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Etude de la stabilité aux petites perturbations dans les grands réseaux électriques: Optimisation de la régulation par une méthode metaheuristique

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par Hasan ALKHATIB
Université Paul Cézanne Aix Marseille III - Diplôme de Doctorat en Génie Electrique 2008
  

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Chapitre II

Stabilité du système de

puissance

2.1- Introduction.

La bonne performance d'un système de puissance dépend de sa capacité de fournir à tout moment la puissance demandée dans des conditions de qualité satisfaisantes, en maintenant les niveaux de tension et de fréquence dans des limites acceptables.

La stabilité est considérée l'une des trois grandes études des systèmes de puissance, les deux autres étant l'écoulement de puissance et l'analyse de défauts. Il est clair que les études de stabilité sont les plus complexes, tant en termes de modélisation que de méthodes de recherche des solutions.

La stabilité d'un système de puissance est la capacité du système, pour des conditions initiales données, de retrouver un point d'équilibre suite à une perturbation. Ainsi, la stabilité est une condition d'équilibre entre des "forces" opposées et l'instabilité résulte d'une perturbation menant à un déséquilibre important entre les "forces" opposées.

Cette instabilité peut avoir différentes formes et peut être influencée par différents facteurs. L'analyse des problèmes de stabilité implique l'indentification des facteurs essentiels contribuant à l'instabilité et le développement de méthodes pouvant améliorer la stabilité du système.

Le problème de la stabilité des systèmes dynamiques a été et reste le sujet de préoccupation majeur du travail des mathématiciens, des physiciens et des ingénieurs (Hahn, 1967; Parks et al., 1981).

Les critères d'analyse de stabilité peuvent être classés en deux grandes catégories :

- Les critères fréquentiels : tels les critères de Nyquist, le diagramme de Bode, ... . Ces critères dépendent de la fonction de transfert du système.

- Les critères temporels : tels les critères de Kalman, les méthodes de Lyapunov, ... . Ces critères dépendent du modèle d'état du système.

Une contribution majeure aux études de stabilité fut apportée par A.M. Lyapunov en 1892, dont les travaux ont été connus dans les années soixante. Il a introduit la majorité des concepts et définitions de base concernant la stabilité des systèmes représentés par des systèmes différentiels arbitraires mais a aussi fourni les principaux résultats théoriques.

La stabilité au sens de Lyapunov est une théorie générale valable pour tout système décrit par des équations différentielles linéaires ou non-linéaires.

Ce chapitre traite de la stabilité du système de puissance. Il est divisé en trois grandes parties. La première partie rappelle les principes de la stabilité au sens de Lyapunov. Dans la deuxième partie, nous rappelons les caractéristiques des différents types de stabilité d'un système de puissance. La troisième partie s'intéresse plus particulièrement à la stabilité angulaire aux petites perturbations avec les stabilisateurs de puissance (PSSs).

2.2- La stabilité au sens de Lyapunov. 2.2.1- Définitions de la stabilité.

Considérons un système non-autonome (dépendant du temps) et non-commandé (entrée nulle) décrit par l'équation différentielle non-linéaire :

x&(t) = f(x(t),t) (83)

Où : x est un vecteur d'état et x& sa dérivée dans le temps t.

Ce système est dit en équilibre autour d'un point xe si, en l'absence d'influence externe, son état ne varie pas au cours du temps :

f(xe,t) = 0 (84)

Ainsi, nous nous intéressons aux comportements des trajectoires du système au voisinage de ses points d'équilibre.

Nous rappelons dans ce qui suit quelques définitions importantes qui forment l'approche de la stabilité au sens de Lyapunov.

2.2.1.1- Stabilité du point d'équilibre.

Un point d'équilibre xe est dit stable si, pour tout å > 0, il existe une valeur ä>0 tel que :

x(t0) - xe <ä x(t) - xe <å ?t = t0 (85)

Où, t0 est l'instant initial.

Dans le cas contraire, xe est dit instable.

Ainsi, la stabilité au sens de Lyapunov signifie que la trajectoire x(t), avec une condition initiale x(t0), doit rester proche du point d'équilibre xe (c.-à-d. x(t0) - xe <ä), pour tout t = t0. Pour cela, les solutions x(t) doivent rester à l'intérieur de la région délimitée par x(t) - xe < å , c.-à-d. rester dans un "tube" de rayon å autour de la trajectoire x(t) = xe, figure (19), ( Fouad et al., 1991).

t

x(t)

t0

Figure 19. Stabilité d'un point d'équilibre.

2.2.1.2- Stabilité asymptotique.

Un point d'équilibre est asymptotiquement stable s'il est stable et si :

lim ( ) - =

t x t x

?8 e

0 (86)

La stabilité asymptotique signifie que non seulement le point d'équilibre est stable, mais qu'on est aussi capable de déterminer un domaine proche du point d'équilibre tel que n'importe quelle trajectoire, issue d'un état initial x(t0) appartenant à ce domaine, tende vers xe quand t tend vers 8, figure (20), ( Fouad et al., 1991).

t

x(t)

t0

Figure 20. Stabilité asymptotique.

Un ensemble d'états initiaux x(t0) à partir desquels les trajectoires convergent vers un point d'équilibre asymptotiquement stable est appelé un domaine d'attraction D.

La stabilité asymptotique est la propriété généralement recherchée en pratique. Il faut cependant remarquer que la définition ci-dessus ne donne pas d'information sur la vitesse à laquelle la trajectoire x(t) converge vers l'équilibre. C'est pourquoi, on introduit la notion de stabilité exponentielle qui permet de caractériser cette vitesse.

2.2.1.3- Stabilité exponentielle.

Un point d'équilibre est exponentiellement stable si pour tout å > 0, il existe des constantes a>0, b)>0 et ä>0 tel que :

x(t0) - xe <ä ( ) - < · ( 0 ) - · ? t = t0 (87)

bt

x t x e a x t x e e -

Cette stabilité signifie que le vecteur d'état, pour une condition initiale x(t0), converge vers un point d'équilibre xe plus rapidement qu'une fonction exponentielle ; b est appelé le taux de convergence. Par ailleurs, la stabilité exponentielle implique la stabilité asymptotique qui implique elle-même la stabilité d'un point d'équilibre. La figure (21) illustre schématiquement la définition de la stabilité exponentielle (Miller et al., 1982).

2.2.2- Méthodes d'analyse de stabilité au sens de Lyapunov. 2.2.2.1- Première méthode de Lyapunov (méthode indirecte).

La première méthode de Lyapunov se base sur l'analyse du comportement du système linéarisé autour de son point d'équilibre. Plus précisément, on examine les valeurs propres ëi du système de la matrice Jacobienne (la matrice d'état) A évaluée au point d'équilibre xe :

A

? f

 
 
 

(88)

 

? x x

=

xe

Les caractéristiques de stabilité de cette méthode ont été expliquées dans le premier chapitre (§§-1.4.3.2). Nous les rappelons ci-dessous :

- si toutes les valeurs propres de la matrice d'état sont à partie réelle strictement négative (?i, Réel(ëi (A)) < 0), le système est exponentiellement stable à son point

d'équilibre. Dans ce cas, on a e

lim ?8 ( ) .

t x t = x

- si la matrice d'état possède au moins une valeur propre à partie réelle strictement

.

positive ( ? i, Réel(ëi (A)) > 0), le système est instable. Dans ce cas, on a = 8

lim ?8 x ( t )

t

La première méthode est simple à appliquer mais étant donné que cette méthode repose sur une linéarisation du système, sa validité est alors limitée à un certain voisinage du point d'équilibre. Lorsque la linéarisation du système n'est pas possible ou lorsqu'on veut analyser le système sans le résoudre explicitement, on utilise la deuxième méthode de Lyapunov (Slotine et al., 1991).

-

t

a e - · -

·

b ( t t0 )

a

a e - · -

·

b ( t t0 )

t0

Figure 21. Stabilité exponentielle. 2.2.2.2- Deuxième méthode de Lyapunov (méthode directe).

La deuxième méthode de Lyapunov s'appuie sur une observation physique fondamentale :

Si l'énergie totale d'un système, linéaire ou non-linéaire, est continûment dissipée (on parle de système dissipatif), alors le système doit tendre finalement vers un point d'équilibre.

Ainsi, l'idée de Lyapunov, pour étudier la stabilité d'un système donné, est d'examiner la variation d'une seule fonction scalaire (appelée la fonction de Lyapunov) dépendant de l'énergie totale du système (Khalil, 1996). Autrement dit, cette méthode est basée sur la définition d'une fonction de Lyapunov décroissante le long des trajectoires du système à l'intérieur du domaine d'attraction. Cette méthode s'énonce comme suit (Custem, 2002, II) :

Le point d'équilibre xe est stable s'il existe dans un certain voisinage ? de ce dernier une

fonction de Lyapunov V(x) telle que :

· V(xe)=0

· V(xe)>0 pour tout x dans ?


· V(x)=0

d dans ?

dt

Les deux premières conditions expriment la présence de surfaces fermées entourant le point d'équilibre xe. La troisième condition exprime que les trajectoires du système soit restent sur ces surfaces, soit coupent les surfaces en entrant à l'intérieur d'elles, d'où la stabilité du point d'équilibre.

La deuxième méthode de Lyapunov permet, outre l'analyse de stabilité d'un point d'équilibre du système, de déterminer une partie de son domaine d'attraction en ce sens que ? est inclus dans D.

2.2.3- Conclusion.

Dans cette partie, nous avons rappelé les définitions de la stabilité au sens de Lyapunov. Nous avons également présenté les méthodes d'analyse de la stabilité d'un système linéaire (1ère méthode de Lyapunov) et d'un système non-linéaire (2ème méthode de Lyapunov).

Dans la partie suivante, nous allons exposer les définitions et les principales caractéristiques des différents types de la stabilité de système de puissance.

2.3- Les différents types de la stabilité de système de puissance.

Pendant des années, des recherches diverses et complexes étaient effectuées pour comprendre les problèmes de stabilité des systèmes de puissance. Ainsi de nombreuses définitions de la stabilité de systèmes de puissance étaient proposées en insistant sur les divers aspects qui reflètent la manifestation de l'état stable de système. La définition la plus récente, que nous adopterons, est le résultat d'un groupe de travail conjoint IEEE/CIGRE (IEEE/CIGRE, 2004).

La stabilité d'un système de puissance est la capacité d'un système d'énergie électrique, pour une condition de fonctionnement initiale donnée, de retrouver le même état ou un autre état d'équilibre après avoir subi une perturbation physique, en gardant la plupart des variables de système dans leurs limites, de sorte que le système entier reste pratiquement intact.

Ainsi un système de puissance possédant un état d'équilibre est considéré comme stable, si suite à une perturbation, le système peut encore retrouver une position d'équilibre. Le système est également considéré comme stable s'il tend vers une autre position d'équilibre située dans la proximité du point d'équilibre initial. Cela correspond aux propriétés de la stabilité du point d'équilibre au sens de Lyapunov.

La stabilité d'un système de puissance électrique représente la propriété du mouvement du système autour d'un état d'équilibre (c.-à-d. les conditions de fonctionnement initiale).

Dans un état d'équilibre, toutes les différentes forces opposées sont égales :

- soit instantanément : c'est le cas des points d'équilibre,

- soit périodiquement : c'est le cas des variations périodiques lentes en raison des petites fluctuations continuelles sur les charges ou la génération.

Ainsi, la stabilité d'un système de puissance dépend non seulement des conditions de fonctionnement initiales elle dépend également de la nature physique et de l'amplitude de la perturbation.

En raison de la taille, de l'importance et de la complexité des problèmes de stabilité, il est très intéressant de faire des simplifications et des hypothèses appropriées pour représenter analytiquement le système.

Pour analyser et résoudre les problèmes d'instabilité dans les systèmes de puissance, il est indispensable de regrouper les différents groupes de stabilité. Cette classification de la stabilité est basée sur les considérations suivantes (Kundur, 1994) :

- la nature physique de l'instabilité résultante.

- l'amplitude de la perturbation.

- la plage de temps nécessaire pour assurer la stabilité.

- les dispositifs et les processus nécessaires pour assurer la stabilité.

Habituellement, la stabilité est divisée en trois groupes, à savoir : - la stabilité de l'angle de rotor.

- la stabilité de tension.

- la stabilité de fréquence.

La figure (22) présente ces principales catégories de stabilité d'un système de puissance et leurs sous-catégories.

Stabilité dynamique

perturbations

Stabilité de

l'angle de

rotor aux
petites

Stabilité de l'angle
de rotor

de l'ordre de
10 à 20
secondes

court
terme

rotor aux
grandes
perturbations

Stabilité transitoire

Stabilité de

l'angle de

STABILITE DE SYSTEME
DE PUISSANCE

de l'ordre
de plusieurs
secondes

terme

court

Stabilité de la

fréquence

de l'ordre
de plusieurs
minutes

long
terme

Stabilité de

la tension
aux petites
perturbat ions

de l'ordre
de plusieurs
secondes

court
terme

Stabilité de la
tension

la tension
aux grandes
perturbations

Stabilité de

de l'ordre
de plusieurs
minutes

long
terme

Figure 22. Classification des différents types de la stabilité de système de puissance.

Traditionnellement, le problème de la stabilité a été de maintenir le fonctionnement synchrone des générateurs du système. Ainsi, pour avoir une production satisfaisante de la puissance électrique, toutes les machines synchrones du système doivent fonctionner en synchronisme. Cet aspect de la stabilité est influencé par les dynamiques de l'angle de rotor de générateur et de la relation puissance-angle.

L'instabilité peut également avoir lieu sans perte de synchronisme. Par exemple, un système composé d'un générateur alimentant un moteur à induction peut devenir instable en raison de l'effondrement de la tension de la charge. Dans ce cas, c'est la stabilité et le contrôle de la tension qui créent le problème, plutôt que le maintien du synchronisme. Ce type d'instabilité peut aussi se produire dans le cas de charges couvrant une vaste zone dans un grand système.

Un autre type d'instabilité peut avoir lieu : dans l'éventualité d'un fort écart entre la puissance de la charge et la puissance de la génération, les contrôleurs principaux des générateurs et de la charge deviennent importants. S'ils ne sont pas bien coordonnés, il est possible que la fréquence du réseau devienne instable. Des unités de générations et/ou de charges peuvent finalement être déclenchées en entraînant une panne du système. Dans ce cas, les générateurs peuvent rester en synchronisme mais le système devient instable.

2.3.1- La stabilité de l'angle de rotor. 2.3.1.1- Introduction.

Etant donné que la génération de puissance électrique dépend principalement des machines synchrones, un aspect important est le fonctionnement de ces générateurs au synchronisme (Custem, 2002, II). Au synchronisme, les rotors de chaque machine synchrone du système tournent à la même vitesse électrique et les angles entre les champs magnétiques, rotoriques et statoriques, restent constants.

En fonctionnement nominal équilibré, la puissance électrique fournie par le générateur aux charges est égale, en négligeant les pertes, à la puissance mécanique fournie par la turbine.

Quand le système est perturbé, la puissance électrique de la machine varie rapidement, mais la variation de puissance mécanique fournie à la machine est relativement lente. En raison de cette différence de vitesse de réponse, un écart temporaire d'équilibre de puissance a lieu. Par conséquent, ce déséquilibre de puissance entraîne une variation des couples agissant sur le rotor. Ceci entraîne une accélération ou décélération du rotor selon le sens du déséquilibre, voire un glissement du champ de synchronisme en entraînant une perte de synchronisme du générateur avec le reste du système (Basler et al., 2005). Si l'équilibre de puissance n'est pas rétabli, la machine est mise hors service par une protection de survitesse ou de perte de synchronisme, et la stabilité du système est mise en danger.

Suite à une perturbation au système, le facteur principal qui détermine l'évolution de l'état du système est l'écart entre les angles de rotor. (Les angles sont mesurés par rapport à une référence tournante au synchronisme). Nous pouvons dire que les angles de rotor d'un système de puissance peuvent évaluer selon deux scénarios (Anderson et al., 2003) :

- Soit, les angles de rotor s'accroissent ensemble et oscillent à l'unisson. Ils peuvent

éventuellement atteindre de nouvelles valeurs stables. Tant que les écarts entre les

angles de rotor restent constants, le système reste stable et il demeure au synchronisme.

- Soit, un ou plusieurs angles de rotor s'accroissent plus rapidement que les autres. Alors, les écarts entre les angles de rotor divergent dans le temps. Le système devient par conséquent instable et il perd le synchronisme.

Pour conclure, nous pouvons dire que :

La stabilité de l'angle de rotor concerne la capacité des machines synchrones d'un système de puissance interconnecté de rester en synchronisme suite à une perturbation. Elle dépend de la capacité de maintenir/restaurer l'équilibre entre les couples électromagnétique et mécanique agissant sur le rotor de chaque machine synchrone dans le système. L'instabilité qui peut résulter se produit sous forme d'augmentation des oscillations angulaires de certains générateurs pouvant conduire à une perte de synchronisme avec d'autres générateurs.

Suivant l'amplitude de la perturbation, nous pouvons caractériser la stabilité de l'angle de rotor en deux sous-catégories :

2.3.1.2- Stabilité angulaire aux grandes perturbations (stabilité transitoire).

Elle concerne la capacité du système de puissance de maintenir le synchronisme après avoir subi une perturbation sévère transitoire tel un court-circuit sur une ligne de transmission ou une perte d'une partie importante de la charge ou de la génération. La réponse du système implique de grandes variations des angles de rotor. Elle dépend de la relation non-linéaire couples- angles.

La stabilité transitoire dépend non seulement de l'amplitude des perturbations et du point de fonctionnement initial mais elle dépend également des caractéristiques dynamiques du système. Elle se manifeste à court terme sous forme d'un écart croissant de façon apériodique de certains angles de rotor. Si l'instabilité se manifeste directement suite à la perturbation (plus précisément dans la première seconde qui suit l'élimination du défaut), elle est appelée instabilité de première oscillation (First Swing Instability), (cas 1, figure (23)), et elle s'étend sur 3 à 5 secondes. L'instabilité transitoire peut aussi se manifester autrement. Elle peut résulter de la superposition des effets de plusieurs modes d'oscillation lents excités par la perturbation, provoquant ainsi une variation importante de l'angle de rotor au-delà de la première oscillation (instabilité de multi-oscillations), (cas 2, figure (23)). La gamme de temps associée va de 10 à 20 secondes.

t (s)

Cas 2

Cas 1

Figure 23. Variation d'angle de rotor.
Cas 1 : instabilité de première oscillation. Cas 2 : instabilité de multi-oscillations.

Le concept de stabilité transitoire peut être expliqué par une approche graphique simple, à savoir le critère d'égalité des aires (Equal Area Criterion). Cette approche regroupe l'équation du mouvement et la courbe (P-ä) traditionnelle représentant la relation entre la puissance produite par le générateur et l'angle de rotor (Bergen et al., 2000).

Pour expliquer cette approche, nous prenons un système de puissance simple constitué d'un générateur synchrone connecté à un jeu de barre infini via une ligne de transmission, figure (24). Le générateur est modélisé par une source de tension idéale Eg en série avec une réactance Xg (modèle classique). La ligne et le transformateur sont représentés par la réactance XE.

Eg?ä

Xg ETB ETH

XL

XT

XE = XT + XL

Eo?0

Figure 24. Machine synchrone connectée à un jeu de barre infini. 1- Relation (P-ä) :

Dans l'état équilibré, la puissance produite par le générateur Pe est donnée par l'équation suivante :

E E

·

P (89)

g 0 · sin ä

e X X

g

=

+ E

Où, ä, l'angle de rotor (dit ici, l'angle de puissance), est le déphasage entre la tension interne du générateur (Eg) et la tension du jeu de barre infini (E0). L'équation (89) est représentée graphiquement à la figure (25).

P

Pe max
Pe 2
Pe 1

 
 
 
 
 
 
 

äa äb 90° 180°

Figure 25. Relation puissance- angle de rotor.

äb
äa

Lors de l'équilibre, la puissance électrique Pe1 est égale à la puissance mécanique appliquée pour l'angle correspondant äa.

Un brusque changement sur la charge du générateur entraîne une variation de la puissance mécanique, et par conséquent de la puissance électrique, par exemple de Pe1 à Pe2, figure (25). Le rotor va donc accélérer de sorte que l'angle de puissance augmente, de äa à äb, pour pouvoir fournir une puissance supplémentaire à la charge. Cependant, l'accélération du rotor ne peut pas s'arrêter instantanément. Ainsi, bien que la puissance développée pour l'angle äb soit suffisante pour la charge, le rotor va dépasser l'angle äb jusqu'à ce qu'un couple opposé suffisant soit développé pour arrêter cette accélération. L'énergie supplémentaire va entraîner le ralentissement du rotor et la diminution de l'angle de puissance. Suivant l'inertie et l'amortissement du système, les oscillations de l'angle de rotor résultant vont ou s'amortir, et la machine restera stable (cas 1, figure (26)), ou diverger, et la machine deviendra instable en perdant le synchronisme avec le système (cas 2, figure (26)).

Cas 2
instable

Cas 1
stable

 

t (s)

Figure 26. Variation d'angle de rotor. 2- Critère d'égalité des aires :

Considérons un défaut, tel un défaut sur la ligne de transmission, appliqué au système précédent disparaissant après quelques périodes du système. Ceci va modifier l'écoulement de puissance et, par conséquent, l'angle de rotor ä. Retraçons la courbe (P-ä) en tenant compte de ce défaut, figure (27). En dessous de cette courbe, nous pouvons considérer deux zones, (Gholipour Shahraki, 2003) :

- La première zone (zone A1, zone d'accélération) se situe au-dessous de la droite horizontale correspondante au point de fonctionnement initial (la droite de charge). Elle est limitée par les deux angles de rotor (ä0 et ä1) correspondants à l'apparition et à la disparition de défaut. Cette zone est caractérisée par l'énergie cinétique stockée par le rotor du fait de son accélération : Pm > Pe.

- La deuxième zone (zone A2, zone de décélération), qui commence après l'élimination du défaut, se situe en dessus de la droite de charge : elle est caractérisée par la décélération du rotor : Pm < Pe.

o P P

( m e

-

2 H

) (90)

d 2

dt

2

Si le rotor peut rendre dans la zone A2 toute l'énergie cinétique acquise durant la première phase, le générateur va retrouver sa stabilité. Mais si la zone A2 ne permet pas de restituer toute l'énergie cinétique, la décélération du rotor va continuer jusqu'à la perte de synchronisme.

ä0 ä1

ä2 180°

a

P

Région stable

aire 1 A2

Pm = Pe

Région instable

aire A1

Apparition
de défaut

Disparition
de défaut

0 ä

t1

t2

t

b

Figure 27. Courbes (a : puissance-angle) et (b : variation d'angle de rotor) du générateur
suite à un défaut de transmission.

La relation entre les aires des zones (A1 et A2) et la stabilité transitoire peut être mathématiquement expliquée comme suit :

Rappelons tout d'abord que l'équation du mouvement de générateur est donnée par la relation suivante :

H : la constante d'inertie.

ùo : la vitesse de synchronisme.

Pm : la puissance mécanique fournie au générateur. Pe : la puissance électrique du générateur.

En multipliant cette équation par 2· , en intégrant par rapport au temps et en faisant

dt

un changement de variables, nous obtenons :

? 2

2 ä

d ä ù

?

? ? ?? + = ? - ·

cte o (91)

( )

P P d ä m e

dt H

ä 0

ä0 : l'angle de rotor, initial, à l'instant de l'application de défaut. ä2 : l'angle de rotor à la fin de la période transitoire.

Ainsi, lorsque : t = = =

0 0 ,

ä ä 0 la constante cte = 0.

dt

Après l'élimination du défaut, l'angle ä va s'arrêter de varier et le générateur va retrouver

sa vitesse de synchronisme, lorsque = 0.

dt

Par conséquent, l'équation (91) s'écrit comme suit :

ä2

? ( ) 0

P m P e (92)

- · =

ä 0

ä 1 ä 2

(93)

? - · + ? - · =

( ) ( ) 0

P m P e d ä P m P e d ä

ä 0 ä 1

Où : ä1 est l'angle de rotor à l'instant de l'élimination de défaut.

A1-A2=0 (94)

Ainsi, la limite de la restauration de la stabilité transitoire se traduit mathématiquement par l'égalité des aires de la zone A1 et de la zone A2 : cette condition est appelée critère d'égalité des aires (Equal Area Criterion).

Par conséquent, les contrôleurs de la stabilité transitoire peuvent améliorer la stabilité soit en diminuant la zone d'accélération (zone A1), soit en augmentant la zone de décélération (zone A2). Cela peut être réalisé soit en augmentant la puissance électrique, soit en diminuant la puissance mécanique.

En outre, un système statique d'excitation avec une tension maximale élevée et d'un régulateur de tension possédant une action "puissante" et rapide représente un moyen très efficace et économique pour assurer la stabilité transitoire (CIGRE, 1999). Enfin, une amélioration signifiante de la stabilité transitoire est obtenue avec des systèmes très rapides de détection des défauts et de disjoncteurs.

2.3.1.3- Stabilité angulaire aux petites perturbations (stabilité dynamique).

Elle se définie par la capacité du système de puissance de maintenir le synchronisme en présence des petites perturbations. L'instabilité résultante se manifeste sous forme d'un écart croissant, oscillatoire ou non-oscillatoire, entre les angles de rotor.

La stabilité aux petites perturbations dépend du point de fonctionnement d'équilibre initial du système ainsi que des caractéristiques dynamiques du système. Contrairement à la stabilité transitoire, elle ne dépend pas de niveaux de perturbations, car celles-ci sont arbitraires et infiniment petites (Custem, 2002, II).

La relation puissance-angle (89) est une relation non-linéaire en sinus. Mais pour des petites perturbations, la variation de puissance reste approximativement proportionnelle à la variation de l'angle ä. Des exemples typiques des petites perturbations peuvent être donnés par des variations de niveau de 10 % de la puissance mécanique appliquée à une machine du système ou sur sa charge,... (Anderson et al., 2003).

La stabilité transitoire, comme nous l'avons vu, est associée à la présence d'un couple synchronisant suffisant, immédiatement après la perturbation. Si le système est transitoirement stable, la stabilité aux petites perturbations sera associée à la présence d'un couple d'amortissement à la suite de la première oscillation. Si ce couple est suffisant, les oscillations s'amortiront (amortissement positif). Par ailleurs, si l'amortissement n'est pas suffisant, les oscillations vont continuer, ou même elles vont augmenter (amortissement négatif c.-à-d. manque de couple d'amortissement).

La perte de synchronisme peut avoir lieu entre une machine et le reste du système (provoquant une instabilité locale), ou bien entre des groupes des machines, dans lesquels chaque groupe peut garder son synchronisme (désignant une instabilité globale).

L'instabilité aux petites perturbations se manifeste à court terme, la gamme de temps associée étant de l'ordre de 10 à 20 secondes.

Ce type de stabilité va être étudié en détail dans la partie (§§-2.4) de ce chapitre. 2.3.2- La stabilité de tension.

La stabilité de tension, par définition, se rapporte à la capacité d'un système de puissance, pour une condition de fonctionnement initiale donnée, de maintenir des valeurs de tensions acceptables à tous les noeuds du système après avoir subi une perturbation. La stabilité de tension dépend donc de la capacité de maintenir/restaurer l'équilibre entre la demande de la charge et la fourniture de la puissance à la charge. L'instabilité résultante se produit très souvent sous forme de décroissance progressive de tensions à quelques noeuds.

Suite à une perturbation, certaines charges ont tendance à restaurer la puissance consommée avant perturbation. C'est le cas des moteurs asynchrones, des charges dont la tension est contrôlée par un régleur en charge automatique, des chauffages électriques commandé par thermostat, ... . Il existe une puissance maximale transmissible entre les centres de production et ceux de consommation. Cette puissance maximale disponible dépend non seulement des caractéristiques du réseau de transport (distances électriques) mais également de celles des générateurs (possibilité de maintenir la tension grâce à une réserve de puissance réactive suffisante). Par conséquent, si la puissance que les charges tendent à

restaurer devient supérieure à la puissance maximale transmissible, le mécanisme de restauration des charges va contraindre le réseau haute tension en augmentant la puissance réactive consommée et en faisant donc baisser progressivement la tension du réseau jusqu'à des valeurs inacceptables (Custem, 2002, II).

Généralement, l'instabilité de tension se produit lorsqu'une perturbation entraîne une augmentation de puissance réactive demandée au-delà de la puissance réactive possible.

Plusieurs changements dans le système de puissance peuvent contribuer à l'instabilité de tension, ce sont par exemple :

- une augmentation de charge.

- des générateurs, des condensateurs synchrones, ou des SVCs (Static Var Compensator systems) qui atteignent les limites de puissance réactive.

- une tentative d'un régleur automatique en charge ayant échouée de restaurer la tension de charge à son niveau initial avant la perturbation.

- une panne de générateur, une perte d'une charge importante ou un déclenchement de ligne.

- une perte d'une source de puissance réactive (condensateurs, machines synchrones,...).

La plupart de ces changements ont des effets significatifs sur la production, la consommation et la transmission de puissance réactive, ainsi sur la stabilité de tension. Par conséquent, des mesures peuvent être utilisées pour améliorer la stabilité de tension, tels (IEEE/PES, 2002) :

- un contrôle automatique des condensateurs shunts.

- un blocage des régleurs en charge automatique.

- une nouvelle répartition de la génération.

- une replanification du fonctionnement des générateurs et des noeuds de commande. - une régulation de tension secondaire.

- un plan de délestage.

La gamme de temps de l'instabilité de tension s'étend de quelques secondes à plusieurs minutes. Ainsi, l'instabilité de tension peut être considérée comme un phénomène à court terme (de l'ordre de plusieurs secondes) ou, dans l'autre cas limite, comme un phénomène à long terme (de l'ordre de plusieurs minutes).

Pour l'instabilité de tension à court terme l'effondrement de tension se produit immédiatement après la perturbation. Dans ce type d'instabilité, les charges et les dispositifs, qui ont des caractéristiques spéciales de puissance réactive tels les moteurs asynchrones sont souvent impliqués. Les moteurs asynchrones consomment, juste après la perturbation, beaucoup de puissance réactive pour assurer leur stabilité vis-à-vis leurs charge. D'autres éléments peuvent aussi participer à cette instabilité : les charges commandées électroniquement, les convertisseurs HVDC, ... .

L'instabilité de tension à long terme se développe lors d'un manque graduel de puissance réactive d'un noeud ou une partie du système. Elle implique, quant à elle, des équipements ayant une action plus lente tels les régleurs en charge automatique, les charges commandées thermostatiquement, ... .

Il est aussi important de noter que l'instabilité de tension ne se produit pas toujours toute seule. Souvent, l'instabilité de tension et l'instabilité de l'angle de rotor se produisent ensemble, l'une pouvant entraîner l'autre.

Enfin, la stabilité de tension peut être classée en deux catégories ; la stabilité de tension aux grandes perturbations et aux petites perturbations :

- Stabilité de tension aux grandes perturbations. Le souci dans ce cas est de maintenir des tensions normales aux noeuds de réseau électrique après une grande perturbation. La stabilité est déterminée ici par les caractéristiques du système et de charge, et par les interactions entre les différents dispositifs de commande de tension dans le système (Passelergue, 1998).

- Stabilité de tension aux petites perturbations. Dans ce cas, les caractéristiques de la charge et des dispositifs de commande déterminent la capacité du système à maintenir les tensions équilibrées.

2.3.3- La stabilité de fréquence.

La stabilité de la fréquence d'un système de puissance se définit par la capacité du système de maintenir sa fréquence proche de la valeur nominale suite à une perturbation sévère menant par conséquent à un important déséquilibre, entre les puissances produite et consommée.

Le maintien de la fréquence à une valeur nominale dans un système de puissance est lié à l'équilibre global entre les puissances actives produites et consommées (y compris les pertes).

Autrement dit, suite à certaines perturbations, l'équilibre global des puissances produite- consommée peut être déséquilibré : ce déséquilibre entraîne alors une variation de fréquence.

L'énergie cinétique stockée dans les pièces tournantes des machines synchrones et autres machines électriques tournantes peut éventuellement compenser ce déséquilibre. Si ce dernier n'est pas trop grand, les générateurs participant à la commande de fréquence régleront la puissance active fournie à travers leurs réglages secondaires fréquence-puissance et ramèneront ainsi l'écart de fréquence à des valeurs acceptables. Par ailleurs, si le déséquilibre est trop grand, l'écart de fréquence sera significatif avec des graves conséquences (effondrement complet du système), (Andersson, 2006).

Lorsque la fréquence varie, les caractéristiques de temps des processus et des différents dispositifs activés vont varier de quelques secondes à quelques minutes. La stabilité de fréquence peut donc être classifiée en phénomènes à court terme et à long terme.

Dans un grand système de puissance et suite à un incident sévère et, par la suite, à l'action de protections (par exemple, un déclenchement de plusieurs lignes de transmission), l'instabilité de la fréquence est généralement associée à l'îlotage où un scénario typique peut avoir lieu. Un ou plusieurs sous-réseaux se retrouvent isolés du reste du système. Les générateurs de chaque sous-réseau résultant essayent de garder le synchronisme entre eux, mais la réserve tournante est nettement insuffisante pour faire face à la charge connectée au sous-réseau. La fréquence décroît ainsi rapidement et l'instabilité produite est donc à court terme.

L'instabilité de fréquence peut également se manifester à long terme, lorsqu'elle provient d'une mauvaise réponse en puissance des centrales ou d'une mauvaise coordination entre des régulations et protections (Custem, 2002, II).

2.3.4- Conclusion.

Dans cette partie, nous avons présenté les définitions et les caractéristiques des différents types de stabilité d'un système de puissance. Le concept général de la stabilité peut se synthétiser en trois groupes (stabilité de l'angle de rotor, de la tension et de la fréquence). Cette classification est nécessaire pour mieux comprendre les mécanismes :

- des phénomènes de l'instabilité du système.

- des dispositifs nécessaires pour assurer la stabilité du système.

Historiquement, les chercheurs et les ingénieurs des systèmes de puissance mettaient l'accent sur la stabilité de l'angle de rotor. Or les opérateurs des systèmes de puissance se trouvent actuellement souvent obligés de faire fonctionner leurs systèmes aux limites de la stabilité. L'amélioration de la stabilité angulaire aux petites perturbations, en particulier l'amortissement des oscillations interrégionales, est donc devenue un objectif prioritaire : elle sera développée dans la partie suivante de ce chapitre.

2.4- Etude de la stabilité angulaire aux petites perturbations. 2.4.1- Introduction.

Les problèmes des oscillations à faibles fréquences ont toujours été un sujet de préoccupation. Mais pendant plusieurs décennies, les ingénieurs des systèmes de puissance se sont préoccupés beaucoup plus de la stabilité transitoire. Les origines de cette dernière étaient faciles à identifier et des mesures correctives ont été mises au point.

Les oscillations, qui sont typiquement dans la gamme de fréquences de 0,2 à 2 Hz, peuvent être excitées par des petites perturbations dans le système ou, dans certains cas, peuvent même prendre naissance spontanément.

Ces oscillations limitent la capacité de transmission de la puissance et, parfois, peuvent même causer la perte de synchronisme et un effondrement de l'ensemble du système. Dans la pratique, en plus d'assurer la stabilité, le système doit être bien amorti : c.-à-d. les oscillations doivent être atténuées le plus rapidement possible dès leurs apparitions.

La stabilité angulaire aux petites perturbations peut être améliorée en faisant varier une grandeur électrique :

- physiquement : de manière à augmenter le couple d'amortissement agissant sur le rotor des machines synchrones.

- mathématiquement: de manière à déplacer vers la partie gauche du plan complexe les
valeurs propres complexes correspondant à une oscillation instable ou mal amortie.

Parmi les grandeurs que l'on peut moduler dynamiquement nous nous intéressons au signal supplémentaire injecté dans l'entrée de l'AVR par le stabilisateur de puissance (PSS). Il agit à travers le régulateur sur le couple électromagnétique de manière à renforcer sa composante d'amortissement.

Dans la dernière partie de ce chapitre, nous allons détailler les éléments importants de la stabilité aux petites perturbations tels :

- le rôle de la variation du couple électromagnétique.

- l'influence du système d'excitation.

- les différents types d'oscillations à faibles fréquences.

- le PSS et ses méthodes de réglages et de localisation.

2.4.2- Variation de couple électromagnétique.

Dans un système de puissance, l'écoulement de puissance est lié aux positions angulaires des rotors de générateurs. Les positions des rotors doivent être réglées à tout moment pour faire face à tout changement de conditions de fonctionnement (variations de charge, de puissance de sortie de turbine,...). Un déséquilibre entre les couples mécanique et électromagnétique agissant sur le rotor, provoque une variation du mouvement du rotor, par rapport à une référence synchrone tournante. Ainsi, le couple électromagnétique joue un rôle important dans la stabilité angulaire. Ce couple est généralement produit par les interactions entre les trois circuits du stator de générateur, le circuit d'excitation et d'autres circuits tels les enroulements amortisseurs (Anderson et al., 2003).

Suite à une perturbation, les variations du couple électromagnétique peuvent s'exprimer en fonction des variations d'angle de rotor Ää et de vitesse Äù, suivant l'équation (95), (DeMello et al., 1969) :

Ä = + = ? Ä ä + ? Ä ù

T e T S T A K S K A(95)

KS : coefficient de couple synchronisant.
KA : coefficient de couple d'amortissent.

2.4.2.1- Couple synchronisant TS.

Donné par la composante, T S = K S ? Ää, il représente la variation de couple électromagnétique en phase avec la variation d'angle de rotor Ää.

Le couple synchronisant est produit par les interactions entre les enroulements du stator et la composante fondamentale du flux de l'entrefer. Ce couple tend à accélérer ou décélérer le rotor pour le ramener à sa position initiale. Il agit comme un couple de rappel d'un ressort d'un système mécanique, masse-ressort (IEEE, 2003).

Pour des petites déviations du point de fonctionnement, le coefficient de couple synchronisant KS est représenté par la pente de la courbe de la relation (puissance - angle), comme le montre la figure (28).

E1?ä

E2?

0

Pe

X

K 1 2 cos 0

E E ä

=

S

P

X

ÄP e

=

ä

Ä

E E

1 2 sinä

=

X

ä0 90° 180°

Figure 28. La relation (puissance- angle) du générateur et le coefficient de couple
synchronisant.

Si äo est l'angle de puissance à l'état équilibré, entre la tension interne du générateur (E1) et la tension du jeu de barre infini (E2), la pente de courbe à äo est simplement la dérivée de la fonction puissance - angle :

K S

=

dP e

 

E1

· E 2

cos

äo

(96)

ä o

 

X

 
 
 
 
 
 
 
 

Le couple synchronisant détermine alors la capacité du système de supporter une grande perturbation sans perdre le synchronisme : il est un facteur important pour la stabilité transitoire. En cas des petites perturbations, le couple synchronisant détermine la fréquence des oscillations.

2.4.2.2- Couple d'amortissement TA.

Donné par la composante, TA = KA ? Äù, il représente la variation de couple électromagnétique en phase avec la variation de vitesse de rotor Äù.

Ce couple résulte généralement des interactions entre la séquence positive du flux de l'entrefer et les enroulements du rotor, plus particulièrement les enroulements amortisseurs. Comme nous l'avons déjà vu, une variation de l'angle de rotor ä entraîne une variation de vitesse de rotor, Äù. D'après la loi de Faraday, la f. é.m. induite est proportionnelle à la variation de vitesse. Le courant induit par cette f. é.m. interagit avec le champ électromagnétique du générateur, en produisant par conséquent un couple d'amortissement naturel. Ce couple tend à amortir les oscillations électromécaniques de la machine en particulier suite à la première oscillation résultant d'une grande perturbation (Anderson et al., 2003). Ainsi, il est essentiel pour la stabilité aux petites perturbations, où le taux d'amortissement des oscillations de rotor est primordial. Mais souvent, ce couple est faible et parfois négatif surtout en présence de contrôleurs tels les contrôleurs de tension (ces derniers sont pratiquement les seules sources d'amortissement négatif). Un couple négatif conduit à une croissance spontanée des oscillations jusqu'à la perte de synchronisme.

Actuellement, les problèmes de stabilité angulaire aux petites perturbations sont considérés associés à l'amortissement insuffisant des oscillations.

2.4.3- Influence du système d'excitation sur la stabilité angulaire.

La stabilité angulaire dépend des deux composantes du couple électromagnétique, TS, TA, pour chaque machine synchrone du système. La littérature montre qu'une insuffisance de couple synchronisant conduit à une instabilité apériodique ou non-oscillatoire, alors qu'un manque de couple d'amortissement conduit à une instabilité dynamique (IEEE/CIGRE, 2004).

De même, la littérature montre que le système d'excitation avec son régulateur de tension a un impact important sur les deux couples et par conséquent sur la stabilité. Généralement, lorsqu'il y a des variations de tension, les deux puissances active et réactive transmissibles dans le réseau de transport vont varier. Cela entraîne des interactions indésirables entre les régulateurs de fréquence (puissance active) et de tension (puissance réactive).

Les systèmes d'excitation modernes, ayant une réponse rapide et une action "puissante", peuvent augmenter le couple synchronisant. Ceci améliore donc la stabilité transitoire. Mais cet avantage peut être contrebalancé par l'impact négatif du système d'excitation sur l'amortissement des oscillations en diminuant couple d'amortissement (Yu, 1983).

Ainsi, le fonctionnement du système d'excitation est perturbé par le conflit entre les contraintes du contrôle durant les quelques premières périodes du réseau après la perturbation et le laps de temps suivant. Pour cela, nous distinguons deux types d'effet du système d'excitation, à savoir : l'influence sur la stabilité transitoire et l'influence sur la stabilité aux petites perturbations (Anderson et al., 2003).

2.4.3.1- Influence sur la stabilité transitoire.

Comme nous l'avons déjà expliqué, l'objectif principal de la stabilité transitoire est de maintenir le synchronisme pendant et suivant une perturbation sévère. La durée qui nous intéresse est relativement courte (quelques secondes au maximum), la première oscillation ayant une importance déterminante. Durant cette phase, le générateur est soumis à une variation considérable de sa puissance électrique et ainsi à une accélération (ou décélération) de son rotor. Un système d'excitation rapide et puissante peut faire varier très rapidement la tension interne du générateur, durant cette phase. Ceci va augmenter la puissance électrique et le couple synchronisant produits pendant la première oscillation. Par conséquent, la puissance électromagnétique disponible va entraîner une diminution importante de l'accélération du rotor et de l'angle de rotor bien avant d'atteindre la limite de la stabilité transitoire : la marge de stabilité sera donc augmentée.

Pour montrer clairement l'effet positif d'un système d'excitation rapide et puissante sur la stabilité transitoire, reprenons le système précédent (machine synchrone connecté à un jeu de barre infini, figure (24)).

La figure (29) montre les effets de deux types de système d'excitation, à savoir : - un système lent et peu puissante correspondant à la courbe A.

- un système rapide et puissant correspondant à la courbe B, sur un défaut de transmission (Basler et al., 2002).

Cas B

Cas A

P

Pe-B

Maintenance du
synchronisme

Pm = Pe

Perte du
synchronisme

Pe-A

ä0 ä1 180°

ä2

Figure 29. Influence du système d'excitation.

En comparant la zone hachurée située en dessous de la droite de charge (zone d'accélération dans laquelle la puissance électrique est moindre que la puissance mécanique)

avec la zone hachurée située au-dessus de la droite de charge (zone de décélération), nous remarquons que la condition d'égalité entre les deux zones n'est pas assurée pour la courbe A. Par conséquent, la machine va perdre le synchronisme.

Pour la courbe B, il est clair que la zone de décélération est plus grande que la zone d'accélération. La réserve de couple synchronisant permet de restaurer la stabilité après l'élimination du défaut.

Par conséquent, nous pouvons conclure que l'augmentation du couple synchronisant, grâce à un système d'excitation à gain élevé et réponse rapide, augmente bien la puissance maximale transmissible pendant la phase transitoire, et donc la marge de stabilité transitoire.

2.4.3.2- Influence sur la stabilité dynamique.

L'action puissante et rapide du système d'excitation pour améliorer la stabilité transitoire a malheureusement une contribution négative importante sur l'amortissement des oscillations du système.

Le courant d'excitation, qui agit pour améliorer le couple synchronisant, est toujours en retard sur les caractéristiques temporelles correspondantes aux parties électriques du générateur et aux autres parties électriques du système. A partir du moment de l'identification du changement désiré d'excitation, le système d'excitation subit donc un temps de retard inévitable. Pendant ce temps, l'état du système oscillant va changer en impliquant un nouvel ajustement du courant d'excitation. Le système d'excitation reste donc en retard, par rapport au changement nécessaire. Par conséquent, le système d'excitation va introduire l'énergie demandée à contre temps. Les courants ainsi induits dans les circuits du rotor s'opposeront aux courants induits initiés par l'écart de vitesse du rotor (Äù). Le couple d'amortissement diminuera pouvant atteindre des valeurs négatives : le comportement oscillatoire du générateur va donc augmenter et une perte de stabilité peut avoir lieu.

La figure (30) illustre l'influence du couple d'amortissement sur la stabilité aux petites perturbations.

Ää

Ää

t

Système stable - TS positif

- TA positif

Système instable - TS positif

- TA négatif

t

Äù

TS

Ää

Äù

ÄTe

TA

TS

Ää

TA

ÄTe

Figure 30. Influence du couple d'amortissement sur la stabilité.

2.4.4- Les différents types d'oscillations à faibles fréquences.

Comme nous l'avons vu, les oscillations électromécaniques sont associées aux rotors des générateurs. Pendant ces oscillations, l'énergie mécanique cinétique est échangée entre les générateurs lors de l'écoulement de la puissance électrique dans le réseau. Ces oscillations peuvent être classées en deux groupes selon leurs manières d'évolution :

- Oscillations spontanées. Dans ce cas, les oscillations se développent lorsque l'amortissement d'un mode du système devient négatif par changement graduel des conditions de fonctionnement du système.

- Oscillations dues à une perturbation. Un défaut de ligne de transmission, par exemple, peut entraîner des oscillations en diminuant subitement l'amortissement d'un mode. Si cet amortissement devient négatif, les oscillations résultantes vont continuer ou même augmenter.

Les types des oscillations à faibles fréquences rencontrées habituellement dans les systèmes de puissance peuvent être classés en quatre groupes, figure (31). Généralement, la fréquence de ces oscillations fournit une bonne indication sur leurs types.

Modes électromécaniques
de 1 à 2 Hz de 0.2 à 1 Hz

Modes
locaux

Stabilité dynamique

Modes
interrégionaux

STABILITE DE L'ANGLE DE
ROTOR

Modes électriques
> 4 Hz

Modes
de contrôle

Stabilité transitoire

Modes mécaniques
> 4 Hz

de torsion

Modes

Figure 31. Classification de la stabilité de l'angle de rotor. 2.4.4.1- Les oscillations des modes locaux.

Les modes locaux sont les modes les plus rencontrés dans les systèmes de puissance. Ils sont associés aux oscillations entre un générateur (ou un groupe des générateurs) d'une centrale électrique et le reste du système. Le terme local est utilisé car les oscillations sont localisées dans une seule centrale ou une petite partie du système, (par exemple : les générateurs G1 et G2 oscillent ensemble par rapport au générateur G3 trouvé dans la même région, figure (32)). La gamme de fréquence de ces oscillations est généralement de 1 à 2 Hz.

L'expérience montre que ces oscillations tendent à se produire lors de l'utilisation des régulateurs de tension possédant une réponse rapide et quand le lien de transmission entre une centrale et ses charges est très faible (IEEE, 2003). Pour assurer un bon amortissement de ces modes, des sources d'amortissement, tel le stabilisateur de puissance, peuvent être ajoutées aux générateurs à l'origine de ces modes.

2.4.4.2- Les oscillations des modes globaux.

Les oscillations des modes globaux, ou oscillations interrégionales, sont associées à l'oscillation entre certains générateurs d'une partie du système et certains générateurs d'une autre partie du système (par exemple : les générateurs, G1, G2, G3 et G4, de la région A oscillent ensemble par rapport au générateur G5 de la région B, figure (32)).

Les modes associés à ces oscillations présentent généralement des amortissements très faibles et, si ces derniers sont négatifs, de petites perturbations peuvent exciter des oscillations divergentes. Les fréquences de ces oscillations se trouvent généralement dans la gamme de 0.2 à 1 Hz. Cette gamme est inférieure à celle des modes locaux car les réactances des liens entre les systèmes de puissance sont élevées. Généralement, la fréquence naturelle et le facteur d'amortissement d'un mode interrégional décroissent lorsque l'impédance d'une ligne d'interconnexion ou la puissance transmise augmente. Le système d'excitation et les caractéristiques des charges affectent également les oscillations des modes interrégionaux. Ainsi, ces modes présentent des caractéristiques plus complexes que ceux des modes locaux (CIGRE, 1996). Etant donné que les modes interrégionaux impliquent plusieurs générateurs, un bon amortissement de tels modes peut exiger l'utilisation de stabilisateurs de puissance pour un grand nombre des générateurs (IEEE, 1990).

Région B Région A

G3

G1

G2

G4

Figure 32. Système de puissance simple à deux régions.

2.4.4.3- Les oscillations des modes de contrôle.

Les oscillations associées aux modes de contrôle sont dues :

- soit, aux contrôleurs des générateurs (mauvais réglage des contrôleurs des systèmes d'excitation ou des gouverneurs).

- soit, aux autres dispositifs contrôleurs (convertisseurs HVDC, SVC,...).

La fréquence de ces oscillations est supérieure à 4 Hz. 2.4.4.4- Les oscillations des modes de torsion.

Ces oscillations sont essentiellement reliées aux éléments en rotation entre les générateurs et leurs turbines. Elles peuvent aussi être produites par l'interaction des éléments de rotation avec le contrôle d'excitation, le contrôle de gouverneur, les lignes équipées avec des compensateurs de condensateurs en série,... . La fréquence de ces oscillations est aussi supérieure à 4 Hz.

2.4.4.5- Conclusion.

Dans le cadre de cette étude, nous nous intéressons seulement aux modes locaux et aux modes interrégionaux : appelés modes électromécaniques. La distinction claire entre les modes locaux et interrégionaux s'applique principalement aux systèmes qui peuvent être divisés en régions distinctes séparées par de longues distances. Par ailleurs, pour les systèmes où les centraux sont distribués uniformément sur une large région géographique, il est difficile de distinguer entre les modes locaux et interrégionaux à partir de considérations géographiques. Cependant, une conclusion commune considère que les modes interrégionaux ont les fréquences les plus basses et que la plupart des générateurs du système y contribuent.

2.4.5- L'amortissement.

Nous avons vu que les oscillations électromécaniques limitent la capacité de transmission de puissance dans les réseaux électriques. Elles peuvent parfois entraîner une perte de synchronisme ou même un black-out dans le système entier. Par conséquent, des sources spécifiques d'amortissement sont indispensables pour assurer un fonctionnement fiable du système.

La stabilité peut être considérablement améliorée en utilisant des systèmes en boucle fermée avec des systèmes de contrôle adaptés. Au fil des années, un effort de recherche important était effectué pour une meilleure conception de tels contrôleurs. Il y a principalement deux moyens rapides permettant d'améliorer la stabilité :

- l'utilisation d'un contrôleur côté générateur : signal de contrôle supplémentaire dans le système d'excitation du générateur.

- l'utilisation d'un contrôleur côté lignes de transmission : signal de contrôle

supplémentaire dans les systèmes FACTS (Flexible AC Transmission System).

Dans le premier cas, le problème d'oscillations électromécaniques est résolu en ajoutant au générateur un contrôleur spécifique appelé : (Power System Stabilizer (PSS)). Ce contrôleur détecte les variations de vitesse de rotor ou de puissance électrique du générateur et applique un signal, adapté, à l'entrée du régulateur de tension (AVR). Le générateur peut ainsi produire un couple d'amortissement additionnel qui compense l'effet négatif du système d'excitation sur les oscillations (Kundur, 1994).

Les systèmes FACTS, qui sont des dispositifs basés sur les récentes avancées en électronique de puissance, peuvent être modifiés pour participer à l'amortissement des oscillations électromécaniques. Les systèmes FACTS (tels SVC (Static VAR Compensator), TCSC (Thyristor Controlled Series Capacitor), SSSC (Static Synchronous Series Compensator),...) sont principalement placés dans le système de puissance pour différentes raisons, (tels le contrôle des transits de puissance, des échanges de puissance réactive, les tensions de réseau, ...). Toutefois, un contrôleur et un signal de stabilisation supplémentaires peuvent être ajoutés pour améliorer la stabilité. Outre ces principaux rôles, les FACTS peuvent alors satisfaire les problèmes de la stabilité (Rogers, 2000; Sadeghzadeh, 1998).

Ces systèmes restent très chers pour être installés uniquement pour une raison d'amortissement des oscillations.

Les contrôleurs PSSs qui sont des systèmes simples et faciles à installer, pratiques, efficaces et moins chers, sont les systèmes les plus utilisés pour améliorer la stabilité aux petites perturbations. Nous allons donc les utiliser dans notre étude.

2.4.5.1- Fonctionnement et modèle de PSS.

Un PSS permet d'ajouter un signal de tension proportionnel à la variation de vitesse de rotor dans l'entrée du régulateur de tension (AVR) du générateur, figure (33). Un couple électrique en phase avec la variation de vitesse de rotor est ainsi produit dans le générateur. Par conséquent, avec un système d'excitation rapide et fort, l'avantage présenté par un couple synchronisant important est toujours assuré et le problème de la décroissance du couple d'amortissement est corrigé (Rogers, 2000; IEEE, 2003). Le PSS va s'opposer à toutes les faibles oscillations en forçant le système d'excitation à varier au plus juste et au bon moment.

Par conséquent, l'ensemble du système de contrôle d'excitation (AVR et PSS) doit assurer les points suivants (Kundur et al., 1989) :

- supporter les premières oscillations faisant suite à une grande perturbation ; c.-à-d. assurer la stabilité transitoire du système.

- maximiser l'amortissement des oscillations électromécaniques associées aux modes
locaux ainsi qu'aux modes interrégionaux sans effets négatifs sur les autres modes.

- minimiser la probabilité d'effets défavorables, à savoir :

o les interactions avec les phénomènes de hautes fréquences dans le système de puissance telle la résonance dans le réseau de transport.

o les instabilités locales dans la bande de l'action désirée du système de contrôle. - être suffisamment robuste pour permettre au système de contrôle d'assurer ses objectifs pour divers points de fonctionnement probables du système de puissance.

Le choix du signal d'entrée de PSS représente une étape critique dans la conception du PSS. Plusieurs considérations interviennent dans ce choix, telles :

- la sensibilité du signal d'entrée aux oscillations électromécaniques (autrement dit, les modes oscillatoires doivent être "observables" dans le signal choisi).

- l'insensibilité du signal d'entrée du PSS à son propre signal de sortie. D'une façon similaire, la sensibilité doit être très la plus faible possible pour les signaux de sortie d'autres PSSs.

Un bon résultat peut être obtenu si l'entrée du PSS est la variation de la vitesse de rotor (Äù), la variation de puissance produite du générateur (ÄPe) ou la fréquence du jeu de barre

f). Etant donné que le PSS est utilisé pour produire un couple électrique proportionnel à la variation de vitesse, il apparaît donc plus convenable d'utiliser la variation de vitesse (Äù) comme entrée du PSS. Cependant, quel que soit le signal d'entrée, la fonction de transfert du PSS doit compenser les caractéristiques de phase du système d'excitation, des parties électriques du générateur et des autres parties électriques du système. L'ensemble de ces dernières déterminent la fonction de transfert entre l'entrée du système d'excitation (Ä Ver) et le couple électrique du générateur (ÄTe), (Larsen et al., 1981, I). Cette fonction de transfert est dénotée GEP(s), figure (33).

Partie
mécanique
du
générateur

_

Vref

+

+

VS

ÄVer

Vt

ÄTm

Système
d'excitation/
Régulateur

Partie

Efd électrique

du
générateur

+

ÄTe

_

PSS

Figure 33. Modèle simplifié de liaison entre un PSS et le système.

Le type de PSSs le plus utilisé est connu sous le nom de PSS conventionnel (ou PSS avance/retard). Ce type a montré sa grande efficacité dans le maintien de la stabilité aux petites perturbations. Ce PSS utilise la variation de vitesse de rotor comme entrée. Il se compose généralement de quatre blocs, figure (34) :

- un bloc d'amplificateur.

- un bloc de filtre passe-haut "filtre washout".

- un bloc de compensation de phase.

- un limiteur.

VS

max

VS

VS

min

_

_

Äù

KPSS

1 +

ST W

ST W

1+

1+

ST2

ST1

1+

1+

ST4

ST3

Bloc
avance/retard

Gain Filtre

Washout

Figure 34. Modèle d'un PSS avance/retard.

1- L'amplificateur

Il détermine la valeur de l'amortissement introduit par le PSS. Théoriquement, sa valeur (KPSS) doit correspondre à l'amortissement maximal. Toutefois, la valeur du gain doit satisfaire l'amortissement des modes dominants du système sans risquer de dégrader la stabilité des autres modes ou la stabilité transitoire (Kundur et al., 1989). Généralement, KPSS varie généralement de 0.01 à 50 (IEEE, 1990).

2- Le filtre passe-haut "filtre washout"

Il élimine les oscillations à très basse fréquence (inférieure à 0.2 Hz) présentées dans le signal d'entrée. Il supprime également la composante continue de la vitesse (la composante "DC" correspondant au régime statique) : le PSS ne réagit donc que lorsqu'il y a des variations de vitesse. La constante de temps de ce filtre (TW) doit être suffisamment grande pour permettre aux signaux, dont la fréquence est située dans la bande utile, d'être transmis sans atténuation. Mais, elle ne doit pas être trop grande pour éviter de mener à des variations indésirables de tension de générateur pendant les conditions d'îlotage. Généralement, TW varie de 1 à 20 secondes (Basler et al., 2005; IEEE, 2003). Une amélioration remarquable sur la stabilité de la première oscillation est obtenue avec une valeur TW fixée à 10 secondes (Pal et al., 2005).

3- Le filtre compensation de phase

L'origine de l'amortissement négatif est, comme nous l'avons vu, associée au retard de phase introduit entre le couple électrique du générateur (ÄTe) et l'entrée du système d'excitation (ÄVer). Par conséquent, le PSS fournit l'avance de phase nécessaire pour compenser le retard de phase de la fonction de transfert GEP(s). Pratiquement, un bloc de phase d'avance pure ne suffit pas pour réaliser la compensation de phase nécessaire ; ainsi, un bloc d'avance/retard de phase est souvent utilisé. Pour mieux garantir la stabilité du système, deux étages (au moins) de compensations de phase sont nécessaires. La fonction de transfert de chaque étage est une simple combinaison de pole-zéro, les constantes de temps d'avance (T1, T3) et de retard (T2, T4) étant réglables. La gamme de chaque constante de temps s'étend généralement de 0.01 à 6 secondes (Basler et al., 2005). Mais pour des considérations de réalisation physique, les constantes de temps de retard (T2, T4) sont considérées fixes et généralement autour de la valeur de 0.05 secondes (Fleming et al., 1981).

4- Le limiteur

Le PSS est conçu pour améliorer l'amortissement du système en cas de petites variations autour d'un point d'équilibre. Son objectif n'est pas de restaurer la stabilité du système aux perturbations sévères (la stabilité transitoire). Le PSS a parfois tendance à perturber le bon fonctionnement du régulateur de tension en le saturant lorsque ce dernier essaye de maintenir la tension lors de conditions transitoires. Ainsi, le PSS doit être équipé d'un limiteur afin de réduire son influence indésirable durant les phases transitoires (Larsen et al., 1981, II). Les valeurs minimales et maximales du limiteur s'étendent de #177; 0.02 à 0.1 per-unit (IEEE, 1990).

2.4.5.2- Réglage des paramètres de PSS.

Le problème de la conception d'un PSS est de déterminer les valeurs de ses paramètres pour :

- augmenter l'amortissement des modes du système.

- assurer une stabilisation robuste.

La minimisation des risques probables des interactions défavorables et des effets négatifs sur les autres modes oscillatoires du système représente aussi un point critique important qui influence le réglage de PSSs. En outre, les valeurs des paramètres du PSS doivent être réglées sans entraîner d'effet négatif dans la restauration de la stabilité transitoire.

De nombreuses méthodes sont proposées dans la littérature pour le réglage des paramètres de PSS. Généralement, la plupart de ces méthodes sont basées sur l'analyse des valeurs propres du système.

2. 4. 5. 2. 1- Méthode de compensation de phase.

Pour expliquer le réglage des paramètres de PSS par la méthode de compensation de phase, nous prenons un système simple consistant en un générateur connecté à un jeu de barre infini, figure (24). Le modèle linéaire de ce système peut être graphiquement illustré par la représentation de Heffron-Philips (Pal et al., 2005), comme le montre la figure (35).

Les termes K1, ..., K6 sont les constantes de linéarisation.

ÄTm +

ÄTe2

ÄTe1 _

ÄEq'

K2

_

K3

1 sT K

+ d' 0 3

1
D 2 Hs

+

K1

Äù

_

K6

K4

ù0

s

ÄEfd

+

Ä

ä K5

Ka

1+ sTa

GEP(s)

_

_

+

ÄVs

GPSS(s)

Figure 35. Modèle de Heffron-Philips d'un système
(monomachine - jeu de barre infini).

L'objectif principal d'un PSS est d'introduire une composante d'un couple électrique sur le rotor de la machine synchrone ; ce couple est proportionnel à l'écart entre la vitesse actuelle du rotor et la vitesse de synchronisme. Lorsque le rotor oscille, ce couple agit comme un couple d'amortissement pour atténuer les oscillations.

La fonction de transfert GEP(s) et le retard de phase de la boucle électrique peuvent être dérivés du modèle de Heffron-Philips. Ils sont donnés par les deux relations suivantes (Yu, 1983) :

'

)

+ K K K a 3 6

sT K

do 3

GEP s

( )

K K K

a 3 2

(1 )(1

+ +

sT a

(97)

s ë ó j ù

= = +

PhiGEP GEP s s = ë = ó + j ù

= ? ( ) (98)

Avec ë= ó + est la valeur propre calculée pour le système sans signal de stabilisation.

Pour simplifier, nous considérons que les paramètres à régler du PSS sont le gain Kpss et les constantes de temps T1 et T3 (avec T1 = T3) ; les autres paramètres sont fixés (avec T2 = T4). Ainsi, la fonction de transfert de PSS peut se réécrire comme suit :

G s K

PSS PSS

( ) =

2

sT ? 1 + sT ?

w ? 1 K G s

? = . ( ) (99)

PSS f

1 + sT 1 sT

w ? + 2 ?

Etant donné que l'avance de phase du PSS (PhiGPSS) est égale à la phase PhiGEP, la constante de temps T1 est donnée, tout calcul fait, par la relation suivante :

tan( )

â

T = T = (100)

1 3ù ó â

- · tan( )

1 ? 1 1 1 2

? ù ? ù ? ù ?

- - -

? T ? T ?

w

Avec, â = - -

?? Phi tan tan ? ? + ? ? ?? (101)

GEP ?? ?? + 2 tan

2 ó

? ?1+óT? ? 1 + ó T

w 2 ? ?

Le gain du PSS, quant à lui, est donné par la relation suivante (Yu, 1983) :

=

4ùæH
n

GEP s

( )

G s f ( )

(102)

KPSS

K2

s=ë=ó

+

ù 1

o K

Avec, ù = (103)
n2 H

ùo : la vitesse de synchronisme du système, en rad/s.

ùn : la pulsation naturelle d'oscillation en rad/s.

La valeur ùn représente la solution de l'équation caractéristique de la boucle mécanique (figure (33)). Elle est définie par l'équation suivante (coefficient d'amortissement D négligée).

2 + ù 1 = 0 , , = #177; ù

Hs o K avec s j n

2 (104)

2. 4. 5. 2. 2- Méthode du résidu.

Nous avons vu que le filtre avance/retard du PSS est utilisé pour compenser le retard de phase de la fonction de transfert GEP(s). En déterminant la valeur du retard de phase, nous pouvons ainsi calculer les constantes de temps (avance/retard) nécessaires pour assurer la compensation demandée. Pour ce faire, l'angle de phase de résidu peut être utilisé (Aboul-Ela et al., 1996; Cai, 2004). Considérons la forme suivante de la fonction de transfert du PSS pour un système à une entrée/une sortie :

sT ?1+sT ?

W 1

H s K

( ) = · ·

PSS 1 sT ?? 1 sT ??

+ +

W 2

m

(105)

Où : m est le nombre d'étages de compensation (généralement m = 2).

La figure (36) montre l'effet du résidu sur le déplacement de valeur propre dans la partie gauche du plan complexe.

Direction de rotation

Direction de Ri

öcom arg (Ri)

ëi 0

ëi 1

Äëi

Figure 36. Déplacement de valeur propre par la rotation du résidu associé.

L'angle de phase öcom, nécessaire pour diriger la direction du résidu Ri de sorte que la valeur propre associée ëi se déplace parallèlement à l'axe réelle, peut être calculé par l'équation suivante :

? com =180°-arg(R i ) (106)

Où : arg(Ri) est l'angle de phase du résidu Ri.

á

ù ·

i

T 1

2 (107)

=

Avec :

á

=

1 sin

-

? ? ?

com

? ?

? m ?

(108)

1 sin

+

? ? ?

com

? ?

? m ?

1 = á · T 2

T ,

Par conséquent, les constantes de temps T1 et T2, du bloc avance/retard nécessaires pour obtenir l'angle öcom, peuvent être calculées comme suit (Aboul-Ela et al., 1996) :

Où : ùi est la fréquence du mode ëi en rad/sec.

Pour calculer le gain KPSS, nous pouvons réécrire la fonction transfert du PSS comme suit :

H(s) = K PSS · Hf(s) (109)

Le déplacement des valeurs propres est donné par l'équation (82) que nous rappelons ci- dessous :

Äë i = ë i - ë i = R i H ë i

1 0 ( ) (110)

En remplaçant l'équation (109) dans la dernière équation, nous obtenons pour gain KPSS la valeur littérale suivante (Sadicovic et al., 2006) :

ë ë

i i

1 0

-

K PSS

Ri

· H f

( )

ë i

(111)

Une autre méthode peut être utilisée pour régler le gain KPSS : la méthode traditionnelle de Ziegler et Nichols basée sur l'étude du régime critique de la réponse harmonique du système en boucle fermée. On cherche ainsi le gain produisant l'instabilité. Le test consiste à augmenter lentement le gain de stabilisateur jusqu'à l'observation de l'instabilité. Pour un signal d'entrée de type variations de vitesse, ce test doit être effectué avec une charge maximale et des conditions de transport d'énergie satisfaisantes. Le savoir-faire montre, en général, que le gain désiré représente le tiers du gain à l'instabilité : Kst = Kinst / 3, (Larsen et al., 1981, III).

2.4.5.2.3- Méthode de placement des pôles.

Cette méthode consiste à déterminer les valeurs des paramètres d'un PSS de sorte que tous les pôles du système en boucle fermée se trouvent placés en des positions spécifiées préalablement dans le plan complexe.

Cette méthode peut être mathématiquement décrite en considérant la représentation suivante du système (Fleming et al., 1981; Aström et al., 1996), figure (37).

Système

ÄV +

+

H(s)

G(s)

PSS

Figure 37. L'ensemble (système-PSS) en boucle fermée.

Où : G(s) est la fonction de transfert du système entre le signal de référence Ä V du régulateur de tension de générateur, où le PSS doit être installé, et la variation de vitesse de rotor Äù.

H(s) est la fonction de transfert de PSS.

Les pôles de G(s) sont justement les valeurs propres du système linéarisé en boucle ouverte. La fonction de transfert du système entier en boucle fermée F(s) devient :

=

F s

( )

1( ) ( )

- ·

G s H s

G s

( )

(112)

Les valeurs propres du système en boucle fermée sont les pôles de la fonction de transfert F(s) ; elles doivent satisfaire l'équation caractéristique suivante :

1-G(sH(s)=0 (113)

1

H s = (114)
( )

G s

( )

Si ë i , i = 1,2,L n sont les valeurs propres spécifiées préalablement, l'équation (114) peut ainsi se réécrire comme suit :

1

H ë

( )

ë = (115)

i G ( )

i

ë T 1 + ë T 1 + ë T 1

i W i 1 i 3

·

K · ·=

PSS 1 4

+ ë 1 1 ( )

i T W + ë i T + ë ë

2 i i

T G

(116)

Par conséquent, nous obtenons un ensemble d'équations algébriques linéaires. En résolvant ces équations, nous pouvons déterminer les valeurs des paramètres désirés du PSS qui assurent le placement précis des valeurs propres.

2.4.5.3- Emplacement optimal des PSSs.

Tous les générateurs du système ne participent pas aux modes dominants : tous les générateurs n'ont donc pas besoin d'être équipés de PSSs. En outre, il faut tenir compte des interactions négatives entre les PSSs qui augmentent avec le nombre de ces derniers. Enfin, il faut tenir compte des critères économiques.

Ainsi, la première étape de la mise en oeuvre des PSSs, est de trouver les emplacements optimaux des PSSs nécessaires et de déterminer leur nombre. Ce problème a fait l'objet, depuis une dizaine d'années, d'un grand nombre de recherche (Pérez-Arriaga et al., 1982; Hsu et al., 1987; Tse et al., 1988; Ostojic, 1988; Pagola et al., 1989; Jin Lu et al., 1990; Feliachi, 1990 ). Les approches les plus efficaces proposées sont basées sur l'analyse modale du système linéarisé :

- le mode shape.

- les facteurs de participations.

- les résidus.

Comme nous l'avons vu, les amplitudes des résidus associés aux modes dominants de la fonction de transfert du système en boucle ouverte peuvent être utilisées pour déterminer les

placements les plus efficaces pour installer les PSSs. Les amplitudes des facteurs de participation ou du mode shape permettent de déterminer l'influence de chaque variable d'état dans les modes oscillatoires associés. Ces méthodes peuvent donc nous fournir des indications importantes sur l'emplacement optimal des PSSs dans le système pour réaliser un meilleur amortissement par rapport à des critères donnés.

Sachant que des emplacements différents des PSSs entraînent des oscillations totalement différentes, des PSSs "mal placés" peuvent donc ne pas répondre aux objectifs. Pour cela, il faut bien choisir la méthode qu'il faut appliquer pour déterminer les bons emplacements des PSSs. Les méthodes mentionnées ci-dessus donnent généralement de bons résultats, mais la recherche de méthodes plus efficace reste toujours actuelle.

2.5- Conclusion.

Dans ce chapitre, nous avons présenté d'une façon générale les différents types de stabilité. Nous avons présenté également une analyse fine sur la stabilité aux petites perturbations et les oscillations électromécaniques présentes dans les systèmes de puissance. Cette étude nous a ainsi permis de mettre en évidence les points importants suivants :

- Un système de puissance doit présenter un point d'équilibre stable dans les conditions de fonctionnement normales.

- Un système de puissance est stable s'il retrouve un état d'équilibre acceptable après avoir été soumis à une perturbation.

- La stabilité angulaire aux petites perturbations est habituellement considérée comme la capacité du système de puissance à maintenir le fonctionnement synchrone des générateurs pour de faibles variations des charges et des sources.

- Les oscillations électromécaniques sont généralement dues aux modes naturels du système. Ainsi, nous ne pouvons pas les éliminer. Cependant, leurs fréquences et leurs amortissements peuvent toujours être modifiés.

- Suite à une perturbation, le système de puissance peut être transitoirement stable mais il peut présenter par la suite des oscillations divergentes.

- Suite à une grande perturbation, le régulateur de tension du système d'excitation de générateur, ayant une action puissante et rapide, contribue efficacement à augmenter les puissances électriques des générateurs pendant la première oscillation. Cela contribue à diminuer la puissance d'accélération du générateur en augmentant le couple synchronisant. En conséquence, la plage de stabilité transitoire est bien améliorée. Malheureusement, cet avantage est contrebalancé par l'impact négatif du système d'excitation sur l'amortissement des oscillations en diminuant le couple d'amortissement.

- Les oscillations interrégionales sont associées aux lignes d'interconnexion de grande impédance et une demande de puissance à transmettre élevée. Comme ces oscillations se produisent entre plusieurs régions du système, leurs caractéristiques sont plus complexes que celles des oscillations des modes locaux et elles sont plus difficiles à amortir.

- Les stabilisateurs de puissance (PSSs), par leur efficacité et leur coût réduit, sont les moyens habituels non seulement pour éliminer les effets négatifs des régulateurs de tension, mais aussi pour amortir les oscillations électromécaniques du système. En

outre, l'amortissement assuré par les PSSs permet au système de fonctionner au-delà même de la limite de la stabilité à l'état équilibré.

- Le réglage des paramètres des PSSs et leurs emplacements sont des facteurs critiques pour pouvoir assurer convenablement le bon fonctionnement des PSSs.

Ce dernier point fera l'objet du chapitre quatre. Dans le troisième chapitre, nous présentons tout d'abord les principes généraux d'optimisation par algorithmes génétiques ; nous les utilisons par la suite.

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