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Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

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par Arsalane Chouaib GUIDOUM
Université des sciences et de technologie de Houari Boumedienne - Magister en mathématiques 2012
  

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N° d'ordre : 26/2012-M/MT

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET TECHNOLOGIE DE HOUARI BOUMEDIENNE
FACULTÉ DES MATHÉMATIQUES

MÉMOIRE
PRÉSENTÉ POUR L'OBTENTION DU DIPLÔME DE MAGISTER.

EN MATHÉMATIQUES
SPÉCIALITÉ : PROBABILITÉ & STATISTIQUE

Par : Arsalane Chouaib GUIDOUM
Sujet

Conception d'un Pro Logiciel Interactif Sous

R Pour La Simulation de Processus de

Diffusion

Soutenu publiquement le 25/02/2012, devant le jury composé de :

Mr. Mustapha MOULAI Professeur à l'USTHB Président.

Mr. Kamal BOUKHETALA Professeur à l'USTHB Directeur de Mémoire.

Mr. Rachid OUAFI Maître de Conférences/A à l'USTHB Examinateur.
Mr. Abdelkader TATACHAK Maître de Conférences/A à l'USTHB Examinateur.

Table des matières

Table des matières

Liste des figures

Introduction Générale

1 Généralité sur Les Processus Stochastiques

iii

v

3

6

 

1.1

Introduction

7

 

1.2

Définitions des processus

7

 

1.3

Processus stochastiques particuliers

8

 

1.4

Processus stochastiques établi à partir de la distribution gamma

10

 

1.5

Processus stochastiques établi à partir de la distribution de Student

11

 

1.6

Processus de Markov

12

 

1.7

Processus du second ordre

13

 

1.8

Processus ergodiques

15

 

1.9

Martingales et temps d'arrêt

16

 
 

1.9.1 Temps d'arrêt

16

 
 

1.9.2 Théorème d'arrêt

17

2

Mouvement Brownien

18

 

2.1

Introduction

19

 

2.2

Construction du mouvement brownien

20

 
 

2.2.1 Construction par un processus gaussien

20

 
 

2.2.2 Construction par une limite d'une marche aléatoire

21

 
 

2.2.3 Construction par le développement de Karhunen-Loève (D.K.L)

22

 

2.3

Semi-groupe du mouvement brownien

24

 
 

2.3.1 Propriété de Markov

24

 
 

2.3.2 Mouvement brownien multidimensionnel

25

 

2.4

Approximation la dérive d'un mouvement brownien standard par un bruit blanc

 
 
 

gaussien

27

 

2.5

Continuité des trajectoires

27

 

2.6

Régularité des trajectoires

28

 

2.7

Mouvement brownien arithmétique

32

 

2.8

Mouvement brownien géométrique

34

 

2.9

Pont brownien

36

 

2.9.1 Construction par processus contraint

2.9.2 Construction par le développement de Karhunen-Loève (D.K.L)

2.10 Martingales exponentielles

2.10.1 Caractérisation de Paul Lévy du mouvement brownien

2.10.2 La loi du temps d'atteinte du mouvement brownien

2.10.3 Les temps de passage du mouvement brownien

 

37
39

39

40

42

43

 

2.11 Conclusion

 
 

45

3

Processus de Diffusion

 
 

46

 

3.1 Introduction

 
 

47

 

3.2 Intégrale stochastique

 
 

48

 

3.2.1 L'intégrale d'Itô

 
 

48

 

3.2.2 L'intégrale de Stratonovitch

 
 

50

 

3.2.3 Processus d'Itô

 
 

51

 

3.2.4 Formule d'Itô

 
 

52

 

3.2.5 La règle de multiplication

 
 

55

 

3.3 Èquations différentielles stochastiques

 
 

56

 

3.3.1 Introduction et définitions

 
 

56

 

3.3.2 Existence et unicité des solutions de l'ÉDS

 
 

59

 

3.3.3 Équation de Langevin

 
 

61

 

3.3.4 Bruit blanc, bruit coloré

 
 

62

 

3.3.5 Transformée de Lamperti

 
 

64

 

3.4 Schémas numériques

 
 

65

 

3.4.1 Simulation numérique

 
 

68

 

3.4.2 Relation entre le schéma d'Euler et Milstein

 
 

72

 

3.5 Les modèles attractives

 
 

75

 

3.5.1 Modèle d'une diffusion en attraction M ó s=1(Vt)

 
 

76

 

3.5.2 Modèle de deux diffusion en attraction M ó m>0(V(1)

t

) +-' M 0 ó (V(2)

t

) . . . .

80

 

3.6 Conclusion

 
 

83

4

Comportement Asymptotique Des Processus de Diffusion

 
 

84

 

4.1 Introduction

 
 

85

 

4.2 Équation de Fokker-Planck

 
 

85

 

4.2.1 L'origine de l'équation de Fokker-Planck

 
 

87

 

4.2.2 Modélisation d'une équation physique

 
 

89

 

4.2.3 Existence d'une solution

 
 

94

 

4.3 Processus de diffusion stationnaires

 
 

95

 

4.4 Classification des processus de diffusion linéaire

 
 

96

 

4.4.1 Processus de diffusion de type N

 
 

97

 

4.4.2 Processus de diffusion de type G

 
 

101

 

4.4.3 Processus de diffusion de type B

 
 

105

 

4.5 Calculs de l'instant de premier passage

 
 

108

 

4.5.1 IPP d'une diffusion en attraction M ó s=1(Vt)

 
 

109

4.5.2 IPP de deux diffusion en attractionMó m>0(V(1)

t)?-M 0 ó(V(2)

t ) 114

4.6 Conclusion 115

Conclusion Générale 116

Annexe A : R Code 117

Annexe B : Packages Sim.DiffProc & Sim.DiffProcGUI 122

Bibliographie 131

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9Impact, le film from Onalukusu Luambo on Vimeo.