrôleur devient très onéreuse.On pourrait alors penser à utiliser une approximation moins précise afin dobtenir des modèles entiersde dimension relatii vement faible. On montre dans ce paragraphe quecette solution n'est pas trèsndiquée notamment pour les systèmes non entiers multivariables.Une solution plus adéquate est alors l'utilisation des techniques de réduction de modèledes systèmesentiers.Cetteoluu tion consiste à approximerle modèle non entier par un modèle entier surune bande de fréquences très large et utilisant un nombre important de singularités.Lemodèle ainsi obtenu est certainement de grande dimension mais néanmoins trèsprécis.A 'aide des méthodes de réduction, utilisantles valeurs singulières du modèle entier, on peut alors ramener la dimension du modèle à des valeurs réduites tout en maintenant une bonne pré cision de ses caractéristiques dynamiques. Lintérêt de cesméthodes de réduction esta caractérisation de l'erreur dapproximation en fonction des valeurs singulières duystème permettant donc d'imposer a priori lerreurdapproximation.

Pour montrer l'intérêt de cette méthode, le modèle entier réduit obtenu est comparé au modèle entier, ayant la même dimension, obtenue par une approximation directe utilisant un nombre réduit de cellules. La figure (3.15) illustrece principe de comparaison.

3.5.1 Rappels sur la réduction de modèleslinéaires

Depuis les années 80, plusieurs méthodes de réduction de modèle basées sur la ^décomposition en valeurs singulières du système ont été développéespuisutiliséesdansa

commande des systèmes de grande dimension par des régulateursde dimension réduite. [6], [22], [32], [41], [58],. L'intérêt principal de ces méthodes est sansaucun doutea caa ractérisation de la borne de la norme H de l'erreur commise lors de la procédure de réduction en fonction des valeurs singulières du système, permettant ainsi d'imposer a priori l'erreur d'approximation.

FIGURE 3.15: Principe de comparaison des différents modèles réduits

On présente dans ce qui suitle résumé des deux méthodes de réduction esplusutilii sées : la méthode de réduction équilibrée utilisant unetroncature directe des états associés aux faibles valeurs singulières (balanced truncation) 588 etaméthode de réduction utilii sant la troncature des dérivées des états associésaux faibles valeurs singulières dumodèle équilibré (Singular perturbation balanced truncation) qui, contrairement à a première méthode, ne néglige pas complètement les états associés aux faiblesvaleurs singulières mais seulement leurs dynamiques 41]

Considérons la réalisation minimale dun systèmelinéaire multivariable à tempsnvaa riant commandable, observable et asymptotiquement stable, donnée par

A Ó = ?	B ? = C	( )-1 sI - A B + D + Du Bn ?	(3.122) (3.123) (3.124)
? C à laquelle il correspond le modèle détat On représente un modèle de dimension	Ón D ? ? xÿ =Ax+Bu ? y = Cx ? n par An ?
	= ? Cn	Dn ?

où A_n E R^nXn, B_n E R^nX`, C<sub>n</sub> E Rq<sup>Xn</sup> et D<sub>n</sub> E Rq<sup>X</sup>`.

On représente égalementle modèle réduit par

? Ór = ?		Ar	Br	? ?	(3.125)
		Cr	Dr

avec A_r E ^rXr, B_r E ^rX`, C_r E ^qXr et D_r = D.

Valeur singulière de Hankel

Soient P et Q deux matrices symétriques définies positives, solutions des équationsde Lyapunov

? ? ?

AP+PA^T+BB^T = 0 A^TQ+ QA+C^TC= 0

(3.126)

La matrice P est appellée le grammien de commandabilité. Elle mesure la quantité d'énerr gie necessaire à la commandabilité des variables détat du système.La matriceQ est appellée le grammien d'observabilitéElle mesure la contribution en énergie des variables d'état du système dans les grandeurs desortie.Elle permet ainside mesurere degrès d'observabilité des états

Definition 18 Les valeurs singulières de Hankel dusystème Ó, notées oi(Ó), sont les racines carrées des valeurs propres de amatriceP Q. [58]

r ( )

oi(Ó) = ëi P Q(3.127)

Représentation équilibrée d'un système

C'est la représentation détat dans laquelle les grammiens de commandabilitéP et d'observabilité Q sont diagonaux et égaux. La transformation qui permet de passer d'une représentation d'état quelconque à la représentation d'étatéquilibrée estamatriceT solution de l'équation

PQ=TS2T -1 (3.128)

singulières de Hankel. Elle est donnée par

S=diag( ó1, ó2, · · · ón ) (3.129)

Dans la représentation d'état équilibrée, les variablesd'état sont ainsi classées dea vaa riable d'état correspondante au mode le plus commandableet eplus observable, àa variable correspondante au mode le moins commandable et emoins observable.

méthode de réduction par troncature directe des états

Etant donné le modèle d'état équilibréeÓb associé au système original (3.122)

Ab Ób ?	Bb ?	et Db = D sousla forme	(3.130) (3.131) (3.132) (3.133)
= ? Cb dont le modèle d'état associé est ? ÿxb = Ab xb ? y = Cb xb ? avec : Ab = T ^-1AT, Bb = T ^-1B, La matrice des valeurs singulières de Hankel S S1 S ?	Db ? + Bb u + Db u Cb = CT est alors décomposée 0 ?
= ? 0	S2 ?

S1 contient les r valeurs singulières les plus grandes et S2 contient les (n - r) valeurs singilières les plus petites. Cette décomposition est e~ectuée telle que ^ar`eme valeur singulière de S1 soit très grande par rapport à la premièresingulièresde S2.

Le modèle d'état équilibrée estlui aussi décomponséenconséquence sous a forme

Ób =	Ab11 Ab21	Ab12 Ab22	Bb1 Bb2	(3.134)
	Cb1	Cb2	Db

B b 1 - Ab 12 A-1

b 22 Bb 2

D-Cb2 A-1

b 22 Bb 2

₃

5 (3.138)

Órspbt =

₂

Ab 11 - Ab 12 A-1

b 22 Ab 21

₄

C b 1 - C b 2 A-1

b 22 Ab 21

La réduction équilibrée consiste alors à e~ectuer une troncature desmodes duystème en éliminant les n - r variables d'état xb2 associées à 82. Le modèle réduit de dimension r, noté _Órbt, ainsi obtenu est donné par

2 Ór bt = 4	Ab 11	Bb1	3 5	(3.135)
	Cb1	Db

Le modèle réduit _Órbt possède les propriétés suivantes

~ Órbt est stable

~ Si le système original Ó est strictement propre, le modèle réduit _Órbt est aussi strictement propre.

~ l'erreur d'approximation est

~ ~ ~Ó - Órbt ~8 = 2

Xn j=r+1

ój (3.136)

~ ~

~. ~8 : désigne la norme H₈. La norme H₈ d'une fonction de transfert stable G(s) étant définie par

~ ~ ~G ~8 = sup ù?[0,8]

~~~G(jù) ~ ~ (3.137)

En général, le modèle réduit ainsi obtenu présente le mêmecomportement dynamiqueque le système original, par contre lerreur au régime établi peut êtremportante.

méthode de réduction associant les perturbations singulières et la troncature des états

A partir du modèle d'état équilibré (3.130) au lieu déliminer complétement es vaa riables d'état xb2 associées à 82, comme dans la méthode précédenteon ne néglige que leur régime dynamique (^ÿxb2 = 0). Le modèle réduit correspondant, noté _Órspbt, est dans ce cas donné par

~ rspbt est juste propre même lorsque le système original est strictement propre

~ l'erreur d'approximation est

~ ~ ~ - rspbt ~8 = 2

Xn j=r+1

ój (3.139)

( ~

~ l'erreur en régime établi est nulle r spbt(0) = (0) .

On présente dans ce qui suit le détail de calcul des modèles _rbt et _rspbt à partir du modèle équilibré _r. Pour ce faire, le modèle d'état associé à laréalisation équilibrée b, de l'équation (3.130) est réécrite sous la forme

xbÿ 1 = Ab11 xb1 + Ab12 xb2 + Bb1 u (a)

xbÿ 2 = Ab21 xb1 + Ab22 xb2 + Bb2 u (b)

y=Cb1xb1+Cb2xb2+Dbu (c)

?

????

????

(3.140)

Si on élimine complètement l'état xb2, ce modèle devient

? ? ?

xbÿ 1 = Ab11xb1 + Bb1 u y = Cb1 xb1 + Db u

correspondant à la réalisation (3.135) du modèle réduit par troncature directe du vecteur d'état xb2.

Par contre, si on ne neglige quela dynamique de xb2, l'équation (3.140-b) devient

Ab21 xb1 + Ab22 xb2 + Bb2 u = 0

xb2 = -A^-1

b 22 Ab21 xb1 - A-1

b 22 Bb2 u

En substituant cette relation dans respectivement 'équation 3.140-a) et'équation3.140- c), on obtient

_{h i h i}

xbÿ 1 = Ab ₁₁ - Ab 12 A-1

b 22 Ab ₂₁ xb ₁ + Bb ₁ - Ab 12 A-1

b 22 Bb ₂ u

_{h i h i}

y = Cb ₁ - Cb 2 A-1

b 22 Ab ₂₁ xb ₁ + Db - Cb 2 A-1

b 22 Bb ₂ u

Ces relations donnent la représentationréduitede 'équation 3.133).

3.5.2 Application à la réduction des modèles Sysent1 ^et Sysent2

On présente dans ce paragraphe les résultats obtenus orsque ces deux méthodesont utilisées pour la réduction des modèles entiers Sysent1 ^et Sysent2 qui approximent le modèle non entier Sys _frac. Pour ce faire, le dérivateur oulintégrateur non entier est d'abord approximé par un modèle entier sur une largebande de fréquences enutilisant un nombre élevé de singularités afin dobtenir lapproximation a plus précise.On remplace ensuite, dans le modèle non entier, lopérateurdedérivation oud'intégrationpar lemodèle entier qui l'approxime. On obtient ainsi un modèle entier de grande dimension pourequel les deux méthodes de réduction sont appliquées afin dobtenir un modèle réduit.D'un autre côté, Le modèle non entier est approximéde manière à obteniramême dimension que le modèle entier réduit, on approxime alors le dérivateur ou 'intégrateur non entier dans la même bande de fréquences mais avec un nombreréduitde singularités.Plusieurs exemples sont alors considérés

On notera:

(bt) : la méthode de réduction par troncaturedirecte des états

(spbt) : la méthode de réduction associant les perturbations singulières etaroncature des états;

(a.d) : la méthode de réduction utilisant lapproximationdirecte avecun nombre réduit de cellules;

(MdD) : le modèle de grande dimension

Approximation réduite de l'opérateur de dérivation

On consière le dérivateur dordre a = 0.75 qui est approximé en utilisantla méthode CRONE dans la bande de fréquences [10^-5, 10⁺⁵] en utilisant N = 25. On obtient ainsi un modèle entier de dimension n = 51. L'entrée u(t) = sin(3t) est ensuite appliquée à l'entrée de ce modèle, sa sortie doit donc être l'approximation de adérivée à 'ordre 0.75 de la fonction sin(3t). Pour montrer la qualité de cette approximation, la sortiedu modèle entier est comparée à la fonction 30.75cos(3t+ 3ð 8 ) qui est la dérivée à l'ordre 0.75 de la fonction sin(3 t) calculée théoriquement. Les résultats obtenus sont llustrés para

FIGURE 3.16: Approximation de la dérivée dordre 0.75 de la fonction u(t) = sin(3t)

figure (3.16).

Cette figure montre quela dérivée obtenue en utilisant 'approximation du dérivateur non entier correspond à celle obtenue théoriquement.

Pour montrer l'intérêt de réduire ladimensiondutransfertentierqui approxime'opéé rateur de dérivation s0.75, on présente dans les figures (317) et (3.18) respectivement es résultats obtenus lorsque la dimension réduite est égale à 10 puis égale à 5. On présente également dans les mêmes figuresles résultats donnés par emodèle entier aaantamême dimension obtenu lorsque l'opérateur de dérivation s0.75 est directement approximé avec un nombre réduit de cellules. Tous ces résultats sont comparésà a courbe théorique de la dérivée d'ordre 0.75 de la fonction u(t) = sin(3t).

On présente dans le tableau (39) les valeurs relativesdesnormesH2 et H₈, des différences entre les réponses données par les modèles réduits et celleobtenue enutilisant le modèle de grande dimension.

Tous ces résultats montrent dabord, que lapproximationdudérivateur d'ordre0.75 avec un modèle de dimension n = 10 (quelque soit la méthode utilisée) ne déteriore pas beaucoup la qualité de l'approximation. Il montrent également que, dans ce cas en

FIGURE 3.17: Comparaison des trois modèles réduits dedimension n = 10 de s0.75

134 Approximation des systèmes non entiers en reprrsentation dd'tat

0.43

2.78

0.18

n=5

E₈

0.18

0.42

2.81

E2

dimension

n = 10

bt

spbt

a. d.

erreur

E₈

E2

0.04

0.03

0.02

0.02

0.02

0.02

TABLE 3.9: Tableau comparatif des erreurs relatives de réduction

particulier, l'utilisation dun nombre réduit de cellules pour approximeredérivateurnon entier semble donner les meilleurs résultats. En e~et, en réduisant a dimension du modèle à n = 5, cette méthode est celle qui donneles plus petits ecarts par rapport à a courbe théorique. La méthode utilisant la troncaturedirecte des états est par contre celle qui donne les résultats les plus mauvais

Approximation avec un modèle réduit d'un système non entier monovariable

?

????????

????????

?
?

D^0.26x1
D^1.74x2

_{h i}

y = 1 100 x

? ? ? ? ?

--30 --3 1

? = ? ? x + ? ? u

30 --2 0

On utilise de nouveau le modèle non entier de léquation 3.120) dont emodèle d'état est donné par

Sys frac :

Pour l'approximer à l'aide du modèle entier Sysent 1, utilisant l'approximation delopérateur de dérivation, les dérivateurs dordre non entier sont approximés en utilisanta méthode CRONE dans la bande de fréquences [10^-5, 10⁺⁵] avec N = 20. Le modèle entier ainsi obtenu, de dimension n = 82, est ensuite réduit en utilisantles deux méthodes de réduction, d'abord à la dimension n = 5 ensuite à la dimension n = 2.

D'un autre côté, le modèle non entier est directement approximé enutilisantun nombre réduit de cellules pour obtenirles mêmes valeurs que les modèles réduitsobtenus en utilisant les techniques de réduction de modèle. On utilise alorsN = 1 pour obtenir un

modèle de dimension n = 6. Pour obtenir un modèle plus réduiton a légèrement modifié le programme de calcul de la méthode CRONE (au lieudechoisir N on choisi la dimension du modèle réduit (2N + 1). cela nous a permis d'approximer les deux dérivateurs avec seulement deux cellules, la dimension du modèle entier qui approximele modèlenon entier est donc de dimension n = 4. Les figures (3.19) et (320) illustrent les résultats obtenus.

Pour l'approximer à l'aide du modèle entier Sysent2, utilisant l'approximation delopérateur d'intégration les dérivateurs dordrenon entier sont, dans ce cas aussi, approximés en utilisant la méthode CRONE dans la bande de fréquences [10^-5, 10⁺⁵] avec N = 20. Le modèle entier obtenu de dimension n = 84, est ensuite réduit en utilisantles deux méthodes de réduction, d'abord à la dimension n = 5 ensuite à la dimension n = 2. D'un autre côté, le modèle non entier est directement approximé enutilisantun nombre réduit de cellules pour obtenir les mêmes valeurs que les modèles réduits obtenus en utilisant les techniques de réduction de modèleOn utilise alors N = 1 pour obtenir un modèle de dimension n = 8. Pour obtenir un modèle plus réduiton a utilisé le programme de calcul modifié de la méthode CRONE. Cela nous a permis dapproximer esdeuxdérivateurs avec seulement deux cellules, la dimension du modèle entier qui approxime e modèlenon entier est donc de dimension n = 6. Les figures (3.21) et (322) illustrent les résultats obtenus.

Toutes ces courbes montrent quavec le modèleréduitde dimension n = 5, les méthodes utilisant les valeurs singulières de hankel (bt et spbt) approximent correctementemodèle de grande dimension, ce qui n'est pas le cas de lapproximationdirecte avecun nombre réduit de cellules. En réduisant davantage ladimensiondes modèles entiers, on s'apperroit que seule la méthode (spbt) permet de maintenir une bonne approximation.Les résultats donné par le modèle réduit en utilsant la méthode (bt) se déteriorent en régime établi en particulier. L'utilisation delapproximation directe quant à elledonne des résultatsrès médiocres.

Tous ces résultats sont résumés dans les tableaux (3.10) et3.11) quimontrentes détails des valeurs caractéristiques des di~érentes réponsesndicielles ainsiquees valeurs relatives des erreurså₈ et å2.

FIGURE 3.19: Approximation du système monovariable avec des modèèes rrduitsde Sysent1 de dimension n = 5, (ad. donne n = 6)

FIGURE 3.21: Approximation du système monovariable avec des modèèes rrduitde Sysent2 de dimension n = 5, (ad. donne n = 8)

approxi.	dim.		bt	spbt	a.d.	G.D.
deriiv.	n = 5	V.I.	0.033	0.052	0.033	0.033
		V.F.	27.087	27.073	27.132	27.075
		eVF	0.012	0.002	0.057
		dep.	59.25%	59.33%	90.48%	59.32%
		ed	7.810_^2	1.710_^3	31.15
	n = 2	V.I.	0.033	1.456	0.33	0.033
		V.F.	28.666	27.182	-	27.075
		eVF	1.59	0.011	-
		dep.	53.19%	57.10%	89.55%	59.32%
		ed	6.13	2.23	30.22
intégrateur	n = 5	V.I.	0	0.045	0	0
		V.F.	27.067	27.082	25.323	27.075
		eVF	8.8 10_^3	6.5 10_^3	-
		dep.	59.4%	59.29%	75.12%	58.08%
		ed	1.32	1.21	17.04
	n=2	V.I.	0	-1.52	0	0
		V.F.	28.641	27.128	27.237	27.075
		eVF	1.56	0.052	0.16
		dep.	53.30%	57.24%	40.89%	58.08%
		ed	4.78	0.84	17.19

TABLE 3.10: Valeurs caractéristiques obtenues par les diiversmodèles réduits qui approxii ment le système monoivariable(Vi : Valeur initiale. V.F. :Valeur finale relevée à t = 10 s. eVF : erreur sur la valeur finale. dep. :dépassemented : erreur sur le dépassement)

approx.	dim.	erreur	bt	spbt	a. d.
derivateur	n = 5	E8 E2	5.06 10^--4 1.33 10^--4	7.07 10^--4 6.57 10^--4	0.25 0.12
	n = 2	E8	0.04	0.03	0.48
		E2	0.06	0.007	0.44
integrateur	n = 5	E8	1.1 10^--3	1.0 10^--3	0.30
		E2	5.18 10^--4	4.6410^--4	0.20
	n = 2	E8	0.04	0.03	0.37
		E2	0.05	0.006	0.14

TABLE 3.11: erreurs relatives dela réduction des modèles entiersquiapproximentesss tème monovariable

3.6 Conclusion

Ce chapitre a été consacré au développement de deux modèles d'étatentiers qui app proximent un modèle non entier généralisé multivariable.Le premier utilise'approxii mation de l'opérateur de dérivation et le second utilise 'approximation de'opérateur d'intégration. Ces deux modèles dapproximation ne pose aucune restriction, ni sure modèle non entier lui même qui peut être commensurable ou non commensurable, ni sur les ordres de dérivation non entiers qui peuvent être supérieurs à 1. Les erreurs d'approximation, tant à t = 0, t -* 8 que durant le régime transitoire, ont également été établies.

Le problème de la dimension très importante des modèles d'état entiers obtenus a également été résolu. Cette solution consisteen 'utilisation destechniques de réduction de modèle qui a permis de réduire très considérablement les dimensions desmodèles entiers qui approximent le modèle non entier