2-10-3 Modèle dynamique générale :
Le modèle dynamique générale d'un robot
manipulateur rigide à n degrés de liberté peut être
représenté par un système d'équation
différentielle non linéaire de second ordre à n
entrée formant le vecteur de forces ou couples
généralisées T, et n sorties qui forment le vecteur
position q, les équations de ce système à n liaisons,
décrites dans l'espace des coordonnées articulaires, sont
données sous forme matricielle comme suit :
M(q) q + B(q, q ) q +K(q, q
)q+ G(q) +H( q )= Tp(t) +T(t) ..(2.37)
. ..
Avec Avec q ? Rn ; q ? Rn ; q
? Rn représente respectivement les positions, les
vitesses et les accélérations articulaires et :
M(q) ? Rnxn : Matrice d'inerte ;
. .
B(q, q )+K(q, q )q ? Rn : Englobe
les couples dus aux forces de Coriolis et centrifuges ;
G(q) ? Rn : Vecteur de forces ou couples dus aux
forces de gravitation ;
Tp ? Rn : Le vecteur de forces ou couples de
perturbation externe ;
T(t) ? Rn : Vecteur de forces ou couples moteurs .
Les éléments de M, B, K, G et H sont
généralement des fonctions très compliqués et non
linéaires par rapport aux coordonnées
généralisées de manipulateur.
Le modèle précédent du robot est complexe
mais vérifie certaines propriétés fondamentales qui
peuvent être exploitées pour l'analyse du comportement du
système et le calcul de commande.
Propriété 1 : La matrice M(q) est symétrique
définie positive ( S. D. P.) , par conséquent tous les
éléments diagonaux de cette matrice sont positifs { Mij (q) 0 i
= 1, ,n }
Propriété 2 : Les matrices M, B, K et les vecteurs
G,H sont uniformément bornés. Propriété 3 :
L'entrée de commande est indépendante pour chaque articulation du
manipulateur.
.
Propriété 4 : Le vecteur des frottements visqueux
et secs H( q) est caractérisé par les n
éléments.
. . . .
{ Hi(qi)0 i = 1, ,n }, tel que : Hi(qi)
Évi qI + Ési sgn (qI ) (2.38)
Avec Évi et Ési sont respectivement les
coefficients des frottements visqueux et secs de la ième
articulation.
Les propriétés 1-4 découlent de la nature
physique du robot manipulateur. La propriété 3 est du au fait que
les flexibilités des articulations et des structures n'ont pas
été prises en compte.
Dans ce cas de figure chaque degré de liberté
(D.D.L.) est piloté par un actionneur (moteur à courant
continu.
2-10- 4 Modèle dynamique directe : Ce modèle
consiste à déterminer les variables articulaires en fonction des
forces (ou / et couples ) généralisés.
Le calcul de ces variables se fait en résolvant le
système d'équations différentielles non linéaires
suivant :
|
..
= [A] q+ [B]
|
. . .
q.q +[C] q2-G (2.39)
|
À t =t0 q(t0) =q0 , q(t0) = 0
La résolution peut se faire par plusieurs méthodes
numériques dans notre cas nous utilisons la méthode de
Runge-Kutta à 4 approximations.
2-11 L'utilisation de la méthode de Runge -Kutta [21,
45, 46] : dt [y] = É (t,y) avec [y] = [y0] pour t= t0
[y]t+dt = [y]t + 1/6 [[k1] +2[k2] +2[k3]+[k4]] (2.40)
[K1] = É (t , [y] ) dt ...(2.41)
[K2]= É ( t + dt/2 , [y] +k1/2 ) dt (2.42)
[K3]= É ( t + dt/2 , [y] +k2/2 ) dt (2.43)
[k4] = É ( t + dt , [y] +[k3] ) dt . (2.44)
Le système d'équation peut se mettre sous la forme
suivante :
.. . . .
q= - [A]-1 [[B](q q) + [c]
q2-g-] .. (2.45)
T= t0 , q(t0) = q0 , (t0) =0
. . .
- [A]-1 [B] (q q) + [c]
q2-G-
... (2.46)
q =
q&&
q
[y] = É (t , y ) = d[y] /dt =
.
q
| 
