Memoire Online - Etude de la stabilité aux petites perturbations dans les grands réseaux électriques: Optimisation de la régulation par une méthode metaheuristique

Nous avons jusqu'à présent développé le modèle nécessaire du système de puissance, présenté la théorie de la stabilité aux petites perturbations avec régulateurs PSSs ainsi que les AGs. L'objectif de ce chapitre est de trouver la meilleure localisation possible des PSSs, avec des paramètres optimaux, tout en réduisant le nombre de PSSs. Cela assurera un amortissement satisfaisant aux oscillations rotoriques des modes locaux et interrégionaux et garantira la stabilité globale du système pour différents points de fonctionnement.

Lors de l'installation des PSSs dans les réseaux multimachines, la première étape conventionnelle à mettre en oeuvre concerne la détermination des meilleurs emplacements des PSSs au sein du réseau.

Le nombre de stabilisateurs à installer n'est pas toujours égal au nombre de générateurs. Par conséquent, il faut prendre en considération le choix de l'emplacement optimal des stabilisateurs qui offre un meilleur amortissement.

Pour amortir les modes locaux, le choix de l'emplacement reste facile car le nombre de générateurs impliqués principalement dans les oscillations locales est très faible. Par contre, pour les modes globaux, un grand nombre de générateurs sont généralement associées aux oscillations. Cela complique le choix de l'emplacement des PSSs (Zhou et al., 1991). En outre, une mauvaise localisation d'un PSS peut entraîner une amplification des oscillations, voire contribuer à la perte de stabilité du système. Ainsi, le problème du choix de l'emplacement des PSSs est très critique et il faut le traiter judicieusement.

Quand un PSS est inséré dans le système, il affectera tous les modes électromécaniques d'oscillations. Ainsi, les interactions entre les PSSs doivent être considérées lorsque plusieurs PSSs sont insérés (Zhang et al., 2000).

Tout PSS devrait être réglé pour fournir l'amortissement suffisant de tous les modes électromécaniques car l'amortissement de chaque mode est un effet cumulatif des contributions de chaque PSS. En outre, le réglage des PSSs doit être robuste : les PSSs doivent être efficaces non seulement lors de la variation des conditions de fonctionnement mais aussi lors du changement de la topologie du réseau.

Ce chapitre s'articule autour de l'application de notre approche au sein d'un système de puissance multimachines.

Dans la première partie, nous allons présenter les caractéristiques du réseau étudié (le réseau interconnecté New England/New York : 16 générateurs et 68 noeuds).

Ensuite, nous expliquons les différents critères de performance du système pour le modèle linéaire et non-linéaire.

Le problème d'assurer une meilleure localisation des PSSs et une meilleure coordination de leurs paramètres est formulé en tant que problème d'optimisation multiobjectif et résolu à l'aide d'un programme d'AG. La fonction multiobjectif utilisée est formulée pour optimiser un ensemble de deux fonctions objectif basées sur l'analyse des valeurs propres du système (partie réelle de la valeur propre et facteur d'amortissement). La mise en oeuvre de cette approche fera l'objet de la troisième partie du chapitre.

La dernière partie du chapitre concerne l'application de l'approche proposée et la discussion des résultats obtenus.

Le système de puissance choisi dans notre étude est le réseau réduit équivalent au réseau interconnecté de New England et New York (Rogers, 2000). Ce système, composé de cinq régions, possède des propriétés intéressantes de par la complexité des interactions des différentes régions qui le composent. Il se compose de 16 générateurs (numérotés de 53 à 68) et de 68 noeuds. Les neuf premiers générateurs représentent le système de génération de New England. Les générateurs de 62 à 65 représentent le système de New York. Chacun des trois derniers générateurs forme un seul groupe ; ils représentent les systèmes équivalents aux trois grandes régions voisines interconnectées au système de New York.

La représentation unifilaire du système et une représentation géographique et schématique de l'interconnexion des cinq régions sont respectivement données aux figures (46) et (47). Huit lignes d'interconnexion relient les cinq régions du système : ce sont les lignes entre les jeux de barre (1#2), (1#27), (1#47), (8#9), (42#41), (46#49), (52#42) et (50#51). La puissance est transférée de la deuxième région aux première, troisième et cinquième régions. La puissance est aussi transférée de la cinquième région à la quatrième et de cette dernière à la troisième. Les puissances active et réactive transitées dans ce réseau, pour le point de fonctionnement nominal, sont d'environ 20 GW et 3 GVAr. Cela représente quasiment, en ordre de grandeur, un quart que le système de puissance français.

Les valeurs numériques du réseau peuvent être trouvées dans la référence (Rogers, 2000) ; elles sont rappelées en annexe C.

Dans les réseaux haute tension, les types de défauts les plus fréquents sont les courts- circuits. Ces derniers dépendent de différents facteurs tels leurs emplacements, leurs durées, leurs types (une phase- terre, deux phases,...), le système de prise de terre,... .

Bien que les courts-circuits triphasés -les défauts symétriques- soient rares, l'analyse de ce type de défauts est nécessaire, car ils mènent généralement aux courants de défauts les plus sévères. Ils sont donc souvent les plus utilisés en simulation dynamique pour tester la stabilité des systèmes de puissance et la robustesse de régulation.

Lorsque les protections détectent une apparition de courants élevés sur une ligne (ou une diminution de l'impédance vue des extrémités de la ligne), elles "envoient" aux disjoncteurs concernés un ordre d'ouverture afin d'isoler la ligne en question et éviter la propagation du phénomène sur le réseau. La disparition du court-circuit doit se faire rapidement, en moins de trois périodes du réseau (50 millisecondes pour une fréquence de 60 Hz). Ensuit, les dispositifs de réenclenchement automatique de la ligne sont responsables de remettre la ligne en service (Meyer et al., 1998). Ainsi, la simulation du défaut de court-circuit sur une ligne de transmission et la simulation du comportement des systèmes de protection s'effectue lors de :

Dans notre étude, cela implique de calculer la matrice admittance du réseau de transport pour les trois phases suivantes : avant le défaut, pendant le défaut et après le défaut, en considérant que le défaut triphasé est caractérisé par une impédance infiniment petite (Zf = 0 + j10^-7 dans notre simulation), (Tolba, 2005).

Figure 46. Représentation unifilaire du réseau étudié
(Réseau New England/New York : 16 générateurs, 68 noeuds).

Figure 47. Représentation géographique et schématique des cinq régions du système étudié. 4.3- Analyse de la performance et critères de bonne régulation.

Pour faire une étude analytique complète des problèmes d'oscillations des systèmes de puissance, il est nécessaire d'établir des procédures d'analyse du problème et de préciser les critères de performance du système. Les outils d'analyse des oscillations du système doivent déterminer les problèmes existants ; ils doivent être capables en outre d'identifier les éléments déterminants et de fournir des informations utiles pour la conception et le réglage des contrôleurs du problème.

Les simulations d'un système non-linéaire en domaine temporel, qui représentent une extrapolation naturelle de l'analyse de la stabilité transitoire, fournissent des informations importantes mais limitées en ce qui concerne la stabilité dynamique. Ainsi :

- le choix de la perturbation et la sélection des variables à observer sont critiques,

- les réponses temporelles ne peuvent donner directement une information sur la source des oscillations,

L'analyse du modèle linéaire du système semble un moyen idéal pour étudier profondément les oscillations électromécaniques et les problèmes associés. La stabilité et les caractéristiques de chaque mode peuvent par exemple être identifiées clairement en examinant les valeurs propres du système. Les vecteurs propres quant à eux montrent aisément la nature de ces modes et les relations entre eux et les variables d'état.

Ainsi, une compréhension complète des oscillations de système de puissance nécessite la combinaison d'outils analytiques. L'analyse du modèle linéaire complétée par des simulations en domaine temporel du modèle non-linéaire représente la procédure la plus efficace pour bien étudier et analyser les oscillations de système de puissance (Farmer, 2006). Les étapes suivantes sont nécessaires pour une étude systématique des oscillations, figure (48) :

Enfin, en supposant que le réglage des contrôleurs est fait au point de fonctionnement nominal du système, il est nécessaire de vérifier la robustesse du réglage. Dans le contexte du réglage du contrôleur d'amortissement d'un système de puissance, la robustesse signifie que l'amortissement est suffisant et que les oscillations s'amortissent rapidement lors des simulations temporelles du système pour toutes les perturbations probables et pour tous les points de fonctionnement significatifs. Ainsi, les critères de bonne régulation doivent être respectés pour tous les scénarios considérés (Pal et al., 2005).

Rappelons que le facteur d'amortissement Ç d'un mode représenté par sa valeur propre complexe )L est donné par :

- Un facteur d'amortissement Ç important aboutit à une réponse dynamique bien amortie. Pour cela, toutes les valeurs propres doivent se trouver dans la zone gauche du plan complexe limité par deux demi-droites issues de l'origine, figure (47). Pour une valeur critique du facteur d'amortissement Çcr : on impose alors une marge de stabilité relative (Allenbach, 2005, I).

- La partie réelle de la valeur propre ci
· détermine la rapidité de décroissance/croissance des exponentielles composant la réponse dynamique du système. Ainsi, ci
· très négatif aboutit à une réponse dynamique rapide. Pour cela, toutes les valeurs propres doivent se trouver dans la zone gauche du plan complexe limité par une verticale passant par une valeur critique de la partie réelle (ci
·_cr), figure (47) : on définit ainsi la marge de stabilité absolue.

Lors du réglage des paramètres des PSSs, il est souhaitable que ces deux critères soient pris en compte pour permettre une bonne régulation. La combinaison entre ces deux critères aboutit à une zone appelée zone de stabilité D, (Yee et al., 2004), figure (49). Le déplacement des valeurs propres dans cette zone garantit une performance robuste pour un grand nombre de points de fonctionnement (Singh, 2004).

Considérons par exemple un mode d'une fréquence naturelle de 1 Hz, les oscillations associées à ce mode s'amortissent en 13 secondes pour Ç = 0.05 et en 6.5 et 3 secondes pour Ç = 0.1 et Ç = 0.2 respectivement. Quelle est alors la valeur minimale adéquate d'amortissement pour un bon fonctionnement du système de puissance?

La littérature ne présente pas de valeurs critiques rigoureuses admises par tous. Généralement, un facteur d'amortissement de 0.05 n'assure qu'une petite marge de sécurité tandis que Ç = 0.03 doit être accepté avec réserve. Les valeurs d'amortissement entre 0.05 et 0.15 sont globalement les plus utilisées dans la littérature. Nous avons choisi Çcr = 0.1 comme facteur d'amortissement critique. Ainsi, nous considérons que l'amortissement des oscillations est suffisant si tous les modes du système présentent des facteurs d'amortissement plus grands que Çcr.

D'une façon similaire, la littérature donne une gamme de variation de la valeur critique de la partie réelle des valeurs propres, comprise entre - 0.5 et - 1. Nous avons choisi ocr = - 1 comme partie réelle critique à respecter par tous les modes.

Enfin, d'autres spécifications peuvent être utilisées telles les spécifications de la réponse du système dans le domaine temporel (le dépassement maximum, le temps d'établissement, l'erreur statique, ...), (Yee et al., 2004).

La performance d'un contrôleur nécessite des critères pour évaluer le "bon" comportement du système. Elle peut être spécifiée dans le domaine temporel et/ou fréquentiel (Pal et al., 2005).

Les caractéristiques dynamiques peuvent être décrites en examinant la réponse à une entrée typique (tel un échelon unité, ...). Ainsi, les spécifications de la réponse transitoire (tels le dépassement maximum, le temps de réponse, le temps de pic, ...) tout comme les critères intégraux (tels IAE, ISE, ITAE, ...) peuvent être utilisés comme indicateurs de performance des boucles de régulation (Aström et al., 1995).

La réponse indicielle (réponse à un échelon unité) d'un système oscillant du deuxième ordre est donnée à la figure (50), (Allenbach, 2005, I).

Nous définissons les paramètres critiques apparaissant sur cette figure : 1- Dépassement maximum D_p

Il est la mesure de la valeur maximale atteinte par la réponse indicielle lors de son premier dépassement. Cette valeur est souvent pondérée par la valeur finale : on parle alors de dépassement maximum en pour cent, noté D_p% et calculé par la relation suivante.

Le dépassement maximum s'exprime en fonction du facteur d'amortissement comme suit :

Figure 50. Caractéristiques de la réponse indicielle d'un système. 2-Temps de pic t_p

Ce paramètre correspond à l'abscisse du dépassement maximum. Ce paramètre de temps peut être déterminé analytiquement en fonction du facteur d'amortissement et de la pulsation naturelle d'oscillation, comme suit :

Il correspond au temps nécessaire à la réponse indicielle pour atteindre sa valeur finale avec une tolérance de #177;n% près. La tolérance de 5% est la plus communément utilisée. Ce paramètre caractérise la rapidité relative de la réponse du système. La relation approximative entre le temps de réponse, le facteur d'amortissement et la pulsation naturelle d'oscillation est donnée comme suit :

La valeur critique du temps de réponse de la stabilité dynamique (dite aussi stabilité dynamique) varie d'un opérateur de système de puissance à l'autre. Généralement, elle s'étend de 10 à 20 secondes (Pal et al., 2005).

Finalement, nous pouvons remarquer qu'une augmentation du facteur d'amortissement aboutit à une diminution du dépassement maximum et du temps de réponse.

Soit å(t) l'erreur dynamique associée à la réponse indicielle du système. Différents critères typiques peuvent être utilisés pour caractériser la performance du système régulé. Nous les définissons ci-dessous.

1- Critère IAE, Intégrale de l'Erreur Absolue (Integral of Absolute Error). Le critère de performance est le suivant :

Etant donné que ce critère prend en compte tous les éléments de la réponse harmonique, il donc important lorsque la réponse du système est oscillatoire ; les faibles amortissements ne sont pas ainsi conseillés.

2- Critère ISE, Intégrale du Carrée de l'Erreur (Integral of Square Error). Le critère de performance est alors le suivant :

En général, le fait de travailler avec le carré de l'erreur amplifie l'importance des valeurs de sortie qui s'écartent le plus de la valeur finale.

3- Critère ITAE, Intégrale de l'Erreur Absolue pondérée par le Temps (Integral Time multiplied by Absolute Error).

Puisque la valeur du critère ITAE est pondérée par le temps, l'erreur statique est fortement pénalisée : les systèmes à réponse très oscillatoire sont ainsi pénalisés.

En règle générale, le système sera d'autant mieux réglé que le critère intégral choisi sera minimal.

Le choix de critère de simulation le plus performant (le bon critère) est délicat. Nous avons opté dans notre travail pour les critères instantanés de préférence aux critères intégraux de façon à faciliter la comparaison avec les résultats de la littérature.

Rappelons que les AGs sont des algorithmes d'optimisation s'appuyant sur des techniques dérivées de la génétique et de l'évolution naturelle avec trois opérateurs : croisement, mutation et sélection. L'usage d'un AG est d'une part adapté à une exploration rapide et globale d'un espace de recherche de taille importante et d'autre part capable de fournir plusieurs solutions. Un AG recherche le ou les extrema d'une fonction définie (fonction objectif) sur un espace de recherche définissant les contraintes des paramètres à optimiser.

Dans ce paragraphe nous présentons la formulation de la fonction multiobjectif proposée et la mise en oeuvre de l'AG utilisé.

Le but de l'utilisation des PSSs est d'assurer un amortissement satisfaisant des oscillations et de garantir la stabilité globale du système pour différents points de fonctionnement. Pour répondre à ce but, nous avons utilisé une fonction multiobjectif composée de deux fonctions objectif. Cette fonction multiobjectif doit maximiser la marge de stabilité en augmentant les facteurs d'amortissement tout en minimisant les parties réelles des valeurs propres du système. Par conséquent, toutes les valeurs propres seront dans la zone D de stabilité.

Dans notre cas, nous n'avons privilégié aucune fonction objectif sur une autre : le coefficient de pondération de chaque fonction individuelle est donc égal à 1.

- les valeurs optimales des paramètres des PSSs pour un meilleur amortissement, - leur localisation optimale,

Ainsi, le nombre de variables utilisé (pour chaque PSS) à l'entrée de l'AG variera selon trois cas étudiés :

PLPSS : le numéro de générateur auquel le PSS doit être connecté. Sa valeur varie entre 53 et 68.

SWPSS : une variable représentant des commutateurs permettant de relier (si la valeur est 1) ou débrancher (si la valeur est 0) les PSSs des générateurs, afin d'en réduire leur nombre.

Pour coder le problème, à _Nvar nombre de variables, chaque variable (chromosome) est représentée par Sl chaîne de bits (Sl gène) de longueur_Ngens, où : l = 1, 2,..., Nvar.

A titre d'exemple, la figure (51) suivante montre une configuration d'un individu, composée de cinq chromosomes, représentant le troisième cas étudié.

Le type de codage choisi dans cette étude est le codage binaire : il est standard et applicable pour plusieurs types de problèmes.

Les AGs nécessitent une population initiale pour commencer le processus de recherche. La méthode appliquée fait générer aléatoirement un ensemble de solutions dans les contraintes proposées pour la population entière : c'est la méthode la plus commune.

Une représentation d'une population initiale de _Nind individus (solutions) est illustrée par la figure (52).

Après génération de la population initiale, la performance de chaque individu est évaluée : la performance mesure la qualité de la solution probable pour comparer les différentes solutions. Nous avons pris la valeur associée à la fonction objectif comme indice de performance.

Après calcul de cet indice pour chaque individu, le mécanisme de sélection est appliqué pour copier les individus sélectionnés. Les individus ayant des performances élevées ont plus de probabilité d'être reproduits dans la génération suivante. Nous avons appliqué la méthode de la roulette biaisée.

Après l'étape de sélection, le croisement est appliqué. Dans cette étape, les individus sont regroupés aléatoirement par paire (parents). Le croisement se fait ensuite pour créer les enfants avec une probabilité P_c, sinon les parents ne changent pas. Cet opérateur sert à explorer des nouvelles régions dans l'espace de recherche. Le type de croisement le plus simple est le croisement seul point : nous l'avons appliqué dans cette étude.

Pour introduire une certaine diversification dans la population et éviter ainsi une convergence prématurée en un optimum local, l'opérateur de mutation est appliqué. Les bits subissent la mutation sont choisis aléatoirement avec une probabilité P_m.

Les étapes de la formulation de la fonction multiobjectif et du programme de l'AG sont donnés à la figure (53).

Dans les parties précédentes de ce chapitre, nous avons décrit le réseau électrique étudié dans ce travail et détaillé les critères de la stabilité qui sont très nécessaires pour évaluer concrètement nos résultats. Nous avons aussi présenté la formulation de la fonction multiobjectif proposée et les points de la mise en oeuvre de l'AG utilisé.

Dans la partie suivante, nous allons mettre en application nos approches. Les résultats obtenus seront analysés et discutés :

- Nous présentons, par la suite, les résultats de l'application du premier cas destiné à optimiser les paramètres des PSSs du système par l'AG. Nous comparons ces résultats avec ceux déterminés par une méthode classique (compensation de phase) et par une méthode métaheuristique (algorithmes d'optimisation par essaim de particules) et avec ceux fournis dans la littérature.

- Dans le deuxième et troisième cas, nous optimisons l'emplacement et le nombre des PSSs. Les objectifs et les intérêts de ces applications et leurs résultats seront présentés et discutés.

Figure 53. Organigramme de la fonction multiobjectif et du programme de l'AG.

Nous étudions en premier lieu le fonctionnement du système sans PSSs. Les modes électromécaniques dominants du système pour le point de fonctionnement considéré sont donnés dans le tableau (4) et à la figure (54).

N° mode	ë	æ	f [Hz]
1	- 0.4120#177; j 9.8436	0.0418	1.5667
2	- 0.0095#177; j 2.3974	0.0040	0.3816
3	+ 0.0063#177; j 3.1120	- 0.0020	0.4953
4	+ 0.0377#177; j 3.8959	- 0.0097	0.620 1
5	- 0.0116#177; j 4.0526	0.0029	0.6450
6	- 0.4056#177; j 8.3777	0.0484	1.3333
7	- 0.2814#177; j 8.2667	0.0340	1.3157
8	- 0.3295#177; j 8.2650	0.0398	1.3154
9	+ 0.2152#177; j 6.2618	- 0.0344	0.9966
10	+ 0.1188#177; j 6.6535	- 0.0178	1.0589
11	+ 0.3803#177; j 7.3056	- 0.0520	1.1627
12	+ 0.2420#177; j 6.8133	- 0.0355	1.0844
13	+ 0.0919#177; j 7.1486	- 0.0129	1.1377
14	+ 0.2216#177; j 7.2291	- 0.0306	1.1506
15	+ 0.0717#177; j 7.0438	- 0.0102	1.1211

Figure 54. Répartition des valeurs propres du système dans le plan complexe (sans PSSs).

Nous appliquons maintenant une petite perturbation normalisée en échelon de 1% sur le couple mécanique du générateur 53. La variation de vitesse des générateurs qui fait suite à cette perturbation est montrée à la figure (55).

Ainsi, il est évident que le système contient des modes instables (en gras dans le tableau (4)) et d'autres mal amortis. Le comportement du système aux petites perturbations montre clairement cette instabilité du système (divergence de l'ensemble des générateurs).

La présence de modes d'oscillations électromécaniques fortement instables déterminés par l'analyse de la réponse du système en modèle linéaire conduit évidemment à la perte de stabilité aux grandes perturbations. Nous appliquons un défaut triphasé sur la ligne (59#23) suivi par une élimination du défaut. Le temps de défaut et de retour à l'état initial est choisi de l'ordre de 6 périodes du réseau (0.1 s). Les réponses temporelles de la variation de vitesse et des angles de rotor des générateurs suite au défaut choisi sont montrées à la figure (56).

Figure 56. Réponse dynamique des générateurs (sans PSSs)
a : variation de vitesse, b : angles de rotor.

Cette figure montre bien que les modes instables mènent à un écart croissant apériodique de certains angles de rotor et par conséquent à la perte de la stabilité du système.

Pour rétablir la stabilité du système et améliorer son amortissement global, les PSSs sont maintenant ajoutés aux générateurs. Dans la suite de ce chapitre, nous faisons appel aux AGs pour optimiser les paramètres des PSSs selon les trois cas présentés précédemment.

Pour analyser la performance et la robustesse du réglage, nous devons analyser les nouvelles valeurs propres du système et examiner l'amortissement obtenu avec les PSSs optimisés pour différents scénarios crédibles, tableau (5). Nous allons appliquer ces analyses au point de fonctionnement nominal utilisé pour l'optimisation (noté premier scénario) et pour deux autres points représentant deux scénarios sévères. En effet, le deuxième et troisième scénario, définis ci-dessus, sont déterminés à partir des simulations que nous avons réalisées et représentent les contraintes les plus dures pour le système :

- Le scénario deux peut être considéré comme un scénario sévère car les lignes d'interconnexion (8#9) et (46#49) participent fortement aux oscillations interrégionales et la perte de ces deux lignes va affaiblir considérablement les interconnexions entre les régions du système.

- Le scénario trois est aussi un scénario sévère. Il correspond à une diminution de puissance du générateur 68 associée à une augmentation de la charge connectée au jeu de barre 37. Or le générateur 68 a une puissance importante et la charge connectée au jeu de barre 37 consomme la puissance la plus grande du réseau. Enfin, ce scénario implique la perte de la ligne (2#3).

Jusqu'à maintenant, l'analyse de réglage est basée seulement sur le modèle linéaire du système. Etant donné que le modèle d'origine est non-linéaire, nous devons évaluer la performance et la robustesse du réglage des PSSs en considérant le modèle non-linéaire originel. Pour ce faire, nous effectuons des simulations temporelles du système pour ces différents scénarios en présence d'une perturbation transitoire sévère déduite de simulations. Cette perturbation sévère correspondant à un défaut triphasé sur la ligne (59#23) est appliquée à proximité du jeu de barre 59 ; il est suivi par une ouverture des disjoncteurs et une fermeture de la ligne après élimination du défaut. Le temps de défaut et de retour à l'état initial est choisi de l'ordre de 6 périodes du réseau (0.1 s).

Dans la suite de ce paragraphe, nous présentons les étapes habituelles de l'optimisation des paramètres des PSSs, à savoir :

- Détermination de la meilleure localisation des PSSs. La méthode utilisée pour

- Optimisation des valeurs des paramètres des PSSs, déjà installés dans le système. La

- Vérification de la performance et de la robustesse correspondant au réglage effectué pour différents scénarios. Pour ce faire, nous utilisons l'analyse par valeurs propres et l'évaluation temporelles des performances par simulations dynamiques.

La méthode des facteurs de participation nous permet de déterminer les générateurs participants à chaque mode critique. Les générateurs présentant les valeurs de participation les plus élevées sont ceux qui nécessitent d'être équipés en priorité de PSSs. Les résultats sont donnés dans le tableau (6) : 14 générateurs participent principalement à ces modes. La fréquence de chaque mode et les générateurs associés déterminent le type du mode. Nous avons ainsi quatre modes de type interrégional et onze modes de type local.

N° mode	ë	f [Hz]	Générateurs participants	Type de mode
1	- 0.4120#177; j 9.8436	1.5667	G. 63	Local
2	- 0.0095#177; j 2.3974	0.3816	G. 65, G. 67, G. 66	Interrégional
3	0.0063#177; j 3.1120	0.4953	G. 68, G. 66	Interrégional
4	0.0377#177; j 3.8959	0.6201	G. 65, G. 58, G. 57	Interrégional
5	- 0.0116#177; j 4.0526	0.6450	G. 67, G. 66, G.68	Interrégional
6	- 0.4056#177; j 8.3777	1.3333	G. 56	Local
7	- 0.2814#177; j 8.2667	1.3175	G. 60	Local
8	- 0.3295#177; j 8.2650	1.3154	G. 59	Local
9	0.2152#177; j 6.2618	0.9996	G. 64	Local
10	0.1188#177; j 6.6535	1.0589	G. 57	Local
11	0.3803#177; j 7.3056	1.1627	G. 61	Local
12	0.2420#177; j 6.8133	1.0844	G. 54	Local
13	0.0919#177; j 7.1486	1.1377	G. 58	Local
14	0.2216#177; j 7.2291	1.1506	G. 55	Local
15	0.0717#177; j 7.0438	1.1211	G. 62	Local

L'analyse des facteurs de participation montre l'influence de chaque générateur dans le mode en question. Si la participation d'un générateur est relativement faible, le placement d'un PSS sur ce générateur n'apportera que peu d'amélioration. Les figures (57) et (58) montrent les facteurs de participation associés aux angles et aux variations de vitesse de chaque générateur pour les quatre modes interrégionaux (les modes 2, 3, 4 et 5) et pour deux modes locaux (modes 1 et 6).

La méthode des facteurs de participation détermine donc 14 générateurs devant être équipés des PSSs. Ce sont les suivants :

Figure 57. Facteurs de participation des modes interrégionaux (modes 2, 3, 4 et 5).

Nous utilisons les AGs pour optimiser simultanément le réglage des paramètres des PSSs en se basant sur le modèle linéaire du système. L'objectif de ce réglage simultané est d'évaluer l'amortissement de tout le système et de minimiser les possibles interactions défavorables entre les PSSs. Pour atteindre cet objectif, les valeurs propres du système doivent, comme nous l'avons vu, se placer dans la zone D de stabilité.

Ainsi, l'AG appliqué doit maximiser les valeurs fournies par la fonction multiobjectif du système. Pour le cas étudié, le problème d'optimisation est alors formulé comme suit :

La figure (59) donne une représentation graphique de cette procédure d'optimisation cordonnée.

Les trois paramètres à optimiser pour chaque PSS (un gain et deux constantes de temps) sont soumises aux contraintes suivantes :

Les autres paramètres _(Tw,j^et T2,j, T4,j) des PSSs sont considérés constants : Tw,j = 10 et T2,j = T4,j = 0.02.

La figure (60) montre la convergence des paramètres des PSSs (KPSSi, T1i ^et_T3i) vers leurs valeurs optimales. Pendant les premières générations, les valeurs de ces paramètres (les individus) sont réparties sur la quasi-totalité de leurs espaces de recherche. Au fur et à mesure de la progression des générations, les individus (de chaque paramètre) s'orientent et convergent enfin vers leurs valeurs optimales. Ces dernières sont données dans le tableau (8).

Figure 60. Convergence de la population des paramètres des PSSs (a : KPSSi, b : T1i, c : T3i).

N° PSS	N° G.	*KPSS*	T1	T3
1	54	35.2115	0.0543	0.0484
2	55	21.4336	0.0222	0.0424
3	56	33.4921	0.0665	0.0981
4	57	30.7770	0.0309	0.0469
5	58	35.8410	0.0901	0.0796
6	59	23.3611	0.0511	0.0377
7	60	01.5493	0.0829	0.0798
8	61	12.7207	0.0067	0.0309
9	62	30.1377	0.0882	0.0749
10	63	13.9789	0.0518	0.0754
11	64	38.7296	0.0598	0.0908
12	65	15.1873	0.0266	0.0081
13	67	39.9831	0.0012	0.0015
14	68	32.3178	0.0010	0.0010

L'évolution de la fonction multiobjectif en fonction du nombre de générations est donnée à la figure (61) ; la valeur finale atteinte pour la génération maximale prédéterminée de 250 est de 1.097. Les évolutions des deux composantes (æ et ó) de la fonction multiobjectif sont données quant à elles à la figure (62). Nous remarquons sur cette dernière que la valeur minimale optimale de (æ) et la valeur maximale optimale de (ó) sont atteintes pour la génération maximale prédéterminée de 250.

Figure 62. Evolutions des composantes de la fonction multiobjectif (a : æ, b : ó).

4.5.3.3- Analyse des valeurs propres. 4.5.3.3.1- Le point de fonctionnement nominal.

Les valeurs propres du système, équipé de ces 14 PSSs, et leur répartition dans le plan complexe sont données respectivement dans le tableau (9) et à la figure (63).

N° mode	ë	æ	f [Hz]
1	- 7.5602 #177; j 14.579	0.4603	2.3203
2	- 2.4631 #177; j 13.726	0.1766	2.1847
3	- 9.1765 #177; j 10.153	0.6705	1.6160
4	- 9.5284 #177; j 6.6435	0.8203	1.0573
5	- 1.9641 #177; j 9.1431	0.2100	1.4552
6	- 1.0945 #177; j 7.2031	0.1502	1.1464
7	- 1.0897 #177; j 7.1452	0.1508	1.1372
8	- 3.5594 #177; j 5.5850	0.5375	0.8889
9	- 5.6561 #177; j 3.9954	0.8 168	0.6359
10	- 3.7923 #177; j 4.4182	0.65 13	0.7032
11	- 4.2798 #177; j 3.1753	0.8031	0.5054
12	- 0.9485 #177; j 3.8260	0.2406	0.6089
13	- 1.1258 #177; j 3.3302	0.3203	0.5300
14	- 0.9560 #177; j 2.9392	0.3093	0.4678
15	- 1.3365 #177; j 2.6372	0.4521	0.4197

D'après l'analyse des valeurs propres du système, nous trouvons que le facteur d'amortissement minimum est æmin = 15.02 % et que la partie réelle maximale des valeurs propres est ómax = - 0.9485.

Nous pouvons remarquer que les modes électromécaniques (locaux et interrégionaux) ont été décalés dans la zone D de stabilité du plan complexe. Il apparaît deux valeurs propres situées juste à l'extérieur de la zone D : les valeurs obtenues restent néanmoins très proches de la limite de zone. Elles conservent en outre une excellente marge de stabilité absolue. Enfin, elles correspondent à des facteurs d'amortissement très supérieurs au critère que nous avions précédemment défini.

Figure 63. Répartition des valeurs propres du système dans le plan complexe
(14 PSSs optimisés par AG).

La variation de vitesse des générateurs qui fait suite à une petite perturbation en échelon de 1% sur le couple mécanique du générateur 53 est présentée à la figure (64).

Ces résultats confirment que le système est bien évidemment stable aux petites perturbations.

Nous allons dans la suite de ce paragraphe comparer le résultat obtenu par l'AG avec ceux déterminés :

La méthode classique choisie est la méthode de compensation de phase. Nous appliquons cette méthode pour un réglage séquentiel des 14 PSSs, localisés par la méthode des FP, sur la base des étapes expliquées dans le paragraphe (§§-2.4.5.2.1). Le premier PSS est réglé en utilisant le résultat de l'analyse des valeurs propres en boucle ouverte. Les valeurs propres du système en boucle fermée utilisant le premier PSS sont calculées et utilisés dans le réglage du deuxième PSS. Cette procédure s'applique pour les autres PSSs et, à chaque étape de ce réglage séquentiel, le modèle du système est mis à jour avec les PSSs ajoutés précédemment. La figure (65) donne une représentation graphique de cette procédure séquentielle.

Les valeurs des paramètres de réglage des PSSs déterminés par cette méthode sont données en annexe D.

Les valeurs propres du système, avec les 14 PSSs, sont données dans le tableau (10) ; leur répartition dans le plan complexe est montrée graphiquement à la figure (66).

Ces résultats montrent que le système est devenu stable pour le point de fonctionnement étudié, mais plusieurs modes ne se trouvent pas dans la zone D ; un mode _(ë14) reste encore mal amorti.

Ce résultat s'interprète en tenant compte du fait que les méthodes classiques ne prennent pas en compte les interactions entre PSSs et que leur réglage se fait sans coordination.

L'analyse comparative des résultats obtenus par ces méthodes montre donc la supériorité de l'utilisation de l'AG.

N° mode	ë	æ	f [Hz]
1	- 3.8969 #177; j 13.710	0.2734	2.1821
2	- 4.6589 #177; j 13.268	0.3313	2.1118
3	- 3.3208 #177; j 7.9161	0.3868	1.2599
4	- 0.2396 #177; j 7.1521	0.0335	1.1383
5	- 2.8883 #177; j 6.7292	0.3944	1.0710
6	- 1.1655 #177; j 6.7009	0.1714	1.0665
7	- 2.7053#177; j 6.5937	0.3796	1.0494
8	- 1.2536 #177; j 6.1625	0.1993	0.9808
9	- 1.6629 #177; j 6.5117	0.2474	1.0364
10	- 2.1114 #177; j 6.1520	0.3246	0.9791
11	- 1.8371 #177; j 6.1483	0.2863	0.9785
12	- 0.8886 #177; j 3.7589	0.2301	0.5982
13	- 0.6306 #177; j 3.6811	0.1688	0.5859
14	- 0.3772 #177; j 3.1160	0.1202	0.4959
15	- 0.7242#177; j 2.27830	0.3029	0.3626

Tableau 10. Valeurs propres du système
(14 PSSs réglés par la méthode de compensation de phase).

Figure 66. Répartition des valeurs propres du système dans le plan complexe
(14 PSSs réglés par la méthode de compensation de phase).

Les méthodes métaheuristiques d'optimisation sont, comme nous l'avons déjà cité, nombreuses. Une de ces méthodes est les algorithmes d'optimisation par essaim de particules, (AOEP), (Particle Swarm Optimisation). Ces derniers ont été introduits par Kennedy et Eberhart (Kennedy et al., 1995) en 1995. Ces algorithmes sont une technique stochastique d'optimisation inspirés des mouvements coordonnés des oiseaux en nuées ou des bancs de poissons (Kennedy et al., 2001; Bonabeau et al., 2002). Les AOEP, comme les algorithmes évolutionnaires, sont des méthodes d'optimisation à population dont l'individu (particule) représente une solution potentielle. Les AOEP partagent avec les AGs plusieurs points communs tels que la génération aléatoire de la population initiale et l'évolution des individus par itérations en convergeant graduellement vers la solution optimale.

Chaque particule vole dans l'espace de recherche du problème avec une vitesse adaptative qui se modifie dynamiquement selon sa propre expérience du vol et l'expérience du vol des autres particules. Ainsi, chaque particule essaie de s'améliorer en suivant le chemin de son meilleur voisin. En outre, chaque particule possède une mémoire qui lui permet de se rappeler de la meilleure position qu'elle avait visitée dans l'espace de recherche. La position de la particule correspondante à la meilleure performance est appelée pbest et la meilleure position de toutes les particules est appelée gbest.

L'évolution de la vitesse et la position de chaque particule peuvent être calculées en utilisant les informations de sa vitesse actuelle et de la distance entre sa position actuelle et les positions pbesti et gbest, comme les donnent les relations suivantes (Bonabeau et al., 2002; Kwang et al., 2008) :

c1, c2 : coefficients de pondération. rand : nombre aléatoire entre 0 et 1.

Nous appliquons le programme d'AOEP que nous avons développé pour optimiser les 14 PSSs du système. Nous utilisons le même espace de recherche proposé pour l'optimisation par l'AG (relation (144)). Les valeurs choisies des paramètres de l'AOEP et les valeurs optimales des paramètres des PSSs sont données en annexe E.

La figure (68) décrit l'évolution de la fonction multiobjectif en fonction du nombre de générations ; la valeur de la fonction multiobjectif atteinte est de 1.075.

Figure 69. Répartition des valeurs propres du système dans le plan complexe
(14 PSSs optimisés par AOEP).

L'analyse de ces valeurs montre que plusieurs d'entre elles se trouvent hors de la zone D : le facteur d'amortissement minimum est æmin = 14.32 % et la partie réelle maximale des valeurs propres est ómax = - 0.93 17.

La comparaison avec les résultats obtenus par l'AG montre que les résultats obtenus par l'AOEP sont inférieurs.

En effet, si les AOEP sont simples dans leur concept et faciles à mettre en oeuvre par rapport à un AG car ils n'ont pas d'opérateurs génétiques. Contrairement aux AGs, la performance d'un AOEP dépend fortement de ses paramètres de réglage. En outre, les AOEP risquent souvent d'être piégés dans des optima locaux (Angeline, 1998; Xiao et al., 2003).

Enfin, en ce qui concerne les résultats de la littérature obtenus à l'aide des AGs, de nombreuses recherches sur l'optimisation des paramètres des PSSs du réseau New England/New York ont été effectuées. K. Hongesombut, par exemple, a publié plusieurs articles (Hongesombut et al., 2001; Hongesombut et al., 2002; Hongesombut et al., 2004; Hongesombut et al., 2005) concernant ce problème. Dans la référence (Hongesombut et al., 2005), les auteurs présentent une méthode d'optimisation des PSSs utilisant une combinaison entre un algorithme génétique hiérarchique et un micro algorithme génétique parallèle.

Nous donnons ci-dessous les principes de ces deux algorithmes. - Algorithme génétique hiérarchique (AGIT).

Dans un AG typique, la structure d'un chromosome est prédéfinie et fixe ; le chromosome consistant en une chaîne de gènes. Par contre, un chromosome d'un AGH est construit d'une

façon hiérarchique à partir de deux types de gènes : les gènes de contrôle et les gènes de paramètres. Les gènes de contrôle gouvernent l'état d'activation des gènes de paramètres. Les autres gènes sont responsables de l'optimisation des paramètres des PSSs.

Lorsqu'on veut utiliser une population de petite taille, il y a un risque que l'AG converge vers un optimum local. Ainsi, un AG typique peut ne pas donner le résultat désiré avec une petite population. Ceci est dû à l'insuffisance de diversité dans le bassin de la population qui ne permet pas toujours d'éviter le piège des optima locaux. Par contre, le MAGP se base sur l'utilisation de multiples sous-populations. Ces dernières évoluent indépendamment pour un certain nombre de générations. Ensuite un processus de migration est appliqué en distribuant le meilleur individu parmi les sous-populations. Le schéma de migration fournit la diversité génétique demandée en échangeant les informations entre les sous-populations.

Avec cette méthode, la stabilité globale du système est assurée avec un facteur d'amortissement minimum æmin = 15 % et une partie réelle maximale des valeurs propres ómax = - 1. Ces résultats sont bien en accord avec ceux que nous avons obtenus, mais avec un PSS de moins dans notre étude (14 au lieu de 15 PSSs).

Dans le paragraphe précédent, nous avons examiné la performance de régulation pour le point de fonctionnement nominal. Nous examinons ci-dessous cette performance vis-à-vis des deux autres scénarios proposés.

Les représentations graphiques dans le plan complexe des valeurs propres des deuxième et troisième scénarios sont données respectivement à la figure (70).

Figure 70. Valeurs propres du système pour le 1^er cas,
a : 2^ème scénario, b : 3^ème scénario.

Les valeurs minimales de (æ) et maximales de (ó) des deux scénarios sont données respectivement comme suit :

Nous remarquons que la valeur critique du facteur d'amortissement est bien respectée dans le deuxième scénario mais pas pour le troisième, tandis que la valeur critique de la partie réelle des valeurs propres n'est pas respectée pour les deux autres scénarios. La figure (70) montre que trois modes, pour chaque scénario, se trouvent en dehors de la zone D de stabilité. Les caractéristiques correspondantes de ces modes sont données dans le tableau suivant :

	N° mode	ë	æ	f [Hz]	Type de mode
₂ème scénario	1	- 0.8603#177; j3.9143	0.2147	0.6230	Interrégional
	2	0.6284#177; j 2.9158	0.2107	0.4641	Interrégional
	3	- 0.7652#177; j 7.2000	0.1057	1.1459	Local
₃ème scénario	1	- 0.8820#177; j 3.7928	0.2265	0.603 6	Interrégional
	2	0.7794#177; j 3.2443	0.2336	0.5163	Interrégional
	3	- 0.3743#177; j 5.7897	0.0645	0.9212	Interrégional

Ce tableau montre que les modes se trouvant en dehors de la zone D sont bien deux modes interrégionaux (le 3^ème est local) pour le 2^ème scénario et trois modes pour le 3ème scénario. Par conséquent, les modes interrégionaux sont les plus critiques.

4.5.3.4- Analyse par simulations temporelles. 4.5.3.4.1- Le point de fonctionnement nominal.

Pour compléter les informations sur les performances de régulation obtenues avec le modèle linéaire, des simulations temporelles du modèle non-linéaire sont, comme nous l'avons expliqué au paragraphe (§§-4.3), nécessaires. Nous devons ainsi examiner la restauration de la stabilité du système pour les trois scénarios proposés suite à un court-circuit triphasé sur la ligne 59#23. Nous traitons dans ce paragraphe le point de fonctionnement nominal.

La figure (71) montre la variation de vitesse des cinq générateurs les plus affectés par ce défaut. Ces générateurs sont G.53, G.59, G.60, G.66 et G.68 ; ils appartiennent à des régions différentes.

Les valeurs du dépassement maximum et du temps de réponse mesurés sur ces courbes sont donnés dans le tableau suivant.

	G. 53	G. 59	G. 60	G. 66	G. 68
D_p	5.48×10^-3	10.6×10^-3	5.01×10^-3	- 9.84×10^-3	0.49×10^-3
t_r (s)	7	7	8	8	8

Ainsi, nous constatons que le système est stable et les oscillations s'amortissent en moins de 10 secondes.

Figure 71. Variations de vitesse des cinq générateurs suite à un défaut de ligne,
(1^er scénario du 1^er cas).

D'autres grandeurs physiques peuvent aussi être simulées tels les angles de rotor, les puissances électriques et les tensions de noeuds.

Les réponses temporelles des angles de rotor, avec le défaut proposé, sont montrées à la figure (72). Les écarts entre les angles des générateurs 60 et 66 et les écarts entre les angles des générateurs 68 et 53 sont calculés à chaque instant : ils sont représentés à la figure (73). Ces générateurs participent aux modes interrégionaux ; appartenant à des régions différentes, ils oscillent en opposition de phase comme l'illustre les premières oscillations de la figure (73).

Figure 72. Réponse dynamique des angles de rotor des générateurs (1^er scénario du 1^er cas).

Figure 73. Réponse dynamique des écarts des angles de deux paires des générateurs,
(1^er scénario du 1^er cas).

Nous remarquons que l'écart des angles de chaque paire converge généralement au bout de 8 secondes.

Les variations des angles des rotors influencent fortement les puissances électriques des générateurs du système ainsi que les tensions de noeuds. La figure (74) illustre la réponse dynamique des puissances électriques des cinq générateurs choisis et la réponse dynamique des tensions de quelques noeuds. Nous avons choisi les noeuds de la ligne d'interconnexion 52#42, les noeuds de la ligne 40#48 et le noeud 59 où le défaut était appliqué.

Figure 74. Réponse dynamique du système (1^er scénario du 1^er cas),
a : puissances électriques, b : tensions des noeuds.

Les courbes de ces deux figures confirment la restauration de la stabilité du système lors d'un défaut de ligne, pour le point de fonctionnement nominal. L'examen de la réponse dynamique du système pour d'autres scénarios va être discuté dans le paragraphe suivant.

La figure (75) montre la variation de vitesse des cinq générateurs pour les scénarios 2 et 3.

Figure 75. Variation de vitesse des générateurs du 1^er cas,
a : 2^ème scénario, b : 3^ème scénario.

Les informations obtenues concernant le dépassement maximum et le temps de réponse du système pour les deux scénarios sont données dans le tableau suivant.

		G. 53	G. 59	G. 60	G. 66	G. 68
2ème scénario	D_p	5.65×10^-3	10.6×10^-3	4.42×10^-3	- 9.28×10^-3	1.34×10^-3
2ème scénario	t_r (s)	8	7	8	10	9
3ème scénario	D_p	4.7×10^-3	10.6×10^-3	4.6×10^-3	- 10.1×10^-3	- 2.26×10^-3
	t_r (s)	14	11	14	10	9

Nous remarquons sur ce tableau que certaines valeurs du dépassement maximum sont plus importantes que pour le premier scénario tandis que d'autres sont plus faibles. Par contre, les temps de réponse des deuxième et troisième scénarios sont toujours supérieurs ou égaux à ceux du premier scénario ; les temps de réponse des générateurs 53 et 60 du troisième scénario sont doublés (ils dépassent même les 10 secondes).

Enfin, pour compléter cette étude, nous donnons la réponse dynamique des angles de rotor suite au défaut de ligne pour les 2^ème et 3^ème scénarios, figure (76).

Dans l'étude du premier cas, nous avons utilisé la méthode des facteurs de participation pour localiser les PSSs nécessaires au système et la méthode des AGs pour régler les paramètres de ces PSSs. Les résultats trouvés pour le point de fonctionnement nominal montrent que le réglage du système est efficace avec un bon amortissement pour tous les modes. La performance du réglage a été évaluée avec les modèles linéaire et non-linéaire du système. Par ailleurs, nous trouvons que la performance s'est dégradée pour les autres

scénarios, en particulier pour le troisième scénario ; les critères liés à la zone de stabilité et au temps de réponse étant "mal respectés" pour plusieurs modes (notamment les interrégionaux). La robustesse du réglage n'est donc pas suffisamment assurée.

Nous pouvons donc conclure que, bien que le programme d'AG utilisé tienne compte des interactions entre les PSSs et réalise un réglage coordonné en comblant ainsi les limites des méthodes classiques, il reste à son tour handicapé par la prédétermination des lieux d'installation des PSSs. Cela nous amène à utiliser aussi l'AG dans le choix optimal de localisation des PSSs.

Figure 76. Réponse dynamique des angles de rotor du 1^er cas,
a : 2^ème scénario, b : 3^ème scénario.

4.5.4- Cas 2 : optimisation des paramètres et de la localisation des PSSs. 4.5.4.1- Application des AGs.

Les méthodes de détermination classique de l'emplacement des PSSs, tels les facteurs de participation, peuvent ne pas garantir une performance efficace en termes d'amortissement d'oscillation, en particulier, pour les modes interrégionaux où un grand nombre de générateurs est souvent impliqué. En outre, ces méthodes ne prennent pas en considération les éventuelles interactions indésirables des PSSs.

Dans ce cas, nous allons considérer les lieux d'emplacement, comme les paramètres de réglage des PSSs, comme des variables à optimiser. Le nombre de PSSs à installer reste constant et égal à celui déterminé par la méthode des facteurs de participation, soit 14 PSSs.

Pour ce faire, nous appliquons la même fonction multiobjectif donnée par la relation (141) et nous développons un AG permettant d'introduire la localisation d'un PSS comme un paramètre optimisable. Nous appliquons donc une optimisation simultanée de localisation et des paramètres des PSSs.

La figure (77) donne une représentation graphique de cette procédure d'optimisation cordonnée.

Figure 77. Optimisation coordonnée de localisation et des paramètres des PSSs.

Les quatre variables à optimiser pour chaque PSS (l'emplacement, un gain et deux constantes de temps) sont soumises aux contraintes suivantes :

Les autres paramètres _(Tw,j^et T2,j, T4,j) des PSSs sont considérés constants : Tw,j = 10 et T2,j = T4,j = 0.02.

L'évolution de la fonction multiobjectif en fonction du nombre de générations, donnée à la figure (78), montre que sa valeur finale optimale est égale à 1.552.

Les résultats, donnés au tableau (12), représentent les valeurs optimales de l'emplacement des PSSs et leurs paramètres de réglage.

N° PSS	N° G.	*KPSS*	T1	T3
1	53	3 1.3445	0.0980	0.0985
2	54	44.3561	0.0881	0.0770
3	55	44.2500	0.08 12	0.0466
4	57	24.5247	0.0609	0.0784
5	58	07.8640	0.0398	0.0478
6	59	24.7385	0.0567	0.0654
7	61	16.0132	0.0729	0.0366
8	62	08.6426	0.0533	0.0742
9	63	04.8510	0.0632	0.0787
10	64	17.0964	0.0924	0.0237
11	65	43.8049	0.0026	0.0115
12	66	44.4671	0.0108	0.0034
13	67	44.7417	0.0204	0.0159
14	68	44.4898	0.0102	0.0054

Nous allons dans la suite de ce paragraphe analyser la performance et la robustesse du réglage des PSSs lors de la linéarisation du modèle du système et lors de l'utilisation du modèle non-linéaire.

4.5.4.2- Analyse des valeurs propres. 4.5.4.2.1- Le point de fonctionnement nominal.

Pour calculer les valeurs propres du système au point de fonctionnement nominal en boucle fermée, nous installons les 14 PSSs optimisés aux emplacements déterminés par l'AG. Le tableau (13) donne les valeurs propres dominantes ; leur répartition dans le plan complexe est donnée à la figure (79).

N° mode	ë	æ	f [Hz]
1	- 6.7752 #177; j 11.413	0.5104	1.8166
2	- 2.2305 #177; j 10.556	0.2067	1.6801
3	- 6.9634 #177; j 8.6133	0.6287	1.3709
4	- 1.4778 #177; j 8.3524	0.1742	1.3293
5	- 2.7045 #177; j 8.2624	0.3111	1.3150
6	-1.6588 #177; j 7.4513	0.2173	1.1859
7	- 1.3803 #177; j 7.3761	0.1839	1.1739
8	- 1.3779 #177; j 7.2170	0.1875	1.1486
9	- 4.8218 #177; j 2.7800	0.8663	0.4425
10	- 2.0778 #177; j 2.6504	0.6170	0.4218
11	- 3.6124 #177; j 2.3486	0.8384	0.3738
12	- 1.3974 #177; j 3.9670	0.3322	0.6314
13	- 1.3777 #177; j 3.9719	0.3277	0.6321
14	- 2.7954 #177; j 6.1612	0.4132	0.9806
15	- 1.5958 #177; j 2.0264	0.6187	0.3225

Tableau 13. Valeurs propres du système (14 PSSs localisés et optimisés par AG).

Figure 79. Répartition des valeurs propres du système dans le plan complexe
(14 PSSs localisés et optimisés par A G).

L'examen de ces valeurs propres montre que le facteur d'amortissement minimum est æmin = 17.42 % et que la partie réelle maximale des valeurs propres est ómax = - 1.3777. Nous remarquons aussi que tous les modes, locaux et interrégionaux, sont bien déplacés dans la zone D. Le facteur d'amortissement et la partie réelle des valeurs propres des modes interrégionaux sont notamment améliorés par rapport au premier cas. Nous constatons donc une bonne amélioration de la stabilité globale du système. Cette amélioration se traduit par des améliorations sur le facteur d'amortissement minimum (de 16.1 % en valeur relative) et sur la partie réelle maximale des valeurs propres (de 45.18 % en valeur relative) par rapport au premier cas.

Pour s'assurer de cette amélioration dans tous les scénarios probables, nous devons examiner, comme nous avons fait pour le premier cas, les deux autres scénarios proposés.

Les répartitions des valeurs propres dans le plan complexe des deuxième et troisième scénarios sont données respectivement à la figure (80).

Figure 80. Valeurs propres du système pour le 2^ème cas,
a : 2^ème scénario, b : 3^ème scénarios.

Les valeurs minimales de (æ) et maximales de (ó) des deux scénarios sont données respectivement comme suit :

Sur ces deux figures, il est clair que tous les modes (locaux et interrégionaux) associés aux deux scénarios se trouvent placés dans la zone D ; les valeurs critiques de (æi) et (ói) sont bien respectées avec une marge très importante pour le facteur d'amortissement. Ces valeurs

présentent une bonne amélioration des performances par rapport au premier cas. Cela se traduit par une augmentation de _(æmin) de (65.8 % et 151.16 %) et une diminution de _(ómax) de (108.1 % et 178.8 %) pour les deux scénarios respectivement.

Cette comparaison peut être illustrée graphiquement, par rapport au premier scénario, par la figure suivante.

D'après cette figure, nous constatons que le réglage du deuxième cas respecte les critères de la zone D de stabilité pour les trois scénarios étudies contrairement au premier cas qui ne la respectait que par le scénario du point de fonctionnement nominal.

4.5.4.3- Analyse par simulations temporelles. 4.5.4.3.1- Le point de fonctionnement nominal.

Nous examinons dans ce paragraphe les simulations temporelles du système non-linéaire au point de fonctionnement nominal pour le même défaut appliqué au premier cas.

Le résultat de la variation de vitesse des cinq générateurs est présenté à la figure (82).

Pour mieux comparer ce résultat à son homologue du premier cas, nous donnons dans les tableaux suivants le dépassement maximum et le temps de réponse mesurés sur ces courbes, en rappelant aussi ceux du premier cas.

2ème cas			G. 53	G. 59	G. 60	G. 66	G. 68
		D_p	5.42×10^-3	10.7×10^-3	5.01×10^-3	- 9.85×10^-3	0.49×10^-3
		t_r (s)	5	5	8	4	4
1er cas			G. 53	G. 59	G. 60	G. 66	G. 68
	D_p		5.48×10^-3	10.6×10^-3	5.01×10^-3	- 9.84×10^-3	0.49×10^-3
	t_r (s)		7	7	8	8	8

Nous constatons que les temps de réponse sont notamment améliorés ; les oscillations de générateurs 66 et 68 par exemple s'amortissent deux fois plus rapidement que leurs équivalentes au premier cas, les valeurs des dépassements restant les mêmes.

Cette amélioration obtenue par le modèle non-linéaire est en bon accord avec celle obtenue par le modèle linéaire.

Figure 82. Variations de vitesse des cinq générateurs suite à un défaut de ligne,
(1er scénario du 2ème cas).

Les réponses temporelles des angles de rotor et les écarts entre les angles des générateurs 60 et 66 et entre les angles des générateurs 68 et 53, donnés à la figure (83), montrent bien la restauration rapide de la stabilité suite au défaut et le bon amortissement obtenu.

Figure 83. Réponse dynamique des générateurs (1^er scénario du 2^ème cas),
a : angles de rotor, b : écart des angles de deux paires.

La réponse dynamique des puissances électriques des cinq générateurs choisis et la réponse dynamique des tensions de quelques noeuds sont présentées à la figure (84).

Figure 84. Réponse dynamique du système (1^er scénario du 2^ème cas),
a : puissances électriques, b : tensions des noeuds.

Pour analyser la performance de régulation du système lors de la restauration de la stabilité suite à un défaut sévère, nous montrons tout d'abord la variation de vitesse des cinq générateurs pour les deux scénarios, figure (85).

Figure 85. Variation de vitesse des générateurs du 2^ème cas,
a : 2^ème scénario, b : 3^ème scénario.

Nous donnons ensuite dans le tableau suivant le dépassement maximum et le temps de réponse mesurés pour la variation de vitesse.

		G. 53	G. 59	G. 60	G. 66	G. 68
2ème scénario	D_p	5.45×10^-3	10.6×10^-3	4.43×10^-3	- 9.29×10^-3	1.35×10^-3
2ème scénario	t_r (s)	5	4	7	4	4
3ème scénario	D_p	4.39×10^-3	10.6×10^-3	4.6×10^-3	- 10.2×10^-3	- 2.2×10^-3
	t_r (s)	7	6	8	4	5

Nous comparons enfin les temps de réponse avec leurs équivalents du premier cas, en tenant compte des trois scénarios retenus. Nous représentons cette comparaison par la figure (86). La figure (87), quant à elle, représente l'amélioration apportée par l'utilisation de l'AG pour l'optimisation simultanée des paramètres des PSSs et de leurs emplacements. L'amélioration de temps de réponse a été évaluée, en valeurs relatives exprimées en pourcent pour les cinq générateurs choisis et dans les trois scénarios étudiés.

Figure 86. Temps de réponse des trois scénarios (comparaison entre le 1^er et le 2^ème cas).

Figure 87. Temps de réponse des trois scénarios
(Comparaison des valeurs relatives entre le 1^er et le 2^ème cas).

Nous remarquons que le deuxième cas présente une amélioration remarquable des temps de réponse quel que soit le scénario ; cette amélioration atteint par exemple 60 % pour la variation de vitesse de générateur 66 avec les deuxième et troisième scénarios.

La figure (88) montre enfin la réponse dynamique des angles de rotor suite au défaut de ligne pour les 2^ème et 3^ème scénarios.

Figure 88. Réponse dynamique des angles de rotor du 2^ème cas,
a : 2^ème scénario, b : 3^ème scénario.

La méthode des facteurs de participation a montré que les générateurs 53 et 66 ne devraient pas être équipés de PSSs. Pourtant, selon cette méthode, le générateur 66 participe aux modes interrégionaux ; le générateur 53 quant à lui ne présente aucune participation importante aux modes du système.

Lorsque l'AG est utilisé pour trouver les générateurs les plus appropriés pour installer des PSSs, il prend en considération l'ensemble des propriétés des PSSs (emplacement et paramètres). Il varie continuellement l'emplacement et les valeurs de paramètres des PSSs en cherchant à trouver la solution qui améliore au maximum la performance de tous les modes. Lorsque l'AG trouve qu'un emplacement n'entraîne aucune amélioration de la performance des modes ou a éventuellement une influence négative, l'emplacement est abandonné.

L'AG a montré que tous les générateurs responsables des modes interrégionaux (comme la méthode des facteurs de participation a déterminé) nécessitent l'ajout de PSSs, en particulier le générateur 66. Par contre, pour ceux responsables des modes locaux, l'AG montre que deux d'entre eux n'ont pas besoin de PSSs ; à savoir les générateurs 56 et 60.

La figure (89) montre la fréquence de sélection de chaque générateur pour être doté d'un PSS pour 300 d'itérations d'AG.

Il apparaît sur cette figure que les générateurs 56 et 60 ne sont choisis que pendant quelques itérations d'AG. Les générateurs 63 et 65 sont moins choisis par rapport aux autres. La question qui se pose maintenant est la suivante : l'AG peut-il être employé pour réduire le nombre de PSSs en conservant seulement les PSSs les plus efficaces ???

Généralement, lorsque les PSSs sont mal réglés, ils peuvent produire des effets sévèrement nuisibles au système de puissance. En outre, un ensemble de PSSs peut donner des résultats médiocres quand son emplacement n'est pas bien choisi. En conséquence, il est nécessaire de réduire ces effets nuisibles en choisissant l'emplacement optimal des PSSs simultanément avec un réglage coordonné et en employant seulement le nombre nécessaire de PSSs.

Pour la réduction du nombre des PSSs, nous proposons la procédure illustrée par la figure (90). Cette figure montre la structure du programme de l'AG utilisé. Un commutateur branché en série avec le PSS prend des variables "0 ou 1". Les variables représentant ces commutateurs sont introduites dans le programme de l'AG avec les autres variables des PSSs (ceux du deuxième cas). Ces commutateurs permettent de relier (si la variable est 1) ou débrancher (si la variable est 0) les PSSs des générateurs. Au cours du calcul, lorsque la fonction multiobjectif ne varie pas de manière significative à cause de la faible influence de certains PSS sur l'amortissement du système, l'AG ne les prend pas alors en considération.

Figure 90. Optimisation coordonnée de localisation, des paramètres et du nombre des PSSs.

Les cinq variables à optimiser de chaque PSS (un commutateur de PSS, un emplacement, un gain et deux constantes de temps) sont soumises aux contraintes suivantes :

Les autres paramètres _(Tw,j^et T2,j, T4,j) des PSSs sont considérés constants : Tw,j = 10 et T2,j = T4,j = 0.02.

Nous avons trouvé que les meilleures performances des paramètres obtenus par l'AG demandent l'utilisation de 12 PSSs seulement.

Les valeurs des paramètres des PSSs optimisés sont données dans le tableau (15).

N° PSS	N° G.	*KPSS*	T1	T3
1	53	21.5146	0.0926	0.0998
2	54	38.1806	0.0874	0.0225
3	55	39.1358	0.0978	0.0560
4	57	20.4600	0.0887	0.0562
5	58	23.9224	0.0639	0.0452
6	59	11.6205	0.0754	0.0160
7	61	39.2348	0.0297	0.0948
8	62	21.8183	0.0324	0.0411
9	64	18.8449	0.0423	0.0480
10	66	39.7833	0.0138	0.0174
11	67	39.2614	0.0147	0.0100
12	68	39.9553	0.0512	0.0395

Ces valeurs représentent la meilleure solution atteinte à la dernière génération ; elles correspondent à la valeur finale de la fonction multiobjectif, soit 1.223. L'évolution de la fonction multiobjectif en fonction du nombre de générations est donnée à la figure (91).

Cette évolution de la fonction multiobjectif correspond à l'évolution du nombre de PSSs au cours de l'exécution de l'AG ; cette dernière évolution est illustrée par la figure (92).

Comme nous avons fait avec les cas précédents, nous devons analyser la performance et la robustesse du réglage des PSSs pour le modèle linéaire du système et aussi pour son modèle non-linéaire.

4.5.5.2- Analyse des valeurs propres. 4.5.5.2.1- Le point de fonctionnement nominal.

En installant les 12 PSSs optimisés aux emplacements déterminés par l'AG, nous pouvons calculer les valeurs propres du système au point de fonctionnement nominal en boucle fermée. Le tableau (16) donne certaines de ces valeurs propres. La figure (93) donne leurs répartitions dans le plan complexe.

N° mode	ë	æ	f [Hz]
1	- 7.9207 #177; j 9.7480	0.6306	1.5514
2	- 2.1271 #177; j 10.888	0.1917	1.7329
3	- 1.4055 #177; j 9.8537	0.1412	1.5683
4	- 1.3155 #177; j 9.3297	0.1396	1.4849
5	- 1.6215 #177; j 8.4449	0.1886	1.3440
6	- 1.0859 #177; j 7.2412	0.1483	1.1525
7	- 1.8724 #177; j 7.0410	0.2570	1.1206
8	- 4.4445 #177; j 3.8309	0.7575	0.6097
9	- 7.2122 #177; j 4.7003	0.8378	0.7481
10	- 3.9322 #177; j 2.7953	0.8150	0.4449
11	- 2.6229 #177; j 3.0356	0.6538	0.4831
12	- 1.0934 #177; j 3.9569	0.2663	0.6298
13	- 1.0836 #177; j 2.7449	0.3672	0.4369
14	- 1.0862 #177; j 3.0984	0.3308	0.4931
15	- 1.6932 #177; j 3.3940	0.4464	0.5402

Tableau 16. Valeurs propres du système (12 PSSs : optimisation globale par AG).

Figure 93. Répartition des valeurs propres du système dans le plan complexe
(12 PSSs : optimisation globale par AG).

L'installation de ces 12 PSSs dans le système permet d'assurer la stabilité globale du système ; tous les modes, locaux et interrégionaux, sont bien décalés dans la zone D. Le facteur d'amortissement minimum est æmin = 13.96 % et la partie réelle maximale des valeurs propres est ómax = - 1.0836. En comparant avec le premier cas, nous remarquons que nous obtenons quasiment la même performance avec 12 PSSs seulement qu'avec 14 PSSs. (Le facteur d'amortissement minimum est diminué de 7 % tandis que la partie réelle maximale des valeurs propres est améliorée de 14.2 %). En outre, le facteur d'amortissement et la partie réelle des valeurs propres des modes interrégionaux présentent une bonne amélioration par rapport au premier cas.

Nous avons vu que les 12 PSSs optimisés et localisés par l'AG placent tous les modes du système dans la zone D en cas de point de fonctionnement nominal. Quant aux deux autres scénarios proposés, les répartitions des valeurs propres associées dans le plan complexe sont données à la figure (94).

Nous trouvons sur ces deux figures qu'il n'y a qu'un seul mode hors de la zone D pour le deuxième scénario et deux modes pour le troisième scénario. Pour l'un comme pour l'autre, le critère de la partie réelle des valeurs propres n'est pas respecté tandis que le critère du facteur d'amortissement reste toujours respecté. Les caractéristiques générales de ces modes critiques peuvent être données dans le tableau suivant :

	N° mode	ë	æ	f [Hz]	Type de mode
₂ème scénario	1	- 0.4202#177; j 2.9600	0.1543	0.4281	Interrégional
3ème scénario	1	- 0.8968#177; j 6.6542	0.1336	1.0586	Local
	2	0.9237#177; j 3.2530	0.2732	0.5177	Interrégional

Ce tableau montre que le seul mode critique du 2^ème scénario est interrégional tandis qu'un mode local et un autre interrégional sont associés au 3^ème scénario.

Figure 94. Valeurs propres du système pour le 3^ème cas,
a : 2^ème scénario, b : 3^ème scénarios.

Les valeurs minimales de (æ) et maximales de (ó) des deux scénarios sont données ci- dessous :

Nous comparons les variations relatives des valeurs critiques de (æi) et (ói) de chaque scénario de ce cas par rapport au premier cas. Cette comparaison est donnée dans le tableau (17) et illustrée par la figure (95).

Tableau 17. Comparaison des variations relatives de _(æmin)^et_(ómax) entre les 1^er et 3^ème cas.

Figure 95. Comparaison des variations relatives entre les 1^er et 3^ème cas,
a : æmin, b : ómax.

Nous constatons donc qu'il y a une amélioration globale sur la performance de régulation lors de l'utilisation de 12 PSSs optimisés et localisés simultanément par l'AG par rapport au premier cas utilisant 14 PSSs localisés par une méthode classique et optimisés par l'AG.

4.5.5.3- Analyse par simulations temporelles. 4.5.5.3.1- Le point de fonctionnement nominal.

Pour continuer la vérification de la performance de réglage, nous devons réaliser des simulations temporelles adaptées du système non-linéaire. Nous considérons dans ce paragraphe le système avec son point de fonctionnement nominal soumis au défaut appliqué aux cas précédents.

Nous donnons en premier lieu le résultat de la variation de vitesse des cinq générateurs ; il est présenté à la figure (96).

Figure 96. Variations de vitesse des cinq générateurs suite à un défaut de ligne,
(1^er scénario du 3^ème cas).

Les valeurs des dépassements maximums et des temps de réponse sont données dans le tableau suivant.

	G. 53	G. 59	G. 60	G. 66	G. 68
D_p	5.29×10^-3	10.7×10^-3	5.01×10^-3	- 9.84×10^-3	0.49×10^-3
t_r (s)	8	8	8	6	3

En comparant les valeurs de ce tableau avec les valeurs équivalentes du premier cas, nous constatons que les temps de réponse des générateurs 66 et 68 ont bien diminués tandis que ceux des générateurs 53 et 59 ont légèrement augmentés (de 1 seconde). Les dépassements conservent les mêmes valeurs.

La figure (97) montre les réponses temporelles des angles de rotor pour le défaut proposé et les écarts entre les angles des générateurs 60 et 66 et entre les angles des générateurs 68 et 53. Les oscillations interrégionales se manifestent clairement sur l'écart angulaire des générateurs appartenant à des régions différentes. Nous pouvons bien voir que ces oscillations interrégionales s'amortissent en respectant le critère de performance désirée.

Figure 97. Réponse dynamique des générateurs (1^er scénario du 3^ème cas),
a : angles de rotor, b : écart des angles de deux paires.

La réponse dynamique des puissances électriques des cinq générateurs choisis et la réponse dynamique des tensions de quelques noeuds sont illustrées par la figure (98).

Ces simulations dynamiques montrent clairement que malgré le nombre réduit des PSSs, l'optimisation globale par l'AG permet au système de retrouver sa stabilité après quelques secondes.

Figure 98. Réponse dynamique du système (1^er scénario du 3^ème cas),
a : puissances électriques, b : tensions des noeuds.

Nous donnons aux figures (99) et (100) respectivement, la réponse dynamique de la variation de vitesse des cinq générateurs et la réponse dynamique des angles de rotor pour les deux scénarios proposés.

Figure 99. Variation de vitesse des générateurs du 3^ème cas,
a : 2^ème scénario, b : 3^ème scénario.

Figure 100. Réponse dynamique des angles de rotor du 3^ème cas,
a : 2^ème scénario, b : 3^ème scénario.

Suite au défaut proposé et comme nous l'avons fait pour les cas précédents, nous caractérisons la réponse dynamique du système par le calcul du dépassement maximum et du temps de réponse des générateurs. Les valeurs obtenues pour les deux scénarios sont données dans le tableau suivant.

		G. 53	G. 59	G. 60	G. 66	G. 68
2ème scénario	D_p	5.39×10^-3	10.7×10^-3	4.43×10^-3	- 9.28×10^-3	1.34×10^-3
2ème scénario	t_r (s)	9	9	10	7	4
3ème scénario	D_p	4.6×10^-3	10.7×10^-3	4.6×10^-3	- 10.2×10^-3	- 2.19×10^-3
	t_r (s)	8	8	9	7	6

Nous remarquons sur ce tableau qu'il y a généralement une amélioration du temps de réponse à scénarios équivalents par rapport au 1er cas. En outre, il n'y a plus de temps de réponse dépassant les 10 secondes.

Dans la mise en oeuvre conventionnelle des PSSs, les méthodes classiques d'emplacement (tels les facteurs de participation, ...) ne prennent pas en compte du changement de la participation des générateurs dans l'évolution des modes en présence des PSSs et des interactions indésirables entre ces PSSs. Par conséquent, nous trouvons que la plupart des modes électromécaniques dans les trois scénarios étudiés (au 1^er cas) sont de nature interrégionale (70 % en moyenne, figure (101, a)).

Par contre l'optimisation simultanée des paramètres et de l'emplacement des PSSs permet une diminution importante du nombre des modes interrégionaux associés (40 % des modes interrégionaux pour le 2^ème cas et 55 % dans le 3^ème cas, figure (101, b et c)).

(a : 1^er cas (14 PSSs), b : 2^ème cas (14 PSSs), c : 3^ème cas (12 PSSs)). 4.5.5.5- Discussion et conclusion.

Rappelons que la figure (89), correspondant au choix de sélection de chaque générateur par itération d'AG, montre bien que les générateurs 63 et 65 ont une faible probabilité d'être choisis pour être dotés de PSSs par rapport aux autres générateurs. Mais lorsqu'on laisse à l'AG la possibilité de fixer le nombre de PSSs et de sélectionner leurs emplacements les plus efficaces, nous trouvons alors que ces deux générateurs sont éliminés de la liste des PSSs. La figure (102) montre la fréquence de sélection de chaque générateur pour être doté d'un PSS pour 300 d'itérations d'AG.

L'évaluation de la fonction multiobjectif a montré que la valeur finale est plus grande que celle du premier cas.

L'analyse des valeurs propres et des simulations dynamiques avec 12 PSSs a montré de son côté que certains résultats sont proches de ceux trouvés dans le 1^er cas (14 PSSs), tandis que d'autres résultats sont meilleurs. En outre, le nombre des modes interrégionaux critiques est diminué par rapport au 1^er cas.

Rappelons que dans le 1^er cas, l'optimisation a été réalisée en traitant de façon indépendante la localisation des PSSs et leurs paramètres. Ainsi, l'amélioration associée au 3ème cas est obtenue par l'optimisation simultanée de la localisation des PSSs et de leurs paramètres. Il est aussi important de remarquer que cette méthode a permis également de diminuer le nombre de PSSs à installer.

Cela montre par conséquent la nécessité de prendre en considération le lieu d'emplacement des PSSs lors de l'optimisation de leurs paramètres. Cela montre en outre la potentialité des AGs pour réduire le nombre des PSSs tout en gardant une bonne performance de régulation.

4.5.6- Influence des contraintes de l'AG dans l'optimisation : application au troisième cas. 4.5.6.1- Application des AGs.

Sachant qu'une des caractéristiques d'un AG est la non-production d'une solution unique pour le problème donné, tout changement d'une contrainte de l'espace de recherche du problème ou d'un paramètre de l'AG mène à solution différente.

Pour tester la sensibilité de la solution aux contraintes de l'AG, nous appliquons les contraintes suivantes pour chaque PSS :

Grâce à ces nouvelles données, l'AG réduit le nombre de PSSs à 11 PSSs seulement. Les valeurs de leurs paramètres sont données dans le tableau (19).

N° PSS	N° G.	*KPSS*	T1	T3
1	53	30.2033	0.0509	0.0499
2	54	32.1232	0.0523	0.0879
3	55	36.0024	0.0974	0.0945
4	57	04.75 19	0.0996	0.0897
5	58	06.8476	0.0997	0.0998
6	61	44.8166	0.0997	0.0804
7	62	19.2244	0.0116	0.0466
8	64	19.9228	0.0724	0.0539
9	66	46.4253	0.0107	0.0105
10	67	41.1337	0.0511	0.0929
11	68	11.7644	0.0345	0.0145

L'évolution de la fonction multiobjectif en fonction du nombre de générations est donnée dans ce cas à la figure (103). Au terme de l'optimisation, la valeur finale de la fonction multiobjectif n'atteint que 0.9614.

La valeur finale de la fonction multiobjectif est inférieure à un. Ceci nous indique que le critère de la zone D ne sera pas assuré, même pour le point de fonctionnement nominal. Ainsi, il faut accepter cette solution avec une tolérance.

Nous allons dans ce qui suit analyser la performance de régulation avec ces 11 PSSs pour le point de fonctionnement nominal seulement car pour les autres scénarios, nous serions assez loin des critères imposés dans cette étude.

4.5.6.2- Analyse des valeurs propres pour le point de fonctionnement nominal.

Nous calculons les valeurs propres du système au point de fonctionnement nominal en installant les 11 PSSs optimisés aux emplacements déterminés par l'AG. Nous donnons dans le tableau (20) certaines de ces valeurs propres. La figure (104) donne leurs répartitions dans le plan complexe.

N° mode	ë	æ	f [Hz]
1	- 1.2324 #177; j 10.558	0.1159	1.6805
2	- 3.6757 #177; j 10.046	0.3436	1.5990
3	- 1.3897 #177; j 9.4513	0.1455	1.5042
4	- 1.0276 #177; j 9.3339	0.1094	1.4855
5	- 1.0514 #177; j 6.8663	0.1514	1.0928
6	- 0.8601 #177; j 7.7667	0.1101	1.2361
7	- 0.8629 #177; j 7.4791	0.1146	1.1903
8	- 2.0817 #177; j 7.5413	0.2661	1.2002
9	- 7.5208 #177; j 4.6996	0.8480	0.7480
10	- 2.1214 #177; j 3.1822	0.5547	0.5065
11	- 2.9320 #177; j 3.0255	0.6959	0.4815
12	- 0.8698 #177; j 3.9611	0.2145	0.6304
13	- 0. 8670 #177; j 3.7259	0.2266	0.5930
14	- 0.8519 #177; j 3.1696	0.2596	0.5045
15	- 0.9204 #177; j 2.5468	0.3399	0.4053

Tableau 20. Valeurs propres du système (11 PSSs : optimisation globale par AG).

Figure 104. Répartition des valeurs propres du système dans le plan complexe
(11 PSSs : optimisation globale par AG).

L'analyse des valeurs propres montre que le système se trouve dans la zone de la stabilité. Pourtant, plusieurs modes sont situés hors de la zone D, avec des parties réelles supérieures à la valeur critique. Ceci ne donne pas une grande sûreté de fonctionnement au système pour supporter des scénarios sévères. Le facteur d'amortissement minimum est æmin = 10.94 % et la partie réelle maximale des valeurs propres est ómax = - 0.8519.

4.5.6.3- Analyse par simulations temporelles pour le point de fonctionnement nominal.

La variation de vitesse des cinq générateurs choisis pour montrer la réponse dynamique du système suite à un défaut est donnée à la figure (105).

Figure 105. Variations de vitesse des cinq générateurs suite à un défaut de ligne,
(1er scénario du 4ème cas).

Les valeurs caractérisant le dépassement maximum et le temps de réponse de ces courbes sont données dans le tableau suivant.

	G. 53	G. 59	G. 60	G. 66	G. 68
D_p	5.13×10^-3	10.7×10^-3	5.01×10^-3	- 9.84×10^-3	0.49×10^-3
t_r (s)	8	10	10	8	8

Les réponses temporelles des angles de rotor avec le défaut proposé et les écarts entre les angles des générateurs (60 et 66) et (68 et 53) sont donnés respectivement à la figure (106).

Ces analyses par simulations temporelles montrent bien que les oscillations s'amortissent assez rapidement, au moins de 10 secondes. La stabilité globale du système, pour ce scénario, est ainsi assurée.

Figure 106. Réponse dynamique des générateurs (1^er scénario du 4^ème cas),
a : angles de rotor, b : écart des angles de deux paires.

D'un point de vue général, le fait de disposer d'un ensemble de solutions est une source de richesse permettant au concepteur de bénéficier d'une base solide pour choisir, a posteriori, une solution parmi celles proposées, ou pour parfaire la conception. La multiplicité des solutions favorise également l'identification des zones optimales les plus intéressantes (ou les moins contraignantes) pour certains éléments du système ou certains critères particuliers non- intégrés au problème d'optimisation tels le coût, ... .

Dans notre cas, la solution que nous avons obtenue avec 11 PSSs présente un côté positif d'un point de vue économique (par la réduction de leur nombre) et un côté négatif par un manque de robustesse (par le non-respect des critères de stabilité). Dans le cas des PSS, le coût des ces derniers ne représente pas un enjeu critique. Par contre la priorité essentielle concerne la stabilité du système pour le plus grand nombre possible des scénarios. Ainsi, la zone de la robustesse étant la plus importante, la solution des 11 PSSs doit être moins favorisée.

Les études menées au cours de ce chapitre ont permis de mettre en évidence les avantages de notre approche, celle-ci permettant d'améliorer simultanément l'amortissement des modes des oscillations électromécaniques globales et locales par une optimisation globale des PSSs.

Dans le 1 ^er cas, nous avons utilisé la méthode des facteurs de participation pour localiser les PSSs nécessaires au système et la méthode des AGs a été utilisée pour régler les paramètres de ces PSSs. Nous avons comparé les résultats obtenus, pour le point de fonctionnement nominal, avec ceux issus d'une méthode d'optimisation classique (la méthode de compensation de phase) et d'une méthode métaheuristique (algorithme d'optimisation par essaim de particules) et les résultats de la littérature. Les résultats obtenus avec notre méthode d'AG montrent que la performance du réglage du système est efficace, avec un bon

amortissement pour tous les modes. Par ailleurs, nous avons remarqué que la performance s'est dégradée pour les autres scénarios (défauts sévères). La robustesse du réglage n'est donc pas suffisamment assurée dans ce cas.

Dans le 2^ème cas, nous avons déterminé en outre l'emplacement des PSSs par l'AG, le nombre des PSSs utilisé étant préfixé. L'analyse des résultats obtenus montre la supériorité de cette approche par rapport à la méthode classique des facteurs de participation. Nous avons obtenu des performances qui améliorent, par exemple, de 40 % les temps de réponse des générateurs pour tous les scénarios étudiés. Quant à l'amortissement de tous les modes interrégionaux, il est notablement augmenté.

Dans le 3^ème cas, nous avons axé notre recherche sur l'optimisation du nombre des PSSs. Nous avons considéré que ce paramètre est très important pour minimiser les interactions nuisibles entre PSSs. Nous avons ainsi développé l'approche correspondante. Les résultats obtenus montrent que la stabilité globale du système est garantie. Le nombre de modes interrégionaux critiques est diminué par rapport au 1^er cas malgré la réduction du nombre de PSSs (12 PSSs contre 14).

Dans le 4^ème cas, nous avons évalué la sensibilité des AGs vis-à-vis des paramètres de réglage telles la probabilité de croisement et les contraintes de l'espace de recherche. La "désensibilisation" de l'AG par rapport aux contraintes de l'espace de recherche du problème étudié fera l'objet du chapitre suivant.

Enfin nous pouvons conclure qu'outre l'optimisation coordonnée des paramètres des PSSs souvent appliquée dans le réglage des PSSs, il faut aussi tenir compte du nombre et de la localisation optimale de ces PSSs pour pouvoir réduire au maximum les effets indésirables des interactions entre PSSs. La stabilité globale du système peut alors être correctement assurée par une optimisation simultanée des paramètres et de leur emplacement avec un nombre réduit de PSSs.

Etude de la stabilité aux petites perturbations dans les grands réseaux électriques: Optimisation de la régulation par une méthode metaheuristique

Chapitre IV