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Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

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par Rostand Choisy TCHUENTE
Université de Douala - Cameroun - Maîtrise / Master en Physique (Physique de la matière condensée) 2006
  

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CONCLUSION GENERALE

L'étude du comportement de la matière vis-à-vis des variations qu'elle peut subir face à l'influence des attaques extérieures reste un point intéressant de la recherche en physique. Pour y arriver, nous avons simulé à petite échelle un modèle d'aimant à deux orientations possibles (modèle d'Ising) par les techniques probabilistes et d'échantillonnage important (méthode de Monte Carlo). Il était question pour nous d'étudier les phénomènes critiques observables pour les transitions de phase magnétiques « Ferro ? Para ».

Pour ce faire, après avoir brièvement présenté les expressions théoriques des grandeurs physiques caractéristiques du système sous leurs formes sommables, puis les méthodes de Monte Carlo et par là - dans un but de comparaison- décrit les algorithmes de Métropolis et Wolff, nous sommes arrivé à l'obtention des courbes d'évolution des caractéristiques thermodynamiques du système. Dans cet élan d'esprit nous avons dégagé les avantages et insuffisances de l'algorithme de Métropolis puis les corrections apportées par Ulli Wolff dans l'algorithme de Wolff.

Pour évaluer les paramètres physiques thermodynamiques du système tel l'énergie, l'aimantation, la chaleur spécifique à volume constant, la susceptibilité magnétique, l'entropie, nous avons laissé tourné nos programmes durant un certain temps afin d'atteindre l'état d'équilibre, ce après quoi nous avons appliqué successivement les algorithmes de Métropolis et Wolff. Nous avons au cours de nos simulations plus insisté sur les systèmes pris à haute températures, où les spins sont aléatoirement disposés, et effectué un « refroidissement » en passant par la température critique jusqu' à zéro degré. Nous constatons que les résultats présentés par les deux algorithmes sont identiques lorsque nous nous éloignons de mais ils sont meilleurs au voisinage de avec l'algorithme de Wolff. Ce constat provient de ce que l'algorithme de Wolff au lieu de traiter les spins individuellement comme son homologue Métropolis, noie les petites fluctuations observables dans un bloc de spins qu'il considère au titre d'un seul. Ce bloc de spin (cluster) a la qualité de présenter une configuration uniforme. Cette attitude est donc fort appréciable à la zone critique où les fluctuations sont généralement élevées, mais moins utile aux températures extrêmes. Cependant, les étapes d'exécution de l'algorithme de Wolff offrent la contrainte matérielle qu'elles demandent beaucoup de mémoire pour stocker les données qu'il réutilise, ce qui entraîne la nécessité de disposer d'un calculateur d'excellente qualité.

Nous pouvons dire de ce qui précède que les simulations numériques sont un excellent moyen de calcul des données statistiques des systèmes physiques au vu des résultats obtenus vis-à-vis des valeurs théoriques connus depuis la statistique de Boltzmann.

Au terme de notre travail, nous pouvons dire que les comparaisons que nous avons réalisées sur le plan pratique nous ont donnés des résultats favorables nonobstant la limite de nos moyens matériels. Par ailleurs, nous sommes désormais capable de comprendre les principes des simulations par les méthodes de Monte Carlo, mieux encore les algorithmes de Métropolis et Wolff et surtout de pouvoir retrouver les courbes d'évolution des grandeurs thermodynamiques d'après leurs expressions théoriques.

Toutefois notons que la détermination exacte de l'exposant dynamique z, l'étude de la dynamique moléculaire sur un système de spins ainsi que l'extension de ce travail en 3D nous offriraient plus d'éléments d'appréciation. Par ailleurs, le modèle d'Ising par son caractère discret, ne nous offre pas la réalité physique de la matière lorsqu'elle est considérée comme étant un système continu. Il serait ainsi judicieux d'explorer des modèles continus tels XY et Heisemberg.

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