Commande directe du couple basée sur la linéarisation entrée-sortie

BELKACEM SEBTI le 07/12/2010

DEPARTEMENT DE GENIE ELECTRIQUE UNIVERSITE DE BATNA [e-mail]

Commande Directe du Couple Basée sur la

Linéarisation Entrée-Sortie

IV.1 Introduction

La linéarisation exacte entrée-sortie a fait son apparition dans les années 1980 avec les travaux d'Isidori, [74] et les apports bénéfiques de la géométrie différentielle. Un grand nombre de systèmes non linéaires peuvent être partiellement ou complètement transformés en systèmes possédant un comportement entrée-sortie ou entrée état linéaire à travers le choix approprié d'une loi de commande par retour d'état non linéaire. Les propriétés de robustesse sont peu garanties face aux incertitudes paramétriques. Cette commande a été introduite principalement pour remédier aux problèmes rencontrés avec la commande linéaire. Les développements détaillés de telles théories ainsi que des exemples d'application peuvent être retrouvés dans plusieurs publications [75-77, 5-10].

La linéarisation entrée-sortie et une méthode qui permet non seulement de réduire les ondulations de couple et de flux, ce qui est sa vocation première dans notre étude, mais aussi d'améliorer la dynamique de l'entraînement en le rendant moins sensible aux perturbations de couple de charge.

Dans notre travail, on a appliquée une commande directe du couple associé à une commande non-lineaire basé sur la linéarisation entrée-sortie avec la MLI vectorielle. Les tables de vérité et les hystérésis on été éliminées. Ce qui supprime notamment les contraintes de scrutation rapide de ces derniers. Cette méthode améliore d'une façon significative les oscillations du couple et du flux.

Cependant, afin de faciliter la compréhension, il est préférable de rappeler certaines définitions et théorèmes et montrer les procédures à suivre pour réaliser une commande linéarisante d'un système.

IV.2 Outils mathématiques

Dans cette section, nous présentons quelques outils mathématiques nécessaires pour assimiler la technique de linéarisation au sens des entrées-sorties, [74, 75, 79].

IV.2.1 Gradient

On définit le gradient d'une fonction scalaire lisse h(x) par rapport au vecteur x, par le vecteur

ligne ? h ( x) , défini par ( )i ? = h

? h ?xi

. D'une façon similaire, le gradient d'un champ de vecteur f(x)

?

_f

est défini par le Jacobien de f (matrice de (n x n) éléments) comme suit ( ) i

? = ?

f x

ij

j

IV.2.2 Dérivée de Lie

Nous utilisons la notation standard des dérivées de Lie. Soient f ?

R R : un champ de vecteurs

n n

et h: ?

R R une fonction scalaire. On introduit la dérivée de Lie comme étant une nouvelle

n

fonction scalaire, notée L_fh , donnant la dérivée de h(x) dans la direction de f(x), tel que :

( )

x

n ? h

L h( )= hf =

x ? ?( )f

x

f i

i=1

? x i

La dérivée de Lie n'est rien d'autre que la dérivée directionnelle le long du vecteur f. Si g est un autre champ de vecteur, alors on a, [79].

L _g L _f h = ?(L _fh)g

IV.2.3 Crochets de Lie

Soient f et g deux champs de vecteurs. Le crochet de Lie de f et g est un troisième champ de vecteurs défini par :

? ?

g f

[ ]

f, g = ad g = f - g

f ? ?

x x

Où ? ? g f , ? ? x x

sont des matrices Jacobiennes. L'application des crochets de Lie successives donne :

ad fg = g(ad pour adjoint)

0

ad fg = 1	[ ] f, g
ad fg = i		i-1 ? ? ? f,ad fg ÿ

IV.2.4 Principe de la technique de linéarisation au sens des entrées-sorties

Nous allons montrer comment obtenir une relation linéaire entre la sorties et une nouvelle entrée u, en effectuant un bon choix de la loi de linéarisation. Le modèle équivalent étant linéaire, on peut lui imposer une dynamique stable en se basant sur les méthodes classiques, on considère le cas suivant :

p

.

x

= f( )+ g ( )u

x ? x

i

i=1

y = h ( )

x

i i

Ou x =[ x ₁ , x ₂ ,... x _p ] est le vecteur des états, u =[u ₁ ,u ₂ ,...u _p ] est le vecteur des commandes et y =[y ₁ , y ₂ ,...y _p ] représente le vecteur des sorties. Le problème consiste à trouver une relation linaire

entre l'entrée et la sortie en décrivant la sortie jusqu'à ce qu au moins une entrée apparaisse en utilisant l'expression :

p

? r _j -1

y = L h ( x )+ L (L h ( x ))u

(rj) rj

i j j g f j i

i

i=1

Le degré relatif total (r) est définit comme étant la somme de tous les degrés relatifs obtenus, et

p

doit être inférieur ou égale à l'ordre du système : r = ? = n

r j

j-1

Qui peut être exprimé sous forme matricielle :

?? x x
? y . . y = A( )+E( )u r 1 r p
1 p ÿ
Avec

? L h (x)

r

1

f 1

? ?

A (x) =

? ?

? ?

r

? ? L h (x)

p

f p Ò ÿ

et

? ? ? ? E(x) = ? ? ? ??

L L h (x) L L h (x) L L h (x) r -1 r -1 r -1 1 1 1 g f 1 g f 1 g f 1 1 2 p Ò L L h (x) L L h (x) L L h (x) r -1 r -1 r -1 2 2 2 Ò g f 2 g f 2 g f 2 1 2 p ? ? ? ? L g 1 L f r p h p (x) L g 2 L f r p h p (x) L g p L f r p h p(x)]

Où E(x) est appelée matrice de découplage du système.

On note que la linéarisation ne serait possible que si la matrice de découplage est inversible. La loi de linéarisation est donnée donc sous la forme :

u = E ^-1( x ) [-A( x )+ v ]

IV.3 Application de la technique de linéarisation au sens des entrées-sorties à la
commande directe du couple

Rappelons que les équations dynamiques du MI dans le référentiel (á,â ) sont :

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

? ?

d i R R R ù 1

sá s r r r

=-( + ) i -ù i + Ö + Ö + V

s

dt óL óL

sá r sâ sá sâ sá

óL L s óL óL s s

d i sâ R R R ù 1

s r r r

=-( + ) i +ù i + Ö - Ö + V

sâ r sá sâ sá sâ

dt óL _s óL r óL L s óL s

óL_s

-

d Ö sá
dt
d Ösâ

dt

(IV.1)

V _sá -R s isá

- V _sâ -R s isâ

d ù 3p

r L

= (Ö i -Ö i )-

sá sâ sâ sá

dt 2J J

Le couple généré du moteur à induction peut être exprimée en termes de courants statorique et flux statorique comme suit :

3p

= (Ö i -Ö i )

e sá sâ sâ sá (IV.2)

2

Le système d'équations est récrit sous la forme suggérée pour l'application de la linéarisation au

sens des entrées-sorties comme suit :

(IV.3)

x~ = f( x ) + g ₁ ( x ).Vsá + g 2 ( x ).Vsâ

y = h( x)

(IV.4)

Avec :

r i i + Ö + Ö ?

?

? sá r s_â sáóL _s óL r óL _r L s óLs

?

?R R R ù

s r r r

f( )= -(

x + ) i +ù i + Ö - Ö

? sâ r sá sâ sá

óL óL óL L óL

? s r r s s

? -Rs isá

? ?^-Rs isâ

Où le vecteur des états x et des commandes u sont :

x = i sá , i sâ ,Ö sá ,Ö sâ ? ? ? ?

T

, ? u = V sá , V sâ ? ?

T

et:

? 1 g ( )= x ? 0 1 0 1 Ò ? óLs J

T

g 2 ( x) =

? 1 ? 0 0 1 Ò ?óLs J

T

IV.3.1 Commande flux- couple

La commande flux-couple consiste à choisir comme variables à contrôler, le couple ainsi que le carré du module du flux statorique, le vecteur de sortie est donnés par l'équation suivante, [5] :

(IV.5)

3p

h ( )= = (Ö i -Ö i )

x

1 e sá sâ sâ sá

2

2

2 2

h ₂ ( x ) = Ö s = Ö _sá + Ö sâ

Les deux variables de sorties à contrôler y₁ et y₂ sont définies par:

y₁ =h1 (x)

y₂ =h₂(x) (IV.6)

IV.3.2 Linéarisation entrée-sortie

La méthode de linéarisation par entrée-sortie est développée à partir de théories de la géométrie différentielle. Elle consiste à utiliser les dérivées de Lie pour exprimer le modèle de la machine en relation entrée-sortie. Pour obtenir la loi de commande non-lineaire, dérivons autant de fois qu'il faut afin de faire apparaître l'entrée u.

R R R ù

s r r ?

( + )

?

?

?

?

?

?

? ?

Les dérivées des deux soties sont données par :

? h ? h ? h

y = L h ( x )+L h ( x )V +L h ( x )V = f( x )+ g ( x ).V + g ( x ).V

1 1 1

^(IV.7))

~ 1 f 1 g1 1 sá g2 1 sâ 1 sá 2 sâ

? x ? x ? x

Avec:

3p

L h = - Ö

f 1 sâ

2

? R R ù 3p ? R R ù

? -( + )i - ù i + Ö + Ö -( + )i +ù i - Ö

s r r s r r

? ? ?

sá r sâ sâ sá sâ r sá sá

? óL óL óL

s r s ÿ 2 ?óL _s ^sóL _r róLs ÿ

_s

3p 1 Lh = (i - Ö ) g1 1 sâ sâ 2 L ó s 3p L g2h 1 = 1 Ösá - sá ? s 2 L ó ? 2 2= =L f h 2 2( x ))L g1 h 2 2( x )V sâ pL g2 h 2 2( x )V sác?h^22.f( x ))? h 2 ^2?x x? x xg 1 1( x ).V sác^??^hh:g 2 2( x).Vsâp Avec : L f h 2 = -2R s ( Ö sá i sá -Ö sâ i sâ) L g1 h 2 = 2Ö sá L g2 h 2 = 2Ö sâ IV.3.3 Linéarisation du système

(IV.8)

La matricedéfinissantt la relation entrel'entréee physique (u) et la sortiedérivéss (y (x)) estdonnéee par l'expression (IV.9).

P

1 ^1-1= =A( x )+E( x ) )[Vsá1(IV.9)) JVsâpAvec

A( x) =

? ? L h f 1 ? ? ? ? ? ? L h f 2

,

E( )= x

? L h L h g1 1 g2 1 ? ? ? ? ? IL g1 h 2 2L,g2hh 2 j

E( x) =

_?

3p1 3p 1

? ? ?

? (i - Ö ) ? Ö - i

sâ sâ sá sá ? Ò

2 L ó 2 L ó

(IV.10)

? s ? s ? ?

? ? ^c2Ösá,²Ösâ ÿ

3

E(x): est la matrice dedécouplage..

3p 1 3p 1

? ? 1 ? 1 ?

sát

Ö

det(E)= (i - Ö ).2Ö - ? Ö - i .2Ö = 3p(i - Ö )Ö - 3p

? ? Ö - i

sâ sâ sâ sá sá sá sâ sâ sâ sá sá ?

2 L ó 2 L ó

s ? s ? L ó

s ?L s ó ?

^a

Aprèss simplification onàa :

? 1

det(E)= 3p - (Ö +Ö )+ i Ö + i Ö

2 2

? sâ sá sâ sâ sá sá Ò

? L ó

s ÿ

·

(IV.11)

En utilisant le modèle de moteuràa induction onàa :

1 M

i = Ö - Ö

sá sá rá

óL óL L

s s r

(IV.12)

1 M

i = Ö - Ö

sâ sâ râ

óL óL L

s s r

La substitution de (IV.12), dans (IV-11) donne

M

det(E)= -3p. ? ?

? sâ râ sá rá ÿ

Ö Ö +Ö Ö (IV.13)

óL L

s r

Il est clair que la matrice E(x) est toujours réversible, le produit du flux du stator et du rotor ne peut pas être égal à zéro, la linéarisation entrée-sortie suivante est introduite pour le système illustré par (IV.3)

Ainsi, la loi de commande par la linéarisation est donnée par :

? i

V ? r l l

V

sá 1

? ? = E ( ) -A( )+

-1 x ? x ? ? ? (IV.14)

? ?

V sâ ? ? ÿ ÿ

V 2

Où

V =	r l V 1 I ? V , représente le nouveau vecteur des variables d'entrées. L ] 2

L'application de la loi linéarisante (IV.14) sur le système (IV.9) conduit à deux sous système mono-variable linéaires et découplés :

????.
	V = h ( ) x 1 1	(IV.15)
	V = h ( ) x 2 2

Pour assurer une régulation parfaite et de suivre les signaux désirés du flux et du couple en vue de leur référence, les entrées internes v₁et v₂ sont choisis comme suit :

2 2 2

V = Ö +k ( Ö - Ö )

1 s 1 s s

ref ref

V = + k ( - )

2 e ref 2 e ref e

???

??

(IV.15)

Dans ces conditions on cherche à asservir le couple _e au couple de référence e ref et

2

Ö_s au

- Ö

Ö s

s

???

??

ref

s = -

1 e ref e

2 2

s =

2

(IV.16)

flux de référence s ref

Ö avec une dynamique imposée.

Définissons les variables erreurs :

Les coefficients ( k₁ , k₂ ) choisis tel que s ₁ + k ₁ , s ₂ + k ₂ soient des polynômes d'hurwitz (racines du

polynôme à parties réelles négatives). La détermination des paramètres k₁ et k₂ peut se faire de différentes manières. Nous citons en particulier la méthode par placement de pôles, [78].

IV.4 Simulation

Dans cette section, l'efficacité de l'algorithme proposé pour le contrôle de couple et de flux d'un moteur à induction commandé par DTC est vérifiée par des simulations.

La figure (IV.I) représente le synoptique d'une commande directe du couple associé à une commande non-lineaire basé sur linéarisation entrée-sortie avec la MLI vectorielle. Les tables de vérité et les hystérésis on été éliminées.

?

ref

+

? r

-

Ö s ref

PI

+

-

e ref

+

Ö s

? Ö s

-

à

?_e

à

e

Estimation de
Flux et de
Couple

Linéarisation
Entrée-
Sortie

V sâ ref

V sá ref

Is
Vs

SVM

áâ

a,b,c

s a

s

s

c

b

Onduleur

E

Vabcs Iabcs

MI

Fig. IV.1 Commande Directe du Couple (DTC-SVM) basée sur la linéarisation entrée-sortie.

IV.4.1 Inversion de la vitesse

a)

Vitesse (rd/s)

Temps (s)

La figure (IV.2) donne les résultats d'une campagne de simulations. Un échelon de vitesse de 100 rd/s est appliqué à t=0s le couple résistant initial est de 0 Nm, à t=0.5s à t=1s une consigne d'inversion de vitesse de 100 rd/s à -100 rd/s est imposée la régulation de vitesse est assurée sans erreur statique. Les résultats obtenus montrent que les performances de poursuites de vitesse et de flux sont très satisfaisantes .La norme du flux statorique est plus proche de la référence.

b)

Couple électromagnétique _e (Nm)

Temps (s)

c)

Module de flux statorique (Wb)

Temps )

Fig. IV.2. Résultats de simulation pour inversion de la vitesse.

(a) Vitesse rotorique (b) Couple électromagnétique, (c) Module de flux statorique.

IV.4.2 Variation du couple résistant

Dans la figure (IV.3) le test de simulation présente une application d'un couple résistant entre les instants 0,5 et 1 secondes. Les résultats obtenus montrent que les performances de poursuites de vitesse et de flux sont très satisfaisantes en comparant avec les autres lois de commande (chapitre 2 et 3).

Nous constatons l'établissement de la vitesse à sa valeur de référence en un temps de réponse satisfaisant et sans dépassement. Le test montre un rejet de la perturbation sans dépassement avec maintient de la vitesse de référence, et les réponses de module de flux statorique ne sont pas affectées par cette perturbation. Les résultats obtenus montrent que les performances de poursuites de vitesse et de flux sont satisfaisantes. Les courants de phases obtenus ont l'allure de sinusoïdes moins bruitées. Nous pouvons remarquer que l'approche proposée permet de réduire considérablement les ondulations du couple et de flux.

Commande Directe du Couple Basée sur la Linéarisation Entrée-Sortie

Temps (s)

Temps (s)

Ösá (Wb)

10

c) Courant de phase (A)

Temps (s)

d)

⁽1³ Wb)

a)

Vitesse (rd/s)

Couple résistant appliqué

Couple résistant
annulé

b) Couple électromagnétique _e (Nm)

e) Module de flux statorique (Wb)

Temps (s)

Fig. IV.3 Commande en vitesse du MI avec application d'un couple résistant
(a) Vitesse rotorique, (b) Couple électromagnétique, (c) Courant de phase,
(d) Trajectoire de flux statorique, (e) Module de flux statorique.

IV.4.3. Étude de robustesse aux variations paramétriques

> Variation de la résistance du stator

Nous avons également étudié l'influence de la variation de la résistance statorique sur le découplage entre le flux et le couple. Pour cela, nous avons simulé notre système pour une variation de Rs, nous avons obtenu les résultats de la figure (IV.4), qui présente les résultats de simulation pour la poursuite de trajectoires de vitesse et de flux. La vitesse répond pratiquement sans dépassement, les résultats de simulation montrent aussi le découplage entre le flux et le couple, on note d'après ces résultats que la variation de Rs n'affecte pas le module de flux statorique.

a)

R_s= Rsn

R_s= 0.75*R_sn

R_s= 0.5*R_sn

Temps (s)

b) Vitesse (rd/s)

Temps (s)

Référence de la résistance statorique

c) Norme de flux statorique (Wb)

Temps (s)

a) Vitesse (rd/s)

Temps (s)

Fig. IV.4 Résultats de simulation lors de la variation de la résistance statorique.
(a) Référence de la résistance statorique, (b) Vitesse rotorique, (c) Module de flux statorique.

IV.4.4. Test d'affaiblissement de flux

Ce test concerne le test d'affaiblissement de flux. Comme la montre la figure (IV.5), le flux et la vitesse ne sont pas affectés par la réduction du flux de référence. L'ondulation de courant de phase à aussi une réduction notable.

b) Module de flux statorique (Wb)

Temps (s)

c) Courant de phase (A)

Temps (s)

Fig. IV.5 Test d'affaiblissement de flux.
(a) Vitesse rotorique, (b) Module de flux statorique, (c) Courant de phase.

IV.4.5 Sensibilité par rapport aux variations des paramètres mécaniques la machine

> Variation du coefficient l'inertie

Nous avons procédé à une variation du moment d'inertie de J= 2J_n et J= 0.5*J_n. Les grandeurs étudiées sont respectivement : la vitesse de le module de flux statorique. La figure (IV.6) montre la vitesse pour différentes valeurs du moment d'inertie. La régulation de la vitesse de la machine est peu affectée par la variation de la valeur du moment d'inertie. Pour des valeurs inférieures à la valeur nominale du moment d'inertie, la réponse de la vitesse est plus rapide et, inversement, pour des valeurs du moment d'inertie supérieures à la valeur nominale, le système répond plus lentement à la consigne de la vitesse. Il est clair que la variation du moment d'inertie n'affecte pas le module de flux statorique.

a)

Vitesse (rd/s)

J=J_n

J= 2J_n

J= 0.5*J_n

Temps (s)

b) Module de flux statorique (Wb)

Temps (s)

Fig. IV. 6 Test de variation du moment d'inertie. (a) Vitesse rotorique, (b) Module de flux statorique.

IV.5. Conclusion

Dans le cadre de ce chapitre, qui présente une partie du thème de cette thèse de recherche, nous avons proposée une commande DTC basée sur la linéarisation entrée-sortie en utilisant la modulation vectorielle (SVM). Cette association assure une linéarisation parfaite quelque soit les profils de trajectoires admissibles imposés à la machine asynchrone. Cette association permet de remédier aux inconvénients du DTC classique. Ce qui a permis de réduire significativement les bruits sur le couple et les contraintes de temps de calcul ainsi, l'efficacité de l'approche proposée est montrée par les résultats de simulation. Toutefois, comme rapporté par Slotine, [75], cette commande est peu robuste au sens ou elle nécessite une connaissance exacte des paramètres pour garantir les performances désirées. Nous allons pouvoir maintenant nous intéresser dans le chapitre suivant à l'étude de l'apport de la commande adaptative.