Mise au point du dispositif à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD)

N° d'ordre:

UNIVERSITE DE M'SILA
FACULTE DES SCIENCES ET DES SCIENCES DE L'INGENIORAT
Département de génie mécanique

MEMOIRE

Présenté pour l'obtention du diplôme de Magistère
Spécialité : Génie mécanique
Option : Construction mécanique

Par

Gueraïcfie Larbi

SUJET

MISE AU POINT DU DISPOSITIF À BARRE DE PRESSION
D'HOPKINSON DIVISEE (BPHD)

Soutenu publiquement le: 13/01/2008 devant le jury composé de :

N. BOUAOUADJA Pr. Université de Sétif Président

H. OSMANI Pr. Université de Sétif Rapporteur

N. BOUZIT Pr. Université de Sétif Co-Encadreur

Y. BENARIOUA Pr. Université de M'sila Examinateur

N.LAOUAR MC. Université de Sétif Examinateur

Dr. C. FARSI MACC. Université de M'sila Examinateur

AVANT PROPOS

Louange au seigneur unique; le clément et le miséricordieux que grâce à lui en primauté que ce travail a pu sortir à la lumière.

Ce travail a été réalisé au laboratoire des matériaux non métalliques (LMNM) au département d'optique et mécanique de précision. Je tiens ainsi à remercier Demagh NACERDINE et Bouaouadja NOUREDDINE, respectivement chef du département d'O.M.P et directeur de LMNM, pour leur accueil et la confiance qu'ils m'ont accordée.

Ce travail doit énormément à monsieur Hocine OSMANI, professeur de l'université Ferhat Abbas de Sétif en optique et mécanique de précision, à lui que j'exprime ma profonde gratitude de m'avoir accueilli à LMNM. Je le remercie aussi pour sa participation au financement de ce sujet, sa disponibilité, ses conseils précieux et constants, sa confiance et ses encouragements.

J'exprime ma particulière reconnaissance à monsieur Bouzit NACERDINE, maître des conférences au département de l'électronique pour sa disponibilité et pour le matériel mis sous ma responsabilité au sein de son laboratoire d'instrumentation pendant la réalisation de la carte d'interface et de l'acquisition des signaux.

Je remercie également monsieur Ramzi OTHMAN, maître des conférences à l'école centrale de Nantes pour les nombreuses discussions en ligne, surtout ceux qui concernent le choix du matériau des barres.

Je tiens à signaler la collaboration intime de monsieur Mostfaï, directeur générale de l'unité moule le long de la réalisation du dispositif en question, à lui que j'exprime ma profonde reconnaissance. Je n'oublie pas à adresser un salut particulier aux opérateurs de son unité pour leur assistance technique.

Je suis très reconnaissant aux enseignants Saï AHMED, Felkaoui AHMED, Manallah FAYCAL, Faria KOUIDAR et Bouzid SAÏD pour leurs précieuses directives.

Je remercie Monsieur Bouaouadja NOUREDDINE, d'avoir accepté de présider le jury d'examen. Je remercie également messieurs Younes BENARIOUA, Naâmane LAOUAR et Farsi CHAOUKI d'avoir bien voulu examiner mon travail.

J'adresse mes sincères remerciements à Monsieur Hacène BAHRI, technicien de LMNM pour sa disponibilité, serviabilité et gentillesse. Le staff de l'atelier de génie mécanique de M'sila: ELMAKKI, MOHAMMED et MOURAD, trouve aussi l'expression de ma profonde gratitude.

Je tiens à remercier mes copains de chambre à la résidence d'Elbaz-Sétif: ISHAK, MOHAMMED, AYOUB, BILAL, HICHEM et BOUBAKAR, avec lesquels j'ai partagé d'agréables moments pendant mon stage à LMNM.

Je suis très reconnaissant à Saadi FOUAD pour le bon accueil et soutien lors de la rédaction finale du mémoire.

Gueraiche HAMID trouve l'expression de ma profonde gratitude pour sa serviabilité, disponibilité et soutien constant.

Que dieu bénit les frères WALID, OTHMANE, SAID, RACHID, NASSIM, ISSAM, ABD ELATIF et ZIDANE pour leur aide précieuse.

Je n'oublie pas à remercier le staff des enseignants qui m'ont assuré la formation de la poste graduation. Je tiens aussi à exprimer ma profonde gratitude à monsieur ZAOUI, chef de département de génie mécanique à l'université de M'sila pour son aide précieuse.

J'adresse mes amitiés à mes collègues de poste graduation surtout à Meddah MUSTAPHA, Belhocine ABD ELGHANI, Hamrit FARAH et Rabah BOUBAAYA.

Enfin, j'exprime mes sincères remerciements à tous ceux qui ont participé de près ou de loin à la réalisation de ce travail.

A tout unificateur dans le monde ;

A mes chers parents que je dois toute ma gratitude ;

A mes frères Lâalmi, amar et Said

A mes soeurs ;

A la famille GUERAICHE ;

A mes collègues de poste graduation ;

A tous ceux qui me sont chers en dieu ;

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION GENERALE

CHAPITRE I: EVOLUTION DE LA TECHNIQUE DE LA BARRE
D'HOPKINSON

I.1 Introduction 1

I.2 Histoire de développement de la barre d'HOPKINSON 1

I.3 Récents secteurs de recherche 4

CHAPITRE II: THEORIE DE LA BARRE DE PRESSION DE HOPKINSON
DIVISEE (BPHD)

II.1 Introduction 5

II.2 Equation différentielle fondamentale de la propagation d'onde 5

II.3 Résolution de l'équation de propagation de l'onde de contrainte 7

II.4 Développement des équations régissant le spécimen 8

II.5 Approches de validité de l'essai BPHD 11

II.6 Conception des spécimens pour l'essai BPHD 14

II.6.1 Effets d'inertie et de frottement 14

II.6.2 Equilibre de contrainte, contrainte uniaxiale et formation d'impulsion 15

II.6.3 Autres considérations 16

II.6.3.1 Considérations spéciales pour les matériaux doux 16

CHAPITRE III: ANALYSE SPECTRALE DE L'ONDE

III.1 Introduction 19

III.1.1 Transformée de Fourier et la FFT 19

III.1.2 Propagation d'onde dans le domaine de fréquence 24

III.1.3 Equations d'onde 26

III.2 Méthodes de correction de la dispersion et de l'atténuation 27

III.2.1 Méthodes analytiques 27

III.2.2 Méthodes expérimentales 29

III.2.2.1 Théorie derrière la méthode expérimentale 29

III.2.2.2 Détermination expérimentale du coefficient de propagation 31

III.3 Conclusion 33

CHAPITRE IV: CONCEPTION ET REALISATION DU DISPOSITIF

IV. 1 Méthode de conception du dispositif 34

V. 1.1 Fonction totale 34

IV. 1.2 Fonctions partielles 34

IV.1.3 Cahier des charges 34

IV.I.4 Variantes proposées 35

IV.I.5 Evaluation et décision 37

IV.I.5.1 Choix des barres 37

IV.I.5.2 Propulsion du projectile 39

IV.I.5.2. 1 Système de déclenchement 39

IV.I. 5.3 Instrumentation associée à BPHD et acquisition des données 38

IV.I.5.4 Calcul de la vitesse d'impact 45

IV.I.6 Schéma technique du dispositif 45

IV.I.7 Principe de fonctionnement 46

IV.2 Résultats 47

IV.2. 1 Commande de l'électrovanne et de la pompe à vide sous VC++ 49

IV.2. 1.1 Compatibilité avec XP 49

IV.2.1 Analyse des données 53

CONCLUSION ET PERSPECTIVES

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

ANNEXE A
ANNEXE B

INTRODUCTION GENERALE

La conception des structures est basée presque seulement sur des données matérielles sous forme de tableaux, habituellement sous forme de courbes contrainte- déformation recueillies en déformant le spécimen très lentement. Les conceptions optimales exigent des tables précises et complètes pour les matériaux examinés sous une variété de conditions.

Ce sujet s'inscrit dans le cadre de la continuité des travaux entamés en ingéniorat sur les barres d'Hopkinson pour l'extension des essais, de caractérisation mécanique à LMNM, aux vitesses de déformation élevées allant de 10² à 10⁴ S^-1. Le but de ce travail n'est pas d'examiner des matériaux aux taux élevés de déformation. Plutôt, c'est de mettre au point un dispositif d'essai de compression à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD) assisté par PC qui satisfait ce besoin.

Le premier chapitre est inclus comme une carte chronologique du développement de l'appareil à barres d'Hopkinson. Une approche ligne de temps est prise pour récapituler les avancements principaux menant à l'arrangement actuel de l'appareil en question. On décrit l'histoire d'évolution de la technique des barres de Hopkinson ainsi que les récents secteurs de recherche.

Le deuxième chapitre est dédié à l'analyse conventionnelle de la technique à barre de pression d'Hopkinson divisée. Ainsi, On rapporte la résolution de l'équation de l'onde de contrainte uniaxiale et les équations régissant le spécimen tout en satisfaisant les approches de validité de la technique. Les exigences sur la conception des spécimens et quelques considérations spéciales pour les matériaux doux sont aussi étudiées.

L'analyse spectrale de l'onde pour corriger la dispersion et l'atténuation fait l'objet du troisième chapitre.

Le quatrième chapitre est consacré à la conception et la réalisation du dispositif (BPHD), l'instrumentation associée, la commande par PC et au traitement informatique des données de l'essai à barre de pression d'Hopkinson divisée.

CHAPITRE I

EVOLUTION DE LA TECHNIQUE DE LA BARRE
D'HOPKINSON

I.1 Introduction

La technique de la barre d'HOPKINSON est largement utilisée pour la détermination des propriétés mécaniques des matériaux à des taux de déformation élevés. Typiquement dans l'intervalle 10²-10⁴ s^-1.

Le présent chapitre est inclus comme une carte chronologique du développement de l'appareil à barre de Hopkinson. Une approche ligne de temps est prise pour récapituler les avancements principaux menant à l'arrangement actuel de l'appareil en question, commençant par son fondateur. L'auteur a essayé de glaner les avancements les plus significatifs de divers investigateurs et de les rapporter ci-dessous. La dernière partie du chapitre est dédiée aux récents axes de recherche relatifs au fameux appareil SHPB.

I.2 Histoire de développement de la barre d'HOPKINSON :

Les premiers essais d'impact utilisant une barre longue en acier ont été réalisés par John Hopkinson en 1872. Le schéma de son dispositif est montré sur la figure I.1 [2].

Figure I.1 : Schéma de la première barre de pression

Il a essayé de déterminer la réponse dynamique des fils de fer en transférant l'énergie d'un poids tombant dans un fil et en mesurant combien il a été déformé avant la rupture. Il a utilisé une barre (B) suspendue par deux ensembles de fils et alignée avec une boîte (D) également suspendue. La section de la tige courte (C) est placée à l'extrémité de la barre principale et tenue en place par une petite force magnétique. Une balle est alors tirée sur l'extrémité (A) de la longue barre en lui communiquant une onde de pression. L'onde parcourt

la tige. Une fois arrivée à la tige courte, elle l'éjecte dans la boite. Les déplacements de la boîte et de la tige sont mesurés avec un dispositif simple de déplacement. Les appareils de mesure disponibles à l'époque ont limité l'exactitude des résultats des expériences. Seule l'énergie totale transmise à la barre impactée pouvait être mesurée.

En 1914, Bertram Hopkinson a continué le travail de son père. Il a introduit sa barre de pression représentée sur la figure I.2 [3]. L'application initiale de cet appareil de mesure était principalement pour étudier des pressions pendant des événements fortement dynamiques tels que la détonation explosive ou l'impact des balles.

Essentiellement, la barre de pression de Hopkinson utilise la propagation des ondes élastiques de contrainte pour prévoir des contraintes et des déformations dans un échantillon. Hopkinson a découvert que les déplacements dans la barre sont directement liés aux contraintes et la longueur de l'onde de contrainte est liée à la durée de l'impact par l'intermédiaire de la vitesse du son dans la barre de pression

Figure I.2: Barre de pression développée par

Hopkinson (1914) avec une seule barre et un

projectile

En 1948, DAVIES [4] montre qu'il est possible de mesurer la forme temporelle de l'onde engendrée dans une barre instrumentée et soumise à l'impact d'un projectile.

Le montage SHPB (Split HOPKINSON Pressure Bar) est introduit par KOLSKY [5] en 1949. C'est la raison pour laquelle le terme « barre d'HOPKINSON » est remplacé par le terme « barres de KOLSKY » dans de nombreux ouvrages.

Kolsky a modifié la barre de pression d'Hopkinson comme représentée sur la figure I.3. Il a utilisé cet appareil expérimental de SHPB pour caractériser l'écoulement de déformation des matériaux non fragiles sous un chargement dynamique. Typiquement, le SHPB offre des possibilités d'essai de matériaux aux taux de déformation de l'ordre de 10² à 10⁴ s ^-1. Kolsky a découvert que la contrainte et la déformation dans un échantillon peuvent

être directement liées aux déplacements des barres incidente et transmise. Contrairement à la barre de pression de Hopkinson, le projectile dans l'appareil SHPB ne percute pas le spécimen directement. Plutôt, c'est la barre incidente qui reçoit l'impact du projectile. Il s'y propage donc une onde de contrainte, d'autant plus intense que la vitesse d'impact est élevée et qui dure d'autant plus longtemps que le projectile est long. Cette onde se réfléchie partiellement sur l'échantillon, une partie le traverse et se transmet dans la barre transmise.

Figure I.3: SHPB adaptée par Kolsky (1949) avec une barre incidente, barre transmise, et un projectile

Un projectile qui frappe l'extrémité de la barre entrante avec une vitesse y crée une onde de contrainte [51,52]:

a =^--pbCb

y (I.1) 2

Où p_b et cb sont respectivement la densité de la barre entrante et la vitesse de propagation des ondes longitudinales élastiques dans la barre entrante. Le terme p_bcb représente l'impédance acoustique qui est une caractéristique intrinsèque du matériau.

Dans le projectile se réfléchie une onde de décharge. Quand elle atteint l'extrémité opposée à la face d'impact, le projectile se décolle de la barre. La durée de l'onde envoyée dans la barre entrante est donc le double du temps de parcours des ondes élastiques dans le projectile. Pour un projectile de longueur L dont la vitesse des ondes élastique est c , la durée de l'onde est donnée par [51] :

T = 2L/c (I.2)

Depuis 1970, les améliorations les plus significatives à l'expérience de la barre de Hopkinson et ses dérivés sont venues sous forme de très rapides systèmes d'acquisition des données par ordinateur (NI PXI-4220, NI SCXI, NI 9237, NI SCXI-1521, NI SCXI-

1521B,. .etc.) [54]. Des oscilloscopes digitaux à mémoire à entrées différentielles (Nicolet Pro30, Yokogawa, Tektronix TDS-744A,. .etc.) et des conditionneurs de signal à large bande passante ont permis aux scientifiques d'obtenir des données à résolution élevée et précision meilleure (Kyowa CDV700A, . .etc.) [2, 22]. D'habitude, les chercheurs utilisent des oscilloscopes à mémoire numériques à large bande (>500 MHz).De plus, des recherches ont été faites sur les caractéristiques de la barre de pression, les effets de la géométrie de l'échantillon et la modélisation mathématique.

D'autres modifications à l'appareil d'Hopkinson original ont été faites pour tester les matériaux sous tension, torsion, cisaillement, flexion trois ou quatre points, indentation dynamique et aussi sous combinaison de conditions de chargement [6, 7, 8, 9]

En outre, certains auteurs s'y penchaient aux secteurs de traitement des données, soucis expérimentaux et utilisation de différents capteurs pour acquérir les données des barres: des accéléromètres, des jauges extensométriques ou semi-conductrices, des capteurs optiques ou d'autres dispositifs permettant de mesurer le déplacement de la barre. Des chaînes d'acquisition ont été assistées par ordinateur.

De nombreux programmes de traitement des données et de correction de la dispersion et de l'atténuation ont été élaborés; tel que DAVID de l'école polytechnique (France) élaboré sous Labview, CSHB (Waterloo-Canada) élaboré sous VC++ par Christopher Salisbury [2], le programme Matlab® (NSWCDD-USA) élaboré par Kaiser [22] et le programme fortran (Watertown-USA) [55].

I.3 Récents secteurs de recherche

Dans l'ultime décade, de nombreuses publications ont été consacrées à la détermination de la réponse dynamique des structures en tenant compte de l'effet thermique [13,14].

Les problèmes relatifs à la séparation et reconstitution des ondes dans les barres élastiques et viscoélastiques ont fait l'objet de pas mal de publications [49,53]. Des méthodes qui tiennent compte de l'effet dispersif dans ces barres ont été proposées [2,15].

Des travaux ont été faits pour généraliser la méthode SHPB au cas des barres viscoélastiques où les effets de dispersion et d'atténuation de l'onde sont à prendre en considération. L'étude théorique de la propagation dans les barres viscoélastiques permettra de définir le coefficient de propagation qui est directement relié aux caractéristiques viscoélastiques du matériau constitutif de la barre. Des modèles théoriques et expérimentaux ont été proposés [2, 11,12].

Un état d'art résumant les développements de la barre d'Hopkinson pendant le 20^ème siècle est inclus dans le manuel d'ASM [71].

Malgré les avancements de la technique à barre d'Hopkinson, la technique n'est pas encore standard à cause de la complexité inhérente à l'analyse des données en présence de la dispersion, du frottement et des effets d'inertie sur le spécimen.

CHAPITRE II

THEORIE DE LA BARRE DE PRESSION DE HOPKINSON
DIVISEE (BPHD)

II.1 Introduction

Il est essentiel de noter au début que pour faire la dérivation des équations de gouvernement, on assume que les deux barres cylindriques ont une même section constante (Ab) et sont de même matériau isotrope. En outre, on suppose que les deux barres ne subissent que des déformations élastiques.

II.2 Equation différentielle fondamentale de la propagation d'onde

Dans n'importe quelle section différentielle de la barre, le déplacement axial (ub) qui est fonction de la coordonnée(x) et de temps (t) s'exprime u_b = u_b (x, t) .Un élément de volume

différentiel de la barre est donné par dV_b = A_bdx où dV_b est l'élément différentiel de volume

et dx est la longueur axiale différentielle. Comme la section transversale est constante, c'est seulement la longueur axiale différentielle qui détermine l'élément de volume différentiel. Ecriture de l'équilibre des forces appliquées sur ce volume différentiel comme illustré sur la figure 2.1 donne:

Figure II.1: Equilibre des forces pour les barres entrante(BE) et sortante(BS) de l'appareil SHPB

? F r =mar

2

F (F

b b

+

+ = ñ

?

u_b

2

dV_b

? t

dF )

b b

? t

2

ñ_b

u_b

?

2

dF b

(2.1)

A dx

b

	est le vecteur force, m est la masse, a^r est le vecteur de l'accélération et Fb est la force
Où: F

appliquée dans la direction axiale à l'élément de volume différentiel, et ñ_b est la densité des barres.

La définition de la contrainte donne F_b = ó_bA_b et dF = d( ó A ) = d ó A + ó dA

b b b b b b b

2

?

u_b

2

? t

(2.2)

u_b

Où: ó_b est la contrainte axiale dans la barre. Comme la surface de chacune des deux barres est constante (dA_b = 0), le second terme s'annule. Ce qui donne:

dó b

A_b

ñ _b

A dx

b

? 2

? 2 u_b
? t 2

d dx

b

? t 2

ó= ñ_b

Comme les deux barres sont isotropes; subissant uniquement une déformation élastique, la supposition d'un chargement uniaxial donne la contrainte ainsi:

ó b = E_bå_b (2.3)

Où: E_b est le module élastique isotrope de la barre et å_b est la déformation axiale dans la barre. Il est aussi connu que la déformation axiale est donnée par:

?u_b

å = (2.4)

b ? x

Tel que å_b = f(x,t)[16]. En correspondance, la contrainte dans la barre doit être aussi une fonction de la position et de temps et les différentiels totaux pour ó_b et x dans l'équation (2.2) doivent être remplacés par des différentiels partiels, ce qui donne:

?ó

? 2 u

b b

= ñ (2.5)

b 2

? t

x ?

La substitution de l'équation (2.3) dans l'équation (2.5) en supposant que E_b est constant 0)

( =

? sur la longueur des barres réduit l'équation (2.5) à:

Eb

2

?

u_b

ñ b

2

? t

?x

?

? ? u ?

? x

b

b

? E ?

? ? x ?

?E_b

? x

?u_b

? x

+ E_b

? 2 ub =

? t 2

ñ _b

(2.6)

E_b

? 2 ? 2

u u

b b

=

2

2

ñ_b

? x?t

Equation (2.6) est l'équation différentielle aux dérivées partielles fondamentale régissant la propagation de l'onde de contrainte uniaxiale dans une barre élastique isotrope de section constante [17].

II.3 Résolution de l'équation de propagation de l'onde de contrainte

La solution analytique de l'équation (2.6), associée avec d'Alembert, peut avoir la forme suivante correspondant à la propagation de l'onde à gauche et à droite.

u (x , t) f (x c t) f (x c t) . (2.7)

b 1 b 2 b

= + + -

Où: f1 et f2 sont des fonctions arbitraires déterminées à partir des conditions aux limites et
initiales. c b est la vitesse de propagation de l'onde de contrainte dans la barre [17].

L'introduction des variables ç = x + c_bt et æ = x - c_bt simplifie l'équation (2.7) à:

u (x , t) u ( , ) f ( ) f ( ) (2.8)

b b 1 2

= ç æ = ç + æ

Maintenant, c'est relativement simple de trouver les dérivées partielles de u_b .Sachant que

?ç ?æ

= = 1, la première et la seconde dérivées partielles de u_b par rapport à x sont données

?x x

?

? u b

respectivement par:

df

(2.9)

1 2

df

= +

? x d ç d æ

2 2

?

d f

² d f

u b 1 2

= + (2.10)

2 2 2

? x d ç d æ

Pour définir les dérivées de u _b par rapport au temps, on utilise:

?ç

?

t = c_b

?æ ? =

?

et c b

t = - .Car c _b est constant ?

? 0

c b ^b , les dérivées première et deuxième

c ?

? =

? ? ? t ? x ?

de u _b par rapport au temps sont respectivement données par:

? u 1 2

b

? df df ?

= c ? - ? (2.11)

b

? t ? d ç d æ ?

2

? 2 u

2 ? d f

2

d f

b 1 2

2 b

= c ? +

? ? ç ² æ ²

t d d

? ? ?

(2.12)

La substitution des équations (2.10) et (2.12) dans l'équation (2.6) donne:

2 ² d f

2

E d f

b

? ? ? d f

2

d f ?

1 2 2 1 2

? + ? = ? + ?

2 b

c

ñ ç ²

? d æ ? ? ç ² æ ²

d d d

b ?

.

E_b

ñ_b

De l'équation (2.13), il est évident que la vitesse de l'onde de contrainte est

? u ? u

b b

v v (x , t)

= = = #177; c

b b b

?t ? x

(2.14)

On note aussi que les équations (2.9) et (2.11) sont conformées avec la solution de d'Alembert et donnent:

Où: v_b (x, t) est la vitesse dans la barre entrante ou sortante [17].

II.4 Développement des équations régissant le spécimen

Etablissement de l'équilibre des forces dans la direction x sur l'échantillon présenté à la figure II.2 mène à (F_g = F_d). Avec F_d est la force appliquée sur sa face droite (interface

spécimen/barre sortante) et F_g est la force appliquée sur la face gauche du spécimen (interface

spécimen/barre entrante). Il est important de noter que ces forces et en conséquence les
contraintes et les déformations sont dynamiques; elles changent avec le temps (F_d, F_g = f(t)).

Cependant, l'hypothèse de l'équilibre est encore valide tant qu'une précaution est prise pour s'assurer que les forces sur l'une ou l'autre extrémité du spécimen (S) demeurent équivalentes durant l'évènement dynamique.

Figure II.2: Equilibre des forces pour le spécimen dans le dispositif BPHD

Sous les conditions d'équilibre dynamique, les forces dans les barres entrante et sortante aux interfaces avec le spécimen sont égales et opposées à ceux dans le spécimen .Elles sont données par:

F (t) F (t) (t)A E A (t) (2.15)

g d b b b b b

= = ó = å

Où: å_b (t) est la déformation axiale "effective" dépendante de temps à l'extrémité gauche ou

droite du spécimen. L'équation (2.15) permet aux pulses de déformation incidente, réfléchie, et
transmise dans les barres d'être utiliser comme représentations des forces F_g (t) et F_d (t) dans le

spécimen. Utilisant les déformations effectives appropriées, l'équilibre de force est donné par:

F (t)

g F (t)

d

A E ( (t) (t)) A E (t) (2.16)

b b I R b b T

å + å = å

å T (t)

(t)

= å + å

I R

(t)

Où: å_I (t), å _R (t) et å_T (t) respectivement, les déformations axiales dépendantes de temps:

incidente, réfléchie et transmise. On note que la déformation effective à l'interface barre
entrante/spécimen est la somme des déformations incidente et réfléchie tandis que la

déformation effective à l'interface barre sortante/spécimen est simplement la déformation transmise.

La contrainte moyenne dans le spécimen est donnée par:

g d

+ A E

ó =

(t) = å + å + å

( (t) (t)

S b b

I R T

²A²A

F (t) F (t)

(t)) (2.17)

S S

Où: A _S est la surface de la section transversale du spécimen

Comme le spécimen est en équilibre, la force axiale appliquée au spécimen est donnée au choix par l'une des deux forces de côtés. Pour la simplicité, puisque c'est un seul terme, on prend celle de la face droite. Alors, on écrit:

F _S (t) = F_d(t) = EbAbåb(t) (2.18)

Avec F_S (t) est la force axiale dépendante de temps agissant sur le spécimen. Par correspondance, la contrainte dans le spécimen est donnée par:

(t) å

F (t) E A (t)

b b T

ó = =

^S (2.19)

^S A

A S S

Où: ó _S (t) est la contrainte axiale dépendante de temps dans le spécimen. Le taux de déformation du spécimen est obtenu en dérivant par rapport au temps la déformation.

d ? ? u b b

? ? u

å& = å =
(t) ( (t)) ( ) = ( ) (2.20)
S S
dt ? t ? x ? x ? t

Avec å& S (t) est le taux de déformation axiale dans le spécimen et å _S (t) est la déformation axiale dans le spécimen. Notons qu'ici u _b est supposé une fonction continue de position et de temps pour échanger les dérivées partielles.

? ), permet l'écriture du taux de

Ä

? x Ä x

La discrétisation de l'équation (2.20) en x (

déformation du spécimen en termes de vitesses à chaque extrémité du spécimen. La substitution de cette relation dans l'équation (2.19) donne :

Ä

? u b

? ? u Ä v (t) v (t)

b g d

-

? t v(t)

å& = ( ) = (2.21)

S (t) =

? x ?t Äx LL

S S

Où: v(t) est la vitesse axiale dépendante de temps à l'interface barre/spécimen, L _S est la longueur axiale du spécimen, v _g (t) est la vitesse axiale à l'extrémité gauche du spécimen, et v_d (t) est la vitesse axiale à l'extrémité droite du spécimen.

L'équation (2.14) donne les vitesses à chaque extrémité du spécimen comme étant les produits de la vitesse de l'onde de contrainte dans la barre entrante ou sortante et la déformation effective à l'interface barre/spécimen. Donc:

v_g (t) = c_b (å _I (t) - å _R (t)) (2.22)

v_d(t) = c_b å _T(t) (2.23)

La substitution des équations (2.22) et (2.23) dans l'équation (2.2 1) donne:

v (t) v (t)

g d

-

å (t)

& S

c (å (t)

b I

å (t)

& S

L S

L S

å (t) å (t))

R T

-

(2.24)

La substitution de la relation de å_T (t) donnée par l'équation (2.16) réduit l'équation (2.24) à:

(t)))

+ å _R

å (t)

& S

(t)

2c

å _R

b

å (t)

& S

L S

c (å (t) å (t) (å (t)

b I R I

- -

L S

(2.25)

Par utilisation de l'équation (2.19), on peut trouver la contrainte dans le spécimen en fonction de la déformation transmise. Cependant, pour trouver la déformation dans le spécimen, l'équation (2.25) doit être intégrée pour donner:

t t 2c ( )

å ô 2c t

b

å = å ô ô = ?

(t) ( )d d ô = - å ô ô

( ) d . (2.26)

S 0 S

? & ? ?

b R

0 R

0L L

S S

Où: ô est un facteur d'intégration. Pour un nombre discret de points de données, équation (2.26) est modifiée de l'intégral à une sommation. Dans sa forme la plus simple, l'approximation discrétisée de l'intégral est donnée par:

N

2c t 2c

å = - å ô ô ? ? å Ä

b

(t) ? = ?

b

( ) d (2.27)

R i

t

S 0 R

L L

S S t 0

Avec å _Ri est la valeur de la déformation au temps donné par: t_i = N Ä t.

La contrainte vraie et la déformation vraie, respectivement ó _V (t) et å _V (t) , peuvent être

obtenues à partir de la contrainte technologique et de la déformation technologique (Engineering stress-strain) par la formulation suivante [18]:

--

t)

(

(1

(t)

a_V

c S

(t)

t))

(

t)) (

a S

c= -- -- c

V S

ln(1

(2.28)

II.5 Approches de validité de l'essai BPHD

Un essai BPHD valide nécessite la vérification de certaines approches. Pour pouvoir utiliser les équations (2.19) et (2.25) ou (2.26) dans le calcul du comportement contrainte- déformation d'un spécimen sous un chargement à taux de déformation élevé, à partir des quantités mesurées de l'essai BPHD, il est important de satisfaire les approches/conditions ci- après [49].

1) La propagation de l'onde de contrainte dans la barre est 1D. Les conditions qui satisfont cette approche nécessitent que les barres soient:

a) homogènes et isotropes: Ceci peut être satisfait par le choix convenable du matériau des barres.

b) uniformes dans la section transversale sur la longueur entière et l'axe neutre est droit: Un usinage de précision des barres (faible excentricité) peut assurer que la section transversale est uniforme et l'axe neutre est droit.

c) sous un état élastique linéaire de contrainte lorsqu'elles sont sollicitées par des pulses de contrainte: Par le contrôle de la vitesse d'impact, il est possible de maintenir la contrainte dans le pulse inférieure à la limite élastique du matériau de la barre.

d) à distribution axiale uniforme de contrainte à travers l'entière de la section transversale: Selon Davies [4], un rapport (Lb/Db >20) entre la longueur de la barre (Lb) et son diamètre (Db) satisfait cette condition.

e) exemptes des effets de dispersion: Cette approche spécifique n'est pas valide pour les barres métalliques de grands diamètres (diamètres supérieurs à 12 mm) ou les barres viscoélastiques [15]. Les effets de dispersion sont à corriger. Ils seront discutés dans le troisième chapitre.

2) Les interfaces barre entrante-spécimen et barre sortante-spécimen restent planes à tout moment. Ceci peut être satisfait, généralement, si:

a) Le spécimen est acoustiquement ductile; c.à.d, il a une faible impédance acoustique (Figure II.3).

b) Le diamètre du spécimen est égale à celui de la barre (ou bien légèrement inférieur à celui de la barre comme mentionné par Kolsky [5]).

c) Un disque très dur est utilisé aux interfaces barre-spécimen.

3) Le spécimen est en équilibre de contrainte après une période initiale appelée " Sonner vers le haut ". La gamme de déformation où cette condition est satisfaite est obtenue par comparaison des analyses 1D et 2D de l'onde. Une épaisseur minimale possible peut minimiser le temps Sonner vers le haut (elle dépend de la vitesse du son dans le spécimen), mais elle ne peut pas l'éliminer.

4) Le spécimen n'est pas compressible. Cette condition est facilement satisfaite; cependant, pour les mousses et les matériaux non linéaires, des techniques d'analyse spéciales peuvent être utilisées.

5) Frottement et effets d'inertie dans le spécimen sont minimaux: Cette condition peut être satisfaite par lubrification des interfaces barre-spécimen. Cependant, l'utilisation du lubrifiant peut changer le comportement acoustique de l'interface.

Figure II.3: Conditions pour des interfaces barre-spécimen planaires. Les numéros 1 et 2 représentent des interfaces BE-S et S-BS respectivement. Symbole * dénote l'endroit des interfaces quand le spécimen est déformé [49].

Figure II.4: Déformation des interfaces barre-spécimen pour petit diamètre des spécimens acoustiquement dur [49]

II.6 Conception des spécimens pour l'essai BPHD

La conception d'un spécimen est la partie la plus critique de l'expérience BPHD. Il n'y a aucune règle universelle pour la conception du spécimen. Souvent, les spécimens sont conçus à partir des expériences exploratoires. La conception du spécimen doit satisfaire les approches générales de la technique BPHD.

II.6.1 Effets d'inertie et de frottement

Le diamètre maximal du spécimen (Ds) est égal au diamètre de la barre (DB). Gray III [61] a suggéré que les effets de frottement et de l'inertie radiale et longitudinale puissent être diminués en réduisant au minimum la disparité de surface entre la barre et le spécimen Ds
·-,' 0.80 DB; et en choisissant un rapport Es/Ds entre 0.50 et 1.0, qui est basé sur les corrections des effets d'inertie radiale et longitudinale proposées par Davies et Hunter [35]:

E2 vsDs1 ( ô2£(t) as (t) = asm 8 (t) + Ps [ 6 -- ] ôt2 )

(2.29)

Où l'indice inférieur s représente le spécimen, et les indices supérieurs c et m signifient corrigé et mesuré, respectivement.

Le second terme de l'équation 2.29 est un terme de correction à ajouter avec la contrainte moyenne mesurée du spécimen. Le terme de correction sera zéro, si le taux de contrainte est constant ou le terme encadrée est nul. La condition suivante fournit le rapport optimal du spécimen pour l'effet d'inertie et est exprimée comme:

Es/Ds = -J3vs/4 (2.30)

Pour un coefficient de Poisson vs = 0.333, l'optimum de Es/Ds est 0.50. Selon ASTM E 9, pour minimiser les effets de frottement en essai de compression des matériaux métalliques à la température ambiante, le rapport Es/Ds devraient être dans la gamme 1.50-2.00. Ainsi les conditions pour un minimum d'effets de frottement et d'inertie ne peuvent pas être satisfaites simultanément et la suggestion de Gray III [61] de (0.50 < Es/Ds < 1.0) peut être prise comme un compromis entre ces deux effets. Pour un spécimen ayant Es/Ds < 1.5, des chercheurs ont utilisé un lubrifiant pour réduire le frottement; comme l'huile de bisulfure à base de molybdène pour une température ambiante et une poudre fine de nitrure de bore pour des essais à hautes températures. Des efforts ont été également faits pour quantifier le frottement en utilisant des spécimens annulaires [62].

Si la condition d'un taux de déformation constant est utilisée, alors on peut

effectivement utiliser des spécimens plus minces Es/Ds < 0.5, et ainsi minimiser le non- équilibre de contrainte dans le spécimen. Habituellement, les conditions d'un taux de déformation constant peuvent être atteintes par des impulsions incidentes formées. Cependant, les taux de déformation possibles dans ces cas sont limités par le taux de contrainte de l'impulsion incidente [63], et sont décrits après.

II.6.2 Equilibre de contrainte, contrainte uniaxiale et formation d'impulsion

L'épaisseur optimale du spécimen dépend du temps de montée t nécessaire pour atteindre un état uniaxial de contrainte dans le spécimen. Le temps de montée est estimé comme le temps requis pour n réverbérations dans le spécimen [36]. Pour un solide déformant plastiquement qui obéit à la théorie de Taylor-Von Karman, le temps de montée est donné par:

t² (7T²psEs²)/(Do-/De) (2.31)

Où ps et Es sont respectivement la densité et l'épaisseur du spécimen. Do-/De est la deuxième étape du taux de travail de durcissement du vrai diagramme contrainte-déformation du matériau à tester. En diminuant l'épaisseur du spécimen, il est ainsi possible de réduire le temps de montée .Cependant, la condition sur Es/Ds pour réduire au minimum les effets de frottement et d'inertie exigent que le diamètre du spécimen également soit réduit. Par conséquent, on doit utiliser une barre de plus petit diamètre aussi bien pour satisfaire les conditions, Ds
·-,' 0.80 DB et 0.50 < Es/Ds < 1.0. L'expérience de Kolsky [5] avec (0.01 < ES/DS<0.10, ainsi ne représente pas le cas uniaxial de contrainte.

Une solution pour réduire le temps de montée dans le spécimen est l'utilisation d'une impulsion formée. Le temps de montée d'une impulsion quasi-rectangulaire, produite par l'impact direct du projectile, est généralement plus petit que le temps de montée du spécimen. Si un disque métallique élastoplastique mince (Matériel de bout, [61]) est utilisé entre la barre incidente et de le projectile, l'impulsion incidente aura la forme d'une rampe et presque un taux de contrainte constant est atteint.

L'utilisation d'une impulsion incidente "rampe formée" doit théoriquement produire une impulsion réfléchie constante, selon la théorie de 1D BPHD, qui représente un taux de déformation constant du spécimen. La condition d'essai à taux de déformation constant est essentielle pour un essai de caractérisation valide du matériau. Selon l'équation 2.29, un tel essai peut être réalisé sur n'importe quel taux Hs/Ds du spécimen, satisfaisant la condition du minimum de frottement.

La technique de formation de l'impulsion (pulse-shaping) a été introduite en premier temps pour tester les spécimens en céramique [63] quand les chercheurs ont observé que les spécimens en céramique rompent prématurément, avant que l'équilibre des contraintes soit atteint. L'utilisation d'une impulsion formée a résolu ce problème. Une impulsion rampe formée ne contient pas les hautes oscillations de fréquence (modes de Pochhammer) et ainsi l'effet de dispersion est minimal. Bien que la formation de l'impulsion réduit généralement le taux de déformation dans le spécimen. Pour satisfaire la condition du taux de déformation constant dans le spécimen chaque essai de BPHD devrait utiliser une impulsion formée indépendante du genre de matériaux du spécimen (doux, dur, non homogène, fragile, non linéaire, etc.). Le taux de déformation et la déformation totale dans le spécimen peuvent alors être changés par un choix approprié du matériau de bout ou de la géométrie du formeur de l'impulsion, de la longueur du projectile et de la vitesse d'impact de projectile.

II.6.3 Autres considérations

Il est important que le spécimen fabriqué d'un matériau particulier contienne les unités multiples de sa structure répétitive pour représenter les propriétés en bloc .Cette condition est importante dans le cas des matériaux polycristallins de grand grain, composites renforcés par des fibres, et matériaux cellulaires. La structure des matériaux bruts nécessite souvent un plus grand diamètre de la barre (75-100 mm de diamètre est exigée pour tester le béton). Les matériaux fragiles, comme les céramiques, exigent une conception spéciale du spécimen pour assurer l'uniformité de contrainte avant la rupture. Couque et autres [64] ont utilisé des spécimens coniques avec anneaux chanfreinés pour supprimer se division axial en cas des composites L'utilisation des sections non-uniformes le long du spécimen. La longueur rend la réduction de données plus complexe La tolérance sur la géométrie du spécimen est importante pour assurer une déformation uniforme. Gray III [61] a mentionné que les faces de chargement du spécimen doivent être parallèles avec une tolérance de 0.01 millimètre.

II.6.3.1 Considérations spéciales pour les matériaux doux

C'est bien accepté dans la communauté de recherche de la barre d'Hopkinson [61] que les méthodes expérimentales de BPHD et l'analyse des données de 1D sont généralement valides pour les métaux élastoplastiques qui satisfont les conditions mentionnées dans la section, approches de validité de l'essai BPHD. Cependant, des difficultés additionnelles surgissent dans le cas des matériaux doux et durs, qui incluent toutes sortes de matériaux technologiques autres que les métaux élastoplastiques. Le manuel d'ASM [61] consacre deux

sections séparées à l'essai BPHD; une pour les matériaux doux [24] et l'autre pour les céramiques [63]. On doit lire ces sections avant de les examiner.

Les matériaux doux incluent une grande variété de matériaux polymères, mousses des métaux et des polymères, et des matériaux granulaires. Sous conditions d'essai de BPHD, Cette classe de matériaux est caractérisée par leurs très faibles impédances acoustiques. Elle génère des impulsions transmises très faibles/faibles si une barre traditionnelle en acier avec un gain élevé est utilisée. Des chercheurs ont utilisé des barres de faible impédance (barres en titanium, aluminium et magnésium [65, 66]) où de bons signaux de transmission peuvent être obtenus. D'autres ont utilisé des barres polymères [67-69] (PMMA, PC) pour tester des matériaux doux. L'utilisation d'une barre polymère exige des analyses additionnelles du comportement viscoélastique de la barre. Elle ajoute plus de complexité en comparaison avec les barres métalliques de faible impédance. En plus des barres pleines métalliques et polymères de faible impédance, Chen et autres [70] ont utilisé une barre sortante creuse en aluminium pour obtenir un rapport signal sur bruit mieux que pour les barres pleines. L'issue principale dans l'essai des matériaux doux est d'obtenir une bonne impulsion transmise, ce qui peut être réalisé par l'utilisation des barres de faible impédance. Cependant, toutes les approches d'équilibre de contrainte, uniforme et contrainte uniaxiale, effets d'inertie et de frottement, et conditions de dispersion doivent être satisfaites pour une expérience valide de BPHD.

La faible vitesse de l'onde dans les matériaux doux fait le temps de passage dans le spécimen beaucoup plus long que dans les matériaux métalliques. Ainsi, un spécimen mince est nécessaire pour satisfaire la condition d'équilibre de contrainte. D'une part, il est trouvé que le rapport _LS/DS dépend fortement du comportement contrainte-déformation des matériaux doux [24]. Chen et autres [70] ont observé une atténuation substantielle de l'onde dans des échantillons épais en caoutchouc RTV630 (0.25') par rapport aux échantillons minces (0.06'). Selon la température et le matériau du spécimen, ils suggèrent qu'un rapport _LS/DS de 0.25- 0.50 peut être utilisé pour réduire l'atténuation.

A raison de la nature viscoélastique de quelques polymères et composites polymères à la température ambiante, une procédure spéciale est adoptée au Laboratoire National de Los Alamos pour usiner des spécimens de BPHD à surfaces de chargement parallèles avec une tolérance de 0.03 mm [24]. Le spécimen est refroidi à l'azote liquide au-dessous de sa température de transition vitreuse. Ensuite, il est usiné dans son état durci; et lentement réchauffé de nouveau à la température ambiante.

Gray III [61] a suggéré qu'une analyse par éléments finis de l'expérience de BPHD puisse être utile en réduisant les données expérimentales avec confiance, en concevant

l'expérience de BPHD, et en utilisant des techniques expérimentales de la barre non standard de Hopkinson. Essai de BPHD des matériaux poreux et granulaires exige des outils diagnostiques additionnels du spécimen, tels que la photographie ultrarapide et l'analyse lagrangienne couplée [61].

CHAPITRE III
ANALYSE SPECTRALE DE L'ONDE

III.1 Introduction

L'analyse de la dispersion et de l'atténuation des ondes est généralement faite par des méthodes spectrales. Une explication détaillée du changement en domaine fréquentiel et de la manière de propagation des ondes est donnée ici. Cette compréhension est fondamentale lors de l'analyse de la propagation d'onde dans un milieu.

III.1.1 Transformée de Fourier et la FFT

La transformée de Fourier introduit la notion de spectre. C'est la caractéristique fréquentielle d'un signal. Ce dernier peut être défini dans deux espaces, soit temporel ou fréquentiel. L'analyse spectrale d'une onde périodique complexe peut être représentée par la superposition d'une série de sinusoïdes de fréquences reliées harmoniquement [29]. L'équation générale pour une sinusoïde harmonique simple est:

f(t) =a ₀ + r₁ sin(ù ₀ t + è₁) (3.1)

Où a₀ est l'excentrée, r₁ est l'amplitude, ù₀ est une fréquence angulaire qui décrit la nature
périodique, et è₁ est l'angle de phase ou le déphasage de l'onde. L'angle de phase décrit la

quantité de déphasage le long de l'axe de temps de l'onde. En appliquant l'identité trigonométrique:

r t r t t

1 0 1 1 0 1 0 1

cos( ) [cos( ) cos( ) sin( ) sin( )] (3.2)

ù è ù è ù è

+ = -

A l'équation (3.1), une forme alternative de l'onde peut être écrite comme:

f

t a ₀ a 1 0 t b 1 0 t
( ) cos( ) sin( )
= + ù + ù
Où:

a₁ = r₁ cos(è₁) (3.4)

b₁ = -r₁ sin(è₁) (3.5)

Par conséquent, un signal peut être représenté par une série de Fourier continue écrite comme:

8

f t a a K k t b K k t

( ) [ cos( ) sin( )]

= + +

? (3.6)

0 0 0

ù ù

k=1

Avec:

ù 0 =

2ð T

(3.7)

ù₀ est la fréquence fondamentale et k est un nombre entier. Les multiples de fréquence (kù₀)

sont connus comme harmoniques. Une fonction de période T dans le domaine temporel peut
donc être liée au spectre de composantes (a_k et b_k) dans le domaine fréquentiel. Les figures

III.1a, III.1b et III.1c illustrent comment une onde carrée peut être décomposée en une série
d'ondes cosinusoïdales. Si assez de termes sont inclus, alors la superposition de toutes les

composantes aurait comme conséquence une onde identique à l'onde carrée.

Figure III.1a: Composante de Fourier primaire d'une onde carrée

Figure III.1 b: Addition de la seconde composante harmonique

Figure III.1c: Addition de la troisième composante harmonique

En plus de l'amplitude de chacune des composantes de la série de Fourier, un angle de

Figure III.2a: Spectre d'amplitude pour les trois premiers termes

Figure III.2b: Spectre de phase pour les trois premiers termes

phase correspondant doit également exister. Les spectres d'amplitude et de phase sont nécessaires pour reconstruire l'onde dans le domaine temporel. Pour l'exemple de l'onde carrée, les spectres d'amplitude et de phase sont montrés sur les figures III.2a et III.2b respectivement. En analysant les spectres d'amplitude et de phase un plus grand aperçu des propriétés de l'onde peut être eu.

L'analyse ci-dessus a été faite pour un signal périodique ou répétitif. Cependant, c'est, impraticable pour analyser la propagation de l'onde puisqu'une onde de contrainte est apériodique. Pour l'analyse des signaux apériodiques, une alternative à la série de Fourier a été développée. Une transformée de Fourier paire permet la transformation d'un signal apériodique au domaine fréquentiel et vice-versa. La base de la transformée de Fourier est l'intégrale de Fourier qui est donnée par:

F ( ) i ₀ t

~ 1

= f t e dt

? ù

? + 8 (3.8)

T -8

~

Où F	est la transformée de Fourier continue (TFC), ù0 est définie avant et i est un nombre

complexe ( -1). L'intégrale de Fourier est dérivée des séries de Fourier dans sa forme

exponentielle en appliquant les identités d'Euler. L'application des limites infinies permet la définition d'un signal apériodique. En d'autres termes, lorsque la période devient infinie, le signal ne se répète jamais, devenant apériodique. La deuxième partie de la transformée de Fourier paire est la transformée inverse qui est donnée par :

f t = F ( ù ) e - i ù ₀ t d ù

? + 8 ~

( ) (3.9)

-8

~ Le symbole ~ indique le domaine de fréquence d'une fonction. F

a les composantes réel

et imaginaire qui sont liées respectivement aux termes a_K et b_K de la série de Fourier. Pour la
plupart des cas, la fonction f(t) n'est pas connue analytiquement. Normalement le signal est

connu en termes du signal discret mesuré par un système d'acquisition de données. Pour ce cas, la transformée de Fourier discrète (TFD) a été développée. La TFC écrite en termes des échantillons (n) donne la transformée paire TFD qui s'exprime par :

N

-

1

F f e ^ù pour k à N

~ 0

= - = -

ik n

? 0 1 (3.10)

k n

n = 0

1

0
N - 1
f ù
- ik n = ? = -
0 1
n f _n e pour k à N (3.11)
Nn=0

Où: N est le nombre des échantillons.

Bien que c'est la forme la plus pratique de la transformée de Fourier, elle exige 2

N opérations complexes ce qui la rend impraticable manuellement et intimide pour le calcul à l'aide des ordinateurs. Pour alléger une partie du fardeau de calcul, des sous-programmes de la transformée de Fourier rapide (FFT) ont été développés. La plupart des sous-programmes de FFT réduit 2

N opérations à N log₂ (N) opérations, ce qui permet un calcul plus efficace des

coefficients de Fourier. Le lecteur est référé à Press et autres [30] pour une description détaillée des sous-programmes de FFT.

~ F k	a une partie réelle et une partie imaginaire. Alors, il peut être exprimé en coordonnées
~ rectangulaires et polaires. En forme rectangulaire, Fk ~			représente les coefficients de la série de
Fourier. La forme polaire de Fk		est liée à la forme rectangulaire par:

F k a _k ib k re ^è ~

i k

= + = (3.12)

b

Avec: ( ) tan ( )

2 2 1

-

r a b et k

k k k k

= + =

è

a_k

(3.13)

r_k est le module et è_k est l'argument (l'angle de phase). Bien que la plupart des routines

FFT retournent les résultats en forme rectangulaire, une meilleure compréhension des propriétés de l'onde est atteinte avec la forme polaire. Quelques considérations spéciales doivent être prises en considération lorsqu'on passe de la forme rectangulaire à la forme polaire. Lors de la détermination de l'angle de phase par la fonction arctan, on doit faire attention que l'angle a été ajusté à son quart de cercle. La plupart des programmes mathématiques supposent que l'angle se trouve dans le premier quart de cercle et ainsi un certain ajustement est nécessaire. L'angle de phase devrait se situer dans l'intervalle -ð = è = ð. Aussi bien, les angles de phase doivent être redéployés "Unwrapped". En redéployant les spectres de phase, une fonction continue est obtenue en ajoutant ou en soustrayant des multiples de 2ð quand les sauts absolus entre les spectres consécutifs de phase sont plus grands que de ð radians (La figure III.3). Cette procédure compte sur le déphasage relatif à la première composante ou au terme DC. Le terme DC se produit quand n = 0 et représente l'aire sous la fonction de temps.

Figure III.3: Redéploiement du spectre de phase

III.1.2 Propagation d'onde dans le domaine de fréquence

Un des aspects les plus utiles de la transformée de Fourier est la capacité d'analyser et de prévoir comment les ondes propageront. Quand une onde propage le long d'une tige, essentiellement elle est décalée dans le temps. Si une onde carrée simple est symétrique par rapport le temps zéro, il peut être vu que la partie imaginaire de la transformée est zéro et qu'il n'y a aucun déphasage. Si l'onde est déplacée le long de l'axe de temps, la transformée aura les deux parties; réelle et imaginaire. La partie réelle est une fonction paire tandis que la partie imaginaire est une fonction impaire. La figure III.4 montre ces relations pour une impulsion carrée en utilisant le TFC. En termes de coordonnées polaires, les amplitudes des impulsions originale et décalée sont identiques; la seule différence est celle de la phase. Ceci indique qu'une variation dans le temps correspond à un changement de phase dans le domaine de fréquence. Ceci mène à la relation suivante:

f t t F e r e ⁿ

( ) ( ) 0 0 0 0

- = ù - = -

i t

ù è ù

i t

( ) (3.14)

0 n n

Où t₀ est la quantité de variation dans le temps.

Figure III.4: Composantes réelle et imaginaire pour une

impulsion carrée soumise à des quantités différentes de déphasage, Doyle [31]

Connaître la manière de propagation d'une onde dans un matériau est d'importance primordiale dans l'analyse d'onde. La dispersion et l'atténuation de l'onde peuvent avoir lieu lorsqu'elle se propage dans certains milieux. La dispersion est liée à l'allongement d'une onde pendant la propagation dans un milieu tandis que l'atténuation est liée à une réduction d'amplitude. La dispersion et l'atténuation sont des actions en corrélation qui sont généralement

couplées. En d'autres termes, s'il y'a dispersion, il y'a généralement atténuation. La figure III.5 montre ces effets. L'atténuation et la dispersion peuvent être provoquées par une variété de facteurs comme, les propriétés du matériau et les contraintes géométriques. La capacité de séparer les composantes d'une onde est une clé pour analyser les relations de dispersion et d'atténuation. La figure III.6 illustre les composantes d'une onde en fonction du temps. Le train d'ondes du côté gauche illustre un système non dispersif. Pendant la propagation d'onde, ses différentes composantes ont la même vitesse et gardent donc dans la même position relative entre elles. Ceci signifie qu'à tout moment donné l'addition des différentes composantes de l'onde aura comme conséquence la même onde. Pour le système dispersif, montré à droite du de la figure III.6, les trains d'onde ont différentes vitesses ce qui change leurs positions relatives. Ceci signifie que pendant la propagation du train d'ondes, l'onde résultante se déformera avec le temps. La vitesse de déplacement de chaque composante s'appelle la vitesse de phase. Elle qui est donnée par:

x ù

c= = (3.15)

t k

Où c est la vitesse de phase, t est le temps, x est la distance mesurée à partir de l'interface et k est le nombre d'onde. En reliant la vitesse de chaque phase à la fréquence, un rapport dispersif peut être développé [31, 32, 33]. Le rapport entre le nombre d'onde et la fréquence s'appelle le rapport de spectre. La vitesse à laquelle l'onde superposée se déplace s'appelle la vitesse de groupe (c_g). C'est l'onde actuellement observée.

Si l'onde est mesurée en un point, alors elle peut théoriquement être prévue à un autre point en appliquant une fonction de transfert à l'onde originale. En d'autres termes, si on sait le rapport dispersif, on peut prévoir comment une onde propagera à travers un matériau.

Figure III.5: Illustration des effets de la dispersion et de l'atténuation [2]

Figure III.6: Segments d'un train infini d'ondes à différentes positions.
Gauche: Système non dispersif. Droite: Système dispersif, Doyle [31]

III.1.3 Équations d'onde

Afin de prévoir l'état de propagation d'une onde dans un milieu, un modèle décrivant son mouvement doit être formulé. Le développement des équations de fréquence de Pochhammer [34] et de Chree [35] forme la base pour l'analyse de la propagation longitudinale d'onde. Ces équations relient la vitesse de phase à la fréquence pour une propagation unidimensionnelle de l'onde. Selon Follansbee [36] une analyse unidimensionnelle est suffisante puisque la majorité de l'énergie est contenue dans les longueurs d'onde qui excèdent dix fois le rayon de la barre. Ceci signifie également que la mesure extérieure de la contrainte est un indicateur valide de déplacement axial. L'équation unidimensionnelle du mouvement d'onde est:

2 ? 2

? u u

T = ñ (3.16)

? x

² t ²

?

Où T est la force de tension axiale dans le matériau et ñ est la densité.

Le changement au domaine de fréquence et la résolution de (3.16) donne:

u x t u x F _n G K _mn x e

= = ?

~ i nt

ù

( , ) ( , ù ) ( )(3.17)

Où F_n est le spectre d'amplitude et le G est la fonction de transfert du système; Doyle [31].

L'indice inférieur m se rapporte au mode de la solution. Généralement, seulement le premier mode est considéré; Cheng et autres [38]. La fonction de transfert détermine la quantité d'atténuation du déphasage en fonction de l'espace. On verra plus tard que la fonction de transfert sera liée au coefficient de propagation ã.

On considère un matériau élastique analysé linéairement. La dispersion est ignorée si le rapport de la longueur d'onde (ë) au rayon (R) est beaucoup moins à l'unité; Davies [4].

Follansbee et Frantz [32] ont déterminé que la dispersion est une considération importante même lorsque ë/R << 1 pour les barres linéairement élastiques.

Les effets viscoélastiques créent des problèmes avec les barres polymères. L'utilisation des barres fabriquées de ces matériaux exige une plus grande compréhension des propriétés du matériau de la barre. L'atténuation et la dispersion ont de grands effets sur les ondes; incidente, réfléchie et transmise. Le problème est que la mesure de la jauge de contrainte au milieu de la barre ne correspond pas aux conditions à l'interface barre-spécimen. Par conséquent, la réduction de quelques données est exigée. Une variété de méthodes a été suggérée pour combattre ce problème.

III.2 Méthodes de correction de la dispersion et de l'atténuation

La correction de la dispersion améliore la forme de la courbe contrainte-déformation dynamique [53]. Des méthodes expérimentales et théoriques sont à utiliser pour corriger la dispersion et l'atténuation d'un signal.

III.2.1 Méthodes analytiques

L'approche théorique pour résoudre ce problème exige qu'un modèle viscoélastique du matériau soit formulé. Le modèle est utilisé pour simuler le comportement du matériau de sorte que l'onde puisse être prévue à un certain point de mesure connue. Kolsky [39] illustre les trois modèles les plus généralement utilisés pour simuler la réponse viscoélastique. Les trois modèles, représentés sur la figure III.7, sont composés d'éléments amortisseur et ressort. Les différentes configurations de Voigt, de Maxwell et du Solide général modélisent les différents types de comportements dynamiques. Le modèle de Voigt est fondé sur l'hypothèse que les composantes de la contrainte dans un solide sont proportionnelles à la somme de la déformation et du taux de déformation. Dans le solide de Maxwell, le taux de contrainte est proportionnel au taux de déformation et à la contrainte. Alors, les solides de Maxwell et de Voigt réagissent de manières opposées. On a une décroissance logarithmique inversement proportionnelle à la fréquence dans l'amplitude de la vibration pour des solides de Maxwell et directement proportionnelle pour des solides de Voigt. Le modèle le plus général est une combinaison des éléments de Maxwell et de Voigt. Le résultat est un modèle qui est plus utile en décrivant la nature qualitative du matériau viscoélastique. Cependant, même le modèle général ne correspond pas bien aux résultats quantitatifs exceptés sur une petite gamme de fréquence. Wang et autres [40] proposent que le

modèle non linéaire de Zhu-Wang-Tang (ZWT) puisse simuler le comportement viscoélastique des matériaux polymères. Le modèle de ZWT est une compilation de deux solides de Maxwell parallèlement à un ressort. Par simulation numérique, ils peuvent prédire précisément la réponse viscoélastique connaissant les propriétés du matériau.

Tyas et Watson [41] utilisent la simulation numérique pour déterminer le comportement viscoélastique d'un matériau. Ils simulent l'historique d'une force d'entrée appliqué à l'extrémité d'une barre tout en enregistrant le signal dispersé à une certaine distance de l'extrémité. A partir de l'entrée connue et la sortie enregistrée, le rapport dispersif peut être déterminé.

Sawas et autres [42] ont utilisé des barres en acrylique pour examiner des échantillons en polycarbonate, mousse de polyuréthane et mousse de styrol avec un certain succès. Leur méthode de réduction de données exige une connaissance a priori des propriétés du matériau des barres acryliques. Ces propriétés sont utilisées pour résoudre une forme de l'équation d'ondes viscoélastique permettant à la propagation de l'onde d'être prévue.

Zhao et Gary [43] ont développé une équation d'onde tridimensionnelle basée sur l'équation de propagation de l'onde longitudinale de Pochhammer et Chree. Par comparaison avec des résultats empiriques, ils prouvent que l'application du modèle tridimensionnel prévoit plus exactement l'état de propagation des ondes dans des milieux viscoélastiques. Zhao et Gary [44] ont également étendu ce travail afin d'inclure une méthode inverse pour le calcul des paramètres du matériau. En mesurant la vitesse sur les extrémités de la barre et puis en estimant les paramètres modèles par des itérations multiples. Sogabe et autres [45] emploient une approche semblable pour définir un coefficient de propagation qui permet la correction de l'atténuation et de la dispersion.

Figure III.7: Modèles des solides viscoélastiques

III.2.2 Méthodes expérimentales

L'avantage de déterminer les propriétés du matériau des barres; entrante et sortante expérimentalement est qu'aucune connaissance antérieure des propriétés du matériau n'est exigée et ce n'est pas nécessaire de résoudre les équations de fréquence de Pochhammer et de Chree. Aussi bien, les corrections basées sur des techniques analytiques semblent limitées à corriger seulement un peu de distorsion dispersive.

Gorham et Wu [33] ont suggéré une méthode pour déterminer expérimentalement les corrections de phase. Leur méthode exige qu'une série d'essais à l'aide de projectiles de différentes tailles soit effectuée. Le spectre de phase pour chaque impulsion est analysé et avec la connaissance de la manière dont une impulsion idéale propage, la variation de la phase fondamentale commune à toutes les courbes est déterminée. Avec la connaissance de la façon dont les vitesses de phase changent sur la gamme des fréquences, la dispersion de l'onde peut donc être prévue.

Bacon [46] suggère une méthode expérimentale pour considérer l'atténuation et la dispersion dans les barres viscoélastiques. Cette méthode implique de réaliser un essai sur chaque barre afin de déterminer le comportement du matériau viscoélastique. Cette méthode, décrite plus tard, détermine le rapport dispersif expérimentalement. Bacon et Brun [47] ont étendu cette méthode pour déterminer le rapport dispersif sur la longueur des barres non uniformes. Cette méthodologie serait utile si les extrémités des barres sont chauffées ou si les barres sont d'impédance non uniforme pour assortir un échantillon. Ce travail est une prolongation de Lundberg et autres [48] où les propriétés viscoélastiques du matériau ont été déterminées en utilisant une technique de mesure à deux points. Cheng et autres [38] suggèrent une méthode semblable de détermination du coefficient de propagation. Au lieu de redéployer les spectres de phase pour déterminer le déphasage entre deux impulsions, le nombre d'onde est estimé pour donner une vitesse de phase et un rapport de fréquence raisonnables.

III.2.2.1 Théorie derrière la méthode expérimentale

En appliquant l'analyse spectrale de l'onde à une configuration de la barre d'Hopkinson, des équations reliant la vitesse et la force aux interfaces de la barre peuvent être dérivées. L'équation d'ondes unidimensionnelle peut être écrite en terme de contrainte comme:

? ó

( , ) ² ( , )

x t ? x t

= ñ (3.18)

2

? t

x ?

La déformation est liée au déplacement par:

? u x t

( , )

å( , )

x t = (3.19)

? t

En écrivant ces équations d'ondes de base dans le domaine de Fourier:

? 2

ó x ù ñù å x ù

~ 2 ~

? x 2

( , ) = - ( , ) (3.20)

Où ( , )

ó ~ x ù et å x ù sont les transformées de Fourier de la contrainte et de la déformation ~

( , )

respectivement. La fréquence angulaire ù est reliée à la fréquence par: ù = 2ðf .Pour des milieux linéairement viscoélastiques, la contrainte est donc liée à la déformation par:

ó ~ x ù = E ù å x ù

( , ) * ( ) ~ ( , ) (3.21)

Où E * est le module complexe du matériau. Le coefficient de propagationã = ã(ù), est défini par:

2

ñ . ù

ã

=
² (3.22)
E * En utilisant les équations (3.20), (3.2 1) et (3.22) l'équation unidimensionnelle d'un mouvement

2

~

axial devient:

? ã å ù

å ù x

( , ) ~

x

+ =

² ( , ) 0 (3.23)

dx

2

La solution générale de cette équation est donnée comme:

~ = - +

~ ã x ~ x

x P e N e ã

å ù ù

( , ) ( ) ( )

ù(3.24)

~ ~

Où: ( )

P ( )

ù et N ù sont les transformées de Fourier des déformations à x = 0 .Elles sont dues à la propagation des ondes dans les directions de l'augmentation et de diminution de x respectivement. La vitessev ( , )

~ x ù , et la force normale F(x,ù), sont alors:

~ = - ? - - x

i ù ~ ã x ?

v( , ) ~

x P e N e ã

ù ( )

ù ( ù )(3.25)

ã ?? ??

~ ñ ù A F x ( , ) ù = - ã 2

2 ? - + x ~ ã x ~ P e N e ã ( ) ù ( ) ù ??

? ??

(3.26)

Le module et l'angle de phase des fonctions exponentielles complexes x

e ^-ã et x

eãsont liés à l'atténuation et à la propagation respectivement. Le coefficient de propagation ã(ù) est lié au coefficient d'atténuationá(ù), et à la vitesse de phase c(ù) par:

ù

ã ù á ù ù á ù

( ) ( ) ( ) ( )

= + i K = + i (3.27)

c ( )

ù

Où: K(ù) est le nombre d'onde (fonction impaire) et á(ù) est également une fonction positive avec : á(0) = 0.

III.2.2.2 Détermination expérimentale du coefficient de propagation

La méthode suivante est basée sur le travail de Bacon [46]. La base de la détermination deã(ù) expérimentalement est l'équation (3.26). En permettant à une extrémité de la barre d'être

libre; la force devient zéro (ou bien au moins très petite que la force à l'endroit de la jauge de déformation). Lorsque la force à l'extrémité est zéro, l'équation (3.26) deviennent:

Pe - ã d Ne ã d

~ + ~ = 0 (3.28)

~ Où: d est la distance de l'endroit de la jauge de déformation à l'extrémité libre et P		~ et N	sont liés
~

aux déformations incidente et réfléchie par: I P et R N

å ~ = å ~ = (3.29)

La fonction de transfert G(ù)peut alors être définie comme:

~

G ^R e ^2 ( ) ã ù - å ù ~ ( ) = - = d å ù ~ I ( )

(3.30)

Le signe négatif devant le rapport doit compenser le fait que l'onde réfléchie est inversée. Il devrait être appliqué à la transformée de Fourier de la déformation réfléchie en forme rectangulaire. Alors, le rapport complexe décrit comment l'onde a changé, à raison de l'atténuation et de la dispersion, sur la distance 2d. Après qu'un signe négatif soit appliqué à la déformation réfléchie, le rapport complexe devient:

= è - è = - ã = - á +

r

G R I

^R e e e

i d iK d

( ) 2 ( ) ²(3.3 1)

r_I

L'égalisation de la partie réelle et imaginaire donne:

? r ?

? ?

ln R

? r I ?

á = ? (3.32)

2

d

k

()

? è _I

è _R

2 d

Ceci est fait pour chaque fréquence. Par conséquent, le rapport dispersif entre la fréquence et le k est déterminé.

La détermination du coefficient de propagation permet la détermination de la vitesse et la

force à l'interface des barres incidente et transmise. Ceci, alternativement, permet un calcul direct du taux de déformation de l'équation (2.1). La contrainte peut être calculée à partir:

F ( t )

ó =

^T (3.33)

^S A

S

Où les indices inférieurs S et T se rapportent au spécimen et à la barre transmise respectivement. La déformation peut être déterminée en intégrant l'équation (2.1) par rapport au temps comme suit:

å S =? å & S dt (3.34)

La division de la longueur de l'échantillon pour obtenir le taux de déformation et la section de l'échantillon pour obtenir la contrainte devrait être faite dans l'ordre de domaine de temps pour maintenir sa représentation physique.

III.3 Conclusion

Ce chapitre a décrit la base de l'analyse spectrale de l'onde comme elle s'applique à l'appareil à barre d'Hopkinson. La compréhension de cette méthode d'analyse de propagation d'onde permet d'inclure un rapport dispersif qui permet d'analyser le comportement viscoélastique inhérent à la plupart des polymères. En plus d'une analyse détaillée d'une méthode expérimentale, de diverses méthodes analytiques pour la détermination du rapport dispersif ont été également discutées.

CHAPITRE IV

CONCEPTION ET REALISATION DU DISPOSITIF

IV.1 Méthode de conception du dispositif

Vu le caractère équivoque et indéterminé de la synthèse, le travail doit être systématique pour avoir une meilleure avance dans le travail. Pour cela, on suit la méthode ainsi:

1. Détermination de la fonction totale.

2. Détermination des fonctions des systèmes partiels.

3. Proposition des variantes pour chaque fonction partielle.

4. Evaluation et choix de la forme de liaison des différentes variantes partielles.

IV.1.1 Fonction totale

La fonction totale est de concevoir et réaliser un dispositif d'essai de compression dynamique à barres de pression d'Hopkinson divisée. Cette fonction totale peut être décomposée en des fonctions partielles.

IV.1.2 Fonctions partielles

Tandis qu'il n'y a pas une conception standard universelle pour l'appareil BPHD, la plupart des appareils d'essai de BPHD partagent cinq variantes communes [49]:

1/ Deux barres de pression longues de section uniforme de rapport longueur sur diamètre (L_B /D_B) allant de 20 à 100. Les deux barres sont fabriquées du même matériau. Les

bouts de la barre sont usinés perpendiculairement à l'axe de la barre pour assurer un bon contact entre le spécimen et la barre et entre la barre et le projectile.

2/ Roulement et armature d'alignement pour un alignement correct afin de satisfaire les conditions de propagation d'une onde unidimensionnelle (1D).

3/ Un lanceur à air comprimé pour propulser un projectile fabriqué du même matériau que celui des barres.

4/ Jauges de déformation montées sur les deux barres pour mesurer la propagation de l'onde de contrainte dans les barres.

5/ Instrumentation associée et le système d'acquisition des données pour contrôler, enregistrer et analyser les données de l'onde de contrainte dans les barres.

IV.1.3 Cahier des charges

Le cahier des charges du dispositif à barre de pression d'Hopkinson divisée marque un jalon dans la vulgarisation de cette technique.

Le schéma ci-dessous exprime les exigences relatives au produit; spécification du besoin d'un point de vue technique, économique et opérationnel comme suit:

· Vitesse de déformation : 10^2 ÷ 10^4 S^-1. · Vitesse d'impact : Elle est fonction de la pression d'alimentation. · Encombrement max : 300×300×4000 mm^3. · Utilisation des jauges extensométriques pour mesurer la propagation de l'onde de contrainte. · Instrumentation du dispositif, commande et traitement des données par PC.		· Délai du projet : Deux ans. · Réalisation à l'unité moule. · Pas de financement officiel.
· Utilisation facile · Montage et démontage aisés

Spécifications techniques

Spécifications économiques

Spécifications opérationnelles

Schéma IV. 1: Cahier des charges du dispositif BPHD

IV.I.4 Variantes proposées

Ce dispositif est une adaptation de l'ex-dispositif d'essai de flexion trois points et à appui carrée qu'on a réalisé en ingéniorat. L'ex-dispositif est illustré sur la figure IV.I

La proposition des variantes était faite sur la base des exigences du cahier des charges. En plus de l'expérience personnelle, on se réfère aux solutions déjà existantes qu'on adaptera pour satisfaire notre besoin.

Afin de permettre un arrangement systématique des grands ensembles du dispositif à réaliser, on a récapitulé les différentes variantes et notions supérieures suggérées dans le Tableau IV.I.

Pour ne pas rendre le mémoire très exhaustif, le lecteur est référé à mon mémoire d'ingéniorat [50] pour plus de détails sur les esquisses des différentes variantes du tableau de combinaison ainsi que leurs critiques.

Figure IV. 1: Dispositif d'essai de flexion trois points et à appui carrée [50]

Notions supérieures		Variantes	1/ Lancement du projectile
1.1/ Propulseur mécanique à ressort 1.2/ Marteau électromécanique 1.3/ Canon à air comprimé 1.3.1 / A Robinet à boisseau sphérique 1.3.2 / A déclencheur à fil 1.3.3 / Assisté par électroaimant 1.3.4 / Assisté par électroaimant 1.3.5 / A cliquet 1.4/ Propulseur à explosif		2/ Mesure de la propagation de l'onde de contrainte
2.1 / Jauge extensométriques de déformation 2.2 / Capteur piézoélectrique 2.3 / Capteur piézorésistif		3/ Mesure de la vitesse d'impact
3.1 / Coupure de faisceaux lumineux 3.2 / Caméra ultra-rapide 3.3 / Capteurs inductifs ou capacitifs		4/ Guidage des barres
4.1/ Ensembles de trois roulements déphasés à 120° 4.2/ Douilles à billes 4.3/ Guidages en V 4.4/ Aéroglisseurs [2]

Tableau IV. 1: Tableau de combinaison

IV.I.5 Evaluation et décision

Le choix de la solution optimale parmi l'ensemble des variantes proposées se fera par rapport à la liasse des critères d'évaluation.

Après avoir étudié soigneusement les solutions proposées en tenant compte des avantages et inconvénients, on a opté pour la solution présentée et discutée ci-après:

IV.I.5.1 Choix des barres

a) Matériau des barres:

Pour le composite PP- Alfa, la contrainte de rupture à la traction de l'ordre de 10 MPa. Les barres devraient être dimensionné pour mesurer le comportement dynamique, pas uniquement de ce composite mais devrait servir à plusieurs matériaux qui ont le même ordre de résistance.

Les barres de Hopkinson sont avant tout une mesure indirecte de force (et donc de contrainte). On va donc dimensionner les barres pour qu'elles mesurent des contraintes allant de 1 à 50 MPa:

ómin =1 MPa
ó _max =50 MPa

ómin <óech <ó max (4.1)

Les efforts que doivent mesurer les barres sont donc:

Sech ,min ó _min <F < Sech , maxómax (4.2)

Avec Sech ,min, Sech , max sont respectivement les sections minimale et maximale d'un échantillon testé avec les barres.

La section maximale sera la section de la barre:

Sech , max = S_b

Pour la section minimale on va prendre que c'est le cinquième de la section de la barre :

S ech ,min = S_b /5

L'inéquation 4.2 est donc équivalente à:

ómin

5

F

< <ómax

S_b

Soit donc:

ó min

5

< b < (4.3)

ó ó max

Où ó_b est la contrainte qui sera induite dans les barres.

Soit E_b le module d'Young de la barre, l'inéquation 4.2 est maintenant équivalente à:

ómin

5

< Eb b < (4.4)

å ó max

Avec å_b est la déformation qui devrait être mesurée dans les barres.

Or la déformation dans les barres ne devrait pas être ni trop petite pour quelle soit mesurable ni trop grande et dans ce cas la barre dépassera sa limite élastique. Soit,

å _min <å b <åmax (4.5)

La limite maximale est donnée par la limite élastique de la barre :

åmax = åb, elas

La limite minimale est celle des capteurs de déformations, on peut prendre pour les jauges

å

5

= min 10- Des inéquations 4.4 et 4.5, nous obtenons un système de deux inéquations:

ó min

5 å

Eb (4.6)

> min

E_b

Ainsi, on obtient un encadrement du module d'Young de la barre:

ó max å

<(4.7)

max

ó max
å _b , elas

ó min

< <

E (4.8)

min

^b 5å

Le choix des matériaux dépendra de l'inéquation (4.8). On regarde l'aluminium, le magnésium, et pour les matériaux viscoélastiques le Nylon ou le PMMA. Le choix de la section de la barre dépendra des sections de l'échantillon.

D'après l'inéquation 4.8, on aura:

50	< b < E		20 GPa	åbelas ,

Le tableau ci-dessous récapitule les propriétés mécaniques nécessaires pour faire l'encadrement du module de Young de la barre:

Matériau	E [GPa]	åb , elas [%]	Re [MPa]	Encadrement de Eb		Disponibilité	Al
60-73	5-35	75-570	Non (Eb >20 GPa)	Oui		Mg
40-45	2-10	90-275	Non (Eb >20 GPa)	Oui		PMMA
3.3	2-10	80-115	1.25< Eb<20	Non		NYLON (PA 6)
3	90	85	0.263< Eb<20	Oui

Tableau IV.2: Propriétés des matériaux pour le choix des barres [56, 57]

å_e exprime la déformation élastique. Pour le PMMA et le Nylon puisqu'ils ont un comportement viscoélastique, on a pris uniquement la déformation au point de rendement.

Le retour à zéro du capteur dépend des déformations maximales appliquées. Suivant les caractéristiques exigées, on ne devra faire travailler le métal qu'à 1/5 ou même 1/10 de la limite élastique à 0,2 % [58].

Si on prend: ó_max = 10 MPa alors on choisit des barres en aluminium.

b) Longueur des barres

Le choix d'une longueur convenable pour les barres exige que les deux conditions ci- dessous soient satisfaites:

- Le rapport de longueur sur diamètre répond aux exigences de la théorie de propagation unidimensionnelle

- La longueur de la barre est au moins deux fois celle de l'impulsion compressive produite pendant l'impact.

La plupart des articles suggèrent que la barre aie un rapport de longueur sur diamètre au moins de dix. La longueur de la barre de pression affecte combien de déformation un spécimen peut subir, puisque la déformation est liée à toute la durée d'impulsion, qui est directement liée à la longueur de la barre de pression. Pour pouvoir mesurer les impulsions incidente et réfléchie indépendamment, la longueur de la barre doit être supérieur à deux fois la longueur de l'impulsion d'impact. Typiquement les barres de pression sont de 60 pouces ou plus grands [60].

Les barres utilisées sont de diamètre 20 mm. Pour tenir compte de l'encombrement maximal permis au cahier des charges fonctionnel, on prend une longueur de 60' (1524 mm) pour la barre entrante. Toutefois, une longueur de 1000 mm est suffisante pour capter l'onde transmise.

IV.I.5.2 Propulsion du projectile

On a choisi le canon à air comprimé du fait qu'il permet de développer des vitesses d'impact typiquement de 2.5 to 40 m/s. De plus, il est facile à réaliser par assemblage de composants standard.

IV.I.5.2.1 Système de déclenchement

Vu sa vitesse de réponse acceptable et la possibilité d'être commandé par ordinateur, le canon à air comprimé à déclenchement assisté par électrovanne AURA 10073 a été jugée comme étant le système de déclenchement le plus adéquat. Le pilotage du dispositif (déclenchement et remise en position initiale du projectile) est assuré par PC à l'aide du

programme BPHD par l'intermédiaire de la carte d'interface de la figure 3 qu'on a conçu sous PCB 123.

Figure IV.2: Canon à air comprimé (Dessin SolidWorks2007 SP2.2)

a) Commande d'un relais par un signal logique

Le but est de commander un relais à l'aide d'une sortie du port parallèle. On ne peut pas brancher directement le relais sur cette sortie, car il consomme trop de courant. Il faut donc mettre un transistor qui va servir d'interrupteur commandé électriquement.

On va calculer la valeur de R. Notez que cette résistance est obligatoire. En effet, la jonction base - émetteur se comporte comme une diode. C'est à dire que Vbe_max = 0.7V environ. Sans cette résistance, on forcerait Vbe à 5V, ce qui aurait pour effet de griller le transistor et/ou la sortie de la porte logique.

Voici le schéma que nous allons étudier.

+VCC=+5V

REL

REL

Ure l

D

R

T

Vce

UR

Ve

Masse

Figure IV.3: Commande d'un relais (Schéma Orcad)

Données

· T : transistor NPN, ß = 320, Vce_sat = 0.2V, Vbe_sat = 0.7V, Vce_max = 30V.

· REL : relais, Rrel = 103 Ohms, relais prévu pour être alimenté en 5V.

· D : diode de roue libre. Cette diode sert uniquement à protéger le transistor lorsqu'on le bloque (supprime le pic de tension du au relais).

· R : ce qu'on cherche.

· Vcc = +5V.

· Ve vaut 0 ou 5V. Lorsque Ve = 0, on veut que le relais ne soit pas alimenté (soit Urel = 0), et lorsque Ve = 5V, on veut que le relais soit alimenté (soit Urel = 5V environ).

Résolution du problème Vérification pour Ve = 0

Si Ve = 0, alors Vbe = 0 et Ib = 0 (La jonction base-émetteur est bloquée). Donc, le transistor est bloqué.

Ic = Ie = 0 Urel = Rel x Ic = 103 x 0 = 0.

> On a bien obtenu ce qu'on voulait.

> Remarque, dans ce cas la, Vce = Vcc = 5V (C'est bien inférieur à Vce_max).

Calcul de R pour Ve = 5V

Calcul de Ic

Vcc = Vce + Urel.

Or il faut que le transistor soit saturé. Donc, Vce = Vce_sat. D'autre part, Urel = Rrel x Ic. Donc: Vcc = Vce_sat + Rrel x Ic.

Soit: Ic = (Vcc - Vce_sat) / Rrel = (5 - 0.2) / 103 = 0.047A.

Calcul de Ib_min

Ib_min = Ic / ß = 0.047 / 320 = 0,147mA.

On prend un coefficient de sécurité de 1.5 pour être sur que le transistor sera bien saturé: Donc: Ib _sat = Ib_min x 1.5 = 0,22mA.

Il faut se souvenir que la jonction base-émetteur se comporte comme une diode. Ve = Ur + Vbe. Or Vbe = Vbe_sat = 0.7V (diode).

Ve = R x Ib _sat + Vbe_sat.

Soit: R = (Ve - Vbe_sat) / Ib_sat = (5 - 0.7) / 0.00022 = 19,5 K?. On prend : R= 15 K?.

Alors, on a donc réalisé un "interrupteur" commandé électriquement.

Lorsque Ve = 0, le transistor est bloqué et le relais n'est pas alimenté.

Lorsque Ve = 5V, Ib est un petit courant de commande qui laisse passer un grand courant entre le colleteur et l'émetteur. Le relais est alimenté.

IV.I.5.3 Instrumentation associée à BPHD et acquisition des données

a) Choix du capteur

Il existe plusieurs types de jauges de déformation en fonction de :

- l'environnement (température, allongement maximal, nombre de cycles) ; - les conditions de mise en oeuvre (commodités de collage et câblage) ;

- la nature physique de la structure (coefficient de dilatation de la structure) ; - la nature géométrique de la structure (dimensions et causes de contraintes) ;

- l'instrumentation (matériel à utiliser pour le conditionnement, l'amplification

et l'acquisition des données.)

Nous avons choisi une jauge unidirectionnelle (Figure IV.4) de marque Vishay® MicroMeasurement de type CEA - 13- 062WT- 350 dont les caractéristiques étaient les suivantes [58] :

- CEA: jauges en constantan encapsulées dans du polyamide, avec des sorties « intégrées » plaquées de cuivre afin de souder directement les fils de liaison sans passer par des cosses relais. « E » : trame nue sur support souple et robuste de polyamide (usage général), « A » : trame en alliage de constantan autocompensé en température ;

-13 : Nombre d'autocompensation en température correspondant.

- 062 : Longueur de grille en 1/1000° de pouce (1 pouce = 0,0254 m) ; - WT : Géométrie de la grille ;

- 350 : Résistance en ohms de la jauge ;

- Facteur de jauge : 2,14.

Figure IV.4: Jauge de déformation de type unidirectionnelle (Vishay micro measurement).

En plus des déformation (CEA

face externe de la b

formations,

critères ci - dessus, notre choix est porté sur l -1 3-062W T -350) car elles ne posent pas éromètres p iézoélectriques et piézorésistifs.

détriment des accél

La jauge de

est primor d

déformat ion est collée sur la

collage
sein du

iale pour l a qualité d' enregistrement des dé

es jauges extensométriques de un problème de fixation au

arre. Cette étape de elle est réalisée au

laboratoire LMNM.

s en aluminium est fait à l'aide du cyanoacrylate car

Selon l'instruction de service de la jauge

une des colles suivantes M-bond 200, M

.

b) Collage des jauges

e collage

l'aide de l'

Ldes jauges sur les barre on n'a pas trouvé la colle adéquate sur le marché. CEA-13-062WT-350, le collage se fait à Bond AE 10/15, GA-2, M-Bond 600 ou M-Bond 610

Figure IV.5: jauge CEA-13

collée sur la barre du dispo

-062 WT-3 50

sitif BPHD

L e collage se fait en conformité avec l e catalogue A-1 10-1 -F [59] de micro measure ment comme indiqué sur la figure IV.6.

A n de la surface près préparatio et utilisation des produits spéciaux, la mise en oeuvre, l'emploi de la colle M200 est rapide et simple.	Positionner la jauge avec l'adhésif	Appliquer le catalyseur sur la jauge
Asur la structure ppliquer la colle
	Installer la jauge en pressant avec le pouce
		Enlever l'adhésif recouvrant la jauge

Fi gure IV.6: Etapes de co llage d'une jauge à l'aide de M 2 00

c) Pont d'extensométrie

Pour notre

pont car on travaille dans un laboratoire compensation thermique. La jauge (Rg) e

e montag

L e
de la jauge donc de

capteur no us avons c hoisi de n' utiliser qu' une jauge montée en

or le mon tage en de mi de pont est meilleu r st collée s ur la généra trice de la barre (Figur e

en quart d e pont de Wheatstone permet de mesurer la déformatio n la barre d ans le sens longitudina l.

quart de

pour la IV.5). (ìm/m)

Figure IV.7: Montage 1/4 de pont de Wheatstone

valeurs des résistance s, si la

L'équilibrage du pont est obtenu, en fonction des condition ci-après est satisfaite :

~

Rg
R3

(4.9)

R1

R2

Avant de f aire un essa i, il faut éq uilibrer le p ont en jouan t sur la val eur de la ré sistance variabl e R3 pour s atisfaire la condition p récédente.

t quelque s

er un rapp o

e à mém

ation son t

férentiels d

s les moy e

ion à base DD (Naval à annuler

'instrume ntation

urs instanc

es, les signa ux enregis trés par les

d) Amplificateur d

ans plusi

D e

a mplitude, typiqueme n

s millivolt s peut don n

scilloscop e numériq u

ificateur d'instrumen t

faible quelque dans l'o préampl problèmes liés aux

signaux di f

'on n'a p a

u fait qu

D

l'amplificateur d'instrumentat développé et certifié à NSWC quatrième étage de LM837 se rt

jauges de déformation ont une millivolts [22]. Essayer de traiter un signal de rt signal-bruit très bas puisque le bruit électronique oire est sûr de contribuer au signal. Ainsi, des généralement utilisés pour ai der à allé ger les e faible grandeur.

ns pour acheter un préamplificateur, on a réalisé de LM837 de la figure IV.8. Le préamplific ateur est Surface Warfare Center Dahlgren Division) [22]. Le la dérive de zéro (offset).

Figure IV.8: Schéma Orcad du préamplificateur modifi é à NSWCDD [22] Le gain du préamplific ateur est donné par :

G = (1 +

R2) (R4 2 R1) R3)

(4.10)

IV.I.5.4 Calcul d e la vitesse d'impact

On utilise un système de mesure à coupure de faisceaux lumineux réalisé par un étudiant fin de cycle. Pour mener à bien notre travail, on a modélisé le système propul seur. La

vitesse d'impact en fonction de la pression d'alimentation est donné e par un code de

simulati on sous MATLAB(Annexe A).

IV.I.6 Schéma technique du dispo sitif

Le schéma technique du dispositif à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD) est illustré sur la figure IV.9

Figure IV.9: Dispositif à barre de pression d'Hopkin son divisée (BPHD)

IV.I.7 Principe de fonctionnement

D'abord, l'étalonnage du dispositif BPHD est nécessaire pour l'installation d'un nouvel essai, ou s'il y a un changement des barres, ou un changement des jauges de contrainte montées là-dessus. La contrainte mesurée par les jauges de contrainte devrait représenter les états corrects de déformation/contrainte dans la barre. Un essai d'étalonnage éliminera ainsi tout effet de petit désalignement des jauges, ou l'effet des adhésifs employés pour coller les jauges sur la surface de la barre. Deux essais différents sont habituellement réalisés: Le projectile percute la barre entrante et la barre sortante séparément "des barres à part "; et le projectile percute les deux barres couplées en absence du spécimen " barre ensemble". Le premier essai détermine les facteurs de correction de la déformation. Le deuxième détermine le facteur de transmission de la barre ou le facteur de correction de la contrainte.

Ensuite, les faces du spécimen doivent être polies pour qu'elles soient bien parallèles. Ainsi, On intercale le spécimen entre la barre entrante et la barre sortante tout en lubrifiant les interfaces barres/spécimen pour minimiser les frottements aux interfaces. En fonction de la vitesse d'impact désirée, on règle la pression d'alimentation du compresseur. Après avoir entré les grandeurs physiques et géométriques de l'échantillon ainsi que les paramètres d'essai au programme BPHD, on lance le projectile directement à l'aide du programme BPHD par le biais de la carte d'interface illustrée sur la figure IV. 13. Ainsi le projectile lancé percute la barre entrante qui sollicite le spécimen en compression contre la barre sortante. Les signaux des ondes incidente, réfléchie et transmise seront captés par les jauges collées sur les deux barres. Le conditionnement se fait en un quart de pont de Wheatstone; l'amplification du signal se fait par le circuit de la figure IV.8. D'emblée, les signaux amplifiés des jauges sont mémorisés et visualisés sur un oscilloscope numérique à mémoire Philips PM3356- 100Méch/s pour savoir leur ordre de grandeur. Ensuite, on utilise la carte d'interface "PCL818HG" pour acquérir les signaux sur PC. La PCL818HG s'enfiche sur le port ISA (8 bits) et les nouveaux PC ne comporte pas ce port. Donc, on était obligé à faire l'acquisition sur un Pentium II. Ensuite, on exporte les fichiers des données de la PCL8 18HG à un ordinateur plus performant (P IV: 3GHZ/512MO/80GO/32bit) pour les traiter à l'aide du programme BPHD modifié.

Le programme SHPB est élaboré dans sa version originale anglaise en VC++ sous Windows 95 par CHRISTOPHER [2]. On a traduit le programme en français sous le nom BPHD. Il est rendu plus convivial avec sa nouvelle interface au quelle, on a ajouté les options

de la commande du dispositif par PC. Ainsi, le SHPB est rendu compatible avec Windows XP.

Figure IV.10: Spécimen intercalé entre deux aluminium (606 1)

en PA6 Figure IV. 11: Vues d'un sp écimen en

barres en Nylon (PA6)

IV.2 Résultats

) réalisé et son

e disposi

L tif à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD

igure IV. 1 2).

instrumentation associée sont illustrés sur la figure ci-dessous (F

Figure IV.1 2: Photo du dispositif BPHD réal isé avec l'in strumentati on associée

double

e l'interface de pilota lenchement et la remi

principe

ation d'un premier p

Deux relais sont

La figure IV. 13 illustr fonctionnalité; Le déc est basé sur la satur utilisés; le

ge du dis po
se en posi ti
transistor p our assur er
our actionn er l'électr o

sitif BP HD. Elle as sure une on initial e du projec tile. Son la com mutation d' un relais. vanne du canon à air et le

deuxième pour mettre en marche la pompe à vide. Deux portes logiques XOR sont utilisées pour éviter les problèmes relatifs au démarrage et arrêt du PC.

Figure IV. 13: Carte de pilotage de BPHD
Figure IV.14: Circuit imprimé de la carte de pilotage -coté cuivre

Figure IV.15: Circuit imprimé de la carte de pilotage - coté composants

IV.2.1 Commande de l'électrovanne et de la pompe a vide sous VC++

IV.2.1.1 Compatibilité avec XP

Le niveau de sécurité du pare feu de Windows XP est élevé. IL ne permet pas d'avoir accès aux ports du PC en mode utilisateur. Alors, il faut utiliser un DLL qui permet de changer le mode utilisateur en mode noyau

InpOut32 est un fichier DLL (Dynamic Link Library) qui peut envoyer des données au port parallèle et qui peut recevoir des données du port parallèle. Le fichier et le code source peuvent être téléchargés à partir du site: http://logix4u.net. Avec ce DLL, on utilise les fonctions Inp32 () et Out32 () au lieu de _inp() et _outp().

Pour convertir notre projet en un programme permis par XP, on utilise le dossier InpOut32.DLL. Voila comment utiliser ce DLL dans VC++:

1. Ajouter ces trois lignes dans le dossier CSHBDoc.cpp après les directives du préprocesseur.

#define portaddr 0x378 // Adresse du bus de données

short _stdcall Inp32 (short portaddr);

void _stdcall Out32(short portaddr, short datum);

2. Changer _ inp() en Inp32() et _outp() en Out32() dans le programme.

3. Copier le fichier DLL (inpout32.dll) et le fichier de la bibliothèque (inpout32.lib) obtenu en compilant le code source disponible à http://logix4u.net au répertoire du projet.

4. À partir du menu Project, choisir Settings, aller à Link, dans Object/ library modules, écrire inpout32.lib.

5. Maintenant votre programme devrait fonctionner sans aucune erreur.

Pour éviter les problèmes relatifs au démarrage et à l'arrêt du PC, on a exploité deux portes logiques XOR parmi les quatre du circuit CD4030CN.

Du fait qu'on commande deux organes, donc on aura besoin de quatre broches. Il suffit de les choisir parmi les huit broches du registre de données de LPT1 (D0, D1, D2, D3, D4, D5, D6 et D7). Pour notre cas, on prend par exemple :

D0 et D3 pour commander la pompe à vide.

D5 et D7 pour la commande de l'électrovanne.

D7	D5	D3	D0	Y1= ?~0^?~?~?~?~D3+D0?~3^?~?~?~?~	Y2=?~5^?~?~?~?~D7+D5?~7^?~?~?~?~
0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	0	1
0	0	1	1	0	0
0	1	0	0	1	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	1	1
0	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	1	1
1	0	1	1	1	0
1	1	0	0	0	0
1	1	0	1	0	1
1	1	1	0	0	1
1	1	1	1	0	0

Tableau IV.3: Tableau logique pour commander l'électrovanne et la pompe à vide

La sortie Y1 sert à commander la pompe à vide. Néanmoins, la sortie Y2 est pour commander l'électrovanne.

Les cas en rouge sont à éviter car ils entrainent un conflit; la pompe à vide et l'électrovanne fonctionnent simultanément. Le vert correspond aux cas du bon fonctionnement de l'électrovanne tandis que les cas adéquats pour actionner la pompe à vide sont en jaune.

ELECTROVANNE:

Hormis D0, D3, D5 et D7, le reste des broches du registre de données sont mises à zéro. Les valeurs en binaire (D7D6D5D4D3D2D1D0) à introduire au port parallèle sont converties en hexadécimal. Selon le tableau IV.4, on a quatre possibilités pour commander l'électrovanne; 0x01, 0x08, 0xA1 ou 0xA8.

D7	D6	D5	D4	D3	D2	D1	D0	En hexadécimal
							1	0x01
				1	0	0	0	0x08
1	0	1	0	0	0	0	1	0xA1
1	0	1	0	1	0	0	0	0xA8

Tableau IV.4: Codes de commande de l'électrovanne.

La commande de l'électrovanne est assurée par la fonction OnTestRun () qui appartient à la classe CCSHBDoc. On introduit l'une des quatre valeurs données dans le tableau IV.4 à l'instruction Out32.

void CCSHBDoc: :OnTestRun()

{

// Selon l'ouvrage : Guide pratique _Interfaçage numérique, p.15:

// Une broche mise au niveau logique "1" fournit:

// Une tension fixe comprise entre 2.4V et 3.6V

// Un courant sortant maximum de 0.4 mA

/* _outp (Port, databyte);

unsigned short Port=0x0378;// 0x0378 est l'adresse de LPT1

int databyte =0x04; // broche N°3 (D1-->2.9V tension pratique)*/

Out32 (0x378, 0x01); // 0x01, 0x08, 0xA1, 0xA8

Sleep (800); /* Sleep(800) maintient l'electrovanne sous tension

Pendant 800 ms.*/

Out32 (0x378, 0); // Remise à zéro du port parallèle.

}

POMPE A VIDE:

Pour commander la pompe à vide, il suffit d'introduire à l'instruction Out32 l'une des valeurs ainsi: 0x20, 0x29, 0x80 ou 0x89. La fonction de commande est OnTestRemise().

D7	D6	D5	D4	D3	D2	D1	D0	En hexadécimal
		1	0	0	0	0	0	0x20
		1	0	1	0	0	1	0x29
1	0	0	0	0	0	0	0	0x80
1	0	1	0	1	0	0	0	0x89

Tableau IV.5: Codes de commande de la pompe à vide

void CCSHBDoc: :OnTestRemise()

{

Out32 (0x378, 0x20); // 0x20, 0x29, 0x80 ou 0x89 Sleep (1000);

Out32 (0x378, 0);

}

Figure IV. 16: Conditionneur à deux voies*

*1/4 de pont de wheatstone & préamplificateur par voie

Figure IV. 17: Circuit imprimé du conditionneur- coté cuivre
Figure IV. 18: Circuit imprimé du conditionneur- coté composants

Les composants utilisés dans la carte de commande et dans le conditionneur sont respectivement indiqués sur les circuits imprimés-coté cuivre des figures IV. 14 et IV. 17.

IV.2.2 Analyse des données

La partie principale de rédaction des données du programme est l'algorithme d'analyse. Il utilise une série de fonctions pour appliquer la méthode analytique des chapitres II et III. Des descriptions détaillées des algorithmes utilisés sont décrites par Christopher[2].

Pour initialiser la routine d'analyse, une fenêtre de dialogue, représentée sur la figure IV. 19, récapitule les données d'entrée. Cette figure énumère les noms des dossiers de données brutes et d'étalonnage, le nom et les dimensions de l'échantillon. Les champs sur le fond de la fenêtre permettent le choix d'une analyse conventionnelle de la barre de Hopkinson divisée ou de l'analyse de Fourier. La méthode conventionnelle utilise les équations du chapitre 2. Si la méthode de Fourier est choisie (Par défaut), les options d'appliquer un filtre de fréquence ou d'utiliser la fréquence de Nyquist deviennent disponibles. Ces valeurs sont expliquées en détail par Christopher [2].

Figure IV.19: Boite de dialogue des données d'analyse

La figure IV.20 montre une capture d'écran du programme BPHD après traitement des données.

Début

Manipulation
conventionnelle de
l'onde

Oui

Introduction des données de la barre entrante Prétraitées

Manipulation de
Fourier

Non

Manipulation
conventionnelle de
l'onde

Oui

Introduction des données de la barre sortante Prétraitées

Manipulation de
Fourier

Non

Fin

Analyse de Fourier

Calcul:

Contrainte, taux de déformation et déformation à partir des équations 3.33, 2.21, 3.34

Soustraire les vitesses pour le taux de déformation, Initialiser le tableau pour la contrainte

IFFT

Oui

Données valides de :

Echantillon, Déformation, Vitesse et Force

Non

Calcul:

Contrainte, déformation et taux de déformation à partir des équations 2.19, 2.25, 2.26

Oui

Analyse conventionnelle

Schéma IV.2: Organigramme de traitement des données de l'essai BPHD

Du programme
principal

Non

Calculer la valeur théorique du nombre d'onde à partir des équations 2.13 et 3.15 à des fréquences discrètes obtenues par le taux d'échantillonnage des données incidentes.

? Coefficient de propagation est inclus dans le fichier d'étalonnage

Oui

Taux d'échantillonnage et le nombre de points pour les données brutes et les données du coefficient de propagation sont égaux

Non

Interpoler les données brutes; ajoutant ou enlevant des points selon les besoins pour forcer des données brutes à assortir le taux d'échantillonnage et la longueur des données de la barre

Oui

Changer le voltage en déformation
Appliquer la FFT sur les données
Changer la forme

Propager l'onde
Changer la forme

Calculer la vitesse à partir de
l'équation 3.25

Calculer la force à partir de
l'équation 3.26

Vers le programme principal

Schéma IV.3: Organigramme de manipulation de Fourier

Du programme principal

Convertir le voltage en déformation

Calculer les forces à partir de
l'équation 2.16

Calculer les vitesses à partir des
équations 2.22 et 2.23

Vers le programme principal

Schéma IV.4: Organigramme de la manipulation conventionnelle

Figure IV. 17: Capture d'écran du Programme BPHD

CONCLUSION ET PERSPECTIVES

L'objectif principal de ce travail est de concevoir et réaliser un dispositif à barres de pression d'Hopkinson divisée (BPHD); assisté par PC.

Le dispositif expérimental a été construit. Un travail important a été fait sur tous les niveaux du dispositif pour satisfaire les approches de validité de l'essai; décrites au point II.5.

Un guidage précis est assuré avec l'emploi des douilles à billes KH20-30. Un soin particulier est donné à l'usinage des bouts des barres pour avoir un bon contact aux interfaces barre-spécimen. La lubrification des interfaces minimise l'inertie radiale.

Le pilotage du dispositif (lancement et remise en position initiale du projectile) est assuré par PC à l'aide du programme BPHD grâce à la carte d'interface qu'on a conçu sous PCB 123. La carte commande une électrovanne qui gère le canon à air comprimé.

Les barres sont instrumentées par des jauges extensométriques (CEA-13-062WT-350) en un quart de pont de Wheatstone. Du fait qu'on n'a pas un conditionneur amplificateur, on a réalisé un amplificateur d'instrumentation à base de LM837 de la figure IV.8 pour forcer le signal de sortie du pont à atteindre la gamme dynamique de l'oscilloscope PM3365. Il permet l'amplification d'une tension continue. Mais, l'emploi des résistances courantes du marché dont la tolérance est 5%, les fils de connexion non blindés, la tension d'alimentation de +/- 10 V ainsi que le montage en 1/4 de pont de Wheatstone ont bruité le signal. Dans ces conditions, l'amplificateur n'est pas stable à point qu'on arrive à annuler la dérive de zéro (offset) .

Le programme MFC-VC++6.0 modifié, est très convivial avec sa nouvelle interface attirante et sa compatibilité avec Windows XP. En plus, La commande par PC du lancement et remise en position initiale du projectile est réalisée avec succès. Comme ca, il assure les fonctionnalités des programmes commerciaux y compris la correction de l'atténuation et de la dispersion du signal.

Suite au caractère pluridisciplinaire du sujet, la limitation des moyens disponibles, la nouveauté du projet au niveau national et la limitation de la durée du projet entamé, On n'a pas pu le contourné dans les meilleurs délais. Alors, on suggère quelques perspectives et tâches à compléter aux futurs chercheurs algériens désirant de travailler sur le domaine des barres d'Hopkinson.

1- Acheter ou réaliser un vélocimètre pour la mesure de la vitesse du projectile.

2- Avoir un module de conditionnement et d'amplification avec deux entrées différentielles (voir chapitre I) ou au mois prévoir un montage en un demi de pont avec une tension d'alimentation de +/- 5V (Directive de Steven David Swantek [22]).

3-Avoir une carte d'acquisition Plug and Play (ou bien une carte - à trois entrées différentielles - compatible avec les nouveaux PC) ayant au préférable un gain en bande passante =100MHZ.

4- Utiliser la colle adéquate des jauges et les fils convenables.

Il est vivement recommandé d'exploiter le dispositif réalisé en travaux pratiques comme premier pas vers la généralisation de son usage aux travaux de recherche nationaux. Ensuite, son exploitation en industrie nationale pour l'amélioration des performances des matériaux de construction.

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[59] VISHAY-MICROMESURES, « Comment choisir les accessoires d'extensométrie par jauges électriques », Catalogue A-110-1-F, pp.7-8(1998).

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[62] GORHAM D.A., POPE P.H., and COX O., « Sources of error in very high strain rate compression tests », Inst. Phys. Conf. Ser. 70, pp.151-158(1984).

[63] SUBHASH G. and RAVICHANDRAN G., « Split-Hopkinson pressure bar testing of ceramics », ASM Handbook, Mechanical Testing and Evaluation, ASM Int, Materials Park OH, Vol.8, pp.488-496(2000).

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[71] ASM Handbook Vol. 8, Mechanical Testing and Evaluation, ASM Int., Materials Park OH, pp.462-476(2000).

ANNEXE A
SIMULATION DE LA VITESSE D'IMPACT D'UN
PROJECTILE DANS L'APPAREIL BPHD

A.1 Introduction

Les tests expérimentaux nécessitent des moyens appropriés et coûteux. La simulation numérique est un outil très important. Il permet de réduire de façon très significative les délais et les coûts de la conception. Il s'agit dans cette étude de modéliser le système propulseur de l'appareil de compression à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD) de LMNM afin de déterminer la vitesse d'impact du projectile par simulation.

La présente modélisation du système propulseur découle de l'application de la deuxième loi de la dynamique de Newton sur un projectile. Deux phases se présentent :

A.2 Au décalage du projectile (Phase initiale)

En tenant compte de la force de pression, de la force de frottement statique de coulomb et de la résistance de l'air, l'équation de mouvement juste au décalage du projectile peut s'écrire comme suit :

0

X AX ² + =

B

& & + & + D

1 CX

+

A, B, C et D sont des constantes relatives au système propulseur.

A.3 Après le décalage du projectile (Deuxième phase)

Une fois le projectile est mis en mouvement, le frottement statique s'annule et on aura un frottement cinétique. Ce dernier est très faible en comparaison avec le frottement statique à point qu'on peut le négliger. L'équation de mouvement s'écrit alors :

0

X AX ² =

& & + & +

B'

1 C +

'

X

A, B' et C' sont des constantes du système propulseur.

La fonction ode 45 prévue par MATLAB utilisant la méthode de RUNGE-KUTTA 4.5 a été utilisée pour résoudre le système d'équations. Le tracé de la vitesse d'impact en fonction de la pression d'alimentation est représenté ci-dessous.

Vitesse du projectile en fonction de la pression d'alimentation du réservoir

45

40

35

V = 0,103 P0,481

30

25

20

15

10

5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Pression d'alimentation[Pa]

Figure A.1: Vitesse d'impact en fonction de la pression d'alimentation

D'après la figure A. 1, on constate que la vitesse d'impact du projectile augmente en fonction de la pression d'alimentation du réservoir à air comprimé suivant l'expression de puissance V=0.103P^0.481. La fonction de puissance est obtenue par ajout d'une courbe de tendance au graphique Matlab (courbe à gauche) reconstruit sous Excel (courbe à droite). Sachant qu'on a pris les valeurs de la vitesse d'impact à une distance égale à la longueur d'établissement (L_e = 1m).

A.4 Conclusion

Pour la résolution du système d'équations différentielles, on a établi un code de simulation sous MALAB utilisant la méthode de Runge-Kutta 4.5. En se référant à la courbe de la figure A. 1, il est facile à déterminer la vitesse d'impact du projectile pour une pression donnée du réservoir à air comprimé.

Il est évident de constater qu'au fur et à mesure que la pression d'alimentation du réservoir à air comprimé augmente, la vitesse d'impact du projectile augmente.

A.5 Code source

% Première phase (au moment de décalage du projectile) %

Function xprime=obuafs(t,x)

global A G K P0 tsk S Vi Pal

% Données du Système propulseur

Mu=0.4;

Pi=3.14;

Lproj=0.1; % Longueur de projectile est 100 mm

Dproj=0.02;

Vproj= Lproj *(Pi*Dproj^2)/4;

Ro=2700; Densité de l'aluminium (Matériau du projectile)

m=Ro*Vproj;

P=m*9.81;

S=3 14e-006; A= - S/m;

Vd=0.1 141578; %Volume du Reservoir à air comprimé avec l'entrée de l'électrovanne Vi=0. 1148778; %Volume juste avant le démarrage du projectile

P0=(Vd*Pal)/Vi;

Z= - (P0*A);

%Mu : Coefficient de frottement projectile-tube

%P,m: Respectivement poids[N] et masse du projectile [Kg]

%P0,Vi et X0: Respectivement; pression initiale [Pa], Volume initial [m^3] et origine des x %[m]

G=Mu*P*Pi/(2*m); K=S/Vi; F=S*K/m;

% L'équation différentielle qui régit le Système propulseur au moment de décalage du %..projectile est: X' '+(Z/(1+KX)+(A*X'^2)-G=0

% xprime: Fichier dans lequel on décrit le Système différentiel

xprime=[x(2);Z/(1+K. *x(1 ))+A. * (x(2).^2)-G];

% Deuxième phase (Après le décalage du projectile) %

function xprime=projsfs(T,X) global A G K P0 tsk S Vi X0

B=Vi+S*X0; PX0=P0/(1 +K*X0); Y=-(PX0*A);

% L'équation différentielle qui régit le Système propulseur après le

% Décalage du projectile est: X"+ (Y/ (1+BX) + (A*X'^2)=0

% xprime : Fichier dans lequel est décrit le Système différentiel

xprime=[X(2);Y/(1 +B . *(X(1 )-X0))+A. * (X(2).^2)]; % Programme principale %

clear all % Effacement des variables de l'espace de travail

global t0 tsk tf X0 V0 Pal

%Conditions aux limites du système différentiel

t0=0; tsk=0.003; tf=0.6;

% Pal=0.0 1 e+005 :0.02e+005 :0.3e+005 Simulation originale

for Pal=0.2e+005 :0.2e+005:25e+005,

%ode45 : Fonction prévue par MATLAB utilise la méthode de RUNGE-KUTTA 4.5 [t,x]=ode45('obuafs', [t0,tsk], [0 ;0]);

%Conditions initiales de la deuxième phase (Après le décalage)

X0=x(end,1) ; V0=x(end,2); [T,X]=ode45('projsfs', [tsk:0.00 1 :tf], [X0 ;V0]);

i= 1;

while X(i,1)<1,

i=i+ 1;

end

plot(Pal,X(i,2),'G*'),hold on end

xlabel('Pression d"alimentation[Pa]'),ylabel('Vitesse du projectile[m/s]'),grid

title('Vitesse du projectile en fonction de la pression d"alimentation du réservoir')

ANNEXE B

DESSINS DE DEFINITION DE LA BARRE DE
PRESSION D'HOPKINSON DIVISEE(BPHD) DE LMNM

Cette annexe regroupe les dessins de définition des éléments réalisés du prototype de la barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD) de LMNM. On a conçu ces dessins avec SolidWorks2007SP2.2.

1

2

3

4

5

6

20.9

A

A

42

32.5

B

A

DÉTAIL A

ECHELLE 1 : 2

DÉTAIL B

ECHELLE 1 : 3

B

B

4042

Y

A2

A4

A6

A8

A10 A12 A14

A16

0

A1

A3

A5

A7

A9

A11

A13

A15

C

0

X

C

REPERE

A1

POSITION X POSITION Y

245

9

TAILLE

Les deux profiles sont asseblés par cordon de soudure convexe de rayon 3mm

A2

A3

A4

A5

1095

245

529

529

56

56

9

9

SAUF INDICATION :

LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES :

LINÉAIRE : 0.1

FINITION:

Teinté vert

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

Université de M'sila-Département de GM

REVISION 03

A6

1095

56

ANGULAIRE :

0.5°

D

A1 0

A11

A7

A8

A9

2620

2620

3010

1535

1535

56

56

9

9

9

6

DESSINE

APPV'D

CHK'D

Gueraiche Larbi

NOM

SIGNATURE

30/05/2007

DATE

TITRE:

Support de BPHD

A12

3010

56

MFG

A1 3

A14

A15

3995.06

3700

3700

20.50

56

9

Q.A

MATERIAU:

Acier non allié

DWG NO.

01

A4

A16

3995.06

44.50

1

2

POIDS:

Echelle:1 :50

PLANCHE 1 DE 1

A B C

A

D E F

COUPE A-A A

SAUF INDICATION : LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES ^: LINÉAIRE : 0.1 ANGULAIRE : 0.5°

FINITION: Non

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

REVISION 02

Université de M'sila-Département de GM

NOM

SIGNATURE

DATE

TITRE: Flexible_Axe

DESSINE

LARBI GUERAICHE

11/09/2007

CHK'D

APPV'D

MFG

Q.A

MATERIAU: Caoutchouc

DWG NO. 08

A4

POIDS:

Echelle:2:1

PLANCHE 1 DE 1

^A B C

A

6

34

A

COUPE A-A 5.5

D E F

36

58

SAUF INDICATION : LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES ^: LINÉAIRE : 0.1 ANGULAIRE : 0.5°

FINITION: Teinté vert

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

REVISION 03

Université de M'sila-Département de GM

NOM

SIGNATURE

DATE

TITRE: Support du vérin

DESSINE

LARBI GUERAICHE

11/09/2007

CHK'D

APPV'D

MFG

Q.A

MATERIAU: Acier allié

DWG NO. 12

A4

POIDS:

Echelle:1:1

PLANCHE 1 DE 1

^A B C

36

B

A

A

B

28

6 17

COUPE B-B

D E F

1 x45°

29

COUPE A-A

SAUF INDICATION : LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES ^: LINÉAIRE : 0.1 ANGULAIRE : 0.5°

FINITION: Teinté vert

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

REVISION 03

Université de M'sila-Département de GM

NOM

SIGNATURE

DATE

TITRE: Support de la douille

DESSINE

LARBI GUERAICHE

11/09/2007

CHK'D

APPV'D

MFG

Q.A

MATERIAU: Acier non allié

DWG NO. 16

A4

POIDS:

Echelle:1:1

PLANCHE 1 DE 1

A B C

0.05

^D E F

20g5

SAUF INDICATION : LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES : LINÉAIRE : 0.1 ANGULAIRE : 0.5°

FINITION: Non

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

REVISION 01

Université de M'sila-Département de GM

NOM

SIGNATURE

DATE

TITRE: Barre de sortie

DRAWN

GUERAICHE LARBI

18/12/2007

CHK'D

APPV'D

MFG

Q.A

MATERIAU: Alliage 1060

DWG NO. 19

A4

POIDS:

ECHELLE:1:10

PLANCHE 1 DE 1

A B C

0.05

^D E F

20g5

SAUF INDICATION : LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES : LINÉAIRE : 0.1 ANGULAIRE : 0.5°

FINITION: Non

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

REVISION 03

Université de M'sila-Département de GM

NOM

SIGNATURE

DATE

TITRE: Barre d'entrée

DESSINE

GUERAICHE LARBI

12/1 1/2007

CHK'D

APPV'D

MFG

Q.A

MATERIAU: ALLIAGE 1060

DWG NO. 20

A4

POIDS

ECHELLE:1:20

PLANCHE 1 DE 1

A B C D E F

2.7

A

B

B

6

COUPE A-A 22H

A

6

36

58

COUPE B-B

SAUF INDICATION : LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES ^: LINÉAIRE : 0.1 ANGULAIRE : 0.5°

FINITION: Teinté vert

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

REVISION 03

Université de M'sila-Département de GM

NOM

SIGNATURE

DATE

TITRE: Support d'extrémité

DESSINE

LARBI GUERAICHE

11/09/2007

CHK'D

APPV'D

MFG

Q.A

MATERIAU: Acier non allié

DWG NO. 21

A4

POIDS:

Echelle:1:1

PLANCHE 1 DE 1

5

4

3

2

6

1

1.1 7.9

A

A

C

3

COUPE A-A ECHELLE 1 : 1

12

DÉTAIL C

ECHELLE 3 : 1

B

B

A

A

1000

C

C

1

SAUF INDICATION :

LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES :

LINÉAIRE : 0.1

FINITION:

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

03

REVISION

Non

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIfS

Université de M'sila-Département de GM

ANGULAIRE :

0.5°

NOM

DATE

SIGNATURE

TITRE:

DESSINE

REVISION

11/1 1/2007

Larbi Gueraiche

CHK'D

Tube du Propulseur

D

APPV'D

MFG

Q.A

DWG NO.

MATERIAU:

Cuivre

A4

22

1

2

POIDS:

PLANCHE 1 DE 1

Echelle:1:10

A B ^C

12

8

6

A

A

36

14

21

6

1

2

D E F

B

5

DÉTAIL B COUPE A-A ECHELLE 2 : 1

SAUF INDICATION : LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES : LINÉAIRE : 0.1 ANGULAIRE : 0.5°

FINITION: Non

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

REVISION 02

Université de M'sila-Département de GM

NOM

SIGNATURE

DATE

TITRE: Reducteur

DESSINE

LARBI GUERAICHE

11/09/2007

CHK'D

APPV'D

MFG

Q.A

MATERIAU: Laiton

DWG NO. 25

A4

POIDS:

Echelle:1:1

PLANCHE 1 DE 1

A B C

48

A

^D E F

COUPE A-A

A

SAUF INDICATION : LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES : LINÉAIRE : 0.1 ANGULAIRE : 0.5°

FINITION: Non

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

REVISION 02

Université de M'sila-Département de GM

NOM

SIGNATURE

DATE

TITRE: Flexible

DESSINE

Gueraiche Larbi

12/11/2007

CHK'D

APPV'D

MFG

Q.A

MATERIAU: Caoutchouc

DWG NO. 26

A4

POIDS:

SCALE:1:1

PLANCHE 1 DE 1

A B C

0.05

20g5

D E F

SAUF INDICATION : LES DIMENSIONS SONT EN mm RUGOSITE TOTALE : TOLERANCES : LINÉAIRE : 0.1 ANGULAIRE : 0.5°

FINITION: Non

ÉBAVURER ET CASSER LES ARÊTS VIFS

NE PAS CHANGER L'ECHELLE DU DESSIN

REVISION 02

Université de M'sila-Département de GM

NOM

SIGNATURE

DATE

TITRE: Projectile

DESSINE

GUERAICHE LARBI

13/1 1/2007

CHK'D

APPV'D

MFG

Q.A

MATERIAU: Alliage 1060

DWG NO. 38

A4

POIDES:

ECHELLE:1:2

PLANCHE 1 DE 1

: ????

ÏæÒã ÒÇåÌáÇ

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?????Çæ ÉäíÚáÇæ ÑíÎ?Ç ÇÐå

?????æ ãÓÇÑáÇ ìáÚ ÊÇÑÇÔ?Ç ÉÙÍ?ã äã äßãÊáÇ ÏÚÈ . " PM3 365 " ãÏÎÊÓãáÇ íØÈåãá Ç ÒÇÒÊå?Ç ãÓÇÑá íÂÑÍáÇ ÈæÇÌÊáÇ .ÉÑã 1000 ìáÅ áÕí íÐáÇ íáÇÚáÇ ÏæÏÑãáÇ ÊÇÐ " PCL-8 18HG " ???? áÇ ÉÞÇØÈÈ ÑíÎ?Ç ÇÐå áÏÈÊÓä ÇåÊÚÓ

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Résumé:

Dans ce sujet, on a conçu et réalisé un dispositif à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD). Le dispositif est instrumenté par des jauges extensométriques en un quart en pont. Les signaux des jauges sont d'abord amplifiés à l'aide d'un circuit à base de LM837 pour atteindre la gamme dynamique de l'oscilloscope. Ils peuvent être mémorisés à l'aide de l'oscilloscope PM3365. Une fois que l'ordre de grandeur des signaux est déterminé, on le remplace par une carte d'interface PCL-818HG à gain élevé allant jusqu'à 1000 fois.

Le lancement et la remise en position initiale du projectile sont assurés par PC à l'aide d'une interface qu'on a élaboré sous PCB 123 sur la base de la commutation d'un transistor.

Un programme VC++6.0 modifié permet la séparation des ondes incidente et réfléchie ainsi que la correction de la dispersion et de l'atténuation.

Mots clés :

Barres d'Hopkinson, Equation de Pochhammer-Chree, Séparation des ondes, Relation de dispersion, Atténuation, Transformée de Fourier, Pilotage par PC, Acquisition des données et PP-Alfa.

Abstract:

In this subject, we have designed and carried out a split Hopkinson pressure bar (SHPB). The device is instrumented by gauges .The signals of the gauges are initially amplified before being recorded by the PM3365 scope. Then, we have used the PCL-818HG board of high gain going up to 1000 times.

The launching and the handing-over in initial position of the striker are ensured by PC using an interface that we have worked out under PCB 123 on the basis of commutation of a transistor.

A modified program VC++6.0 allows the separation of the incident and reflected waves as well as the correction of dispersion and attenuation.

Key words:

Hopkinson Bars, Pochhammer-Chree equation, Separation of waves, Relation of dispersion, Attenuation, Fourier transform, Command by PC, Data acquisition and PPEsparto