Economie experimentale et théorie des jeux.

2-3- Concepts de solution des jeux

Pour résoudre les situations de conflit, différents concepts de solution ont été proposés. Chaque situation requiert une solution qui lui est propre et les concepts généraux dégagés par la théorie doivent être considérés comme des outils d'analyse plus que comme des conseils d'aide à la décision. La théorie s'est attachée à définir des concepts pour les situations les mieux définies, celle des jeux non coopératifs et celle des jeux totalement coopératifs.

Cependant, lorsque la question à poser est celle de la définition d'une solution pour un jeu approprié, nous devons avant tout spécifier le type et la forme descriptive du jeu sous question. Par exemple, si le jeu est coopératif à n personnes, notre travail sera la recherche d'un vecteur d'utilité ou de paiement garantissant une meilleur dispersion de l'utilité pour les joueurs et ayant la propriété de stabilité dans un sens significatif. Dans ce cas l'objectif de la théorie des jeux sera de fournir certaines notions de stabilité. Dans l'autre côté, si le jeu est non coopératif à n personnes et à somme non nulle ( en forme normale), l'objectif de la théorie des jeux sera la recherche d'un vecteur n-tuple de stratégies qui lorsqu'elles seront prises ensemble, formeront donc un équilibre pour le jeu. Encore une fois, la contribution de la théorie des jeux sera de définir de manière convenable les notions d'équilibre qui vont être utilisées.

Ainsi, pour les jeux non coopératifs, le concept d'équilibre de NASH, qui généralise celui de la solution de Mini-Max de VON NEUMANN, s'est imposé. Ce concept correspond mathématiquement à la notion de point-selle, ou de col de montagne : un col, lorsqu'il existe, est à la fois le point le plus haut des points les plus bas et le point le plus bas des point les plus hauts. Ainsi le col est le point le plus haut par lequel passe une route qui cherche à monter le moins possible, c'est aussi le point le plus bas par lequel passerait un chamois qui cherche à rester le plus haut possible sur la montagne.^5(*)9

Dans un jeu sous forme normale, le concept d'équilibre de NASH s'applique à une liste de gains pour chacun des joueurs qui sont tels que ce sont les meilleurs qu'un joueur puisse obtenir parmi les pires que peuvent lui imposer les autres joueurs, de sorte que chacun puisse avec raison se dire la chose suivante : « Avec ma stratégie de NASH, mon gain est au moins aussi grand que pour toute autre stratégie, tant que l'autre ne change pas sa stratégie de NASH ». Il s'agit de minimiser les pertes et de maximiser les gains - et il ne s'agit pas d'une simple intelligence de la situation, mais bel et bien d'une traduction économique d'une théorie psychologique de l'intentionnalité qui fait appel à une coalition d'intérêts de joueurs supposés également compétents.

Pour les jeux coopératifs, le concept d'équilibre de NASH n'est pas le concept d'équilibre le plus adapté, comme on le voit dans le dilemme du prisonnier où le point d'équilibre est ( dénoncer, dénoncer) ce qui correspond à un résultat qui est moins bon pour chacun des deux joueurs que la solution ( ne dénonce pas, ne dénonce pas).

Un autre exemple classique argumentant contre l'équilibre de NASH comme concept de solution pour les jeux où la coopération est possible, est celui de la bataille des sexes. Ce jeu est appelé ainsi parce qu'on peut le présenter en considérant deux époux qui doivent décider de l'endroit où ils vont passer la soirée. Le mari préférerait aller à un match de Basket-ball , alors que sa femme désirerait aller voir un ballet. Mais tous deux préfèrent par dessus tout sortir ensemble à l'un ou l'autre spectacle, plutôt que d'assister seul à son spectacle préféré. La forme normale du jeu, où les gains sont des utilités, peut être représentée de la manière suivante ^6(*)0:

Femme mari	Basket-ball		Ballet	Basket-ball
4,5	0,0		Ballet
1,1	5,4

Ce jeu est représentatif de beaucoup de situations où les deux ( ou plus) parties cherchent à coordonner leurs actions, bien qu'elles aient des préférences opposées en ce qui concerne l'issue sur laquelle la coordination doit avoir lieu. En économie industrielle, la segmentation du marché par des entreprises rivales peut aussi être examinée dans cette perspective ; tel est le cas également de deux fabricants de biens complémentaires qui doivent adopter des normes- tous deux préfères que leurs normes soient compatibles, mais chacun aimerait que la sienne prévale. En économie du travail, un syndicat et une entreprise peuvent gagner à accepter les conditions de l'autre partie plutôt que d'endurer les conséquences d'une grève, mais même ainsi, chaque partie préfère que l'autre accepte ses exigences.

Revenons à notre exemple, les deux couples de stratégies ( basket-ball, basket-ball) et (ballet, ballet) sont des équilibres, mais l'un d'eux est préférable pour lui, l'autre pour elle. Ces équilibres ne sont pas stables en ce sens que chacun des joueurs à intérêt à ne pas jouer la stratégie qui lui est défavorable afin d'amener l'autre à jouer l'autre stratégie d'équilibre.

Remarquons que, pour ce jeu, une solution consiste à aller au match une fois sur deux et au ballet une fois sur deux, ou encore si le jeu n'est pas répété, à tirer à pile ou face le spectacle où aller. Cette solution est un équilibre corrélé ; c'est un concept de solution faisant intervenir des stratégies corrélées qui est adapté à certains jeux coopératifs.

Le concept de solution le plus répandu pour les jeux coopératifs est défini dans le cas où des paiements latéraux sont possibles ( partage des gains pour former des coalitions). Le Noyau ou Coeur ( deux traductions discutables de l'anglais « Core ») caractérise un ensemble de coalitions qui est stable dans le sens où les joueurs n'ont pas intérêt à quitter ces coalitions pour en former d'autres. il n'y a malheureusement pas de théorème général de non vacuité du noyau.

Un autre concept de solution pour les jeux où la coopération est possible est caractérisé par la valeur de SHAPLEY. La valeur de SHAPLEY attribue à chaque joueur un nombre qui représente son pouvoir dans la formation des coalitions, ou encore une valeur qu'il attribue au jeu ( semblable au maximum des gains minimaux qu'il peut obtenir) et qui est fonction du pouvoir que lui donne la structure du jeu pour se coaliser avec d'autres joueurs.

Nous allons essayer, dans ce qui suit, d'éclairer chacun de ces concepts ainsi que d'autres qui ne sont pas évoqués.

2-3-1-Jeux non coopératifs

Comme l'avait bien définit Hervé MOULIN, un contexte  non coopératif  est celui dans lequel « les joueurs se comportent comme s'ils n'avaient pas conscience de leur interdépendance stratégique : ils envisagent de changer de stratégie sans pouvoir anticiper la réaction des autres joueurs à ce changement, donc en supposant qu'ils ne réagiront pas .... Tout se passe comme si les joueurs ne ressentaient pas les effets externes de leur comportement, ne tenaient pas compte de l'influence qu'ils pourraient ainsi acquérir sur les autres joueur. »^6(*)1

La forme normale d'un jeu se prête particulièrement bien à l'analyse des jeux dans un contexte non coopératif à information complète. Dans un tel contexte, les stratégies des joueurs correspondent en effet à une description satisfaisante de leurs comportements : le choix d'une stratégie correspond au choix d'une suite d'actions et le critère est sans ambiguïté la maximisation du gain associé à une suite d'actions.

Le concept de solution qui s'impose pour l'analyse de tels jeux est celui d'équilibre de NASH^6(*)2 : C'est une liste des gains des joueurs ( c'est à dire une case du tableau de la forme normale du jeu) qui correspond à une liste de stratégies pour chaque joueur telles que aucun changement unilatéral de stratégie par l'un des joueurs ne lui permettrait d'augmenter son gain. On peut dire aussi qu'un équilibre de NASH est une liste de stratégie de chacun des joueurs telle qu'aucun d'eux n'a d'incitation à en changer unilatéralement.

Nous allons présenter la définition formelle d'un équilibre de NASH à travers l'exemple de deux jeux, à savoir le jeu à deux joueurs et le jeu à n joueurs.

Définition 1 : Pour un jeu à deux joueurs dont les ensembles de stratégies sont X et Y et les fonction de gains : U₁ : X x Y et U₂ : X x Y

* ⁵⁹ - KAST R. (2002), La théorie de la décision, la Découverte, juin.

* ⁶⁰ - l'exemple est de KREPS D. (1999) op.cit.

* ⁶¹ - MOULIN H.(1981), op. cit p 58

* ⁶² - NASH J. F. (1950b), «  Equilibrium Points in n-person Games », Proceeding of the National Academy of Sciences fo the USA, 36,

P. 48 - 49.