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Dynamique globale sur les espaces-temps de Robertson-Walker dans un milieu fluide parfait relativiste

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par Gilbert CHENDJOU
Université de Yaoundé I - DEA 2004
  

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Dynamique globale sur les espaces-temps de

Robertson-Walker

dans un milieu fluide parfait relativiste

Mémoire de DEA (Diplôme d'Etudes

Approfondies) en Mathématiques

Option: Analyse

Spécialité: Equations aux Dérivées Partielles

Chendjou Gilbert
Mémoire soutenu le 29 Juillet 2004 devant le jury ainsi constitué:

Président Marcel DOSSA Maître de Conférence (UYI)

Membre François WAMON Maître de Conférence (UYI)

Rapporteur Norbert NOUTCHEGUEME Professeur (UYI)

Dédicaces

A mon oncle

Ç) le Père Jean-Marie SIGNIE.

A ma maman

Ç) DJUISSI Hélène.

A mon papa Ç) SAHJoseph.

A la mémoire de mes grand-parents.

Remerciements

Ce travail me donne l'occasion d'exprimer ma profonde gratitude à tous ceux qui m'ont permis d'une façon ou d'une autre de le concrétiser. Je rends grâce à Dieu tout puissant pour tout ce qu'il ne cesse de faire pour moi.

- Je voudrais d'abord m'adresser au Professeur Norbert NOUTCHEGUEME, celui même qui m'a proposé ce sujet et qui tout au long de celui ci, a fait preuve de beaucoup de patience, de soutien et de disponibilité. Mon seul regret est de n'avoir pas su trouver les accents plus digne pour le remercier; mon souhait est de poursuivre les recherches à ses côtés. Que le Seigneur le bénisse.

- Je tiens à remercier tous les enseignants du Département de Mathématiques pour avoir guidé mes pas jusqu'à ce jour; particulièrement au Professeur David BEKOLLE, au Professeur Marcel DOSSA, au Professeur Françcois WAMON, et au Docteur Gilbert MBIANDA.

- Jamais je n'oublierais le Père Jean-Marie SIGNIE, mon oncle; les mots me manquent. Que serai-je sans toi? Tout simplement Merci.

J'exprime ma reconnaissance à toute ma famille, qui malgré la distance et le temps, n'a cessé de me soutenir et de m'encourager. Je vaudrais ainsi remercier ma très chère mère DJUISSI Hélène de son amour, Dr. Joseph NZONGANG et Mr.TALLA Rigobert de leur soutien de tout genre.

Je tiens aussi à remercier tous mes camarade de DEA, ceux avec qui j'ai cheminé jusqu'à la réalisation de ce travail ainsi que ceux de l'ENS de Yaoundé; j'ai nommé : R. Kameugne, B. Ntakeu, B. Nguefack, L. Matamba, A. kwessi, D. Kengfack, S.P. Moutombi, T.Chekouo, M. Kamga, E. Diékouam, C. Piémeu, L.Tchoualac, J.J. Kengwoung, E.A.Yakam.

Je remercie Bernard Fotsing, Zéphirin Deffo, Jean-Noél Nzongang, Hugues Chendjou et Serge Fogang pour leur soutien moral.

- Je ne saurais oublier mes frères et soeurs : Albert Chendjou, Guillaume Fotsing, Majouwé Solange, Tchabou Rose et Ayouwé Charlotte pour leur assistance

permanante.

Enfin, Je dois beaucoup et je leur suis reconnaissant, à tous les amis qui ont été toujours à mes côtés pendant les moments difficiles. Merci à Giles Fotsing, J.J Bankeu, B. Tchouembou, J.M Tchoukouegno, C. Bibai, H. Gallamo, G. Nguengang, E.Takam, A. Djoukang, F. Eoné, N. Youmbi, P. Nkonlack, B. Manga, M. Botchack.

Résumé

On se place dans un milieu fluide parfait relativiste. On considère les équations d'Einstein sur les trois types d'espace-temps de Robertson- Walker et on étudie pour ces équations, l'existence globale des solutions dans le temps.

Abstract

Let us consider a relativistic perfect fluid environment; and let us consider the equations of Einstein on the three types of Robertson- Walker space-time. We study for these equations, the total existence of the solutions in time.

Table des matières

Dédicaces i

Remerciements ii

Résumé iv

Abstract v

Introduction 2

1 Préliminaires : Variétes hyperboliques ou lorentziennes 3

1.1 Exemples d'espace-temps 4

1.2 Tenseurs sur (v4,g) 4

1.3 Connexion sur V4 5

1.4 Expression locale de Vv 6

1.5 Expression locale de Vv(u) 7

1.6 Dérivée covariante d'un vecteur covariant. 7

1.7 Expression locale de Vw, o`u w E T*V4 8

1.8 Torsion de la connexion V. 8

1.9 Courbure de la connexion linéaire V 9

1.10 Connexion Riemannienne ou connexion de Levi-Civita sur (V4, g) . . 10

1.11 Tenseur de courbure d'une variété riemannienne 10

1.12 Tenseur de Ricci, courbure scalaire 11

2 Equations d'Einstein & espace-temps de Robertson-Walker 13

2.1 Univers de la Relativité Générale et espace-temps de Rob ertson-Walker. (R.W) 13

2.1.1 Cadre géométrique 13

2.1.2 Représentation de la matière. 14

2.2 Les équations d'Einstein 15

2.2.1 Les équations 15

2.2.2 Solutions classiques. 16

2.2.3 Espace-temps de Robertson-Walker : théorie de l'univers en es-

pansion (Cosmologie) 17
2.2.4 Ecriture de l'équation (2.11) dans les 3 types d'espaces temps

de Robertson -Walker. 22

3 Existence globale des solutions dans le temps des equations

(2.14) et (2.15) 24

3.1 Cas de la radiation pure 24

3.2 Cas de la matière pure 26

3.2.1 Existence globale des solutions pour les relations (3.9) et (3.10) 27
3.2.2 Existence globale des solutions pour la relation (3.11) 28

Conclusion 30

Bibliographie 30

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