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Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

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par Rostand Choisy TCHUENTE
Université de Douala - Cameroun - Maîtrise / Master en Physique (Physique de la matière condensée) 2006
  

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1.B. Les méthodes probabilistes de Monte Carlo

1.B.1. Expressions théoriques des grandeurs physiques

Nous avons pu établir précédemment les conditions de l'état d'équilibre, en considérant cet état atteint, nous déterminerons à présent les grandeurs physiques caractéristiques du système.

Nous remarquons que la fonction de partition Z apparaît dans beaucoup de développement mathématique en mécanique statistique; la connaissance de Z nous permet d'évaluer virtuellement tout ce que nous voulons savoir sur l'environnement macroscopique du système [3]. Nous prendrons ainsi l'expression (1.6) comme point de départ pour nos prochains développements.

Par généralisation, partant des équations (1.3), (1.4), (1.5), l'espérance mathématique d'une quantité Q pour notre système Physique sera

(1.7).

Qu'il en soit pour l'énergie (Q = E) on aura l'espérance

= U (1.8)

De l'équation (1.6), nous aurions pu écrire

(1.9)

La chaleur spécifique (massique) aura pour expression :

(1.10)

Introduisant l'entropie S l'on obtient

(1.11)

En égalant (1.10) & (1.11) et en tenant compte des conditions d'intégration, de la 3eme loi de la thermodynamique fixant arbitrairement l'origine de l'entropie, on trouve

(1.12).

Par ailleurs, des expressions (1.9,), (1.12) Helmholtz [3] tire l'énergie libre 2(*)

F = U - TS = kBT logZ (1.13)

Nous avons ainsi pu définir les grandeurs thermodynamiques U, F, C, S à partir de Z. D'autres grandeurs dites conjuguées ont des variables conjuguées qui sont les réponses du système à ces sollicitations ou en d'autres termes aux perturbations correspondantes. Par exemple, la réponse à un système de gaz dans une boite par le changement de volume V est la pression P. la pression `P' est donc la variable conjuguée de `V' ; de même l'aimantation M est la réponse à la variation du champ magnétique B. M et B sont variables conjuguées.

F étant une différentielle totale par l'équation (1.13) c'est-à-dire [3] :

dF = dU - TdS - SdT = - PdV - SdT (négligeant le monôme lié au nombre N de particule du système) et sachant que dU = TdS - PdV et , l'on aura

(1.14)

(1.15)

Donc si nous pouvons avoir l'énergie libre F, nous obtiendrons l'effet des autres paramètres variants. Tout ceci nous ramène toujours à la fonction de partition Z. Cette fonction est très utilisée dans les calculs évolués par la méthode de Monte Carlo pour les propriétés du système à l'équilibre.

* 2 « F » est en d'autre terme l'énergie totale du système ôtée de l'énergie du désordre dérivant de l'agitation thermique.

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