Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

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Processus de Diffusion

Sommaire
3.1	Introduction	47
3.2	Intégrale stochastique	48
3.3	Equations différentielles stochastiques	56
3.4	Schémas numériques	65
3.5	Les modèles attractives	75
3.6	Conclusion	83

3.1 Introduction

A

fin de prendre en compte les modélisations de force aléatoires qui interviennent dans les équations de la dynamique comme des termes complémentaires, on a cherché à donner un sens à l'intégrale lorsque celle-ci est prise par rapport à un processus stochastique. Ce chapitre est consacré dans un premier temps à étudier l'intégrale

Za b f(t,ù)dW(t,ù)

dans la quelle Wt est un mouvement brownien standard et f un processus stochastique. Si f est une fonction déterministe de classe C¹, l'intégrale est une intégrale de Stieltjes classique. Mais si f dépend aléatoirement de la variable ù, comme le mouvement brownien standard n'est nulle part différentiable et que presque toutes ces réalisations n'ont pas de variations bornées, l'intégrale n'a pas de sens. [27] a été le premier à donner un sens à cette intégrale. À la suite des travaux d'Itô, Stratonovitch a proposé une autre définition de l'intégrale stochastique, la construction de l'intégrale d'Itô est assez technique. Dans le contexte de l'intégrale stochastique, nous employons indifféremment la notion de processus de Wiener et celle de mouvement brownien.

Les systèmes apparaissant dans les applications sont souvent soumis à des perturbations que l'on peut considérer comme aléatoires. Dans le cas où le bruit åt est un bruit blanc gaussien, on peut modéliser l'équation par un mouvement brownien et la traiter comme une équation d'Itô. On note X(t) = (X1(t),...,X_n(t)) le vecteur décrivant l'état du système à l'instant t. On va considérer des processus Xt qui sont solution d'une forme perturbée de l'équation différentielle :

dXt
dt

= u(t,Xt) +ó(t,Xt)åt (3.1)

où le vecteur X(t) = (X1(t),...,X_n(t)) décrit l'état du système à l'instant t. L'équation (3.1) peut s'écrire formellement :

dXt
dt

= u(t,Xt) + ó(t,Xt)^dWt (3.2)

dt

où dWt

dt est la dérivée formelle par rapport au temps d'un mouvement brownien Wt (Chapitre 2 Section 2.4). En fait, la dérivée dWt

dt n'existe pas (Dans la littérature d'ingénieur, la dérivée de Wiener est souvent appelée bruit blanc). L'équation (3.2) doit être réécrite avec la notation différentielle

dXt = u(t,Xt)dt + ó(t,Xt)dWt (3.3)

avec u(t,Xt) et ó(t,Xt) sont des fonctions mesurables localement bornées sur Rⁿ. Dans le cas où le processus Xt est markovien, on a ce qu'on appelle une diffusion.

Nous décrivons dans ce chapitre des méthodes numériques pour la résolution d'équation différentielles stochastiques (ÉDS). Pour approcher numériquement l'équation (3.3), on utilise

des schémas aux différences classiques et le fait que pour un pas h donné, les variables W(n+1)h - Wnh suivent des lois gaussiennes indépendantes de variance h. On note xt le processus approché et on considère la subdivision

0 = t0 < t1 < ··· < tN-1 < tN = T

de pas régulier

h = Ät = tn+1 -t_n

Dans le cas multidimensionnel u = (u1,...,ud) et Xt = (X1(t),...,Xd(t)) sont des vecteurs de R^d. Le mouvement brownien a p composantes Wt = (W1(t),...,Wp(t)) et ój = (ó¹ _j,ó² _j,...,ó^d_j) pour j = 1,...,d. L'équation (3.3) s'écrit

p

Xt = u(t,Xt)dt + ? ój(t,Xt)dWj(t)

i=1

et se traite de la même manière.

La dernière partie de ce chapitre concerne l'utilisation des processus de diffusion dans la modélisation et l'étude analytique et par simulation de deux problèmes :

· Le premier problème est de modéliser une trajectoire d'un polluant, qui se déplace sur une surface d'eau turbulente en présence d'un mécanisme d'attraction, qui est donnée par (Boukhetala 1994,1996 [2, 4]).

· Le deuxième problème porte sur une modélisation d'un phénomène d'attraction entre deux insectes mâle et femelle, qui est donnée par (Boukhetala 1998 [5]).