7.2 D-manifolds non confinés
par
Considérons un D-manifold isolé,
immergé dans un bon solvant. Nous désignons
hapitre 6 :Conformation d'un polymère
confiné dans des domaines délimités ..154
RF ~
aM1/dF (6.1)
son rayon de giration (ou de Flory), où dF
est la dimension fractale (ou d'Hausdorff), M est le poids
moléculaire (masse totale) du polymère considéré,
et a désigne la taille du monomère. La masse M
est liée à la dimension linéaire N par :
M = ND, où D est
la dimension spectrale [9]. Cette dernière est
définie comme la dimension de Hausdorff correspondant à
l'extension maximale de la fractale.
Naturellement, la dimension d'Hausdorff dépend
de la dimensionalité euclidienne d, la dimension spectrale
D et la qualité du solvant. Quand le polymère est
idéal (absence du volume exclu ), la dimension fractale correspondante,
d°F,
est simplement fonction de la dimension spectrale D
[9], et est donnée par
d°F
= 2D (6.2)
2 - D .
Pour les polymères linéaires
(D = 1),
d°F = 2
[2], pour les polymères branchés (D
= 4/3),
d°F = 4
[9], et pour les membranes (D =
2),
d°F =
8.
En raison de la positivité de la dimension
d'Hausdorff, l'expression ci-dessus n'a de sens que si D <
2. En effet, cette condition est remplie, pour tous les
polymères complexes, de dimension spectrale dans l'intervalle 1
= D < 2 [9].
Un D-manifold, en bon solvant, est
gonflée, en raison de la présence des forces de volume exclu. La
taille du polymère augmente avec la masse totale M,
conformément à la loi de puissances
(6.1).
La première implication du gonflement du
polymère est que sa dimension fractale réelle, dF, est
tout à fait différente de la dimension fractale Gaussienne,
relation
Par exemple, pour les polymères linéaires,
dF (3) = 5/3,et dF (3) = 2,
pour les
hapitre 6 :Conformation d'un polymère
confiné dans des domaines délimités ..155
(6.2).Toutefois, il existe une valeur
spéciale de la dimension euclidienne appelé dimension
critique supérieure duc [39], au-delà de
laquelle la fractale polymérique devient idéale. Cette dimension
supérieure est naturellement une fonction de D, et qui peut être
déterminée, en utilisant un critère de type
Ginzburg, habituellement rencontré en Phénomènes
Critiques [41, 42]. D'après la
Réf. [39], duc est donnée par
4D duc =(6.3) 2 - D
.
Par exemple, la dimension critique supérieure
est 4 pour les polymères linéaires
[2], et 8 pour les polymères
branchés [39]. Par exemple, la dimension critique
supérieure est 4, pour les polymères
linéaires [2], et 8 pour les plus
branchés [39].
Nous notons que, dans le cas général, la
dimension fractale dF ne peut être calculée exactement. Plusieurs
techniques ont été utilisées, pour déterminer sa
valeur approximative, en particulier, la théorie de Flory-de Gennes
(TFD) [2]. Dans le cadre de cette approche
générale, il a été trouvé que la dimension
fractale a pour expression [39]
dF = Dd+2
D + 2 , (6.4)
qui est fonction des dimensions euclidienne d et
spectrale D. Notons que la relation précédente n'est valable que
si d est inférieure à la dimension critique supérieur duc.
En dimension 3, nous avons
dF (3) = D + 2 .
(6.5)
hapitre 6 :Conformation d'un polymère
confiné dans des domaines délimités ..156
branchés (animaux).
Au paragraphe suivant, nous nous intéresserons
à l'étude de la conformation d'un D-manifold, confiné dans
une vésicule tubulaire.
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