Mécanisme des vibrations induites par effet de couronne

ANNEXES

ANNEXE I
Forces externes exercée sur le conducteur

La figure AI.1 présente les forces extérieurs (d'origine extérieure : effet couronne, vent, gravité) exercées sur le conducteur en mouvement.

f_c

V0

·

U

á

fd

f_g

Vr

Figure AI.1 Forces externes appliquées sur le conducteur. [23]

f_c : force couronne par unité de longueur. [N/m].

fg : force gravitationnelle par unité de longueur. [N/m].

fg=ñ*g (1)

g : accélération gravitationnelle

fd : force de dissipation dans l'air par unité de longueur. [N/m].

En se référant à la figure A. 1 l'expression de la force de dissipation dans l'air peut s'écrire

fd=k*Vr*siná (2)

1

K. _air . . C d = ñ ö (3)
2

Cd : Coefficient de traînée. (dans la simulation on prend Cd =1)

ñair : masse volumique de l'air (environ 1.2 kg/m³ à 20^°C).

Ô : diamètre du conducteur. [cm]

Vr : vitesse relative de l'écoulement. á : angle de vitesse relative.

·

U

siná= (4)

r

V

V0 : vitesse absolue du vent.

·

U: vitesse du conducteur.

·

Vr V 0 U (5)

= 2 + 2

Si la vitesse du vent est nulle l'expression de la force de dissipation (2) devient:

fd = k*U (6)

ANNEXE II
Transformation de la force couronne sous forme sinusoïdale à une force
impulsionnelle

A.II.1 Force couronne sinusoïdale

La variation de la force induite par effet de couronne dans le temps est très difficile à évaluer. Certains auteurs [1-6, 21] l'ont estimée à l'aide d'une fonction sinusoïdale, étant donné que les vibrations du conducteur sont de forme sinusoïdale de même fréquence que la fréquence naturelle du conducteur.

La valeur de la force induite par effet de couronne, sous forme sinusoïdale Fs, est évaluée [6] à l'aide de l'équation suivante:

(1)

_Fa

W

sin * Y

=

ð max

W_a est l'énergie d'amortissement (égale à l'énergie nécessaire pour maintenir la vibration ou

l'énergie perdue par frottement par cycle ) est déterminée expérimentalement à l'aide d'un montage utilisant un conducteur toronné de 3,58 m de long) placé dans l'axe d'un cylindre en grillage métallique. _Ymax est l'amplitude de vibration.

La valeur de la force induite par effet de couronne de forme sinusoïdale a été évaluée par Farzaneh [4] pour différentes polarités et pour différentes intensités de champ électrique à la surface du conducteur. Les résultats se trouvent dans le tableau A.II.

Champ Electrique (kV/cm)	Valeur de Force Couronne Sinusoïdal (* 1 0^-2 N/m)
	CC-	CC+	CA
9,3	0,08	0,08	0,18
10,2	0,09	0,15	0,68
11,1	0,18	0,6	1,53
12,1	1,69	1,6	1,41
13	2,3	2,1	1
13,9	2,44	2.00	0,49
14,9	2,16	1,8	0,25
15,8	1,75	1,3	0,22
16,7	1,51	1	0,2
17,6	1,36	0,85	0,2
18,6	1,27	0,75	0,2

Tableau A.II Force induite par effet de couronne de forme sinusoïdale en fonction du champ
électrique pour les trois polarités. [4]

A.II.2 Force couronne impulsionnelle

La transformation de la force induite par effet de couronne de forme sinusoïdale en une force de forme impulsionnelle se fait en conservant la même quantité d'énergie transmise au conducteur. L'équation énergétique pour une force de forme sinusoïdale est présentée dans la section précédente.

Développons maintenant l'équation énergétique pour une force de forme impulsionnelle [7].

n

W F i Temps nbre d applicatio n Y i a imp = ( ) * * ' * (

) (2)

i = 1

Fi_m(i) : est la valeur de la force impulsionnelle nodale (pour chaque noeud).

Temps: est le temps d'application de la force couronne impulsionnelle, il correspond à la période où la goutte d'eau est allongée et les décharges couronnes sont actives. Cette force est annulée lorsque la goutte est éjectée [4]. Des films réalisés à l'aide d'une caméra haute-vitesse (400 images par seconde) ont servis à estimé le temps où la goutte reste allongée (force de couronne agissant sur le conducteur) [4, 7]. Ce temps a été évalué à environ 20 millièmes de seconde.

nbre d'application : correspond à la fréquence d'éjection des gouttes.

Lors de la vibration il a été observé expérimentalement [4, 21] qu'environ 9 gouttes, sur une possibilité de 27 par mètre de conducteur éclatent à chaque cycle de vibrations, et ce pour une intensité de pluie de 25 mm/h. La moyenne d'éjection de chaque goutte est donc approximativement égale à 2 éjections par seconde.

La valeur de la force impulsionnelle, le temps d'application et le nombre d'applications de la force induite par effet de couronne par noeud sont constants pour tous les noeuds. L'équation (2) devient:

n

W F i Y i a imp = 0 .02 * 2 * ( ) (

) (3)

i = 1

La somme des amplitudes de vibration peut être transformée par une amplitude moyenne multipliée par le nombre de noeud [7], tel que:

n

i

=

1

Y ( i ) n * =

Ymoy

(4)

L'amplitude moyenne pour un système vibrant dans son mode fondamental peut être exprimée par une fraction de l'amplitude maximale tel que [7] :

Ymoy	= 2 Y (5) max ^3

On peut donc écrire l'équation (3) sous la forme suivante:

2

W 0 . 02 * 2 * n Y _max F i

a = i mp

* * * ( )(6)

3

W _a est l'énergie fournie à un mètre de conducteur pendant une seconde de vibration. Il faut maintenant diviser le résultat par 5,6 Hz (la fréquence naturelle des vibrations conformément aux expériences effectuées par Farzaneh [4]), et multipliée par la longueur totale du conducteur pour obtenir la valeur de l'énergie fournie au conducteur pendant un cycle de vibration, et en égalisant les deux équations énergétiques (1) et (6), on obtient:

1 2

ð = imp

* *

Y F long cond n Y F i

max sin max

* . * 0.02 * 2 * * * * ( ) (7)

5 . 6 3

( ) ð sin

3 * 5 . 6 * * F

Fimp i = (8)

long cond n

. * 0 . 02 * 2 * 2 *

Pour une longueur du câble égale à 3.58m et nombre de noeuds égal à 100, l'équation (8) devient: Fimp (i) = 1.84 F sin (9)

ANNEXE III
Rapport optimal entre le volume de la goutte avant éjection et le volume de la
goutte résiduelle (Paramètre K)

D'après les observations faites par Hamel [6], les gouttes d'eau ont un volume optimal dépendant de la polarité et l'intensité du champ électrique. Lorsque le champ électrique à la surface du conducteur est faible (11.1 kV/cm ou moins), le volume des gouttes est plus grand et le nombre d'éjections plus faible. Par contre, si le champ est plus grand (15.8 kV/cm ou plus), le volume des gouttes est beaucoup plus petit et le nombre d'éjections plus grand. De plus, après chaque éjection, un important résidu de la goutte d'eau demeure suspendu au dessous du conducteur. Dans le but de simuler le comportement des gouttes d'eau d'une façon réaliste, on doit évaluer le rapport "K" existant entre le volume avant l'éjection et le volume d'eau restant sur le conducteur après l'éjection.

Ce paramètre est évalué numériquement d'une manière à maintenir l'amplitude des vibrations et obtenir un nombre d'éjection conforme aux observations expérimentales. On réalise une approximation de trois courbes (une pour chaque polarité) donnant le meilleur rapport pour une intensité de champ donnée.

Les résultas obtenus sont présentées dans les figures A.III.1, A.III.2, A.III.3. L'intensité des précipitations est fixée à 25 mm/h.

Tension Négative

1.3

1.25

1.2

1.15

1.1

1.05

1

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Champ Electrique (kV/cm)

Figure A.III. 1 Rapport K en fonction du champ électrique en polarité Négative.

Tension Positive

1.25

1.2

1.15

1.1

1.05

1

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Champ Electrique (kV/cm)

Figure A.III.2 Rapport K en fonction du champ électrique en polarité Positive.

Tension Alternative

1.2

1.18

1.16

1.14

1.12

1.1

1.08

1.06

1.04

1.02

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Champ Electrique (kV/cm)

Figure A .III.3 Rapport K en fonction du champ électrique en polarité Alternative.

Boucle 2 sur 10 noeuds de la
partie centrale du conducteur

Boucle 1 de temps

F F F F F

electro gravité inertie tension i

+ + > +

Test 1 Si

nduite

1

2 3 4

ANNEXE IV

Sous-programme permettant la résolution dans le temps du système d'équation
découplé

Initialisation des variables: -Le volume des gouttes

-Le volume de réinitialisation -La force couronne

-La force de dissipation dans l'air

Calcul effectué pour chaque goutte:

-Volume de la goutte -Rayon de la goutte -Force électrostatique -Force de la gravité -Force de l'inertie

-Force de tension de la surface

-Force moyenne induite par effet de couronne

1 2 3

Test 2
Si le rapport est inférieur
à la valeur optimale (K)

Diminution du volume de réinitialisation

-Augmentation du volume de réinitialisation -Application de la force couronne sur tous les noeuds pendant 20 ms et après un déphasage de 10ms.

Fin de
Boucle 2

Fin de
test 1

Fin de
test 2

Calcul la force couronne modale

Calcul dela force de dissipation dans l'air sous forme modale

Calcul effectué pour chaque noeud à chaque pas de temps: -Position du noeud

-vitesse du noeud

-Accélération du noeud

Fin de la boucle 1

Fin du sous-programme

Figure A. VI. 1 Sous-programme de résolution dans le temps du système d'équation
découplé.

ANNEXE V

Interface usager de la simulation numérique

Le langage de programmation utilisé pour écrire la simulation numérique est le MATLAB 6.5. Ce langage de programmation permet de mettre a point, d'exécuter et de tracer les courbes. Il permet aussi de réaliser des interfaces usager de façon à faciliter l'utilisation du programme. Les paramètres de simulation sont entrés directement dans l'interface qui commande la lecture du fichier contenant les informations supplémentaires et l'exécution du programme. Ensuite, par simple click sur l'une des icônes, on obtient les courbes des programmes exécutés dans cette icône et de même pour tous les autres programmes.

Ce qui suit constitue un guide simple permettant l'utilisation efficace de cette interface graphique. 1-Après avoir démarrer Matlab, il faut activer, dans la fenêtre de commande, le répertoire VIBRATION COURONNE, soit par une commande «cd('VIBRATION COURONNE') » ou en naviguant dans la fenêtre des répertoires.

2-Tapez sous la fenêtre des commandes de MatLab la commande interface, vous devez recevoir l'interface graphique suivante:

3-Entrer les paramètres de la simulation dans l'interface: tension électrique appliquée au conducteur (kV/cm), les caractéristiques du conducteur (longueur (m), diamètre (cm), masse(kg), tension mécanique appliqué aux extrémités (N)) , l'intensité de la précipitation, le temps de la simulation. La polarité de la tension positive est prise par défaut, mais ton peut la changer en cliquant sur l'un des icônes (négative, alternative).

4- Cliquer sur un des boutons de votre choix pour le type de la simulation, vous devez obtenir les courbes correspondantes.

4- Dans le menu fichier, sélectionner "forme de la goutte", Vous obtenez l'interface de la forme de la goutte.

4- L'effet de l'apport d'eau est pris par défaut, mais on peut le changer, on clique sur le bouton " exécuté ", on obtient les courbes correspondantes.