4.2 Formulation théorique.
Nous considérons une membrane liquide
fluctuante, qui est confinée entre deux plaques parallèles
interactives 1 et 2,
séparées par une distance finie D. Naturellement, la
séparation D doit être comparée à la
rugosité en volume de la membrane,
L°?,
quand le système est illimité (la membrane est libre). La
membrane est confinée seulement quand la condition L <<
L°? est
satisfaite. Pour la situation opposée, c'est-à-dire L
>> L°?,
nous nous attendons à des corrections de taille finie,
expo-nentiellement petites. Ici, z =
-D/2 et z
= D/2 sont les positions des
deux plaques, dans la direction perpendiculaire. Pour la simplicité,
nous supposons que les deux surfaces sont physiquement identiques. Nous
désignons par V (z),
le potentiel d'interaction exercé par une plaque sur la membrane fluide,
en l'absence de l'autre. Habituellement, V
(z) est la somme de deux
potentiels, l'un est répulsif et l'autre
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 71
est attractif. Un exemple typique est fourni par le
potentiel suivant [2]
V (z) =
Vh (z) +
Vvdw (z)
, (3.1)
où
Vh (z) =
Ahe-z/ëh (3.1a)
représente le potentiel d'hydratation
répulsif, qui est dû aux molécules d'eau
insérées entre les têtes hydrophiles des molécules
de lipide [22]. L'amplitude Ah et la
portée du potentiel, ëh, sont de l'ordre de Ah '
0.2J/m2
et ëh ' 0.2
- 0.3nm. En fait,
l'amplitude Ah est Ah = Ph X
lh, avec la pression d'hydratation Ph '
108 -
109Pa. Ici,
VvdW(z) est le
potentiel de van der Waals entre une plaque et la biomembrane, qui sont
séparées par une distance z. Sa forme est comme suit
_
COH 1 2 1
Vvdw l --
12ð Lz2
(z +
ä)2 + (z +
2ä)2 (3.1b)
Ici, H désigne la constante d'Hamaker,
qui est homogène à une énergie. Pour des surfaces de
basses énergies (solides organiques), H est de d'ordre de
10-21J, soit du
même ordre de grandeur que l'énergie thermique kBT. En
revanche, elle ne dépasse pas
10-18J, pour des surfaces
de hautes énergies (métaux, céramiques, ...). Dans les
phases vapeurs, H est totalement négligeable. Dans la formule
précédente, ä est l'épaisseur de membrane, qui est de
quelques nanomètres. Pour des grandes valeurs de la distance z, l'on
a
U
(h)
W(h) =
L2 , (3.4)
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 72
Vvdw(z) ~
Wä2. (3.1c)
z4
Généralement, en plus de la distance z,
le potentiel d'interaction, V
(z), dépend de
certaines échelles de longueur,
(î~, ...,
în), qui sont les portées des
interactions. La membrane fluide sent alors le potentiel total
suivant
lD
) lD
) D D
U(z) =
V 2 - z +
V 2 + z ,- <
z < . (3.2)
2 2
Comme la membrane peut être regardée
comme une plaque élastique à deux dimensions, alors, dans la
représentation de Monge, un point de surface peut être
décrit par un vecteur-position tridimensionnel r =
(ñ, z) E
R3, où ñ =
(x, y) E R2 est le
vecteur transverse, et z = h
(x, y) E
[-D/2,
D/2] est la distance perpendiculaire à la
plaque localisée à z = 0. Ici, la
fonction de hauteur h (x, y)
peut prendre des valeurs positives ou négatives.
L'Hamiltonien total, H, du système est donné par
[9, 23]
f [ê
]
H [h] =
d2ñ 2
(?h)2 +
W (h) .
(3.3)
Ici, ê est la constante de rigidité de
courbure. Cette dernière est comparable à l'énergie
thermique kBT, où T est la température absolue et kB est la
constante de Boltzmann. W(h)
est le potentiel d'interaction par unité d'aire, qui se
présente comme suit
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 73
où le potentiel U(h)
est celui défini par la relation
(3.2), et L est la taille linéaire
latérale de la biomembrane.
Maintenant, discutons les propriétés
analytiques du potentiel d'interaction, W
(h). Premièrement, la relation
(3.2) suggère que ce potentiel total
est une fonction paire de la distance perpendiculaire h,
c'est-à-dire
W (-h) = W
(h) . (3.5)
En particulier, nous avons W
(-D/2) = W (D/2)
.
Deuxièmement, quand ils existent, les
zéros, ho, de la fonction potentielle W
(h) sont tels que
lD ) lD
)
V 2 - ho = -V
2 + ho . (3.6)
Cette égalité indique que, si
ho est un zéro de la fonction potentielle W
(h), alors -ho l'est aussi.
Le nombre de zéros est alors un nombre pair. En outre, dans tous les
cas, les ho sont différents de 0. En
effet, la quantité V (D/2) est non non
nulle, puisqu'elle représente le potentiel créé par une
plaque au milieu du film. Nous soulignons que, lorsque le potentiel
considéré est différent de zéro, il est
répulsif ou attractif. Quand ce même potentiel s'annulent en
quelques points, alors il est soit répulsif ou attractif entre deux
zéros consécutifs.
Troisièmement, nous notons d'abord que, de la
relation (3.2), nous déduisons que la
dérivée première de la fonction potentielle est une
fonction impaire, auquel cas W' (-h) =
-W'(h). En appliquant
cette relation à la médiane h = 0, nous obtenons
que W' (0) = 0. Par conséquent, le potentiel
W présent un extremum à h = 0,
quelle
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 74
que soit la forme de la fonction V
(h). Nous trouvons aussi que
l'extremum h = 0 est un maximum, si V
?(D/2) <
0, et est un minimum, si V
?(D/2) >
0. Le potentiel W présente une tangente
horizontale à h = 0, si seulement si V
?(D/2) = 0. D'une
part, la condition générale donnant les extrema
{hm} est
|
dV
|
|
dV =
dh
|
|
|
(3.7)
|
|
dh
|
h=
D -hm
|
h=D+hm
|
.
|
Puisque la dérivée première
W'(h) est une
fonction impaire de la distance h, elle doit avoir un nombre impair de
points extremum. Le point h = hm
est un maximum, si
|
et est un minimum, si
|
d2V
dh2
|
h=
D -hm
|
<
|
dV 2
dh2
|
h=D+hm
|
,
|
(3.8)
|
|
d2V
|
|
>
|
dV 2
|
|
|
(3.9)
|
|
dh2
|
h=
D -hm
|
dh2
|
h=D+hm
|
.
|
Au point h =
hm, nous avons une tangente horizontale,
si
|
d2V
dh2
|
~~~~h=D
-hm
|
= -
|
dV 2
dh2
|
h=
D
+hm
|
.
|
(3.10)
|
Notons que les déductions ci-dessus
dépendent, naturellement, de la forme du potentiel d'interaction V
(h).
Enfin, une analyse dimensionnelle simple montre que le
potentiel d'interaction total peut être réécrit sous la
forme d'échelle suivante
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 75
|
W (h)
kBT
|
1 (h
æ1
æn)
3. l11)
= D2
D, D, ...,
D)
|
où
(î1, ...,
în) sont les diverses échelles de
longueurs, et Ö (x1, ...,
xn+1) est une fonction d'échelle à n
+ 1 facteurs. En conclusion, nous notons que le potentiel de
paire, W (h), ne peut pas être
singulier à h = 0. C'est plutôt une fonction
analytique dans la variable h. Par conséquent, aux rapports fixés
æi/D, un développement limité, au second ordre,
de la fonction d'échelle Ö, autour de la valeur h
= 0, donne
ã h2+ O
(h4) . (3.12)
W (h)
kBT
2 D4
Nous nous limitons à la classe des potentiels
qui présentent un minimum autour du plan d'équilibre,
situé à h = 0. Dans ce cas, le coefficient
ã est défini positif, c'est-à-dire ã >
0. Bien-sûr, un tel coefficient dépend des
rapports æi/D. Dans le régime de confinement, où la
distance h est assez petite, nous pouvons assimiler le potentiel d'interaction
total par la partie quadratique. Dans ces conditions, le Hamiltonien Can
ham-Helfrich devient
Ho [h] = 2
J d2ñ [ê
(?h)2 +
ph2] , (3.13)
avec la constante élastique
Le préfacteur ã sera calculé plus
loin. L'expression ci-dessus de la constante élastique u donne une
idée sur sa dépendance de l'épaisseur du film D. En outre,
nous soulignons que ce coefficient peut être considéré
comme un multiplicateur de Lagrange
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 76
que l'égalité précédente
indique que la rugosité de la membrane est
indépendante
fixant la valeur de la rugosité de la
membrane.
Nous aurons besoin de la fonction de
corrélation (ou fonction de Green) hauteur-hauteur
G(ñ -
ñ') =
(h(ñ)h(ñ'))
- (h
(ñ))
(h
(ñ'))
. (3.14)
Cette fonction est solution de l'équation
différentielle
(~ê?2ñ
+~p)
G(ñ -
ñ') =
ä2 (ñ -
ñ') .
(3.15)
Ici, ä2
(x) est la fonction de Dirac
bidimensionnelle, et ?ñ =
?2/?x2
+
?2/?y2
représente l'opérateur Laplacien en dimension
2. Nous avons employé les notations
~ê = ê/kBT
et u = p/kBT, pour désigner
les constantes d'élasticité de la membrane
réduites.
A partir de ce propagateur, nous déduisons
l'expression de la rugosité de la membrane, ou encore le carré
moyen de déplacement,
L2?
=
(h2) -
(h)2 = G
(0, 0) . (3.16)
Une telle quantité mesure l'amplitude des
fluctuations thermiques de la membrane, autour du plan d'équilibre,
situé à h = 0. Nous montrons, dans
l'Appendice B, que la rugosité de la membrane est exactement
donnée par
D2
L2?
= , (3.17)
12
à condition qu'on soit dans le régime de
confinement, c'est-à-dire D << Li.
Notons
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 77
des propriétés
géométriques de la membrane (à travers ê). Nous
soulignons que cette même relation peut être retrouvée en
utilisant l'argument que chaque point de la membrane a la même
probabilité de se retrouver en n'importe quel point entre les deux
plaques [24].
La constant élastique u peut être
calculée, en utilisant la relation connue
(3.18)
8
uê .
L1 =
2 1 kBT
v
Ce qui donne
u = 9 (kBT)24
êD4 . (3.19)
Cette formule indique clairement que cette constante
élastique décroît avec la séparation D, comme
D-4. Le terme
uh2/2 décrit alors un
potentiel de confinement, qui assure la localisation de la membrane autour du
plan d'équilibre. L'intégrale spatiale de ce terme
représente la perte d'entropie causée par le confinement de la
membrane. La valeur (3.19) de la constante
élastique est compatible avec la contrainte
(3.17). Par conséquent, le
modèle élaboré est basé sur le Hamiltonien
(3.13), avec un potentiel de confinement
quadratique.
Nous considérons une membrane confinée
entre deux parois impénétrables, séparées par une
distance D. Dans ce cas, la décroissance exponentielle des
corrélations d'orientation est gouvernée par la longueur L11. Les
fluctuations de la hauteur de la membrane sont caractérisées par
l'échelle L1, qui doit rester en dessous de la séparation D. De
la relation standard
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 78
libre associée est tel que : F
= -kBT ln Z, qui est,
naturellement, une fonction de la
kBT
L1 =L2 11
, (3.20)
16ê
nous déduisons
(k:T)
1/2
L11 =N/3T
D D. (3.21)
Contrairement à L1, l'extension latérale
L11 dépend des caractéristiques de la membrane (à travers
ê).
Les étapes suivantes consisteront au calcul de
la force de Casimir en équilibre et hors équilibre.
| 
