C H A P I T R E 2
Transformée en ondelettes
2.1 Introduction
2.2 Définition des ondelettes
2.3 Transformée de Fourier
2.4 Transformée en ondelettes
2.4.3 Familles d'ondelettes
2.5 Bancs de filtres
2.6 Compression d'image par transformée en
ondelettes 2.7 Conclusion
2.1 Introduction
Les ondelettes ont généré dans les
dernières années un grand intérêt dans le domaine
théorique et également dans le domaine pratique.
La théorie des ondelettes est issue de nombreux travaux
en traitement du signal et en compression d'images. En traitement du signal, la
théorie des bancs de filtres a donné le schéma de
décomposition reconstruction de Stephane Mallat [2.1], en
compression d'images, l'algorithme de décomposition pyramidal d'une
image a servi de base pour l'analyse multi résolution.
Dans ce chapitre nous allons voir les limites de la
transformée de Fourier. Ainsi que la théorie des ondelettes ;
nous évoqueront diffèrent types d'ondelettes et la
généralisation sur les images en deux et trois dimensions.
2.2 Définition des ondelettes
Les ondelettes sont des fonctions élémentaires
très particulières; ce sont des vibrations très courtes
[2.2]. Mathématiquement, le but essentiel de l'analyse par ondelettes
est de décomposer les espaces fonctionnels usuels sur des bases ayant
d'excellentes propriétés tel que l'orthogonalité et la
régularité.
17 -
Compression d'images animée par codage EZW 3D
Chapitre 2 Transformée en ondelettes
La transformée en ondelettes est une méthode de
représentation temps fréquence d'un signal qui consiste à
le décomposer en une somme de fonctions élémentaires qui
dérivent toutes d'une même fonction appelée mère,
par translation, contraction et dilatation. [2.2]
2.3 Transformée de Fourier
Les séries de Fourier sont utilisées pour
l'analyse des signaux périodiques. Pour les signaux non
périodiques on a recours à une intégrale de Fourier. Cette
méthode consiste à représenter le signal
étudié par une superposition d'ondes sinusoïdales de toutes
les fréquences possibles. Les amplitudes associées à
chaque fréquence représentent les importances respectives des
diverses ondes sinusoïdales dans le signal global. Ces amplitudes forment
alors une fonction de la fréquence f appelée "spectre continu des
fréquences du signal" : c'est la transformée de Fourier du signal
s (t), notée S (f) :
+8
|
S f s t e - jwf
( ) = ? ( )
|
dt 2.1
|
-8
(Le nombre complexe S (f) s'identifie ; pour
une fréquence f donnée, à un point du plan).
L'analyse du signal consiste à dégager des
informations contenues dans celui-ci. Ceci en fonction d'une seule variable
(temps) ou de deux variables (temps et fréquence). Dans ce dernier cas,
L'analyse de Fourier classique est inadéquate, car la
représentation d'un signal f par l'intermédiaire de sa
transformée de Fourier S (f) ne fournit qu'une
information
globale sur Je signal. L'évolution dans le temps des
composantes fréquentielles du signal n'est pas directement accessible
par cette représentation. C'est pour atteindre cette information que la
représentation temps fréquence a été
créé.
| 
