Investigation numérique et expérimentale d'une flamme de diffusion d'impact

u u u u u u
3 1 3 2 3 3 ?
III-5-1 Le modèle K å

On modélise les tensions de Reynolds comme suit :

? ' '

U ?

? ? U 2

' ' -

j

i

- =

u u í ? + ? k ä (III-9)

i j t ij

? ? x ?x ? 3

j i

? ?

La viscosité turbulente est donnée par la relation :

í t = C_u (k² å ) ; (III-10)

Avec u t =í _t ñ viscosité dynamique turbulente

L'expérience montre que cette relation est bien vérifiée pour des écoulements à grand nombre de Reynolds, à condition d'avoir une turbulence homogène.

C_u : est un coefficient sans dimension qui doit être évalué expérimentalement

k : est l'énergie cinétique de turbulence définie par :

1 2

1

k = u

' 2 = u + u + u

( ' ' ' )

2 2

i 1 2 3

^{2 2}

å : Le taux de dissipation de l'énergie de turbulence k, est donné par la relation suivante :

?

2

' ?

å í (III-11)

?? x_j ? ? ?

? u

= ? ?

Ce terme de dissipation qui apparaît dans l'équation de l'énergie de turbulence reste à
déterminer. L'échelle typique de longueur des grands structures de la turbulence L est déduite

3

de k / L

å = .

2

III-6 Modèle k-å (RNG)

La version standard du modèle K-å proposée par Launder et Spalding [37], suppose les relations des tenseurs des contraintes suivantes :

? ? U ? U ?

i j

- =

u u + ( _ij )

k

i j t

í 3 ä

?? ?? - 2 III-12

?? x ? x
j i ?
í III-13

? h

- u_i

t

h =

ó_h ?x_i

Où í_t est la viscosité turbulente déterminée à partir de l'énergie cinétique de turbulence et de sa dissipation å régie par les équations suivantes :

?

( ) å

? í ? ?

? k

= í + -

t

U k ? +

? ? ? ? G

?

i ? x ó

j ? ? ? ? ? x ? ?

? x i k j

III-14

? ?

( ) ( å)

? ?

í å å

å ? í + ? ?

t

U = ? ? ? ? + -

C ₁ G C 2 III-15

i å å

? x ? x x k

ó

i j ? ? ? ?

å ? j ? ?

? U

Ou = - and

i

G u u

i j ? x j

k 2

å

í u

t = C

Les constantes du modèle apparaissent dans les équations (III-14), (III-15) sont :

C_u = 0 .09 , Cå 1 = 1 .44 , Cå 2 = 1 . 92 , ó_k = 1 .0 et ó_å = 1 . 3 .

Les effets des taux des contraintes moyenne et rotation moyenne sur la diffusion turbulente sont étudiés par l'utilisation du modèle de groupe de Renormalisation RNG k-å . Yakhot et al. [38], utilise des équations de même forme que le modèle standard k- å . Le modèle RNG k-å propose différents coefficients évalués par RNG qui varient suivant le rapport entre la turbulence et l'échelle des temps de contraintes moyennes n :

C_u = 0 . 0845 Cå 1 = 1 .42

C n n

3 ( ( )

1 -

= + u 4 . 8 avec ó k = ó_å = 0 . 7194

3

C +

² 1 0 . 0 1 2

1 . 6 8 n

å

Tandis que

?

( ) 2

1

S = 2 S_ii S _ii et ??

1

? U ? U ?

i i

S 2

= ?? +

ⁱⁱ x

x ?

? ? i i ?

kS

n= ,

å

Le modèle RNG k-å est une version modifiée du modèle k-å standard. Il est adapté avec des paramètres de contraint non équilibrés å

n = kS , où S est le module du taux de contraint et

le rapport å

k , l'échelle de temps de la turbulence. Le paramètre n caractérise les contraintes de cisaillement. Mais dans le cas des problèmes d'écoulement où des contraintes de dilatation dominantes surgissent, n contient la résultante absolue du taux de contrainte.

Les valeurs des paramètres du modèle RNG sont :

Tableau-III-1 : rapportant les constantes de k-å et leurs modifications en modèle RNG

No	Paramètres		(k-å) standard	RNG k-å
1		CD	0.09	0.0845
2		C1	1.44	1.42
3		C2	1.92
				3 ? - ç C D k G ç ? ?? 1 4 . 3 8 ?? 1 68	u T
				. + , ç = 3 1 0 .0 1 2 + ç å
4	ók		1.0	0.7 179 (limite supérieur du Re)^*
5	óå		1.3	0.7 179 ((limite supérieur du Re)*

* L'expression générale pour estimer le nombre effectif de Prandtl pour k et å est :

1 - ó	1 . 3929	0.6321	1 ó	- 2.3929	0.3679 u ut	(III-15-a)
0 .	3929			3.3929

La différence principale entre la version standard et le RNG est dans l'équation du taux de dissipation turbulente d'énergie. Dans les écoulements à taux de contraintes élevées, le modèle RNG prévoit une faible viscosité turbulente (c.à.d, un taux de dissipation å élevé et une production de turbulence k faible). Bien que le modèle RNG ait été mis en oeuvre pour améliorer le modèle standard pour les écoulements avec une grande courbure de lignes de

courant. La version du modèle RNG k-å a été introduite dans les équations différentielles
pour le calcul de la viscosité effective à partir du modèle K-å (guide Fluent, vol 4, 1997) [41].

3

í í C u k

? ?

eff (III-16)

1 . ? ?

= + í å

?

?

? ?

Cette forme permet le prolongement aux bas nombres de Reynolds et aux écoulements proches des parois, contrairement au cas du modèle standard k-å, qui est valide seulement pour des écoulements turbulents développés.

Figure III-1 : Différentes régions dans une couche limite sur une paroi plane [35].

Il y a deux approches principales pour modéliser la région de proche-paroi. Dans l'une des approches, appelée 'fonction de paroi', les effets intérieurs affectés par la viscosité, ne sont pas modélisés. Au lieu de cela, des formules semi-empiriques (fonctions de paroi) sont utilisées pour relier la région affectée par la viscosité et la région entièrement turbulente. Dans l'autre approche, les modèles de turbulence à bas nombre de Reynolds sont développés pour simuler l'écoulement de la région proche-paroi.

Dans la plupart des écoulements à nombre de Reynolds élevés, l'approche de fonction de paroi donne des résultats satisfaisants sans exigences excessives vis-à-vis des ressources de calcul. Pour les bas nombres de Reynolds, le modèle k - å exige les conditions aux limites suivantes :

2

? ? U_t ?

, å í (III-17)

= n

?? ??

?

? ?

? å

k= 0 , = 0

?n

où Ut est la composante tangentielle de la vitesse à la paroi et n est la normale à la paroi. Un certain nombre de modifications au modèle k - å ont été proposés (Chen et Patel, [40] ;Wilcox, [41]; Hrenya et Sinclair, [42]). Dans les approches par des fonctions de paroi, un profil universel de vitesse existe prés de la paroi et est de la forme :

u + = ln + +

1 (III.18)

y B

k

où k est la constante de Von Karman (0.4 1), B une constante empirique liée à l'épaisseur de la sous-couche visqueuse (B =5.2 dans une couche limite plane) et u⁺ et y⁺ sont définis comme suit :

U_t

u =

+

ñ

ô_w /

y= + (III.19)

u

ñ n_p ô w /

où nP est la distance normale du noeud considéré au point P de la paroi. En outre, on assume que l'écoulement est en équilibre local. Ceci signifie que la production et la dissipation sont presque égales. Ces hypothèses permettent l'utilisation de la résolution à la paroi. En fait, l'approche de la loi de paroi exige que la distance adimensionnelle du noeud voisin de la grille de la paroi doit être plus grand que 30 (y⁺> 30). Dans un tel cas, la contrainte de cisaillement à la paroi peut être liée à la composante tangentielle de la vitesse à la grille :

_ñ

1

k C kU t

ñ u 4

ô (III.20)

w +

= ln ( y E)

Pour l'énergie cinétique turbulente, k, le gradient normal à la paroi est habituellement égal à zéro. On suppose que l'échelle des longueurs près de la paroi est donnée par:

L p

kn

= (III.21)

C_u

3

4

En supposant qu'il y a équilibre entre la production et la dissipation, le taux de dissipation de l'énergie turbulente au noeud à côté de la paroi (indice P, situé à distance normal nP de la paroi) peut être calculé sans résoudre l'équation de transport pour å :

3 3

Ck 2

4

å = (III.22)

u p

p

^p kn

Pour modéliser l'interaction entre la combustion et la turbulence, une méthode basée sur la PDF présumée est utilisée.