II-3 LA METHODE EMPIRIQUE DES PSEUDOPOTENTIELS
(E.P.M)
La méthode empirique du pseudopotentiel (E.P.M) n'est
pas été utilisée extensivement pour étudier tous
les métaux mais appliquée avec succès à une
douzaine de semiconducteurs de structure diamant et zincblende. La
première application réussie était sur le germanium et le
silicium [14]. Les facteurs de structures peuvent être
déterminés à partir de l'analyse des expériences de
diffraction de rayons X ou par les neutrons.
L'E.P.M à deux approximations importantes qui sont :
· L'approximation empirique locale.
· L'approximation empirique non locale.
II-3-1 L'approximation empirique locale
L'E.P.M résout le problème d'ajustement des
facteurs de forme expérimentaux V(G) du pseudopotentiel ( )
V r qui représente la superposition
linéaire des potentiels atomiques [15]
p
V ( r ) V ( r ) = Ó
R ,ôV a( r - R -
ô) (II.16)
Où
R : est un vecteur du réseau direct.
: est le vecteur de translation du réseau direct
Si on développe le potentiel dans le réseau
réciproque il aura la for me suivante :
V ( r ) = Ó G V
a ( G ) S ( G ) eiGr (II.17)
S(G) est le facteur de structure.
V(G) est le facteur de forme.
On peut se limiter à quelques facteurs de formes, par
exemple, pour les structures diamant et zinc blende, on n'utilise que trois
facteurs de formes V(G) :
G2=3, 8, 11 en unité de
La fonction d'onde n ,K ( r
) et les valeurs de la bande d'énergie E(k) sont les solutions de :
( )( ) ( ) ( )
r ø r E k
= ø r
2 p n K
, n n K
,
m
p2
+V
(II.18))
Ou n représentel'indicee de la
bande.VPV ( r ): est le
pseudopotentiel.
n ,K (r ) sont les fonctions de Bloch
et peuventêtree développées en une séried'ondee
planes.
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Le plus important dans ce calcul est la connaissance des facteurs
de forme et des facteurs de structure
Pour les semiconducteurs de type diamant ou zinc blende :
( ) cos ( ) ( ) sin ( )
s G ô + iV G
A
V G = V G ô (II.19)
Où
1
V G =
s ( ) V A G + V
B G
( ) ( ) (II.20)
2
|
1
V G =
a ( ) V A G - V
B G
( ) ( )
2
|
(II.21)
|
Où ( )
ô = #177; 8 1 1,1,1 a
A est la constante du réseau.
V et a
S V sont respectivement les facteurs
de forme atomique symétriques et antisymétriques.
Le procédé de calcul de L'E.P.M comme l'explique
le diagramme de la figure (II.3) est comme suit : choisir V(G) ;
résoudre l'équation de Schrödinger pour les valeurs propres
E(k) d'énergie et les pseudofonctions d'ondes ( )
ø n , k r sachant que la structure
est inclus par le facteur de structure ; ces énergies sont
comparées avec l'expérience ; et finalement V(G) est
altéré jusqu'à ce qu'un bon accord entre
l'expérience et la théorie est obtenue.
Généralement un petit nombre d'itérations
suffit pour concorder la théorie et l'expérience. En plus de
L'E.P.M, qui est la méthode empirique la plus utilisée dans le
calcul des structures de bandes, d'autres variantes de la méthode des
pseudopotentiels ont été développées. Il s'agit
notamment de la méthode du pseudopotentiel Ab initio où
l'ajustement à l'expérience est remplacé par une
résolution self-consistante de l'équation de Schrödinger.
Figure-II.3 : Algorithme de base de la méthode des
pseudopotentiels empirique.
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