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Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

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par Rostand Choisy TCHUENTE
Université de Douala - Cameroun - Maîtrise / Master en Physique (Physique de la matière condensée) 2006
  

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1.B.3. Cas du modèle d'ISING.

Pour essayer de rendre toutes ces relations un peu plus concrètes, nous introduisons à présent un concept nouveau : le modèle d'ISING. Certainement l'un des plus recherché ou étudié en physique statistique. C'est un modèle d'aimant. Les principes essentiels rodant autour de l'aimantation et des models magnétiques sont que l'aimantation d'un matériau se compose de moments magnétiques de plusieurs dipôles magnétiques conjugués de spin. Le modèle postule qu'une matrice (de dimension définie en fonction de la géométrie du problème) peut représenter tous les états possibles de spin d'un système. L'évaluation des propriétés se fait donc en manipulant directement la matrice à travers les différents états du système définis par les coefficients de la matrice. Par soucis de simplification, ces coefficients (valeurs des spins) prennent les valeurs9(*). Dans le modèle magnétique réel, les spins interagissent entre eux (entre voisins), l'on tient donc compte de cette autre contrainte en introduisant dans l'Hamiltonien les énergies d'interaction notées J (pour les 1ers voisins) et J1 (pour les 2nds voisins) facteurs des termes d'interactions. On aura [11]

(au 1er ordre) (1.28)

(au 2nd ordre) (1.28')

Où i et j sont les coordonnées du spin de la matrice ; dans la mesure où l'énergie d'interaction dipolaire varie en on aura. En plus, le signe (-) en J est conventionnel et indique le sens de l'interaction sur les paramètres J, lorsque J>0, tous les spins sont Up et nous avons le modèle ferromagnétique. Dans le cas contraire, nous obtenons un modèle dit anti-ferromagnétique.

Autant que chaque site (coefficient) peut prendre deux valeurs, notre matrice de dimension N (nombre de spin) peut décrire donc 2N états possibles. Ce qui nous permettra de redéfinir la fonction de partition décrite plus haut à l'équation (1.16) par :

(au 1er ordre) (1.29)

(au 2nd ordre) (1.29')

Comme dit précédemment, nous pourrions ainsi avoir avec Z toutes les propriétés thermodynamiques du système et même leurs variables conjuguées. Comme définies plus haut ;

La susceptibilité magnétique par spin d'après (1.23) est :

(1.30)

La chaleur spécifique par spin se référant à (1.19) sera :

(1.31).

De l'expression de l'Hamiltonien donnée en (1.28), si nous considérons à présent une variation partielle du champ J1 = B, l'on fera donc intervenir Bi dans la sommation. La moyenne de l'aimantation sera. Où (simplement notée m) représente la moyenne par spin, elle est plus généralement utilisée:

(1.32)

La fonction de corrélation connectée sera

(1.33).

Toutes ces grandeurs sont encore plus intéressantes par visualisation à l'équilibre thermique lorsque nous l'atteignons, par les méthodes numériques.

* 9 s = #177;1 (unité de longueur de spin) suivant qu'il soit ? ou ?(voir physique atomique)

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