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Notion de système formel. Prolégomènes à  une logique cognitiviste

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par Tamis MUAMBA NGUESHE
Université de Kinshasa - Licence 2010
  

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A nos parents, NGUESHE LUPANZA et NZEBA TSHIALU, nous dédions ce travail.

Remerciements

Au terme de nos études de deuxième cycle à l'université de Kinshasa, Faculté des Lettres et Sciences Humaines, Département de Philosophie, nous nous trouvons dans l'obligation de nous acquitter d'un agréable devoir, celui de remercier tous ceux qui, de façon directe ou indirecte, ont contribué à notre formation.

Ainsi, nous témoignons notre reconnaissance à l'endroit des autorités académiques, des professeurs, des chefs de travaux et assistants de l'Université de Kinshasa, en général, et de ceux de la Faculté des Lettres et Sciences Humaines, en particulier, pour leurs encadrements et enseignements de qualité.

Nous remercions particulièrement et infiniment notre maître monsieur le professeur MUTUNDA MWEMBO qui, en dépit de ses multiples occupations et fonctions, nous a appris la logique et a accepté de guider nos pas dans l'élaboration du présent travail.

Dans le même ordre d'idée, nous témoignons notre gratitude envers les professeurs PANGADJANGA et KINANGA qui nous ont enseigné la logique ainsi que le chef de travaux Henri Jacob NDOBO qui, depuis le premier graduat jusqu'à ces jour ne cesse de nous encourager, de nous conseiller et de nous encadrer dans la voie que nous avions choisie : la logique.

Par la même occasion, nous remercions le professeur MILALA qui nous a ouvert les portes de sa bibliothèque.

Que tous nos amis se sentent honorés à travers cette réalisation !

«  La logique est la science (semblable) à la balance (...). Or toute science qui n'est pas évaluée par la balance n'est pas certaine et, en vérité, n'est pas science. Par conséquent, on ne peut se dispenser d'acquérir la science de la logique »

Avicenne, le Livre de science

«Grâce à l'emploi de cet art (la logique combinatoire), il ne devrait plus y avoir matière à discussion entre philosophes qu'il n'y en a entre comptables. Il leur suffirait de prendre en main leur crayon, de s'asseoir devant un tableau et de se dire mutuellement : " Et bien ! Calculons !" »

Leibniz, l'art combinatoire

«Les mathématiques que nous avons à construire sont les mathématiques de l'esprit humain »

Georg Boole, les lois de la pensée

Introduction

La notion de système formel a fait couler beaucoup d'encre. Les uns la louent en ce qu'elle constitue à plus d'un égard, un modèle efficace de déduction et d'autres, par contre, soulignent le fait qu'elle entretient la fracture entre la logique formelle et la réalité.

Très modestement, l'objectif poursuivi dans le présent mémoire est celui de repenser la notion de système formel et, du coup, d'envisager la possibilité de faire de la logique autrement.

Il est vrai, le formalisme actuel accuse certaines faiblesses comme là si bien démontré Jean Ladrière(1(*)). Descartes déjà en son temps avait noté que : «Pour la logique, ses syllogismes et la plupart de ses autres instructions servent plutôt à expliquer à autrui les choses qu'on sait, ou même, comme l'art de Lulle, à parler sans jugement de celles qu'on ignore, qu'à les apprendre » (2(*)).

Ce pour cette raison notre étude porte sur la notion du système formel, ses limites et l'apport de D. Davidson.

Aussi, d'entrée de jeu, certaines questions méritent-elles d'être posées :

- Que faut-il entendre par logique cognitiviste ?

- Quels peuvent être ses présupposées épistémologiques ?

- Que pouvons-nous attendre de l'exploitation d'une telle logique ?

C'est à travers cette triple interrogation que se traduit la matrice de notre problématique et c'est aussi à ces trois questions que le lecteur peut espérer trouver certaines réponses dans les lignes qui suivent.

Les hypothèses qui sous- tendent cette investigation sont les suivantes :

1°) la logique, telle qu'elle a pu évoluer jusqu'à un certain temps et telle qu'elle est encore pratiquée par certains logiciens aujourd'hui, passait ou passe sous silence certains aspects importants pour la compréhension et des énoncés et de la réalité dans leur complexité ;

2°) En recourant aux ressources de Donald Davidson, il y a lieu de dépasser le cadre actuel de la logique formelle et d'enter dans une nouvelle ère, celle de logique cognitiviste.

Conscient des insuffisances inhérentes à notre nature humaine et à la proportion du temps qui nous a été impartie, nous avons jugé utile de circonscrire notre champ de recherche. C'est la raison pour laquelle notre entreprise est bâtie essentiellement sur les travaux de Donald Davidson.

Pour mener à bon port cette étude, nous nous proposons de procéder de façon à la fois analytique, historique, réflexive et critique.

Par souci de rigueur, la présente dissertation est repartie en trois chapitres. Le premier chapitre traite des généralités sur la notion de système formel. Le deuxième aborde le problème des limites et des dépassements de grandes approches des systèmes formels. Et le troisième nous entraine au coeur de la logique cognitiviste. Bien sûr, une conclusion générale parachèvera notre oeuvre. Sans plus tarder, nous passons au premier chapitre.

CHAPITRE PREMIER : GÉNÉRALITÉS SUR LE SYSTÈME FORMEL

I.0. Introduction

Il nous semble impérieux, avant d'entrer dans le vif de notre dissertation, d'appréhender les contours sémantiques de ce qui constitue l'objet de notre étude : le système formel.

Pour ce, nous répartissons ce premier chapitre en deux moments essentiels. Le premier vise à clarifier l'horizon que nous assignons à la présente investigation. Quant au second grand moment, il nous passe en revue les grandes approches des modèles logiques. En effet, nous estimons qu'avant d'ébaucher un nouveau système formel, il faut revisiter ce qui a été déjà fait en vue de tirer profit des acquis positifs.

I.1. Horizon de recherche

I.1.1. Système formel et esprit géométrique

La notion de système formel, à plus d'un égard, est très liée à celle de l'esprit géométrique. Nous nous expliquons.

En effet, depuis toujours, dans l'histoire connue de l'humanité, les savants n'ont jamais caché leur fascination pour la géométrie, en particulier et pour les mathématiques, en général. Et pour cause.

On le sait, l'homme est un être pourvu de raison. Par cette dernière, il se découvre lui-même comme étant une chose pensante. Telle est la première certitude cartésienne !

De plus, cette res cogitans a besoin de l'étendue pour exister. Deuxième certitude cartésienne !

Du coup, il s'établit une affinité naturelle et évidente entre le cogito (en tant que res cogitans) et l'étendue.

A notre humble avis, c'est la raison fondamentale pour laquelle les savants se sont toujours sentis attirés par la géométrie et d'aucuns ont cru voir en elle la sciène par excellence. Rober Blanche note ce qui suit : « La géométrie classique, sous la forme que lui a donné Euclide dans ses Eléments, à longtemps passé pour un modèle insurpassable et même difficilement égalable de théorie déductive »(3(*))

En clair, le cogito ne peut exister sans l'étendue. Aussi, la discipline qui a pour objet d'étudier l'étendue ne peut qu'être familière à l'esprit de l'homme, normalement. D'où, le sentiment de plausibilité que l'on peut éprouver dans le modèle géométrique, pour peu qu'on s'y intéresse.

Ainsi, à travers l'histoire des systèmes, en général, fort est de constater la présence permanente de l'esprit géométrique. Dans plus d'un domaine et à travers diverses époques, la géométrie (surtout euclidienne) a trouvé des applications.

Au fronton de l'académie de Platon n'était-il pas affiché que «Nul n'entre ici s'il n'est géomètre » ? Faire ainsi de la connaissance de la géométrie la condition préalable d'adhésion à un centre de recherche tel celui de Platon, n'est-ce pas lui reconnaître une certaine importance qui l'élève au rang de paradigme ?

Descartes témoignait également son admiration pour l'esprit géométrique. Il disait à ce propos : « Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m'avaient donnée occasion de m'imaginer que toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes s'entresuivent en même façon, et que, pourvu seulement qu'on s'abstienne d'en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu'on garde toujours l'ordre qu'il faut pour les déduire les unes des autres, il n' y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu'on ne découvre ». (4(*)). Ce passage suffit à lui seul pour illustrer l'admiration de Descartes pour la géométrie.

Blaise Pascal, à son tour, a donné les caractéristiques de l'esprit de géométrie (5(*)) qu'il prenait le soin de distinguer de l'esprit de finesse (nous ne voyons aucune raison de nous attarder sur l'esprit de finesse). Pour Pascal, en effet, l'esprit de géométrie consiste à démontrer les choses par ordre, c'est-à-dire en suivant un enchaînement logique, en commençant par les définitions et ensuite par les principes.

Ce qui signifie que le géomètre, en tant que tel, ne peut rien faire sans se plier aux valeurs géométriques (les définitions et les principes), lesquelles sont éloignées de l'usage commun. Sur base de ses valeurs, il peut déduire d'autres objets également valables en vertu de la déduction effectuée.

Quant aux systèmes formels proprement dits, nous noterons que «  David Hilbert (1862-1943) a également travaillé sur les foncements des mathématiques en élaborant le système formel de la géométrie euclidienne. La logique formelle et l'axiomatique lui doivent également leur développement » (6(*)) Hilbert voyait en son système un modèle complet et parfait de déduction. Pour lui, en effet, toutes les équations que l'on pourrait formuler sous forme des propositions peuvent y trouver leurs réponses, leurs démonstrations.

I.1.2. Qu'est-ce qu'un système formel ?

Jean Ladrière est d'avis que « un système formel est une entité idéale qui engendre, selon des procédures canoniques, à partir de certaines objets posés comme valables, d'autres objets qui seront également reconnus comme valables » (7(*)).

En outre, le but d'un système formel est celui d'étudier les aspects structuraux, c'est-à-dire purement formels, indépendants des contenus particuliers des énoncés.

De nos jours, selon un point de vue largement partagé par les logiciens, un système formel comporte les éléments suivants (8(*)) :

1. une syntaxe ou une liste (finie ou infinie) des symboles ;

2. des règles de formation sur base desquelles la construction des expressions complexes, au moyen des symboles est rendue possible ;

3. des définitions qui réduisent le nombre des foncteurs ;

4. des règles de transformations qui permettent de déduire certaines expressions à partir d'autres,

5. un ensemble d'axiomes, lesquels axiomes sont en fait des formules initiales acceptées comme valides sans démonstration et généralement tirés des lois logiques.

Par ailleurs, on reconnaît aux systèmes logiques les propriétés formelles (9(*)) suivantes :

1. L'indépendance : elle signifie qu'aucun des axiomes ne peut être déduit des autres ;

2. la consistance : le système doit permettre de démontrer tous les ebf qu'autorise sa syntaxe ;

3. la non-contradiction : le système permet de démontrer une ebf mais pas sa négation ;

4. la saturation : le système est saturé si toute addition d'une expression non démontrable dans le système primitif le rend inconsistant, c'est-à-dire incapable de démontrer les autres expressions ;

5. la complétude : le système est complet s'il permet de démontrer toute ebf, soit son expression, soit sa contradiction ;

6. la catégoricité : le système est catégorique s'il possède une méthode de décisions uniforme permettant de décider effectivement à propos de toute ebf si elle est démontrable ou pas dans le système.

A ces propriétés formelles, il faut ajouter les critères d'esthétique, de simplicité, d'harmonie, de concision, d'élégance, etc.

Par système formel, on désigne donc une structure abstraite obéissant à un algorithme (10(*)) lui permettant de décider sur la validité d'un énoncé. Une telle structure fait normalement abstraction des contenus des énoncés pour ne retenir que leur forme canonique, mieux logique (et non grammaticale) ainsi que la forme de leurs combinaisons.

I.1.3. A propos d'une théorie pour l'explication des conditions de vérité et d'une théorie de la signification

La théorie des conditions de vérité, nous l'aborderons à partir de deux auteurs : Alfred Tarski (1901-1983) et Donald Davidson (1917-2003).

En effet, pour Tarski (11(*)), comme déjà pour Aristote, la vérité est une propriété des énoncés du langage.

Chez cet auteur, il y a essentiellement deux conditions à satisfaire pour définir la vérité d'un énoncé. La première est dite condition d'adéquation formelle. Celle-ci signifie qu'un énoncé (entendez par là un énoncé constatif ou déclaratif) ne doit pas contenir de contradiction. Soit l'expression suivante :

Certains cercles sont des triangles.

Une telle proposition est contradictoire, car cercle et triangle n'ont pas la même référence, du moins du point de vue de la géométrie : un cercle se réfère aux objets circulaires ayant une circonférence alors qu'un triangle se réfère aux objets ayant trois côtés et trois angles.

En second lieu, il propose la condition d'adéquation matérielle. A ce niveau, la théorie tarskienne s'inscrit dans la conception classique de la vérité selon laquelle le vrai est synonyme de correspondant à la réalité. Ceci n'est pas clair pour au moins deux raisons.

La première raison est que la réalité connue est une construction des nos représentations mentales. En clair, la vérité dépend de notre intentionnalité, de l'angle à partir duquel nous percevons les choses et telle qu'elles se laissent dévoiler à notre conscience.

La seconde raison est que les conditions de vérité proposées par Tarski sont conçues pour s'appliquer non à un langage ordinaire, mais plutôt au langage formel de la logique. Et on le sait, dans un langage formel, la vérité est toujours fonction des critères à satisfaire, lesquels diffèrent d'un système à un autre. D'ailleurs, Jean Ladrière relève cette relativité en ces termes : «  les expressions qui figurent dans un système formel n'ont d'autre sens que celui qui résulte des possibilités opératoires stipulées dans les règles de maniement »(12(*)).

Pour Tarski, une définition de «vrai » (pour le langage L) est matériellement adéquate si et seulement si on peut en déduire tous les énoncés de la forme de la convention T, laquelle s'énonce comme suit :

N est vrai (en L) si et seulement si p,

N est le nom d'un énoncé de L, p est sa traduction dans le métalangage dans lequel la définition est formulée et L est le langage-objet.

Tarski définit ensuite la notion de satisfaction. Celle -ci implique tous les biconditionnels de la forme de la convention T. En outre, la notion de satisfaction (et indirectement celle de vérité) est définie par lui comme relation entre formules et objets ou séquence d'objets.

Quant à Davidson, à partir d'un article paru en 1967, lequel avait pour titre vérité et signification (13(*)), il a proposé une idée de la théorie sémantique fondée sur la théorie de la vérité de Tarski.

En effet, pour Donald Davidson, donner les conditions nécessaires et suffisantes pour la vérité d'un énoncé, c'est une manière d'en donner la signification.

Aussi, pour sa théorie de la signification, il propose trois catégories de conditions (14(*)).

La première catégorie est celle des conditions dites constitutives. Celles-ci justifient le projet même de construction d'une théorie de la signification. Elles découlent de deux faits, à savoir : les locuteurs d'une langue naturelle comprennent leur langage et ils sont en mesure, sur base des énonciations d'autres locuteurs, d'interpréter ce que disent ces locuteurs, car comprendre une expression, c'est savoir ce qu'elle signifie.

La deuxième catégorie est celle des conditions dites formelles. Elle stipule qu'une théorie sémantique, pour une langue naturelle, a une certaine structure et cette structure est, dans une large mesure, comparable à celle des théories sémantiques que les logiciens construisent pour les langues formelles. A ce propos, Davidson disait : « Je suggère qu'une théorie de la vérité pour un langage accomplit, de manière minimale mais importante, ce que nous cherchons : elle donne les significations de toutes les expressions douées de sens par elles-mêmes sur la base d'une analyse de leur structure. Et d'autre part, une théorie sémantique d'un langage naturelle ne peut être tenue pour adéquate si elle ne rend pas compte du concept de vérité pour ce langage dans la ligne générale de ce que Tarski a proposé pour les langages formalisés » (15(*)).

La dernière est celle des conditions empiriques. En effet, une théorie sémantique doit pouvoir être testable, c'est-à-dire se prêter à des attributions vérifiables de significations aux locuteurs d'une langue et d'une communauté données. En clair, il faudrait qu'il y ait certaines bases objectives à partir desquelles on puisse effectuer des attributions de signification.

L'ensemble de ces conditions fait l'objet de ce que Davidson appelle «  théorie de l'interprétation radicale ».

Tarski considérait les axiomes de la théorie de la vérité comme des hypothèses sur la signification du prédicat « vrai » en tant qu'il est appliqué à des énoncés du langage - objet.

Contrairement à lui, Davidson pense que les axiomes de la théorie doivent être entendus comme des hypothèses sur la signification des expressions de base du langage dont on peut donner la sémantique.

D'après Davidson, la construction d'une théorie de vérité pour un langage doit être conçue comme une tentative d'interprétation radicale, c'est-à-dire mettre à la disposition d'un interprète toutes les informations dont il a besoin pour comprendre un langage qu'initialement il ne comprend pas. Mutombo Matshumakia ajoute que : « il y a donc chez Montague aussi bien chez Kaplan que chez Davidson le souci de ne pas accepter une théorie logique qui ignore la dimension génétique de la langue et qui exclut la conception générative de la signification » (16(*))

Paraphrasant Davidson, Diego Marconi, précise cette vue en ces termes : «  chaque divergence entre nos jugements de vérité et ceux d'un autre locuteur peut toujours être reconduit soit à des croyances différentes, soit au fait qu'aux mêmes mots nous attribuons des significations différentes » (17(*)).

Tout compte fait, la vérité d'un énoncé est fonction de sa signification. Qui dit signification, dit contexte d'usage ; et qui dit contexte d'usage, dit monde possible ; et, enfin, qui dit monde possible, dit modalité.

Essayons maintenant de scruter la théorie sémantique des mondes possibles.

I.1.4. Théorie sémantique des mondes possibles

Kripke, Kanger et Hintikka (18(*)), à partir du milieu des années cinquante, ont élaboré une théorie connue sous le nom de sémantique des mondes possibles. Cette théorie avait pour objectif la démonstration des propriétés formelles (complétude, saturation, etc.) des systèmes de logiques modales.

En effet, dans une sémantique des mondes possibles, un énoncé est interprété en relation à un monde possible. Par exemple, on ne dira pas que p est simplement vrai ou faux mais qu'il est vrai ou faux par rapport à ou dans un monde possible. «Si le langage interprété est un langage propositionnel, une interprétation à mondes possibles (au sens de Kripke, dont la formulation a été et est toujours la plus influente) est un triplet « W, R, I », où W est un ensemble de mondes possibles, R est une relation définie sur W (dite relation d'accessibilité) et I est une fonction qui assigne à chaque énoncé du langage une valeur de vérité par rapport à un monde possible. La validité est définie comme vérité dans tous les mondes possibles »(19(*)).

Essayons d'illustrer ce que nous venons de dire par un exemple. Soit l'expression suivante : {[(pq) p]q}.

Précisons d'abord que dans la sémantique des mondes possibles, la possibilité et la nécessité sont interprétées respectivement comme vérité dans au moins un monde possible et vérité dans tous les mondes possibles. Ceci étant, nous pouvons évaluer notre expression par la méthode des tableaux sémantiques.

 

F

R.A.R

(relation d'accessibilité réflexive)

V

F

 

(1) {[(pq) p]q} (x)

(3-2) (pq)p (x)

(5-3) p q x

(6-3) p

(2-1) [(pq) p]q (x)

(4-2) q

1

2

1

2

(6-3) p

(6 et 7) p

(8-5) q

(6-3)p

(8 et 7)q

(7-5) p

(4-2) q

(6 et 7) p

(4-2) q

(8 et 4) q

Comme R est réflexive, cela signifie que notre expression est exactement un théorème de T, c'est-à-dire du système de logique modale de base développée par Von Wright. Essayons de la démontrer dans le système T.

Théorème : {[(pq) p]q}

1. p (pq) AX2

2. p (~p q) 1, définition de l'implication matérielle

3. (pr) (pq) 2, substitution de p/pr et ~p/p

4. (~pr) (pq) 3, définition de l'implication matérielle

5. [(pvq)? (qvp)] (pq) 4, substitution de ~p/pvq et r/qvp

6. (pvq) ? (qvp) AX3

7. p?q détachement de 5 et 6

8. (pvp) ? p Ax1

9. (~ p ? p ) ? p 8, définition de l'implication matérielle

10. (p? q ) ? q 9, substitution de ~ p/p et p/q

11. q détachement de 10 et 7

12. q?p 7, substitution de p/q et q/p

13. p détachement de 12 et 11

14. ( p?q) ^ p RSC20(*) 7 et 13

15. [(p?q) ^ p] ? q RSB21(*) 14 et 11

16. {[(p ?q) ^ p] ? q}15, RD622(*)

CQFD

I.1.5. Que faut-il entendre par logique cognitiviste ?

Nous partons de quatre présupposés. Le premier est la théorie des mondes possibles. Celle-ci, nous l'avons vu, permet d'évaluer un énoncé par rapport à un monde possible, à une modalité.

Le deuxième présuppose est la nécessité d'embrigader le langage ordinaire en vue de l'épurer.

A vrai dire, le langage ordinaire n'a d'ordinaire que son nom. Il est artificiel, conventionnel et donc un produit de la culture et non de la nature. Descartes, dans sa lettre du 20 novembre 1629, adressée à Mersenne, lettre dans laquelle il traitait de la question d'une langue universelle, nous apprend ce qui suit : « ... il n'ya que deux choses à apprendre en toutes les langues, à savoir la signification des mots et la grammaire » (23(*)).

L'invention et la signification des mots, nous semble-t-il, sont une contingence de l'histoire, car il a fallu que les hommes, ayant atteint un certain niveau de culture et voulant désigner et exprimer ce qu'ils avaient à l'esprit, décidèrent que telle chose s'appellera ceci, telle autre cela, etc.

Quant à la grammaire, elle a été inventée, entre autre, pour des raisons euphoniques, c'est-à-dire pour éviter la mauvaise rencontre des lettres, laquelle ferait des sons désagréables et insupportables à l'ouïe. « .... Toute la différence des inflexions des mots ne s'est faite par l'usage que pour éviter ce défaut » (24(*)).

Descartes proposait deux choses :

- Que l'invention des mots de cette langue puisse ressortir des caractères communs des mots primitifs et que leur écriture puisse répondre au sens et non pas aux syllabes,

- En second lieu, il voulait qu'une telle langue puisse obéir à un algorithme semblable à celui des nombres.

En clair, le langage ordinaire a été toujours et est embrigadé par des restrictions d'ordre grammatical. Au delà de cette forme grammaticale, il est important de dégager la forme logique.

Diego Marconi, en paraphrasant Quine, affirme ce qui suit : « le langage naturel doit être autant que possible reconduit au langage de la logique. Il ne doit pas être remplacé par un langage symbolique, mais il s'agit plutôt de retrouver dans le langage naturel lui-même, du mieux que l'on peut, cette structure logique que le langage symbolique exhibe avec une pleine évidence » (25(*)). L'objectif est donc celui d'articuler, mieux de rendre vivante la structure logique profonde (et non superficielle) commune à toutes les langues possibles à la manière de Montague.

Le troisième présupposé est la théorie de l'action de Donald Davidson. En effet, notre auteur considère l'action comme une sorte d'événement, mais un événement qui est caractérisé par l'intentionnalité. Cette dernière est le critère de l'action. En corollaire, toute action est susceptible de recevoir une description intentionnelle. En revanche, si à un événement aucune description intentionnelle ne s'applique, alors il s'agit d'un événement qui « arrive » simplement et non de quelque chose qui est «  faite » ou exécutée ».

Aussi, donner les raisons de l'agent, c'est rationnaliser l'action au moyen d'une pro-attitude (état conatif) et d'une croyance (`état cognitif). A ce propos, Davidson affirme que : «chaque fois que quelqu'un fait quelque chose pour une raison, on peut donc dire a) qu'il avait une sorte de pro-attitude à l'égard d'actions d'un certain type, et b) qu'il croyait (ou savait, percevait, remarquait, se rappelait) que cette action était de ce type »(26(*)).

Dans la rubrique a, il faut inclure des désirs, les volontés, etc., pour autant qu'on puisse interpréter ceux-ci comme les attitudes d'un agent dirigées vers des actions d'un certain type.

Dans la rubrique b, il faut inclure les croyances, les perceptions, etc., en ce sens qu'elles sont des représentations des moyens supposés appropriés pour atteindre un certain but.

Notons que la rubrique a et la rubrique b ou l'état conatif et l'état cognitif constituent la raison primaire d'une action, c'est-à-dire sa cause. Davidson souligne que : « R est une raison primaire pour laquelle un agent a accompli l'action A sous la description d que si R consiste en une pro-attitude et en la croyance de l'agent que A, sous la description d, a cette propriété »(27(*)). Ceci peut s'illustrer par l'exemple suivant : Antoine faisait de l'exercice et voulait maigrir et pensait que l'exercice le ferait maigrir.

La volonté ou le désir de maigrir (état conatif) et la croyance au fait que faire de l'exercice est le moyen approprié pour maigrir (état cognitif) constituent la raison primaire ou la cause de l'action d'Antoine.

A la lecture de l'oeuvre de Davidson, nous pouvons distinguer trois catégories d'événements (qui son tous des actions, c'est-à-ire des choses que l'agent fait), à savoir : les événements mentaux, les événements illocutoires et les événements physiques.

En effet, quelqu'un peut objecter que les événements mentaux ou les intentions pures ne sont pas des actions. A cette objection, Davidson répond de la manière suivante : «il faut dire qu'une action implique la formation d'une intention, alors que l'intention pure est l'état d'un agent qui a formé une intention (et qui n'a pas changé d'avis). Il vaut mieux recourir à un concept plus neutre et parler d'individus qui se trouvent avoir une intention, changement qui peut se produire si lentement ou si imperceptiblement chez un agent qu'il ne peut pas dire quand il a lieu. Il n'en reste pas moins que c'est là un événement, que nous pouvons très bien décider d'appeler cela une action, ou tout au moins quelque chose que l'agent fait sans pour autant être observable »(28(*)).

Quant aux événements illocutoires, Davidson note ce qui suit : «Un autre mode d'approche consiste à s'intéresser aux actes de langage explicite. Dire que l'on a l'intention de faire quelque chose ou que l'on le fera, est indubitablement une action, et a quelques une des caractéristiques de ce qui se produit quand on forme des intentions. Dire, dans des circonstances appropriées, que l'on a l'intention de faire quelques choses ou qu'on le fera, peut nous engager à le faire, si l'acte ne s'ensuit pas, il est approprié de demander une explication »(29(*)).

Il sied de noter que le caractère performatif des événements illocutoires diffère de celui des événements mentaux. Les premiers dépendent de conventions spécifiques alors qu'il n'y a pas de conventions qui gouvernent la formation des intentions.

Pascal Engel insiste sur le fait que « Davidson ne renonce pas à sa thèse initiale de 1967, selon laquelle une théorie de la signification est une théorie empirique testable, qu'on puisse rattacher, de manière spécifiable, à l'usage des phrases par des locuteurs.... Il conçoit ce problème comme fondamentalement le même que celui d'une théorie de la mesure des degrés de croyances et de désirs dans la théorie classique de la décision. La solution qu'il cherche à apporter à ce problème est également inspirée de celle-ci et prend la forme d'une théorie unifiée du langage et de l'action (30(*)).

En résumé, il existe pour chaque événement une description physique et une description mentale. Toutefois, chaque événement peut être médiatisé par les actes du langage. Ce genre d'identité présuppose des lois de corrélation entre le mentale, le langage et le physique.

Notre travail va donc consister à dégager la structure logique profonde qui sous-tend cette corrélation.

Pour ce, il faudrait recourir à un quatrième présupposé, celui des intelligences artificielles, plus spécialement la notion de frame. Diego Marconi note que : « la recherche en intelligence artificielle a produit différentes méthodes de représentation de la signification des mots : les plus rependues sont les réseaux sémantiques et les frames. Dans les versions les plus développées, les réseaux sémantiques sont équivalents à des systèmes de postulats de signification commandés par une logique de premier ordre. Les frames (Minsky, 1975) sont au contraire une forme de représentation non reconductible à celles traditionnelles.... Dans un frame, les valeurs sont des valeurs possibles qu'une propriété peut assumer ; la valeur par défaut est la valeur qui est attribuée automatiquement à une propriété en absence d'informations précises. Les valeurs possibles représentent la possibilité de variation des propriétés... » (31(*)).

Ainsi, fort de ces quatre présupposés, nous pensons que la logique cognitiviste, du moins telle que nous l'entendons devrait avoir deux dimensions : la première est dite démonstrative et la seconde, cognitive.

La première dimension aurait pour vocation d'étudier l'aspect démonstratif, c'est-à-dire la validité de nos énoncés (entendez par là les conditions de vérité et la signification de nos énoncés). Cette validité (au nom de principe d'interprétation radicale de Davidson), nous la voulons généralisée.

Aussi, nous faisons de la sincérité du sujet et de la performativité de l'énoncé deux nouvelles modalités à coté des modalités traditionnelles telles que la nécessité, la possibilité, la permission, etc.

La sincérité, pour peu qu'elle dépende du sujet, serait une modalité relative. Quant à la performativité, elle serait une modalité absolue (ontique) dans la mesure où elle dépasse le sujet (32(*)).

Cette première dimension prendra en charge les événements illocutoires (33(*)).

La seconde dimension, c'est-à-dire la dimension agentive, aurait pour rôle de déterminer la structure logique qui sous tend la corrélation entre les événements mentaux et les événements physiques. En principe, cette corrélation devrait s'exprimer par la formule générale suivante :

x y [(x = y) ? (E x ? Ey)]

Nous avons deux variables individuelles (x et y) et une constante individuelle (E). x et y représentent respectivement la description mentale et la description physique de l'événement E, la constante.

Cette formule, cependant, ne tient pas compte du mouvement qu'il y a entre les événements mentaux vers les événements physique. D'où, il faudrait recourir à un autre modèle, celui des frames.

Nous savons déjà que les états conatif et cognitif composent les événements mentaux. Ces derniers constituent la cause de l'agent. Mais concrètement, il y a toujours des facteurs psychophysiques qui interviennent pour la détermination effective de l'action de l'agent. Ces facteurs psychophysiques, nous les appelons coefficient de conjoncture. Le coefficient de conjoncture peut, d'une certaine façon, influencer les événements mentaux. Schématiquement, nous obtenons la formule suivante :

{{[(p^q)?r] ^ ? [r?(p^q)]} ^ (r? s) }?[(p^q) ? s]

En fait, nous avons posé les valeurs suivantes :

p : état conatif

q : état cognitif

r : coefficient de conjoncture

s : action de l'action

A ce niveau, il faudrait établir un frame pour chaque variable et ensuite réaliser une combinatoire de ces frames à la manière de Raymond Lulle.

Formellement, nous obtiendrons le schéma suivant :

Evénement mental

?

? ?

Coefficient de conjoncture

?

Evénement physique

Etat conatif

^

Etat cognitif

 

Facteurs psychophysiques

 

Action de l'agent

frame

 

frame

 

frame

 

frame

I.2. Les grandes approches des systèmes formels

I.2.1. Approche syllogistique

L'approche syllogistique comprend deux moments importants. Le premier, la syllogistique traditionnelle, est l'oeuvre d'Aristote et des mégaro-stoïciens telle que revisitée par les médiévaux. Le second, la syllogistique généralisée, commence avec Leibniz et prend fin avec Auguste De Morgan.

a.i.1. Syllogistique traditionnelle

La spécificité de la syllogistique traditionnelle est qu'elle est dominée par le paradigme des sciences de la nature, quoi que le modèle géométrique n'y soit pas exclu.

A.1. Syllogistique aristotélicienne

La logique aristotélicienne, nous semble-t-il, se sert de la zoologie comme paradigme dominant. Nous nous expliquons.

En effet, Aristote regroupe les prédicats en dix catégories ou classes d'êtres. Il s'agit de : la substance, la quantité, la qualité, le lieu, le temps, la relation, l'action, la passion, la situation et la possession. Notons au passage qu'une catégorie peut être prédicat de divers sujets, mais ne peut être sujet d'aucun énoncé, car on ne peut rien en dire. On est en droit de se demander si cette classification ne nous suggère pas la zoologie.

De plus, la théorie de la définition des concepts qu'Aristote a proposée, théorie selon laquelle pour définir un terme il faut lui trouver un genre proche ensuite une différence spécifique, ne nous renvoie-t-elle pas non plus à la zoologie ?

Aussi, ce penchant vers le modèle zoologique pose-t-il problème, de fois, au niveau purement formel. A titre exemplatif, nous évoquerons le cas de la première règle du syllogisme catégorique, laquelle stipule que « le syllogisme ne comporte que trois propositions comprenant trois termes uniques ».

En réalité, cette règle implique l'analyse préalable des contenus des termes du syllogisme. Or, nous le savons, une science qui se veut formelle doit normalement faire abstraction des contenus des énoncés pour ne retenir que leur forme canonique ainsi que la forme de leurs combinaisons. En clair, la logique aristotélicienne n'est pas complètement formelle.

Toutefois, on retrouve des élans géométriques, par exemple, avec les opérations du carré logique :

A contrariété E

I subcontrariété O

Ici, comme l'on peut s'en rendre compte, seule la forme est significative et l'on peut bien se passer des contenus des termes et des propositions.

En outre, la réduction des modes de trois dernières figures aux modes de la première figure exhibe également cet esprit géométrique.

Cependant, Bamalip, mode concluant de la quatrième figure, prouve que la syllogistique aristotélicienne n'est pas catégorie. Nous l'avions vu, la catégoricité est une propriété formelle d'un système logique : elle consiste à ce que le système puisse disposer d'une méthode de décision uniforme. Or, la conversion par accident effectuée sur le I de Bamalip est illégitime, car la conversion par accident n'est possible que pour E et A. dans le cas de Bamalip, elle est appliquée sur I.

A.2. La syllogistique mégoro-sytoïcienne

Les mégaro-stoïciens prenaient la physique comme paradigme dominant. En effet, dans leur école, la science gravitait autour d'une triade constituée par la physique, la logique et la morale (34(*)).

Par ailleurs, leur science est essentiellement empirico-panthéiste. Les stoïciens sont convaincus que «  le monde est dieu et que Dieu est aussi cette matière » (35(*)). Du coup, étudier le monde, c'est chercher à découvrir les lois divines immuables.

Sur le plan logique, les conséquences sont telles qu'il n'a y a plus de place pour un syllogisme de type catégorique. Aussi, les stoïciens privilégient - ils le syllogisme hypothétique, car l'homme doit suivre le cours naturel des événements, c'est-à-dire en réfléchissant de façon hypothétique et non en décidant de manière catégorique.

Brochard accuse l'adaptation de la logique d'Aristote et celle des mégaro-stoïciens par les médiévaux, car les deux logiques relèvent de deux philosophies bien différentes : celle de la substance (Aristote) et celle de l'événement (les mégaro-stoïciens). A ce propos, Brochard affirme ce qui suit : «la substance s'exprime naturellement par un nom et l'événement par une proposition. La marque distinctive de la logique stoïcienne était d'être une logique des propositions, et non plus une logique des noms »(36(*)).

Notons aussi que la logique mégaro-stoïcienne était axiomatisée à sa manière. Elle admettait cinq indémontrables ou axiomes que voici :

1. Si le premier, alors le second ; or, le premier, donc le second ;

2. Si le premier, alors le second, or, pas le second, donc pas le premier ;

3. Pas à la fois le premier et le second ; or, le premier ; donc pas le second ;

4. Ou le premier ou le second, or le premier, donc pas le second ;

5. Le premier ou le second, or pas le second, donc le premier.

a.i.2. Syllogistique généralisée

Il sied de distinguer deux moments importants de cette généralisation. Le premier moment est celui de Leibniz et le second, celui de De Morgan.

B1. Leibniz et la syllogistique

La première généralisation de la syllogistique traditionnelle est l'oeuvre de Leibniz (1646 -1716). Cette généralisation concerne l'intention, c'est-à-dire la compréhension des termes.

En effet, ce logicien estimait que le contenu de tout terme est un caractère soit simple, soit composé des caractères simples. En clair, toute proposition n'est que la combinaison de ce concept sujet et de concept prédicat ; et que tout concept complexe est analysable en concepts simples dont les relations sont codifiables en formules combinatoires symboliques.

Leibniz voyait dans son art une sorte d'algèbre universelle utilisable pour évaluer logiquement n'importe quelle proposition. Il disait à ce propos : «Grâce à l'emploi de cet art, il ne devrait plus y avoir matière à discussion entre philosophes qu'il n'y en a entre comptables. Il leur suffirait de prendre en main leur crayon, de s'asseoir devant un tableau et de se dire mutuellement : `Et bien ! Calculons !'» (37(*)).

Pour ce, il s'attendait à obtenir deux objets simultanées : construire un système de nomenclature universelle, qu'il appelait charactéristica universalis, et établir les principes d'une sorte de calcul qui remplacerait le raisonnement, et qu'il appelait calculus raciocinator.

Cette caractéristique universelle est appelée, par Kotarbinski (38(*)) entre autres, idéographie, car les signes graphiques désignent la compréhension ou l'objet des concepts de façon directe et non par l'intermédiaire d'une reproduction des mots correspondants du langage phonétique.

Leibniz propose ainsi un modèle arithmétique de la combinatoire (39(*)) dont il espère tirer une logique de l'invention. Les concepts sont représentés par des nombres. On peut ainsi définir tout prédicat possible d'un sujet donné en utilisant la règle de calcul des combinaisons suivante :

K représente le nombre des termes simples entrant dans la définition du terme complexe. Le problème inverse de trouver tout sujet possible pour un prédicat donné revient à déterminer toutes les combinaisons où peut entrer la combinaison correspondant à ce terme prédicat. A supposer que soit le nombre de la combinaison du prédicat, la formule à appliquer s'énoncera comme suit :

En éliminant la possibilité d'identité entre le prédicat et le sujet, la formule de calcul devient :

Voyons maintenant le problème du nombre des syllogismes requis pour démontrer une proposition, en excluant le cas où le sujet et le prédicat appartiennent à la même classe d'ordre (cas d'identité). Soit K, le nombre des facteurs (termes) simples de p (prédicat) et n le nombre de facteurs simples des (sujet) ; en raison de l'exclusion de s lui -même, la formule donne ce qui suit :

Leibniz propose d'utiliser de telles ressources combinatoires pour résoudre des problèmes en droit, en physique, en théologie, etc.

Tout compte fait, sans y parvenir, Leibniz s'efforça toute sa vie de construite un système formel capable d'épuiser automatiquement toutes les combinaisons de principe de nos raisonnements. En outre, nous pouvons déplorer deux choses chez lui.

Premièrement, la notation numérique qu'il propose n'est pas d'utilisation aisée. Deuxièmement, nous ne voyons pas clairement ni distinctement avec quoi ses règles de calcul riment.

B.2. Auguste De Morgan et la syllogistique

La seconde généralisation de la syllogistique est l'oeuvre de De Morgan. Cette seconde généralisation se rapporte à l'extension et non plus à l'intention des termes comme chez Leibniz. A ce propos, Kotarbinski nous renseigne ce qui suit : «l'enrichissement et en même temps l'homogénéisation de la syllogistique traditionnelle consiste ici, avant tout, dans la quantification non seulement des sujets, mais également des attributs (ce qui constitue un trait qui est commun avec Hamilton), et, en outre, dans le fait qu'il introduit de façon aussi étendue que possible des termes négatifs et non seulement des termes positifs (ce qui, dans l'exposé de la logique traditionnelle n'apparait que pour les observions et les formes en dépendant, dans le cas de transfert de la négation de la copule à l'attribut) » (40(*)).

Voici l'économie de la logique de De Morgan :

- Les termes positifs (comme homme, mortel) sont désignés par des majuscules : X, Y, Z, alors que les termes négatifs (comme non homme ou non-mortel) par leurs correspondants en minuscules : x, y, z ;

- Un terme quantifiée universellement (comme tout homme, aucun mortel) est accompagné d'un croissant dont la convexité est tournée vers l'extérieur. Exemple X ou X ;.

- Un terme à quantification partielle (comme certains hommes, certains mortels) est accompagné d'un croissant en sens contraire. Exemple : X ou X.

- Deux termes avec croissants juxtaposés sans signe intermédiaire ou reliés à l'aide de deux points disposés horizontalement forment une proposition affirmative. Exemple : X y ou X  .. Y.

- Deux termes avec croissant reliées par un point forment une proposition négative. Exemple : X . Y.

Ainsi, fort des informations ci-hautes, nous pouvons, à titre illustratif, formaliser les propositions d'Hamilton à l'aide du modèle de De Morgan.

Termes mnémotechniques

Les propositions d'Hamilton

Leurs équivalents chez De Morgan

1

U

Tous les S sont tous les P

X Y

2

I

Certains s sont certains p

X Y

3

A

Tous les S sont certains P

X Y

4

Y

Certains S sont tous les P

X Y

5

E

Aucuns S n'est aucun P

X. Y

6

W

Certains S ne sont pas certains P

X. Y

7

 

Aucuns S ne sont certains P

X.Y

8

O

Certains S ne sont aucuns P

X.Y

Notons que De Morgan n'avait pas prévu des foncteurs pour connecter les propositions entre elles. Aussi, va-t-il élaborer la théorie de la relation pour que, dans les schémas de la syllogistique généralisée, les membres représentés par les termes soient reliés par des relations arbitraires et pas nécessairement par les relations d'inclusion ou d'exclusion.

Soit le raisonnement suivant :

A..FB

B..MC

A..FMC

Si nous posons F pour la fraternité, M pour la maternité, alors ce raisonnement pourra se lire de la manière suivante : A est le frère de B, et B est la mère de C, alors A est le frère de la mère de C, donc son oncle.

I.2.2. Approche algébrique et sémantique

L'approche algébrique est directement inspirée de Boole avec sa logique des classes. Sa contribution fondamentale à la logique est double : d'une part, cette discipline se trouve avec lui intimement associée aux mathématiques dans la lignée de l'idéal leibnizien d'une caractéristique universelle et, d'autre part, elle se trouve associée aux structures algébriques avec le courant de l'algèbre de boole et du calcul des classes qui allait se développer dans la seconde moitié du XIXème siècle avec Venn, Jevons, L. Caroll, Peirce et schröder. « A bien des égards, ce courant de calcul des classes qui repose sur la notion de vérité, de validité et d'interprétation d'une proposition dans un univers possible, représente une approche sémantique de la logique distincte de l'approche syntaxique et axiomatique... »(41(*)).

a.i.1. Approche algébrique ou logique des classes

Il y a essentiellement deux classes chez Boole, à savoir : la classe universelle ou l'univers du discours des objets concevables symbolisés par 1 et la classe nulle représenté par 0. Ces deux classes sont des constantes.

Outre ces deux classes, il y a des symboles littéraux tels que x, y, z (...) qui représentent les choses visées par les concepts et qui sont des classes quelconques, mieux des sous classes de la classe universelle, à la seule différence que les symboles littéraux sont des variables.

Quant à la classe complémentaire, elle est obtenue par la soustraction de la classe universelle par une sous classe et sa formule s'énonce comme suit : (1-x) ou (1-y), etc.

Enfin, il y a quatre opérateurs de base (+,.,-,=) qui représentent respectivement la somme logique, le produit logique , l'exception de certaines éléments dans une classe et l'identé extensionnelle, laquelle correspond à la copule Est de la forme de la proposition classique : S est P.

Un cinquième opérateur « v » est le quantificateur particulier. Une variable précédé de « v » est particulière alors que celle qui n'en est pas précédée est universelle.

· Les lois fondamentales de la logique des classes :

- La commutativité : x.y = y.x

x+y = y+x

- L'associativité : x. (y.z) = (x.y).z

x+(y+z) = (x+y)+z

- La distributivité : x. (y+z) = (x.y) + (x .z)

x. (y-z) = (x.y) - (x .z)

- L'idempotence ou la loi des indices : x.x = x2=x

- La loi de la complémentarité : 1-x

· Interprétation de la logique des classes

La logique des classes peut être interprétée de diverses manières. C'est justement cette diversité dans l'interprétation qui a été à la base du courant de l'algèbre de Boole, mieux des algèbres de Boole, car ces algèbres booléennes sont différentes les unes des autres du fait qu'elles n'interprètent pas toutes de la même manière les opérateurs de base (+, ., -, =).

Toutefois, Boole distinguait deux types des propositions, à savoir : les propositions primaires et les propositions secondaires (42(*)).

Les propositions primaires sont dépourvues des valeurs de vérité, c'est-à-dire qu'elles ne sont ni vraies ni fausses ni disponibles à l'être. Soit la proposition suivante :

Tout y est x

En logique des classes, nous pouvons la formaliser de la manière suivante : y = x

La proposition pourra se lire : «  tout y est x », car le signe de l'identité extensionnelle (=) correspond à la copule Est.

Boole, on le sait, a été influencé par la théorie de la quantification élaborée par W. Hamilton et améliorée par De Morgan. Aussi, notre proposition peut s'écrire de la manière suivante : y = vx.

Et se lira : tous les y sont quelques x, car v est le quantificateur particulier.

Maintenant, nous pouvons formaliser les propositions de W. Hamilton à l'aide de la logique des classes.

Termes mnémotechniques

Les propositions d'Hamilton

Leurs équivalents chez De Morgan

1

U

Tous les y sont tous les x

y = x

2

I

Certains y sont certains x

vy = vx

3

A

Tous les y sont certains x

y = vx

4

Y

Certains y sont tous les x

vy = x

5

E

Aucuns y n'est aucun x

y= (1-x)

6

W

Certains y ne sont pas certains x

vy = v(1-x)

7

 

Aucuns y ne sont certains x

y = v (1-x)

8

O

Certains y ne sont aucuns x

vy = (1-x)

Quant aux propositions secondaires, nous disons qu'elles sont pourvues de valeurs de vérité provisoires, c'est-à-dire qu'elles peuvent être vraies à un moment et fausses à un autre. Néanmoins, c'est par elles que Boole exprime la plupart des opérations propres à la syllogistique traditionnelle (conversions, syllogismes, etc.) et définit la notion générale de fonction logique. Il peut ainsi considérer la syllogistique comme un cas particulier d'une méthode algébrique générale.

Voici, l'exemple d'une proposition secondaire : « les diamants sont des substances quantitativement limitées, échangeables, coûtant chères ou protégeant contre la pauvreté ».

En posant :

a  : les diamants ;

b : substances quantitativement limitées

c : échangeables ;

d : coûtant chères ;

e : protégeant contre la pauvreté.

Nous obtenons l'ebf suivante :

a=b.c [d + (1 - e)]

a.i.2. Approche sémantique

A notre humble avis, le courant de calcul des classes issu de l'algèbre de Boole représente une approche sémantique de la logique. Mutombo Matsumakia est d'avis que : «le point de vue sémantique ou de la théorie des modèles comprend la méthode des tables de vérité de post et Wittgenstein, des matrices de Peirce et des tableaux sémantiques de Beth »(43(*)).

Nous nous proposons de parler de Schröder. En effet, à plus d'un égard, il peut être considéré comme une figure importante de l'approche sémantique.

Schröder, comme Boole, s'inscrit dans la lignée Leibnizienne d'une caractéristique universelle. Voyons cependant les différences qu'il y a entre les deux logiciens (44(*)).

- Chez Boole, la négation est définie à partir de la soustraction alors qu'elle est une opération primitive chez Schröder ;

- La somme logique n'est plus interprétée dans une sens exclusif, mais plutôt dans un sens non exclusif ;

- L'identité extensionnelle n'est plus la seule relation, il s'y ajoute l'implication et l'identité au sens de l'équivalence ;

- La logique booléenne n'était pas une véritable logique propositionnelle. Boole n'excluait pas qu'une même proposition puisse avoir des valeurs de vérité distinctes à des moments distincts (cas de propositions secondaires). Pour faire face à cette situation, Schröder ajoutera aux lois fondamentales de la logique propositionnelle l'axiome suivant :

a=(a=1)

Dans cet axiome, 1 symbolise n'importe qu'elle proposition vraie, mieux qui serait vraie à tout moment. Cet axiome, en clair, signifie qu'une proposition est vraie si et seulement si elle est toujours vraie.

- En outre, il a introduit la notion des coefficients de relation.

Tout compte fait, bien qu'elle soit axée surtout sur la logique des classes et qu'elle se situe dans la lignée de Boole et non de Frege et Russell, l'oeuvre de Schröder a exercé une influence non négligeable sur le développement de la logique mathématique dans la première moitié du XXème siècle comme en témoignent les travaux de Löwenheim, Skolem et Zermelo.

Tableau comparatif de l'approche algébrique et de l'approche sémantique

Approche algébrique

Approche sémantique

1

Désignations

Descriptions

symboles

Désignations

Descriptions

symboles

 

Le complément des classes

L'exception des certaines éléments dans une classe

-

La négation

C'est un opérateur unaire ex :~p

~

2

Le produit logique

L'intersection de deux classes

.

La conjonction

C'est un opérateur binaire. Elle met en relation deux propositions ou deux expressions. Elle est vraie lorsque ces deux arguments sont vrais

^

3

La somme logique

La réunion de deux classes

+

La disjonction inclusive

C'est un opérateur binaire. Il est vrai lorsqu'au moins l'un de ces membres est vrai

V

4

L'identité extensionnelle

La copule est

=

L'équivalence ou la bi -implication

Elle est aussi binaire. Elle est vraie si et seulement si ses deux membres ont la même valeur de vérité

?

5

L'inclusion

L'inclusion d'une classe dans une autre

 

L'implication

Elle est également binaire. Elle est fausse si l'antécédent est vrai et le conséquent faux, vraie dans les autres cas

?

6

les symboles littéraux

Les classes quelconques. Ce sont des variables

x, y, z

Les variables propositionnelles

Elles désignent les énoncés du langage ordinaire

p, q, r...

7

La classe universelle

L'univers du discours. C'est une constante

1

Le vrai

Lorsqu'une expression est vraie dans toues les éventualités, on parle de tautologie

pv~p

1101

0110

8

La classe vide

La classe nulle

0

Le faux

Lorsqu'une expression est fausse sur toutes les lignes, on parle de contradiction logique

p^~p

1001

0010

I.2.3. Approche syntaxique et la méthode axiomatique

Contrairement à l'approche sémantique où les variables propositionnelles désignent des propositions vraies ou fausses et que c'est en tant que propositions vraies ou fausses qu'elles sont reliées à d'autres, l'approche syntaxique considère les symboles utilisés comme dépourvus de toute signification. Cette approche considère le raisonnement comme une succession de représentations qui peut être décrite à travers un ensemble fini de règles syntaxiques. Le sens des énoncés, s'il existe, existe en dehors de la pensée, c'est-à-dire dans le monde lui-même, ou plus précisément dans la logique du langage conçu comme une «méta-représentation » du monde. Ainsi, par exemple, « p » ne sera rien d'autre que la seizième lettre minuscule de l'alphabet français et ce sera entant que lettre minuscule qu'elle sera combinée de telle ou telle façon avec d'autres lettres ou d'autres signes.

Mutombo Matsumakia est d'avis que «le point de vue syntaxique ou de la théorie de la démonstration vient de l'axiomatisation de Frege en 1879. Il comprend également les méthodes de décision telles que la méthode des formes normales conjonctives de Peirce, Bernays, Behmann, Hilbert, Ackermann, des formes normales disjonctives de Pierce, Schröder, Bernays, Bermann, Hilbert, Ackermann, des arbres sémantiques d'Hintika, de déduction naturelle de Gentzen ».(45(*))

Quant à la méthode axiomatique, Mutombo Matsumakia note par ailleurs que « l'axiomatisation du calcul propositionnel classique est l'oeuvre initiale de Frege, contenue dans son Bergriffsschrift publié en 1879. Cette oeuvre contient la première formulation du calcul propositionnel classique, en tant que système logique aujourd'hui»(46(*)).

Toutefois, il sied de noter que l'oeuvre de Frege a été revisitée par Russell (47(*)). Ce dernier y a détecté l'existence paradoxale d'un ensemble des ensembles qui ne contiennent pas eux -mêmes comme sous ensembles et a manifesté le souci d'éviter les antinomies grâce à la hiérarchisation des classes.

On ne peut terminer ce point sans mentionner le nom de David Hilbert. Il est sans doute celui qui a le plus marqué l'histoire de la méthode axiomatique grâce à la simplicité de son système.

Conclusion

Ce premier chapitre a traité des généralités de système formel. Nous avons commencé par indiquer l'orientation que nous donnons au présent travail, celle de l'ancrage dans l'esprit géométrique et, pour pallier aux insuffisances du formalisme actuel, nous faisons intervenir le paradigme cognitiviste avec Donald Davidson dans le sillage de la logique formelle.

Ensuite, nous avons passé en revue les trois grandes approches des systèmes formels. Il s'agit de l'approche syllogistique, de l'approche algébrique et sémantique ainsi que de l'approche syntaxique.

* 1 _ Cfr Jean LADRIERE, «  les limites de la formalisation », in Encyclopédie de la pléiade, Paris, Gallimard, 1967.

* 2 _ René DESCARTES, OEuvres et lettres, paris, Gallimard, 1978, pp.136-137.

* 3 _. Robert BLANCHE, L'axiomatique, Paris, PUF, 2ème éd, 1999, p.9.

* 4 _. René DESCARTES, op.cit, p.138.

* 5 _ Cfr André LAGARDE et Laurent MICHARD, XVIIè Siècle. Les grands auteur français du programme II, Paris, Bordas, 1970, pp.140-141

* 6 _. MUTUNDA MWEMBO, Eléments de logique, Kinshasa, Médiaspaul, 2006, p.51.

* 7 _. Jean LADRIERE, op.cit, p.312.

* 8 _. MUTUNDA MWEMBO, op.cit, pp.52-58.

* 9 _. Cfr KINANGA MASALA, Notes de cours de questions approfondies de Logique I, destiné aux étudiants en première licence philosophie (2008-2009)

* 10 _. « Un algorithme est un ensemble de règles opératoires dont l'application permet de résoudre un problème énoncé au moyen d'un nombre fini d'opérations » Cfr. André LALANDE, vocabulaire technique et critique de la philosophie, Paris, PUF, 1991, p.35.

* 11 _. Cfr Diego MARCONI, La philosophie du langage au XXè siècle, L'éclat ( en ligne : #)

* 12 _.Jean LADRIERE, op.cit, p.313.

* 13 _. Cfr Donald Herbert DAVIDSON (http://www.philosophyprofessor.com/philosophers/donald-davidson.php)

* 14 _. Cfr. Pascal ENGEL, Davidson et la philosophie du langage, Paris, PUF, 1994, p.6.

* 15 _. Donald DAVIDSON, Enquêtes sur la vérité et l'interprétation, Nîmes,  J Chambon, 1993, p.55, cité par François Rivenc, Sémantique et vérité : de Tarski à Davidson, Paris, PUF, 1998, pp.7-8.

* 16 _ .MUTOMBO MATSUMAKIA, Opacité référentielle et quantification. Une introduction à la sémantique intentionnelle. Paris, Perter lang, 1998, p.115

* 17 _. Cfr. Diego MARCONI, op.cit, §30.

* 18 _. Cfr Idem, §17.

* 19 _. Ibidem

* 20 _. Règle secondaire C : si A et B alors ( A^ B)

* 21 _. Règle secondaire b : si A et B alors ( A?B)

* 22 _. Règle de déduction 6 : si alors

* 23 _. René DESCARTES, op.cit , p.911.

* 24 _. Idem, p.913.

* 25 _. Cfr. Diego MARCONI, op.cit, §28.

* 26 _. Donald DAVIDSON, Actions et événements, Paris, PUF, 1993, p.16.

* 27 _. Idem, p.18.

* 28 _. Ibidem, p.127.

* 29 _. Idem, p.128

* 30 _. Pascal ENGEL, op.cit, p.109.

* 31 _. Diego MARCONI, op.cit, §33.

* 32 _. Ce point sera développé de façon détaillée au troisième chapitre.

* 33 _. Sur ce point nous nous référerons aussi à Daniel VANDERVEKEN

* 34 _. Cfr MUTUNDA MWEMBO, op.cit, p.21.

* 35 _. Cfr. MBOLOKALA IMBULI, Notes de cours d'histoire de la philosophie antique, destiné aux étudiants en 1er graduat philosophie

* 36 _. Cité par Robert BLANCHE, La logique et son histoire. D'Aristote à Russell, Paris, Armand Colin, 1970, p.92.

* 37 _. LEIBNIZ, L'art combinatoire, cité par «  http://fr.wikipedia.ordg/leibniz ».

* 38 _. Tadeuzs KOTARBINSKI, Leçons sur l'histoire de la logique, Paris, PUF, 1964, p.131.

* 39 _. Cfr Jean François MATTEI, Encyclopédie philosophie universelle, III, les oeuvres philosophiques, dictionnaire, Tome1, Paris, PUF, 1992,p.1274.

* 40 _. Tadeuzs KOTARBINSKI, op.cit, p.150-151.

* 41 _. Jean François MATTEI, op.cit, p.1630.

* 42 _. Cfr.Idem

* 43 _. MUTOMBO MATSUMAKIA, «  un petit aperçu sur la logique classique », in revue philosophie de Kinshasa, vol. XIV, n° 25-26, 2000, p.169.

* 44 _. Cfr. Jean -François MATTEI, op.cit, p.2827.

* 45 _. MUTOMBO MATSUMAKIA, «  Un petit aperçu sur la logique classique » in Revue Philosophique de Kinshasa, vol XIV, n° 25, 2000, p.169.

* 46 _. Idem, p.152.

* 47 _. Cfr.MUTUNDA MWEMBO, op.cit, p.52.

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