1.9.2 Théorème d'arrêt
Soit Mt une martingale. La propriété des
martingale peut facilement être étendue aux temps d'arrêt
bornés.
Théorème 1.6 Si S et T sont
deux temps d'arrêt et si a E R, alors :
E(MT |FS) = MS sur l'ensemble{S
< T < a} (1.1)
En particulier, si T est un temps d'arrêt qui est
borné, on a :
E(MT) = E(M0) (1.2)
Quand Mt désigne de nouveau le gain d'un
joueur au temps t, la propriété (1.2) peut être
interprétée comme suit. Quelle que soit la stratégie non
anticipante que le joueur choisit pour arrêter le jeu, et s'il doit finir
de jouer avant un temps déterministe donné (aussi grand que soit
ce temps), alors la valeur espérée de son gain est constante et
égale à son capital initial.
Observons que la relation (1.1) est, en général,
fausse sur l'ensemble {S < T}, et de même (1.2) est
fausse si T n'est pas borné. Par exemple si Mt =
Bt ou Bt est un mouvement brownien et si T =
inf(t : Mt = 1), alors E(M0) = 0 < E(MT)
= 1. Dans ce cas, le temps aléatoire T est presque
sûrement fini, mais n'est pas borné et a même une
espérance infinie.
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