II- 8 CALCUL DES NIVEAUX D'ENERGIE
On peut trouver les f t y de
onctions d'onde et les niveaux d'énergie. On
sépare les directions x e
la direction z (figure I-12).
Figure I-12 : région de confinement d'un puits
quantique et axes
Dans les directions x et y. on ales niveaux
d'énergie du continuum qui correspond à un gaz de fermi
à deux dimensions.
2
E=
i
2 m
Dans la direction z, on doit résoudre l
équation de Schrödinger pour une particule confinée
dans un puits de potentiel.
|
-?2 2
d ø =E
2m d 2
z
|
ø
|
dans le puits
|
(I-5)
|
2 2
V E
d ø + ø
=
m d 2
z
-?
ø en dehors du puits (I-6)
Où V est barrière de potentiel. On peut
considérer deux cas
: celui de puits infiniment profond et celui
du puits de profondeur finie.
2
v' Pour un puits infiniment profond qui correspond à des
frontières impénétrable, les fonctions d'onde s'annulent
aux frontières du puits. On a les solutions :
E n 2
? 2 n ð (I-7)
m L
Z
·
n z
ð
ø = A sin (n=1,2,3...) (I-8)
Z
n L
v' Pour un puits fini, il peut y avoir
pénétration à l'intérieur de la barrière. Il
faut connaitre le saut de potentiel, ce qui dépend des matériaux
considérés ÄE = E gc -
Ega la fonction d'onde elle a la forme suivante :
( )
Ae k z
,
ø=Bsin
( )
k z + ä 2
Ce
( )
- k z
,
en dehors du puits
dans le puits (I-9)
en dehors du puits
14
A,B,C et ä sont des constantes. Pour trouver des
solutions, il faut raccorder la fonction d'onde ø et sa
dérivée dø /dz à la frontière. Ce
qui mène aux relations suivantes :
2m v E
( ) 12
-
K = (I-10)
1
2
1 ? 2
2m E
K = (I-11)
2 ? 2
On obtient une relation de dispersion qui garantit l'existence de
la fonction d'onde.
tan K 2 L 2 = K
1 /K2 (I-12)
En tenant compte des trois directions x,y,z on a les niveaux
d'énergie suivants :
|
? 2
( ) ( )
2
E n k X K y E n 2
, , = + k x K y
,
2 m
·
|
(I-13)
|
On obtient donc la représentation des
solutions dans l'espace E- k (figure I-13)
Il y a des niveaux d'énergie possible pour les
électrons dans la bande de conduction et pour les trous dans la
bande de valence.
Figure I-13 : pour chaque niveaux con
finé selon z,
les électrons ont une énergie
cinétique selon les axes x et y.
En principe, des transitions sont possibles entre les
différent niveaux de la bande de conduction et de la
bande de valence pour l'émission ( ou l'absorption ) de la
lumière ( figure I-14). Ces transitions sont
régies par des règle de sélections quantiques
associées aux symétries des fonctions d'onde.
Figure I-14 : Niveaux d'énergie dans un laser
à puits quantique[6].
E1C ,E2C,E3C
ils Sont des niveaux d'énergie des
électron.
E1hh ,E2hh ,E3hh ils sont des niveaux d'énergie
des trous lourds.
E1lh ,E2lh, E3lh ils sont des niveaux d'énergie
des trous légers.
Les énergies de transitions sont limitées à
:
2
(K x K y + )
E E g E nc E nv
= + + + 2m *
Ou
? 2 2 (I-14)
1 1 1
(I-15)
= +
m r m e mh
16
m r est la masse réduit. Si on a les
trous légers {lh} et les trous lourds {hh}, on aura toujours des
transitions du type :
E 1 c ? E 1lh ou
E1c ?E 1 hh
E 2 c ? E 2 lh ou E
2 c ?E2hh (I-16)
E 3 c ?E3 lh ou E 3
c ?E3hh
La transition des trous lourds {hh} domine puisque ce niveau est
le plus élevé dans la bande de valence.
E 1 lh ? E 1 h h (I-17)
Donc la transition la plus favorable sera celle de
l'émission laser :
|
E E
?
q g
|
h2 1 1
+ +
2
8L m m
z c hh
|
(I-18)
|
Ou mc est la masse effective dans la bande de
conduction et mhh , la masse effective du trou lourd dans la bande
de valence.
On voit donc par l'équation (I -18
) qu'on peut changer la longueur d'onde d'émission du laser,
en changeant Lz , la largeur du puits (figure I
-15).
Figure I-15
: longueur d'onde d' émission en fonction de la
largeur du puits pour une structure
InGaAsP/InP[3]
| 
